(曲边梯形的面积和汽车行驶路程)
学案8：1.5.1 曲边梯形的面积~1.5.2 汽车行驶的路程
1.5.1 曲边梯形的面积~1.5.2 汽车行驶的路程问题导学一、曲边梯形面积的计算 活动与探究1求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及曲线y ＝x 2＋2x 所围成的图形的面积S ．迁移与应用用曲边梯形面积的计算方法求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及直线y ＝3x 所围成图形的面积． 名师点津(1)求曲边梯形的面积时要按照分割—近似代替—求和—取极值这四个步骤进行．(2)近似代替时，可以用每个区间的右端点的函数值代替，也可用每个区间的左端点的函数值代替．(3)求和时要用到一些常见的求和公式，例如：1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6等．二、汽车行驶路程的计算问题 活动与探究2一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，汽车在时刻t 的速度为v (t )＝12t 2(单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内汽车行驶的路程s (单位：km)．迁移与应用某物体在笔直的道路上做变速直线运动，设该物体在时刻t 的速度为v (t )＝7－t 2，试计算这个物体在0≤t ≤1这段时间内运动的路程s ． 名师点津把变速直线运动的路程问题化归为求匀速直线运动的问题，采用方法仍然是分割、近似代替、求和、取极限，求变速直线运动的路程和曲边梯形的面积，虽然它们的意义不同，但都可以归纳为求一个特定形式和的极限，通过这样的背景问题，能更好体会后面所要学习的定积分的概念．当堂检测1．在求由抛物线y＝x2与直线x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[0,2]等分成n个小区间，则第i个区间为()A．1,i in n-⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．1,i in n+⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．2(1)2,i in n-⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．22(1),i in n+⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．下列关于函数f(x)＝x2在区间1,i in n-⎡⎤⎢⎥⎣⎦的端点处的函数值的说法正确的是()A．f(x)的值变化很小B．f(x)的值变化很大C．f(x)的值不变化D．当n很大时，f(x)的值变化很小3．在求由x＝a，x＝b(a＜b)，y＝f(x)(f(x)≥0)及y＝0围成的曲边梯形的面积S时，在区间[a，b]上等间隔地插入n－1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边形分成n个小曲边形，下列说法中正确的个数是()①n个小曲边形的面积和等于S②n个小曲边形的面积和小于S③n个小曲边形的面积和大于S④n个小曲边形的面积和与S之间的大小关系无法确定A．1 B．2 C．3 D．44．求由抛物线f(x)＝x2，直线x＝0，x＝1以及x轴所围成的平面图形的面积时，若将区间[0,1]5等分，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，所有小矩形的面积之和为__________．5．求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积．参考答案活动与探究1解：(1)分割：在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个点，将它等分为n 个小区间：⎣⎡⎦⎤0，1n ，⎣⎡⎦⎤1n ，2n ，⎣⎡⎦⎤2n ，3n ，…，⎣⎡⎦⎤n －1n ，1，记第i 个区间为⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n ．分别过上述n －1个分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形(如图)，它们的面积记作：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n ，则小曲边梯形面积的和为1nii S S ==∆∑．(2)近似代替：记f (x )＝x 2+2x ，当n 很大，即Δx 很小时，在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，可以认为f (x )的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨用i f n ⎛⎫⎪⎝⎭来近似地作为f (x )在该区间上的函数值．