七年级《有理数》培优练习题(有答案)

1．计算：1﹣（+2）+3﹣（+4）+5﹣（+6）…+2015﹣（+2016）= ．
2．已知a、b、c的位置如图：则化简|﹣a|﹣|c﹣b|﹣|a﹣c|= ．
3．有理数a、b在数轴上的位置如图所示
化简：|a+2|﹣|a|+|b﹣1|+|a+b|可得到．
4．在数轴上，点P表示的数是a，点P′表示的数是，我们称点P′是点P的“相关点”，已知数轴上A1的相关点为A2，点A2的相关点为A3，点A3的相关点为A4…，这样依次得到点A1、A2、A3、A4，…，A n．若点A1在数轴表示的数是，则点A2016在数轴上表示的数是．
5．如果x、y都是不为0的有理数，则代数式的最大值是．6．|x+2|+|x﹣2|+|x﹣1|的最小值是．
7．当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是，最小值是．8．如图，方格表中的格子填上了数，每一行每一列及两条对角线中所填数的和均相等，则x的值．
16 x
11 15
12
9．先观察：1﹣=×，1﹣=×，1﹣=×，…
（1）探究规律填空：1﹣= ×；
（2）计算：（1﹣）•（1﹣）•（1﹣）…（1﹣）
10．阅读下列各式：（a•b）2=a2b2，（a•b）3=a3b3，（a•b）4=a4b4…
回答下列三个问题：
（1）验证：（2×）100= ，2100×（）100= ；
（2）通过上述验证，归纳得出：（a•b）n= ；（abc）n= ．
（3）请应用上述性质计算：（﹣0.125）2017×22016×42015．
11．数轴上的点M对应的数是2，一只蚂蚁从点M出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左或向右爬行，当它到达数轴上的点N后，立即返回到原点，共用6秒．
（1）蚂蚁爬行的路程是多少？
（2）点N对应的数是多少？
（3）点M和点N之间的距离是多少？
12．我们已经学习过“乘方”和“开方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算．
定义：如果a b=N（a＞0，a≠1，N＞0），则b叫做以a为底N的对数，记作log a N=b．
例如：因为53=125，所以log5125=3；因为112=121，所以log11121=2．
（1）填空：log66= ，log381= ．
（2）如果log2（m﹣2）=3，求m的值．
13．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地
出发，晚上到达B 地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，﹣9，+8，﹣7，13，﹣6，+12，﹣5．
（1）请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？
（2）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？
（3）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？
14．已知：数轴上点A表示的数是8，点B表示的数是﹣4．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左运动．P，Q两点同时出发．
（1）经过多长时间，点P位于点Q左侧2个单位长度？
（2）在点P运动的过程中，若点M是AP的中点，点N是BP的中点，求线段MN的长度．
15．已知数轴上的点A和点B之间的距离为32个单位长度，点A在原点的左边，距离原点5个单位长度，点B在原点的右边．
（1）点A所对应的数是，点B对应的数是；
（2）若已知在数轴上的点E从点A出发向左运动，速度为每秒2个单位长度，同时点F 从点B出发向左运动，速度为每秒4个单位长度，在点C处点F追上了点E，求点C对应的数．
16．如图，点A、B都在数轴上，且AB=6
（1）点B表示的数是；
（2）若点B以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动，则2秒后点B表示的数是；（3）若点A、B都以每秒2个单位沿数轴向右运动，而点O不动，t秒后有一个点是一条线段的中点，求t．
17．已知如图，在数轴上有A，B两点，所表示的数分别为﹣10，﹣4，点A以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度也向右运动，如果设运动时间为t秒，解答下列问题：
