关于曲线拟合的方法探讨
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（1）将区域进行分段。（2）对每个分段点进行循环：1）确定网格点的影响区域大小；2）确定包含在网格点的影响区域内的节点；3）计算型函数；4）计算网格点的节点值。（3）连接网格点形成拟合曲线。
1.3NURBS三次曲线拟合
NURBS作为定义工业产品几何形状的唯一数学方法，是现代图形学的基础，因此NURBS曲线拟合有着重要的实际意义。NURBS曲线的数学模型和数学方法可以参考文献［2］。本文采用
进行论述，分析拟合方法的适用场合，以便在针对具体情况时可以采用相应的拟合方法。
1
拟合方法论述
1.1
最小二乘法
最小二乘法通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配，是进行曲线拟合的一种早期使用的方法。一般最小二乘法的拟合函数是一元二次，可一元多次，也可多元多次。该方法是通过求出数据点到拟合函数的距离和最小的拟合函数进行拟合的方法。令f（x）=ax 2+bx +c，计算数据点到该函数所表示的曲线的距离和最小。即：
VC技术［3－4］
，利用OpenGL的NURBS曲线拟合函数，即可得到NURBS曲线。
1.4基于RBF的曲线拟合
RBF（Radial Basis Function），径向神经网络是以径向基函数
（RBF）作为隐单元的“基”，构成隐含层空间，隐含层对输入矢量进
行变换将低维的模式输入数据变换到高维空间内，使得在低维空
‖Fra Baidu bibliotek‖=
i =0
Σ
（f（x i）－y i
）2
姨（1）
对（1
）式求导，使其等于0，则可以求出f（x）的系数a、b、c，从而求解出拟合函数。1.2移动最小二乘法
移动最小二乘法在最小二乘法的基础上进行了较大的改进，通过引入紧支概念（即影响区域，数据点一定范围内的节点对该点的拟合函数值有影响），选取适合的权函数，算出拟合函数来替代最小二乘法中的拟合函数。从而有更高的拟合精度及更好的拟合光滑度。
间内的线性不可分问题在高维空间内线性可分。这是一种数学分
析方法，具有较快的收敛速度、
强大的抗噪和修复能力。RBF神经网络结构图如图1所示。
各算法流程如下：
最小二乘法通过建立二次函数进行拟合。建立拟合函数f（
x）=ax 2+bx+c，求所有数据点与二次曲线的距离和最小的二次曲线，得到a、b、c，从而得到二次曲线图像。
4工艺流程
转炉系统自动化控制的设备配置有转炉本体、氧枪及供气设
备、副枪测试装置、底部供气装置、受铁设备、废钢装料设备、副原料上料及投料设备、汽化冷却余热回收设备、一次煤气除尘及煤气回收设备、二次除尘设备以及铁合金加料设备等。其工艺流程为：4.1
（2）基于RBF曲线拟合流程：本文将采用高斯函数作为RBF函数的核函数［5］。1）采用K－均值法，确定聚类中心；2）按聚类中心分组；3）计算样本均值；4）重复2）、3），直到聚类中心不再变化；5）确定半径；6）调节输出层权。
2实例验证
为了比较上述4种方法的优劣，本文采用1组数据，用4种方法进行拟合，然后比较拟合的情况，从而进行判断。如果型值点经比较后，在型值点变化微小的情况下，拟合的曲线将趋于平稳，就难以分出其优劣，因此在给定数据的时候（表1），特地给出一个奇异点（第3个点）。通过对该表的数据点进行4种拟合方法来比较各种方法的优劣。
采用不同的拟合方法对数据点进行拟合，得到的拟合曲线如图2所示。
关于曲线拟合的方法探讨
平书伟
（广东白云学院机电系，广东广州510450）
摘
要：在现代图形造型技术中，曲线拟合是一个重要的部分，是曲面拟合的基础。现着重对最小二乘法、
移动最小二乘法、NURBS三次曲线拟合法和基于RBF曲线拟合法进行比较，分析拟合方法的适用场合，从而为图形造型中曲线拟合的方法选用作出更好的选择。
关键词：离散点；曲线；拟合
表1
给定的数据点
x 12356789
10y
1
1.5
12.3
1.8
1.2
3.3
4.1
3.1
3.5
工艺与技术◆Gongyi yu Jishu
112
机电信息2011年第12期总第294期1系统构成典型的转炉自动化控制系统由过程控制计算机、微型计算机