从图形上看就是用平行于x 轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边，这样在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，用小矩形的面积ΔS i ′近似地代替ΔS i ，则有ΔS i ≈ΔS i ′＝212i i i f x n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅∆=+⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． (3)求和：小曲边梯形的面积和11'n nn iii i S S S ===∆≈∆∑∑2112ni i i n n n =⎡⎤⎛⎫=+⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑＝1n ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12n 2＋22n 2＋…＋n 2n 2＋2⎝⎛⎭⎫1n ＋2n ＋…＋n n ＝(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n＝16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＋⎝⎛⎭⎫1＋1n ． (4)取极限分别将区间[0,1]等分成8,16,20，…等份时，S n 越来越趋向于S ，从而有 S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞⎣⎡ 16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝43．即由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及曲线y ＝x 2＋2x 所围成的图形的面积等于43．迁移与应用 解：(1)分割：把区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝1n ．把梯形分成n 个小梯形，其面积记为ΔS i (i ＝1,2，…，n )．(2)近似代替：用小矩形面积近似代替小梯形面积． ΔS i ＝f ⎝⎛⎭⎫i －1n Δx ＝3·i －1n ·1n＝3n 2(i －1)(i ＝1，2，…，n )． (3)求和：∑i ＝1nΔS i ＝∑i ＝1n3n 2(i －1)＝3n 2[1＋2＋…＋(n －1)] ＝32·n －1n ＝32⎝⎛⎭⎫1－1n ． (4)取极限：S ＝lim n →∞∑i ＝1n3n 2(i －1)＝lim n →∞32⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32． 故所求面积等于32．活动与探究2 解：(1)分割：在区间[0,2]上等间隔地插入n －1个分点，将区间分成n 个小区间：⎣⎡⎦⎤0，2n ，⎣⎡⎦⎤2n ，4n ，…，⎣⎡⎦⎤2(n －1)n ，2n n ，记第i 个小区间为⎣⎡⎦⎤2(i －1)n ，2i n (i ＝1，2，…，n )，Δt ＝2n ，则汽车在时间段⎣⎡⎦⎤0，2n ，⎣⎡⎦⎤2n ，4n ，…，⎣⎡⎦⎤2(n －1)n ，2n n 上行驶的路程分别记作Δs 1，Δs 2，Δs 3，…，Δs n ，有s n ＝∑ni ＝1Δs i ． (2)近似代替：取ξi ＝2in (i ＝1,2，…，n )．∴Δs i ≈v ⎝⎛⎭⎫2i n ·Δt ＝12·⎝⎛⎭⎫2i n 2·Δt ＝12·4i 2n 2·2n ＝4n 3·i 2(i ＝1,2，…，n )． (3)求和：∑i ＝1nΔs i ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫4n 3·i 2＝4n3(12＋22＋32＋…＋n 2)＝4n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6 ＝23⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ． (4)取极限：s ＝lim n →∞s n ＝43．故这段时间内汽车行驶的路程s 为43km ．迁移与应用 解：将区间[0,1]n 等分，得到n 个小区间：⎣⎡⎦⎤0，1n ，⎣⎡⎦⎤1n ，2n ，…，⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎡⎦⎤n －1n，n n ．取ξi ＝i n (i ＝1,2，…，n )，则物体在每个时间段内运动的路程Δs i ≈v (ξi )·Δt ＝1n ⎝⎛⎭⎫7－i 2n 2，i ＝1，2，…，n ．s n ＝∑i ＝1nΔs i ＝1n ⎝⎛⎭⎫7－1n 2＋7－22n 2＋…＋7－n 2n 2＝1n ⎣⎡⎦⎤7n －n (n ＋1)(2n ＋1)6n 2 ＝7－16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ． 于是s ＝lim n →∞s n ＝lim n →∞⎣⎡⎦⎤7－16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＝203． 所以这个物体在0≤t ≤1这段时间内运动的路程为203．当堂检测 1．【答案】C【解析】每个小区间的长度是2n ，所以左端点是0＋(i －1)×2n ＝2(1)i n -，右端点是2in． 2．【答案】D 3．【答案】A【解析】只有说法①是正确的，其余均错． 4．【答案】0.33【解析】由题意得S ＝(0.12＋0.32＋0.52＋0.72＋0.92)×0.2＝0.33． 5．解：令f (x )＝x 2． (1)分割：将区间[0,2]n 等分，分点依次为x 0＝0，12x n =，24x n =，…，x n －1＝2(1)n n-，x n ＝2． 第i 个区间为222,i i nn -⎡⎤⎢⎥⎣⎦(i ＝1,2，…，n ), 每个区间长度为Δx ＝2222i i n n n --=． (2)近似代替、求和： 取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )， 2231112228nnn n i i i i i S f x i n n n n ===⎛⎫⎛⎫=⋅∆=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑＝38n(12＋22＋…＋n 2) 38(1)(21)6n n n n ++=⋅ ＝2431(2)3n n++． (3)取极限lim n n S →∞＝limn →∞24318233n n ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即所求曲边梯形的面积为83．。