（1）运动前线段AB的长为；运动1秒后线段AB的长为；
（2）运动t秒后，点A，点B运动的距离分别为和；
（3）求t为何值时，点A与点B恰好重合；
（4）在上述运动的过程中，是否存在某一时刻t，使得线段AB的长为5，若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．
18．如图，在数轴上，点A表示﹣10，点B表示11，点C表示18．动点P从点A出发，
沿数轴正方向以每秒2个单位的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位的速度匀速运动．设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，P、Q两点相遇？相遇点M所对应的数是多少？
（2）在点Q出发后到达点B之前，求t为何值时，点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等；
（3）在点P向右运动的过程中，N是AP的中点，在点P到达点C之前，求2CN﹣PC的值．
19．已知点A在数轴上对应的有理数为a，将点A向左移动6个单位长度，再向右移动2个单位长度与点B重合，点B对应的有理数为﹣24．
（1）求a；
（2）如果数轴上的点C在数轴上移动3个单位长度后，距B点8个单位长度，那么移动前的点C距离原点有几个单位长度？
20．已知数轴上A、B两点对应的数分别为﹣1和3，数轴上的一个动点P，其对应的数为
x．
（1）若点P到A、B两点的距离相等，求点P对应的数x的值；
（2）数轴上是否存在点P，使点P到A、B两点的距离之和为5：若存在，请求出求x的值；若不存在，请说明理由．
21．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数是，点P表示的数是（用含t的代数式表示）；（2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
22．如图，点A、B在数轴上表示的数分别为﹣12和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点
同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒．
（1）运动秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数是；（2）若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）．
23．看数轴，化简：|a|﹣|b|+|a﹣2|．
24．在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中点A到点B的距离为3，点C到点B的距离为7，如图所示：设点A，B，C所对应的数的和是m．
（1）若以B为原点，则点C所对应的数是；若以C为原点，则m的值是．（2）若原点O在图中数轴上，且点C到原点O的距离为4，求m的值．
（3）动点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度向终点C移动，动点Q同时从B点出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，当几秒后，P、Q两点间的距离为2？请直接写出答案．
参考答案与试题解析
一．填空题（共8小题）
1．﹣1008 ． 2．b﹣2c ． 3．﹣2b﹣a﹣1 ． 4．﹣1 ．
【解答】解：∵点A1在数轴表示的数是，
∴A2==2，
A3==﹣1，
A4==，
A5==2，
A6=﹣1，
…，
2016÷3=672，
所有点A2016在数轴上表示的数是﹣1，
故答案为：﹣1．
5．如果x、y都是不为0的有理数，则代数式的最大值是 1 ．【解答】解：①当x，y中有二正，
=1+1﹣1=1；
②当x，y中有一负一正，
=1﹣1+1=1；
③当x，y中有二负，
=﹣1﹣1﹣1=﹣3．
故代数式的最大值是1．
6．|x+2|+|x﹣2|+|x﹣1|的最小值是 4 ．
【解答】解：|x+2|+|x ﹣2|+|x ﹣1|表示：数轴上一点到﹣2，2和1距离的和， 当x 在﹣2和2之间的1时距离的和最小，是4． 7．﹣1≤x ≤2 ，最小值是 3 ． 【解答】解：由数形结合得，
若|x+1|+|x ﹣2|取最小值，那么表示x 的点在﹣1和2之间的线段上， 所以﹣1≤x ≤2，最小值是3．
8．如图，方格表中的格子填上了数，每一行每一列及两条对角线中所填数的和均相等，则x 的值 9 ．