和各种自动检测仪表、
电子称量装置等部分组成。主要分为供氧系统、
0引言随着科技的不断进步，产品造型越来越复杂，因而对于造型的
方法也提出了更高的要求。
由于经常要处理数据点，并对数据点进行拟合，因此曲线拟合就成了处理离散点成线的一种常用的手段。
曲线拟合的方法有很多种，各有各的优势。本文将对常用的几种曲
线拟合方法（最小二乘法、移动最小二乘法、NURBS三次曲线拟合
和基于RBF曲线拟合）
移动最小二乘法的流程是：（1）NURBS曲线拟合：确定节点矢量，本文通过弦长累加来确
定节点矢量。在NURBS曲线拟合时，
设置最前4个节点矢量的值相同和最后4个节点矢量的值相同，那么拟合的曲线将通过给定型值点的第一个点和最后一个点。由于OpenGL有现成的NURBS曲线拟合函数，因此本文将借助VC进行编程，实现NURBS三次曲线拟合。
1.2.1移动最小二乘法的拟合函数
设拟合函数为f（x）在求解域Ω内的n个节点P i（i =1、2、3、……、n），则：
f（x）=m
i =1
Σαi（x）K i（x
）=K T
（x）α（x）（2）
式中，α（x）为待求系数；K（x）为线性基函数。一般令K（x）=［1，x，y］T
，m =3；求解过程可以参照文献［1］，从而可求α（x），得到f（x）。1.2.2移动最小二乘法的算法流程
原料系统、副枪系统、煤气回收系统、成分分析系统与计算机测控系统。
2系统功能
系统对氧气顶吹转炉进行生产全过程监视、控制及管理，对生
产过程所有参数进行实时监控、记录、自动报表打印，使操作人员得以全面了解生产过程的实时参数，准确把握转炉温度与炭含量、出钢时间与溅渣护炉效果，适时调节氧压、冷却水流量等参数，以消除事故隐患，提高生产质量和生产效率。
3系统原理
转炉自动化采用生产管理级别、过程控制级、基础自动化级别
三级控制。基础自动化控制级采用PLC可编程逻辑控制器，
对转炉炼钢进行数据采集、顺序控制、监控操作、数据通讯等转炉生产过程控制；过程控制级由服务器、交换机、工作站及工业控制计算
机构成，用于转炉冶炼控制、
设备维护、数据统计，并收集从化验室获取的试样数据；生产管理级用于下达生产任务与生产指标，实现对冶金全过程的参数计算和优化、数据及质量跟踪、生产顺序控制与管理。系统配以网络监控操作，实现其功能操作和控制管理。
1.3NURBS三次曲线拟合
NURBS作为定义工业产品几何形状的唯一数学方法，是现代图形学的基础，因此NURBS曲线拟合有着重要的实际意义。NURBS曲线的数学模型和数学方法可以参考文献［2］。本文采用
进行论述，分析拟合方法的适用场合，以便在针对具体情况时可以采用相应的拟合方法。
1
拟合方法论述
1.1
最小二乘法
最小二乘法通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配，是进行曲线拟合的一种早期使用的方法。一般最小二乘法的拟合函数是一元二次，可一元多次，也可多元多次。该方法是通过求出数据点到拟合函数的距离和最小的拟合函数进行拟合的方法。令f（x）=ax 2+bx +c，计算数据点到该函数所表示的曲线的距离和最小。即：
VC技术［3－4］
，利用OpenGL的NURBS曲线拟合函数，即可得到NURBS曲线。
1.4基于RBF的曲线拟合
RBF（Radial Basis Function），径向神经网络是以径向基函数
（RBF）作为隐单元的“基”，构成隐含层空间，隐含层对输入矢量进
行变换将低维的模式输入数据变换到高维空间内，使得在低维空
‖Fra Baidu bibliotek‖=
i =0
Σ
（f（x i）－y i
）2
姨（1）
对（1
）式求导，使其等于0，则可以求出f（x）的系数a、b、c，从而求解出拟合函数。1.2移动最小二乘法
移动最小二乘法在最小二乘法的基础上进行了较大的改进，通过引入紧支概念（即影响区域，数据点一定范围内的节点对该点的拟合函数值有影响），选取适合的权函数，算出拟合函数来替代最小二乘法中的拟合函数。从而有更高的拟合精度及更好的拟合光滑度。
间内的线性不可分问题在高维空间内线性可分。这是一种数学分
析方法，具有较快的收敛速度、
强大的抗噪和修复能力。RBF神经网络结构图如图1所示。
各算法流程如下：