课时训练7曲边梯形的面积与汽车行驶的路程
课时训练7曲边梯形的面积与汽车行驶的路程1.在计算由曲线y=-x2以及直线x=-1,x=1,y=0所围成的图形面积时,若将区间[-1,1]n等分,则每个小区间的长度为()A. B.C. D.解析:每个小区间长度为.答案:B2.求由抛物线y=2x2与直线x=0,x=t(t>0),y=0所围成的曲边梯形的面积时,将区间[0,t]等分成n 个小区间,则第i-1个区间为()A. B.C. D.解析:每个小区间长度为,故第i-1个区间的左端点为:0+(i-2)·,右端点为.答案:D3.当n很大时,函数f(x)=x2在区间上的值,可以用()近似代替.A.fB.fC.fD.f(0)解析:可用区间的右端点的函数值f来近似代替.答案:C4.在“近似代替”中,函数f(x)在区间[x i,x i+1]上近似值等于()A.只能是左端点的函数值f(x i)B.只能是右端点的函数值f(x i+1)C.可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[x i,x i+1])D.以上答案均正确答案:C5.在求由曲线y=与直线x=1,x=3,y=0所围成图形的面积时,若将区间n等分,并用每个区间的右端点的函数值近似代替,则第i个小曲边梯形的面积ΔS i约等于()A. B.C. D.解析:每个小区间长度为,第i个小区间为,因此第i个小曲边梯形的面积ΔS i≈·.答案:A6.在等分区间的情况下,f(x)=(x∈[0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是()A.B.C.D.解析:若将区间[0,2]n等分,则每一区间的长度为,第i个区间为,若取每一区间的右端点进行近似代替,则和式极限形式为.答案:B7.直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x3所围成曲边梯形的面积是.解析:(1)分割将区间[0,2]分成n个小区间,则第i个小区间为,区间长度为Δx=,每个小曲边梯形的面积为ΔS i(i=1,2,…,n),则S=ΔS i.(2)近似代替用小矩形的面积ΔS'i近似地代替ΔS i,ΔS i≈ΔS'i=f·Δx=·(i=1,2,…,n).(3)求和S n=ΔS'i=·Δx==(i-1)3=·=,∴S≈S n=.(4)取极限S=S n==22=4.答案:48.弹簧在拉伸过程中,力与伸长量成正比,即力F(x)=kx(k为常数,x是伸长量),则弹簧从平衡位置拉长b所做的功为.解析:将物体用常力F沿着力的方向移动距离x,则所做的功为W=Fx,本题F是克服弹簧拉力的变力,是移动距离x的函数F(x)=kx.将[0,b]n等分,记Δx=,分点依次为x0=0,x1=,x2=,…,x n-1=,x n=b.当n很大时,在分段[x i,x i+1]所用的力约为kx i,所做的功ΔW i≈kx i·Δx=kx i.则从0到b所做的总功W近似地等于ΔW i=kx i·Δx=k··=[0+1+2+…+(n-1)]=·=.于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为W=ΔW i=kb2.答案:kb29.求由抛物线y=x2与直线y=4所围成的图形的面积.解:∵y=x2为偶函数,图象关于y轴对称,∴所求图形的面积应为抛物线y=x2(x≥0)与直线x=0,y=4所围图形面积S阴影的2倍,下面求S阴影.由得交点为(2,4).如图,先求由直线x=0,x=2,y=4和曲线y=x2围成的图形的面积.(1)分割将区间[0,2]n等分,则Δx=,取ξi=.(2)近似代替、求和S n=·[12+22+32+…+(n-1)2]=.(3)取极值S=S n=.∴S阴影=2×4-.∴2S阴影=,即抛物线y=x2与直线y=4所围成的图形的面积为.10.有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶,在时刻t的速度为v(t)=3t2+2(单位:km/h),那么该汽车在0≤t≤2(单位:h)这段时间内行驶的路程s(单位:km)是多少?解:(1)分割在时间区间[0,2]上等间隔地插入n-1个分点,将它分成n个小区间.记第i个小区间为(i=1,2,…,n),其长度为Δt=.每个时间段上行驶的路程记为Δs i(i=1,2,…,n),则显然有s=Δs i.(2)近似代替取ξi=(i=1,2,…,n).于是Δs i≈Δs'i=v·Δt=·=(i=1,2,…,n).(3)求和s n=Δs'i=(12+22+…+n2)+4=·+4=8+4.从而得到s的近似值s≈s n.(4)取极限s=s n==8+4=12.所以这段时间内行驶的路程为12 km.。
人教版高中数学选修2-2教师用书 1.5.1
．曲边梯形的面积汽车行驶的路程预习课本～，思考并完成下列问题()连续函数与曲边梯形的概念分别是什么？()曲边梯形的面积和汽车行驶路程的求解步骤是什么？．连续函数如果函数＝()在某个区间上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间上的连续函数．．曲边梯形的面积＝())，＝和曲线()曲边梯形：由直线＝，＝(所围成的图≠如图)①．(形称为曲边梯形()求曲边梯形面积的方法与步骤：分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些]，[分割：把区间小曲边梯形①()；如图②②“近似代替：对每个小曲边梯形以直代曲矩形”，即用的面积近似代替小曲边梯形的面积(如图，得到每个小曲边梯形面积的近似值②；)③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；④定值取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个，即为曲边梯形的面积．．