二次函数图像中的三角形面积最大值的探讨

二次函数图像中的三角形面积最大值的探讨

呕心写于2018.03.11晚

二次函数图像中的三角形面积最值问题，有一个奇妙的结论，如图，当点E线段A B的中点时，△P A B 的面积取最大值。为了探讨这个结论是否成立，我们给出一个一般情况下的二次函数。

如图，若二次函数（﹥0）与直线交与A、B两点，点P为抛物线上的一动点，且在直线A B的下方，，交A B于E，当△P A B的面积最大时，点E是A B的中点吗？探讨如下：

（1）先求A B的中点的横坐标。

∴线段A B中点的横坐标为.

（2）再求△P A B的面积取最大值时的点P的横坐标。

过点P作，交A B于E，则得：，求△P A B面积的最大值，就是求线段P E的最大值。

设点P的横坐标为m，则

∴当时，P E取到最大值。

由（1）（2）得，当△P A B的面积取最大值时，点P的横坐标与线段A B的横坐标相同，即点E是线段A B 中点时，△P A B的面积取到最大值。

对于二次函数的系数﹤0时，结论同理可证。

例.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（6，8），连接O A，将线段O A绕原地O逆时针旋转至x轴负半轴上，得到线段O B.

（1）求点B的坐标;

（2）求经过AOB三点的抛物线的解析式;

（3）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在X轴的下方，△P A B是否有最大面积？若有，直接写出此时P点的坐标；若没有，请说明理由.

解析：

（1）易知B（-10，0）

（2）

（3）由点A（6,8）和点B（-10,0），可以得出线段A B中点的坐标为（-2,4）

当

利用上面的结论，对于这种问题直接求点的坐标可以迅速得解。对于直接求点的坐标问题，或是直接求三角形面积最大值问题，可以使问题简单明了。掌握了这个结论对于解题或检验自己解题是否正确有一定的作用。

练习：在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(?4,0),B(0,?4),C(2,0)三点。

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△A M B的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值。