最小二乘法通过建立二次函数进行拟合。建立拟合函数f（
x）=ax 2+bx+c，求所有数据点与二次曲线的距离和最小的二次曲线，得到a、b、c，从而得到二次曲线图像。
4工艺流程
转炉系统自动化控制的设备配置有转炉本体、氧枪及供气设
备、副枪测试装置、底部供气装置、受铁设备、废钢装料设备、副原料上料及投料设备、汽化冷却余热回收设备、一次煤气除尘及煤气回收设备、二次除尘设备以及铁合金加料设备等。其工艺流程为：4.1
（2）基于RBF曲线拟合流程：本文将采用高斯函数作为RBF函数的核函数［5］。1）采用K－均值法，确定聚类中心；2）按聚类中心分组；3）计算样本均值；4）重复2）、3），直到聚类中心不再变化；5）确定半径；6）调节输出层权。
2实例验证
为了比较上述4种方法的优劣，本文采用1组数据，用4种方法进行拟合，然后比较拟合的情况，从而进行判断。如果型值点经比较后，在型值点变化微小的情况下，拟合的曲线将趋于平稳，就难以分出其优劣，因此在给定数据的时候（表1），特地给出一个奇异点（第3个点）。通过对该表的数据点进行4种拟合方法来比较各种方法的优劣。
采用不同的拟合方法对数据点进行拟合，得到的拟合曲线如图2所示。
关于曲线拟合的方法探讨
平书伟
（广东白云学院机电系，广东广州510450）
摘
要：在现代图形造型技术中，曲线拟合是一个重要的部分，是曲面拟合的基础。现着重对最小二乘法、
移动最小二乘法、NURBS三次曲线拟合法和基于RBF曲线拟合法进行比较，分析拟合方法的适用场合，从而为图形造型中曲线拟合的方法选用作出更好的选择。
关键词：离散点；曲线；拟合
表1
给定的数据点
x 12356789
10y
1
1.5
12.3
1.8
1.2
3.3
4.1
3.1
3.5
工艺与技术◆Gongyi yu Jishu
112
机电信息2011年第12期总第294期1系统构成典型的转炉自动化控制系统由过程控制计算机、微型计算机
和各种自动检测仪表、
电子称量装置等部分组成。主要分为供氧系统、
0引言随着科技的不断进步，产品造型越来越复杂，因而对于造型的
方法也提出了更高的要求。
由于经常要处理数据点，并对数据点进行拟合，因此曲线拟合就成了处理离散点成线的一种常用的手段。
曲线拟合的方法有很多种，各有各的优势。本文将对常用的几种曲
线拟合方法（最小二乘法、移动最小二乘法、NURBS三次曲线拟合
和基于RBF曲线拟合）
移动最小二乘法的流程是：（1）NURBS曲线拟合：确定节点矢量，本文通过弦长累加来确
定节点矢量。在NURBS曲线拟合时，
设置最前4个节点矢量的值相同和最后4个节点矢量的值相同，那么拟合的曲线将通过给定型值点的第一个点和最后一个点。由于OpenGL有现成的NURBS曲线拟合函数，因此本文将借助VC进行编程，实现NURBS三次曲线拟合。
1.2.1移动最小二乘法的拟合函数
设拟合函数为f（x）在求解域Ω内的n个节点P i（i =1、2、3、……、n），则：
f（x）=m
i =1
Σαi（x）K i（x
）=K T
（x）α（x）（2）
式中，α（x）为待求系数；K（x）为线性基函数。一般令K（x）=［1，x，y］T
，m =3；求解过程可以参照文献［1］，从而可求α（x），得到f（x）。1.2.2移动最小二乘法的算法流程
原料系统、副枪系统、煤气回收系统、成分分析系统与计算机测控系统。
2系统功能
系统对氧气顶吹转炉进行生产全过程监视、控制及管理，对生
产过程所有参数进行实时监控、记录、自动报表打印，使操作人员得以全面了解生产过程的实时参数，准确把握转炉温度与炭含量、出钢时间与溅渣护炉效果，适时调节氧压、冷却水流量等参数，以消除事故隐患，提高生产质量和生产效率。
3系统原理
转炉自动化采用生产管理级别、过程控制级、基础自动化级别
三级控制。基础自动化控制级采用PLC可编程逻辑控制器，
对转炉炼钢进行数据采集、顺序控制、监控操作、数据通讯等转炉生产过程控制；过程控制级由服务器、交换机、工作站及工业控制计算
机构成，用于转炉冶炼控制、
设备维护、数据统计，并收集从化验室获取的试样数据；生产管理级用于下达生产任务与生产指标，实现对冶金全过程的参数计算和优化、数据及质量跟踪、生产顺序控制与管理。系统配以网络监控操作，实现其功能操作和控制管理。