求变速直线运动的位移(路程)如果物体作变速直线运动，速度函数为＝()，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在≤≤内所作的位移.[点睛]当→＋∞时，所得梯形的面积不是近似值，而是真实值．．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路程．( ) ()当很大时，函数()＝在区间上的值，只能用近似代替．( )()＝，＝.( )答案：()× ()× ()√．将区间[]进行等分需插入个分点，第三个区间是．答案： []．做直线运动的物体的速度＝()，则物体在前 内行驶的路程为 .答案：错误!求曲边梯形的面积[典例] 求直线＝，＝，＝与曲线＝＋所围成的曲边梯形的面积[参考公式＋＋…＋＝(＋)(＋)]．[解]令()＝＋.()分割：将区间[]等分，分点依次为 ＝，＝，＝，…，－＝，＝. 第个区间为()))(＝，…，)， 每个区间长度为Δ＝－＝.()近似代替、求和：取ξ＝(＝，…，)， ＝·Δ＝·＝＋＝(＋＋…＋)＋ ＝·＋＝＋. ()取极限：＝＝＝，即所求曲边梯形的面积为.求曲边梯形面积()思想：以直代曲．()步骤：分割→近似代替→求和→取极限．()关键：近似代替．。
人教版A版高中数学选修2-2：定积分的概念教学内容
求和:求出n个小矩形面积之和，作为曲边梯
n
形面积S的近似值，即S Sn i1
1 f i 1 n n
n
由 Sn
i 1
1 f i 1 n n
n
1
i
1
2
i1 n n
1
0
1
1
2
1
2
2
1
n
1
2
n n n n n n n
1 n3
n
1n2n
1
0.8
0.6
0.4
f(x) = x2
0.2
01
n
0.2
2 3 4 0.5 nn n
i 1 i nn
f (i 1) n
1 n
A
1
f(i) n
f (i 1) n
f(i) n
1 n
1 n
1.5
2
0.4
1.4
以第一种方1.2法为例，可把曲边梯形分割成n个小矩形
1
0.8
0.6
0.4
f(x) = x2
0.2
0
0.5
1
0.2
当分割的小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之 1.4
和与曲边梯形的面积有什么关系
1.2
1
0.8
0.6
n = 10.00
0.4
f(x) = x2
0.2
0
0.5
1
0.2
当分割的1.4小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之 和与曲边梯形的面积有什么关系
1.2
1
0.8
0.6
n = 20.00
即S
曲边梯形面积及汽车行驶的路程
曲边梯形面积与汽车行驶路程的未来发展
随着科技的不断进步和人们对环保的日益重视，未来汽车行业将更加注重节能减排和可持续发展。曲 边梯形面积的计算可以帮助设计师更好地理解汽车的能耗和排放情况，从而优化设计，降低对环境的 影响。
的长度和方向。
在某些情况下，曲边梯形面积 的大小可能会影响汽车行驶的 路程长度，例如在弯曲的道路
或坡道行驶时。
曲边梯形面积对汽车行驶路程的影响
在弯曲的道路中，曲边梯形面积的大小会影响汽车行驶的路程长度。
当道路弯曲时，汽车需要沿着曲线路径行驶，曲边梯形面积的大小决定了曲线的长 度，进而影响汽车行驶的路程长度。
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曲边梯形面积还可以用于评估汽车内部空间布局的合理性。通过计算曲边梯形面 积，可以确定车内座椅、方向盘等部件的合理位置，以提高乘客的舒适度和驾驶 安全性。
曲边梯形面积在汽车行驶路程规划中的应用
在汽车行驶路程规划中，曲边梯形面积可以帮助驾驶员更好 地理解行驶路线的复杂性和行驶难度。例如，在山区行驶时 ，曲边梯形面积可以用于评估道路的陡峭程度和弯道数量， 从而帮助驾驶员选择合适的行驶路线和驾驶方式。
实际应用
在日常生活中，可以根据给定的速度 和时间，计算汽车行驶的路程；或者 根据已知的路程和时间，计算汽车的 速度。
不同行驶状态下的路程计算
变速行驶
变速行驶时，汽车的速度会发生变化，因此需要分段计算路程， 然后累加得到总路程。
曲线行驶
曲线行驶时，需要将曲线分成若干段直线，然后分别计算每段直线 的路程，最后将各段路程相加得到总路程。
定积分的概念(一)
探究展示（一）三角形面积的算法 设△ABC的底边AB＝a，AB边上的高CD＝h，将CD分成n等 分，过每个分点按如图所示作n－1个矩形，则 (1)从下到上各矩形的长分别为多少？宽为多少？ (2)这n－1个矩形的面积之和Sn－1等于多少？ C (3)随着n的增大，Sn－1与△ABC的面积愈 接近，当n趋向于无穷大时，Sn－1的极限 为多少？由此可得什么结论？
4 4 解之得 m 又 m 0 所以 m 的取值范围为 , 0 . 3 3
1:已知函数f(x)=ax3+bx2,曲线y=f(x)过点P(-1,2), 且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直. (1)求a、b的值； (2)若f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求m的取值 范围. f ( x) 3ax2 2bx, 解:(1) f (1) 2 ab 2 a 1 . 由题意得: f (1) 3 3a 2b 3 b 3 f ( x) 3 x 2 6 x 3 x( x 2) 0 ,解得x>0或x<-2. (2)
2 2 f ( x ) 在 ,1 单调递减,在 1 ,1 单调递增,在 (1, ) 上单调递减. （II） m m
2 2 1 2 g(1) 0, 1 2 0, （III）设 g ( x ) x 2(1 ) x ,所以 m m m m g(1) 0. 1 0.
