定积分存在的条件

T
,
__
使 S (T ) <
b
, a2
*) 设 T 有 p 个分点,
对任意分割T,由性质的推论有
__
S (T )
p
(M m)
T
__
S (T ) ,
28.05.2020
.
20
__
S (T )
p
(M
m)
T
__
S
(T
)
<
b
a
,
2
即
__
S (T )
p (M m)
T
b
< a
,
2
亦即
__
( Mi f (i )) xi
<
.
2
因此, T 时有
|
__
S (T ) I |
| | + | | < + __
S (T )
28.05.2020
f (i ) xi
f (i )xi I
.
= .
22
24
__
此即
lim
T 0
S (T ) = I
.由达布定理
,
b
a
=
I.
I b
同理可证 a =
28.05.2020
lim
T 0
f
(xi )xi .
=
I
.
23
即对 0 , 0 , 使当 T 时有
|
f (xi )xi
I
|<
2
对i
xi
成立.
在每个 [ xi1 , xi ] 上取 i , 使
0
Mi
f
(i )
2(b a) ,
于是,
__
| S (T ) f (i ) xi | =
.
8
而 S() 中对应于这个区间是两项之和
m k (x x k 1 ) m k (x k x )
其中
mk
inf
xk 1 x x
f
x
，
mk
inf
x x xk
f
x
.
由于[xk1, x] 与[x, xk ] 都是[xk1, xk ]的子区间，从
而 mk mk ， mk mk ，于是
b a
f (x)dx ,
lim
T 0
b
s(T ) = a
f (x)dx .
证 （只证第一式), 要证 : 0,0,
使当 T
时有，
0
__
b
S (T ) a
.
28.05.2020
.
19
__
0
S (T )
b
a
是显然的.
因此只证
__
b
S (T ) a
.)
b
a
inf S(T )
T
,
对
0,
记 M i sup{ f ( x) | x [ xi1, xi ]} ，
mi inf{ f ( x) | x [ xi1, xi ]},
i xi xi 1 , i 1, 2,L , n
n
n
作和式 S
M i xi , s
mi xi ,
i 1
i 1
28.05.2020
.
4
T m i xi,
T 是区间 [ a , b ] 的分法 . 则有
lim
T 0
__
S (T ) =
b a
f (x)dx ,
lim
T 0
b
s(T ) = a
f (x)dx .
为了证明达布定理,先介绍下面性质(证 式中提炼出,为方便)
28.05.2020
.
15
性质 设T 是 T 添加 p 个新分点的加细. 则有
__
T 0
S
(T
)
=
b
a
f (x)dx .
28.05.2020
.
22
3.定积分存在的充分必要条件
定理５（定积分存在的第一充分必要条件）
函数 f(x)在［a,b］上可积的充分必要条
件是：
b
b
a
a
b
b
f (x) R [ a , b ]
=
.
a
a
b
证 ) 设 f ( x)dx = I , 则有 a
T 0
即对 0 , 0 , T, T 时,
__
0 S (T ) s(T ) .
28.05.2020
.
28
充分性
) 因为 s(T )
b
a
b
a
__
S (T ) ,
对任意ε，存在分割Τ，使得
__
S (T )
s(T )
,
于是
0
b
a
b
– a
,
= b
b
a
a
.
28.05.2020
.
T,使得
n
i xi
i 1
28.05.2020
.
30
Riemann可积的第二充要条件
其中：
Mi sup{f (x): xi1 x xi} mi inf{f (x): xi1 x xi}
i Mi mi
xi-1 xi
f(x)在[a,b]上Riemann可积
n
0,分T， 划使 i 得 xi i1
定理５ˊ（可积准则Ⅰ） 函数 f(x)在［a,b］上可积的充分必要条件
是：对任意ε＞０，总存在相应的一个分割 T,使得
S (T ) s(T )
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.
27
b
b
证明：因为 f (x) R[ a ,b ] = .
a
a
∴
__
f (x) R[ a , b ] lim ( S(T ) s(T) ) = 0.
S (T )
__
S (T )
__
S (T )
p(M m) T
.
s(T ) s(T ) s(T ) + p (M m) T ,
证 设 T1 是只在 T 中第 i 个区间 [ xi1 , xi ]
内加上一个新分点 x 所成的分法, 分别设
M1 sup f (x) ,
[ xi 1 , x ]
M 2 sup f (x) ,
第二节 定积分存在的条件
一、定积分存在的充分必要条件 二、可积函数类
28.05.2020
.
1
一、定积分存在的充分必要条件
要判断一个函数是否可积?但由于积分和 的不确定性和那个极限常数不易预知，因此 这是极其困难的．
下面即将给出的可积准则,将不确定性过 渡到相对确定性,且只与被积函数本身有关， 而不涉及定积分的值．
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.
9
mk xk mk (xk xk1) mk (xk x) mk (x xk1)
mk (xk x) mk(x xk1)
由此推知 S () S () .达布上和的证 明与此类似，这里从略.
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.
10
定理２对任意分割T，都有
S (T ) m (b a ),s(T ) M (b a ).
( M i M 1 )x (x i 1 ) ( M i M 2 )x i( x )
( M m )x ( x i 1 ) ( M m )x i ( x ) ( M m )x i ( x i 1 )
(Mm)T
添加 p 个新分点可视为依次添加一个分点 进行 p 次. 即证得第一式.
这里M,m分别表示f(x)在[a,b]的上确界和下 确界．
证 显然有, mi M,Mi m,于是
n
n
S(T) Mixi mxi m(ba);
i1
i1
同理可证,s(T) M(ba).