【解答】解：16+11+12=39， 39﹣11﹣15=13， 39﹣12﹣13=14，
x=39﹣16﹣14=9． 故答案为：9．
二．解答题（共16小题） 9．先观察：1﹣
=×，1﹣
=×，1﹣=×，… （1）探究规律填空：1﹣=
× ； （2）计算：（1﹣
）•（1﹣
）•（1﹣） (1)
）
【解答】解：（1）原式=
×
；
（2）原式=（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+
）
=××××…××
=
，
故答案为：（1）
；
10．阅读下列各式：（a•b）2
=a 2b 2
，（a•b）3
=a 3b 3
，（a•b）4
=a 4b 4
…
16 x
11
15
12
回答下列三个问题：
（1）验证：（2×）100= 1 ，2100×（）100= 1 ；
（2）通过上述验证，归纳得出：（a•b）n= a n b n；（abc）n= a n b n c n．（3）请应用上述性质计算：（﹣0.125）2017×22016×42015．
【解答】解：（1）（2×）100=1，2100×（）100=1；
②（a•b）n=a n b n，（abc）n=a n b n c n，
③原式=（﹣0.125）2015×22015×42015×[（﹣0.125）×（﹣0.125）×2]
=（﹣0.125×2×4）2015×
=（﹣1）2015×
=﹣1×
=﹣．
11．【解答】解：（1）2×6=12（个单位长度）．
故蚂蚁爬行的路程是12个单位长度；
（2）①当点M在点N左侧时：
a﹣2+a=12，
a=7；
②当点M在点N右侧时：
﹣a+2﹣a=12，
a=﹣5；
（3）若向左爬MN=2﹣（﹣5）=7
若向右爬MN=7﹣2=5．
12．（1）填空：log66= 1 ，log381= 4 ．
（2）如果log2（m﹣2）=3，求m的值．
解：（1）∵61=6，34=81，
∴log66=1，log381=4，
故答案为：1、4；
（2）∵log2（m﹣2）=3，
∴m﹣2=23，解得：m=10；
13．解：（1）∵14﹣9+8﹣7+13﹣6+12﹣5=20，
答：B地在A地的东边20千米；
（2）这一天走的总路程为：14+|﹣9|+8+|﹣7|+13+|﹣6|+12|+|﹣5|=74千米，应耗油74×0.5=37（升），
故还需补充的油量为：37﹣28=9（升），
答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充9升油；
（3）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：
14千米；14﹣9=5（千米）；14﹣9+8=13（千米）；14﹣9+8﹣7=6（千米）；
14﹣9+8﹣7+13=19（千米）；14﹣9+8﹣7+13﹣6=13（千米）；
14﹣9+8﹣7+13﹣6+12=25（千米）；14﹣9+8﹣7+13﹣6+12﹣5=20（千米），
25＞20＞19＞14＞13＞＞6＞5，
∴最远处离出发点25千米；（每小题2分）
14．解：（1）设经过t秒，点P位于点Q左侧2个单位长度，
6t﹣[4t+8﹣（﹣4）]=2，
解得，t=7
答：经过7秒，点P位于点Q左侧2个单位长度；
（2）由题意可得，
经过时间t，点P表示的数为：8﹣6t，
∵点M是AP的中点，点N是BP的中点，
∴点M表示的数是：，
点N表示的数是：，
∴MN=|（8﹣3t）﹣（2﹣3t）|=|8﹣3t﹣2+3t|=6，
即线段MN的长度是6．
15．（1）点A所对应的数是﹣5 ，点B对应的数是27 ；
解：（1）根据题意得：A点所对应的数是﹣5；B对应的数是27；
（2）设经过x秒F追上点E，
根据题意得：2x+32=4x，
解得：x=16，
则点C对应的数为﹣5﹣2×16=﹣37．
故答案为：﹣5；27．
16．如图，点A、B都在数轴上，且AB=6
（1）点B表示的数是﹣4 ；
（2）若点B以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动，则2秒后点B表示的数是0 ；解：（1）点B表示的数是﹣4；
（2）﹣4+2×2=﹣4+4=0．
故2秒后点B表示的数是0，
（3）由题意可知：
①O为BA的中点，（﹣4+2t）+（2+2t）=0，解得t=；
②B为OA的中点，2+2t=2（﹣4+2t），解得t=5．
故答案为：﹣4；0．
17．（1）运动前线段AB的长为 6 ；运动1秒后线段AB的长为 4 ；
（2）运动t秒后，点A，点B运动的距离分别为5t 和3t ；
（3）求t为何值时，点A与点B恰好重合；