作业：预习 定积分的概念（理解定积分的几何 意义，能用定义求简单的定积分）
1.已知函数f(x)=ax3+bx2,曲线y=f(x)过点P(-1,2),且在点P 处的切线恰好与直线x-3y=0垂直. (1)求a、b的值； (2)若f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求m的取值范围.
定积分的概念教案
定积分的概念教案课题：定积分的概念研究目标及重、难点：一、教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景。
2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分。
3.理解掌握定积分的几何意义。
二、教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义。
教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义。
教学流程：一、复：1.回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限（逼近）2.对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点。
二、新课探析：1.定积分的概念：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点一般地将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间长度为Δx，取一点ξi（i=1,2.n）在每个小区间[x(i-1),xi]上任取一点ξi，作和式：Sn=∑f(ξi)Δx，当上述和式Sn无限趋近于常数S，即S=limSn（n→∞）时，上述常数S称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。
记为：S=∫baf(x)dx，其中∫为积分号，b为积分上限，a为积分下限，f(x)为被积函数，x为积分变量，[a,b]为积分区间，∫f(x)dx为被积式。
说明：1）定积分不是Sn。
2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n等分区间[a,b]；②近似代替：取点ξi∈[xi-1,xi]；③求和：∑f(ξi)Δx；④取极限：∫f(x)dx=lim∑f(ξi)Δx（n→∞）。
3）曲边图形面积：S=∫f(x)dx。
2.定积分的几何意义：从几何上看，如果在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，则定积分∫f(x)dx表示由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和y=f(x)所围成的曲边梯形的面积，如图中的阴影部分。
另外，定积分还可以表示变速运动路程S=∫bta2v(t)dt和变力做功W=∫btaF(r)dr的大小。
定积分的概念
小曲边梯形的曲边.这样，在区间 [n i 1上，n， i用]
nn
小矩形面积ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部小范围
内“以直代曲”，则有ΔSi≈ΔSi′=
f( n i 1 n i )x nn
n2
n i 1n i
1 n
n
i
n
1n
i
(i
1，2，，n).
(3)求和
小曲边梯形的面积和Sn=
n
Si
n
Si
i1
i1
n
i1
n
i
n
1
n
i
n
n
n
1
n
n
1n
2
n
n
n
1n
n
n( 1 1 1 1 1 1 )
n n 1 n 1 n 2
n n 1 n n
n( 1 1 ) 1 . n 2n 2
从而得到S的近似值S≈Sn=
1 2
.
(4)取极限
分别将区间[1，2]等分成8，16，20，…等份时，
【对点训练】 1.在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi+1]上 的近似值等于 ( ) A.只能是左端点的函数值f(xi) B.只能是右端点的函数值f(xi+1)
C.可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈ [xi，xi+1]) D.以上答案均不正确 【解析】选C.由求曲边梯形面积的“近似代替”知， C正确.
【解题指南】利用曲边梯形面积的求法去判断.
【解析】由曲边梯形面积的求法知只有当n无穷大时 求出的矩形的面积和才是曲边梯形的面积，故结果与 小区间上的取值无关，只有④正确，对于③当n很大 时，并未点明有多大，应该是无穷大时Sn对应的极限 值. 答案:④
定积分的概念(包括曲边梯形的面积,汽车行驶的路程,定积分的概念)
定积分的概念〔包括曲边梯形的面积，汽车行驶的路程，定积分的概念〕学校 :___________ 姓名： ___________班级： ___________考号： ___________评卷人 得分一、选择题1．在“近似代替〞中，函数 f x 在区间 x i , x i 1 上的近似值等于 ( ) A ．只能是左端点的函数值 f x i B ．只能是右端点的函数值f x i 1C ．可以是该区间内任一点的函数值 fiix i , x i 1D ．以上答案均不正确2．求由抛物线 y 2x 2 与直线 x 0, xt t 0 , y 0 所围成的曲边梯形的面积时，将区间 [0,t 等分成n 个小区间，那么第i个区间为 ( )1A. i 1, iB.i , i1n nn nC.t i 1 tiD.t i2 ,t i 1n ,n nn2π3．cos xdx( )A ． 0B． π C ．－ π D． 2π4．在求由 xa, x b a b , y f x f x 0 及 y 0围成的曲边梯形的面积 S时，在区间 a, b 上等间隔地插入 n 1 个分点，分别过这些分点作 x 轴的垂线，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，以下说法中正确的选项是 ( ) A ． n 个小曲边梯形的面积和等于S B ． n 个小曲边梯形的面积和小于 S C ． n 个小曲边梯形的面积和大于 S． n个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定D5．以下命题不正确的选项是( )A ．假设 f x 是连续的奇函数，那么 a fx dx 0aC f x a,b b x dx0在上且恒正，f．假设aD．假设f x在 a,bbx dx0， f x在 a,b上且f上恒正a6．函数f x在区a, b上，用分点a x0x1x i x i1x n b ，把区a, b 等分成n个小区，在每个小区x i 1, x i上任取一点i i1,2,, n ，nx 小区的度)，那么S n的大小(作和式 S ni 1f i x (其中)A. 与f x和区a,b 有关，与分点的个数n 和i的取法无关B. 与f x和区a,b 以及分点的个数n 有关，与i 的取法无关C. 与f x和区a,b 以及分点的个数n ，i的取法都有关D. 与f x和区a,b 以及i 的取法有关，与分点的个数n 无关7．做速直运的物体的速度足v t t2，物体在 0 t a 内的路程9，a 的( )A． 1B ． 2 C． 3 D ． 48．汽以速度v 3t 2 m / s 做直运，在第1s 到第 2s 的 1s 内的路程( )卷人得分二、填空9．求由曲y 1x2与直 x 1,x2, y0 所成的平面形的面，把区5 2等分，面的近似 ( 取每个小区的左端点) 是 ________．2x2 dx ＝____________.10．利用定分的几何意，算：4111． y＝ f(x)区 [0,1] 上的函数，且恒有0≤f(x) ≤1，可以用随机模方法近似算分1x ，x ，⋯，f x dx .先生两(每N个)区[0,1]上的均匀随机数12x N和 y1，y2，⋯，y N，由此得到 N 个点 (x i，y i )(i ＝ 1,2 ，⋯，N)．再数出其中足y i≤f(x i )(i ＝ 1,2 ，⋯，N)的点数 N，那么由随机模方法可得分1 f x dx 的近似________．1πππ32 x2dx＝π，求以下定积分：12．2sin xdx＝πsin xdx＝ 1，2024ππsin x 3x2dx .(1)sin xdx ；(2)20013．