即，上和必有下界,下和必有上界．
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.
11
定理３对于任意两个分割T与T’，有
S'(T')s(T),S(T)s'(T').
任一分割T 的下和都不超过另一分割T’ 的上和, 任一分割T 的上和都不小于另一分割T’ 的下和．
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.
12
【证】 将区间［a,b］的分法 T 与 T′的分点合在
一起，得到[a,b]的一个新分法T '' ，可以认为T '' 是由 T 的分点增加T '的分点所构成的分法，当然也可以认 为T '' 是由T '的分点增加 T 的分点所构成的分法。根
S (T )
b a
)
<2
p (M m) T
.
于是取
2 p(M
m)
,
( 可设 M m, 否则 f (x) 为
b
__
常值函数 a
=
S (T ) 对任何分法 T 成立.)
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.
21
对任何分法 T , 只要 T , 就有
__
b
0 S(T )
a
22 .
__
此即
lim
s ( T ) p ( M m ) |T || |s ( T T ) s ( T )
显然得证.
28.05.2020
.
18
定理 4（Darboux 定理） 设函数 f (x) 在区间 [ a , b ] 上有界,
T 是区间 [ a , b ] 的分法 . 则有
lim
T 0
__
S (T ) =
xi-1 xi
f(x)在[a,b]上Riemann可积
b
n
n
b
a
f(x)dx|T l||i | m 0i1Mixi ||T l|i| m 0i1mixi a
f(x)dx
其中： Mi sup{f(x):xi1xxi}
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. mi inf{f(x):xi1xxi} 26
定理５也可叙述成如下形式
当 T 0 时有相同极限的充要条件 .
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.
3
1． 达布(Darboux 法国数学家)和的定义：
设 f(x)在[a,b]上有界，作[a,b]的任意分割 T，
即在[a,b]中任意插入 n-1 个分点：
a x0 x1 x2 L xn b,
把[a,b]分成 n 个小区间，
[ xi1 , xi ], (i 1, 2,L n),
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.
31
定理６（可积准则Ⅲ） 函数 f(x)在［a,b］上可积的充分必要条
件是：对任意ε，η＞０，总存在相应的一个 分割 T,使得所有振幅 i 的小区间 i 的总长度不超过ε．
__
界 ， S (T ) 有下界 .因此它们分别有上确界
和下确界.
定义
b
记 a
f (x)dx inf S (T )
T
,
b
a
f (x)dx sups(T )
T
.
b
分别称 a
和 b a
为函数
f (x) 在区间
[ a , b ] 上的上
积分和下积分.
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.
14
定理 4（Darboux 定理） 设函数 f (x) 在区间 [ a , b ] 上有界,
i1
i1
分别称为 f 关于分割 T 的上和与下和(或称达
布上和与达布下和，统称达布和)．任给
i i , i 1,2, , n, ，显然有
n
sTfixi ST. i1
28.05.2020
.
5
与积分和相比较，达布和只与分割T 有关，而与
点集 i 无关．由不等式(1)，就能通过讨论上和
与下和当 T 0 时的极限来揭示 f 在a,b 上是否
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.
7
【证】 我们不妨只讨论在分法 T 的分点
中再加进一个分点 x 的情况.
设 x 加在 xk 1 与 xk 之间，于是 xk 1 x xk
显然 S() 与 S() 仅在这个地方不同
S() 中对应于区间 [ xk 1, xk ] 的项是
m k xkm k(xkxk 1)
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可积．
所以，可积性理论总是从上和与下和入手．
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.
6
2.达布和的性质
定理１在原有的分割T中加入新的分点， 则 上和不增，下和不减．
即，在原有分割T中加入新的分点后得 新分割T’，它对应的上和与下和分别记为
S(' T')及s'(T'),
则 s(T )s'(T'),S'(T')S(T ),.
29
记 i Mi mi , 称为函数 f(x)在[xi1, xi ] 的振幅．
容易看出，
i sup | f (x '') f (x ') |, x ', x ''[xi1, xi ] ．
定理 5′′（可积准则Ⅱ） 函数 f(x)在［a,b］上可积的充分必要条
件是：对任意ε＞０，总存在相应的一个分割
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.
2
思路与方案:
思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和.
用相应于分法T 的“最大”和“最小”的两个“积分和”
去双逼一般的积分和 , 即用极限的双逼原理考查积分
和有极限, 且与分法T 及介点 i 无关的条件 .
__
方案: 定义上和 S (T ) 和下和 s(T ) . 研究它们的性质和
.
b
b
a = a.
)
对任何分法T , 有 s(T ) (T)
__
S (T ) ,
而
b
lim
T 0
s(T ) =
a
b
== a
lim
T 0
__
S (T ) .
b
令 a
和
b
a
的共值为 I
,由双逼原理
I lim T 0
(T ) = .
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.
25
Riemann可积的第一充要条件
xi-1 xi
据性质 2，有 s(T)s(T''),S(T'')S(T')
又因为 s(T'') S(T'')
所以 s(T)s(T'')S(T'')S(T')
第一式得证，同理可证第二式.
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.
13
上积分和下积分 : 设函数 f (x) 在区间
[ a , b ] 上有界.由以上定理 3， s(T ) 有上
[ x, xi ]
M i sup f (x) .
[ xi 1 , xi ]
显然有 m M 1 和 M 2 Mi M .于是
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.
16
0 S ( T ) S ( T 1 ) M i( x i x i 1 ) M 1 ( x x i 1 ) M 2 ( x i x )
类似可证第二式.
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