（4）在上述运动的过程中，是否存在某一时刻t，使得线段AB的长为5，若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）AB=﹣4﹣（﹣10）=6，
运动1秒后，A表示﹣5，B表示﹣1，
∴AB=﹣1+5=4．
故答案为6，4．
（2）运动t秒后，点A，点B运动的距离分别为5t，3t，
故答案为5t，3t．
（3）由题意：（5﹣3）t=6，
∴t=3．
（4）由题意：6+3t﹣5t=5或5t﹣（6+3t）=5，
解得t=或，
∴t的值为或秒时，线段AB的长为5．
18．解：（1）根据题意得2t+t=28，
解得t=，
∴AM=＞10，
∴M在O的右侧，且OM=﹣10=，
∴当t=时，P、Q两点相遇，相遇点M所对应的数是；
（2）由题意得，t的值大于0且小于7．
若点P在点O的左边，则10﹣2t=7﹣t，解得t=3．
若点P在点O的右边，则2t﹣10=7﹣t，解得t=．
综上所述，t的值为3或时，点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等；（3）∵N是AP的中点，
∴AN=PN=AP=t，
∴CN=AC﹣AN=28﹣t，PC=28﹣AP=28﹣2t，
2CN﹣PC=2（28﹣t）﹣（28﹣2t）=28．
19．解：（1）依题意有
a﹣6+2=﹣24，
解得a=﹣20．
（2）点C在数轴上向左移动3个单位长度是﹣24﹣8+3=﹣29或﹣24+8+3=﹣13；点C在数轴上向右移动3个单位长度是﹣24﹣8﹣3=﹣35或﹣24+8﹣3=﹣19．
故移动前的点C距离原点有29或13或35或19个单位长度．
20．解：（1）由题意，得PA=PB，∴x﹣（﹣1）=3﹣x，解得x=1．
（2）∵3﹣（﹣1）=4＜5，∴点P不在线段AB上．
当点P落在点B右侧时，有PB+PA=5，
∴（x﹣3）+（x+1）=5，解得x=3.5．
当点P落在点A左侧时，有BP+AP=5，
∴（﹣1﹣x）+（3﹣x）=5，解得x=﹣1.5．
∴x的值是3.5或﹣1.5．
21．解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，
∴OA=6，
则OB=AB﹣OA=4，
点B在原点左边，
∴数轴上点B所表示的数为﹣4；
点P运动t秒的长度为6t，
∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴P所表示的数为：6﹣6t；
（2）①点P运动t秒时追上点R，
根据题意得6t=10+4t，
解得t=5，
答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；
②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，
当P不超过Q，则10+4a﹣6a=8，解得a=1；
当P超过Q，则10+4a+8=6a，解得a=9；
答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．22．解：（1）设运动x秒时，两只蚂蚁相遇在点P，根据题意可得：
2x+3x=8﹣（﹣12），
解得：x=4，
﹣12+2×4=﹣4．
答：运动4秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数为：﹣4；
（2）运动t秒钟，蚂蚁M向右移动了2t，蚂蚁N向左移动了3t，
若在相遇之前距离为10，则有2t+3t+10=20，
解得：t=2．
若在相遇之后距离为10，则有2t+3t﹣10=20，
解得：t=6．
综上所述：t的值为2或6．
故答案为：4；﹣4．
24．（1）若以B为原点，则点C所对应的数是7 ；若以C为原点，则m的值是﹣17 ．解：（1）当B为原点时，点C对应的数是7；当以C为原点时，A、B对应的数分别为﹣7，﹣10，m=﹣10+（﹣7）+0=﹣17，
故答案为：7，﹣17；
（2）当O在C的左边时，A、B、C三点在数轴上所对应的数分别为﹣6、﹣3、4，
则 m=﹣6﹣3+4=﹣5，
当O在C的右边时，A、B、C三点在数轴上所对应的数分别为﹣14、﹣11、﹣4，
则m=﹣14﹣11﹣4=﹣29，
综上所述：m=﹣5或﹣29；
（3）假如以C为原点，则A、B、C对应的数为﹣10，﹣7，0，Q对应的数是﹣（7﹣t），P 对应的数是﹣（10﹣2t），
当P在Q的左边时，[﹣（7﹣t）]﹣[﹣（10﹣2t）]=2，
解得：t=1
当P在Q的左边时，[﹣（10﹣2t）]﹣[﹣（7﹣t）]=2，
解得：t=5，
即当1秒或5秒后，P、Q两点间的距离为2．。