汽车以速度 v 做匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程 s＝ vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为 v(t)＝ t2＋ 2( 单位： km/h) ，那么它在1≤t ≤2( 单位：h)这段时间行驶的路程是多少？14．求由直线 x＝ 1、 x＝ 2、 y＝ 0 及曲线y 1x2围成的图形的面积 S.参考答案【答案】 C【解析】由求曲边梯形面积的“近似代替〞知，可以用区间内的任一点的函数值来代替，我们常选用两个端点的函数值来代替，应选 C.考点：定积分的概念、近似替代.【答案】 D【解析】在0,t 上等间隔插入(n－1)个分点，把区间 0,t 等分成n个小区间，每个小区间t i 2t i1的长度均为t，故第 i 1个区间为,n ，应选 D.n n考点：定积分的概念、分割 .【答案】 A【解析】作出[0,2π] 上 y＝ cosx 的图象如图，由y＝ cosx 图象的对称性和定积分的几何意x 轴上方和下方局部的面积相等，积分值符号相反，故2 π0.义知，阴影局部在cos xdx应选 A.考点：定积分的几何意义 .【答案】 A【解析】 n 个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为 S ，∴A正确，B， C， D 错误，应选 A.考点：积分求曲边梯形的面积 .【答案】 D【解析】对于 A：因为f x是奇函数，所以图象关于原点对称，所以 x 轴上方的面积与 x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以 A 正确；对于 B：因为f x 是偶函数，所以图象关于y 轴对称，故图象都在 x 轴下方(或上方)且面积相等，故B正确；C显然正确；对于D：f x 也可以小于 0，但必须有大于0 的局部，且f x0 的曲线围成的面积比 f x 0 的曲线围成的面积大．考点：定积分的几何意义 .6． C【解析】由 S n的求法可知 S n的大小与f x和区间a, b 以及分点的个数n ，i的取法都有关 .考点：定积分的概念 .7． C【解析】将区间0,a 均分成 n 个小区间，记第 a i1 aii 个区间为,i 1,2, , n ，nn此 区 间 长 为a2， 用 小 矩 形 面 积ai a近 似 代 替 相 应 的 小 曲 边 梯 形 的 面 积 ， 那么ni 1nnn23n 2a3aia a 3 12 221 111 近似地等于速度曲线 v t t 2n nn3 n2n与直线 t ＝0，t ＝ a ，t 轴围成的曲边梯形的面积．依题意得lima 31 11 19 ，n3n2n∴a 3 9, 解得 a ＝ 3.3考点：定积分的概念 . 8． B【解析】将区间1,2 分成 n 等分，并取每个小区间左端点的速度近似代替，那么t= 1 ， v( ξi 1 i 1 3 ) ≈v(1+)=3(1+)+2=i 1 +5.n innnn所以 s ni 13 i 1 5 1 3 0 1 2n 15n1 nn nn3 n n 13 1 5 . 所以 s lim s n3 2515 6.5 m .n22nn2考点：定积分的概念 .9．【解析】将区间5 等分所得的小区间为1, 6 , 6 , 7 , 7,8, 8 , 9 , 9, 2 ，55 5 55 5 5 51 36 4964 811 255于是所求平面图形的面积近似等于 12525 2510 251025考点：曲边梯形面积的近似值.【答案】2π33 2【解析】由定积分的几何意义知，所求积分是图中阴影局部的面积．易知 AB ＝ 3 ，∠ AOB ＝π，∴ S ＝ 1 ×4π －1×1×3 ＝2π3 .答案第 2 页，总 5 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
全国通用版版高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程学案新人
1．5.1 曲边梯形的面积 1．5.2 汽车行驶的路程学习目标 1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．知识点一曲边梯形的面积思考1 如何计算下列两图形的面积？答案①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．思考2 如图所示的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答案已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．梳理曲边梯形的概念及面积求法(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．(2)求曲边梯形面积的方法把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形．对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限．知识点二 求变速直线运动的(位移)路程一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为v ＝v (t )，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s .1．求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路程．( × ) 2．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值，只能用⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2近似代替．( × )3．利用求和符号计算∑i ＝14i (i ＋1)＝40.( √ )类型一 求曲边梯形的面积例1 求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1所围成的曲边梯形的面积．⎣⎢⎡⎦⎥⎤参考公式12＋22＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲线梯形的面积问题 解 令f (x )＝x 2＋1. (1)分割将区间[0,2]n 等分，分点依次为x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4n，…，x n －1＝2(n －1)n，x n ＝2.第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2i －2n ，2i n (i ＝1,2，…，n )，每个区间长度为Δx ＝2i n －2i －2n ＝2n .(2)近似代替、求和取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )，S n ＝∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n ·Δx ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2i n 2＋1·2n ＝8n 3∑i ＝1ni 2＋2＝8n3(12＋22＋…＋n 2)＋2＝8n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋2 ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋3n ＋1n 2＋2.(3)取极限S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤43⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋3n ＋1n 2＋2＝143，即所求曲边梯形的面积为143.反思与感悟 求曲边梯形的面积 (1)思想：以直代曲．(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限． (3)关键：近似代替．(4)结果：分割越细，面积越精确． (5)求和时可用一些常见的求和公式，如 1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6，13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22.跟踪训练1 求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 2所围成的图形的面积． 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 解 (1)分割将区间[0,1]等分为n 个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ，2n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ，3n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，1，其中i ＝1,2，…，n ，每个小区间的长度为 Δx ＝i n －i －1n ＝1n.过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n . (2)近似代替 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )上，以i －1n 处的函数值⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2为高，小区间的长度Δx ＝1n 为底边的小矩形的面积作为第i 个小曲边梯形的面积，即ΔS i ≈⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n.(3)求和∑i ＝1nΔS i ≈∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n ＝0·1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2·1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2·1n ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n 2·1n ＝1n 3[12＋22＋…＋(n －1)2]＝13－12n ＋16n 2. (4)取极限曲边梯形的面积S ＝lim n →∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋16n 2＝13.类型二 求变速运动的路程例2 当汽车以速度v 做匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程s ＝vt .如果汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝t 2＋2(单位：km/h)，那么它在1≤t ≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？ 考点 变速运动的路程问题 题点 变速运动的路程问题解 将区间[1,2]等分成n 个小区间， 第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋in . 所以Δs i ＝v ⎝⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ·1n. s n ＝∑ni ＝1v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n 1n ＝1n ∑n i ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n 2＋2 ＝1n ∑ni ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(i －1)2n 2＋2(i －1)n ＋3 ＝1n ⎩⎨⎧ 3n ＋1n2[02＋12＋22＋…＋(n －1)2]＋⎭⎬⎫1n[0＋2＋4＋6＋…＋2(n －1)]＝3＋(n －1)(2n －1)6n 2＋n －1n. s ＝lim n →∞ s n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋(n －1)(2n －1)6n 2＋n －1n ＝133. 所以这段时间行驶的路程为133km. 引申探究本例中求小曲边梯形面积时若用另一端点值作为高，试求出行驶路程，比较两次求出的结果是否一样？解 将区间[1,2]等分成n 个小区间，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋in . 所以Δs i ＝v ⎝⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n.s n ＝∑ni ＝1v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 1n＝3＋1n 3[12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2]＋1n2[2＋4＋6＋…＋2(n －1)＋2n ]＝3＋(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n. s ＝lim n →∞ s n ＝lim n →∞⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋(n ＋1)n ＝133. 所以这段时间行驶的路程为133km. 所以分别用小区间的两个端点求出的行驶路程是相同的．反思与感悟 求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解．求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速直线运动的时间区间．跟踪训练2 一辆汽车在直线形公路上做变速行驶，汽车在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋5(单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)． 考点 变速运动的路程问题 题点 变速运动的路程问题解 (1)分割：在区间[0,2]上等间隔插入n －1个点，将区间分成n 个小区间，记第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n (i ＝1,2，…，n )，Δt ＝2n .则汽车在时间段⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ，4n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(n －1)n ，2n n 上行驶的路程分别记为：Δs 1，Δs 2，…，Δs i ，…，Δs n ，有s n ＝∑i ＝1nΔs i .(2)近似代替：取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )，Δs i ≈v ⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n ·Δt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n2＋5·2n＝－4i 2n 2·2n＋10n(i ＝1,2，…，n )．(3)求和：s n ＝∑i ＝1nΔs i ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫－4i 2n 2·2n ＋10n＝－8·13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋10.(4)取极限：s ＝lim n →∞s n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－8·13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋10＝223.1．把区间[1,3] n 等分，所得n 个小区间的长度均为( ) A.1n B.2n C.3n D.12n 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 B解析 区间[1,3]的长度为2，故n 等分后，每个小区间的长度均为2n.2．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均正确考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 C3．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为( )A.13B.12 C ．1 D.32 考点 变速运动的路程问题 题点 变速运动的路程问题 答案 B4.∑i ＝1ni n＝________.考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求和符号的表示答案n ＋12解析∑i ＝1ni n ＝1n (1＋2＋…＋n )＝1n ·n (n ＋1)2＝n ＋12. 5．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________． 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 1.02解析 将区间5等分所得的小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，65，⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，75，⎣⎢⎡⎦⎥⎤75，85，⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，95，⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，2， 于是所求平面图形的面积近似等于110⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3625＋4925＋6425＋8125＝110×25525＝1.02.求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤 (1)分割：n 等分区间[a ，b ]； (2)近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]；(3)求和：∑i ＝1nf (ξi )·b －an； (4)取极限：s ＝lim n →∞∑i ＝1nf (ξi )·b －an. “近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)．一、选择题1．和式∑i ＝15(x i ＋1)可表示为( )A ．(x 1＋1)＋(x 5＋1)B ．x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋1C ．x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋5D ．(x 1＋1)(x 2＋1)…(x 5＋1) 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求和符号的表示 答案 C解析∑i ＝15(x i ＋1)＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＋(x 3＋1)＋(x 4＋1)＋(x 5＋1)＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋5.2．在求由x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝f (x ) (f (x )≥0)及y ＝0围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b ]上等间隔地插入(n －1)个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是( ) ①n 个小曲边梯形的面积和等于S ； ②n 个小曲边梯形的面积和小于S ； ③n 个小曲边梯形的面积和大于S ；④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定． A ．1 B ．2 C ．3D ．4考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 A解析 n 个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S . ∴①正确，②③④错误．3．在求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边三角形的面积时，把区间[0,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i nB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i n ，i ＋1n C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2i n，2(i ＋1)n考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 C解析 将区间[0,2]等分为n 个小区间后，每个小区间的长度为2n，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n .4．在求由曲线y ＝1x与直线x ＝1，x ＝3，y ＝0所围成图形的面积时，若将区间n 等分，并用每个区间的右端点的函数值近似代替每个小曲边梯形的高，则第i 个小曲边梯形的面积ΔS i 约等于( ) A.2n ＋2i B.2n ＋2i －2C.2n (n ＋2i )D.1n ＋2i考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 A解析 每个小区间的长度为2n，第i 个小曲边梯形的高为11＋2i n， ∴第i 个小曲边梯形的面积为2n ×11＋2i n＝2n ＋2i .5．在等分区间的情况下f (x )＝11＋x 2(x ∈[0,2])及x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( )A.lim n →∞ ∑ni ＝1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2·2n B.lim n →∞ ∑n i ＝1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2·2n C.lim n →∞ ∑ni ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋i 2·1nD.lim n →∞ ∑ni ＝1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2·n 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 B解析 ∵Δx ＝2－0n ＝2n，∴和式为∑ni ＝1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2·2n .故选B.6．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( ) A.130 B.125 C.127D.19考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 D解析 将区间[0,1]三等分为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23，⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1，各小矩形的面积和为S ＝03×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＝19. 7．设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝∑i ＝1nf(ξi )Δx (其中Δx 为小区间的长度)，那么S n 的大小( ) A ．与f (x )和区间[a ，b ]有关，与分点的个数n 和ξi 的取法无关 B ．与f (x )和区间[a ，b ]的分点的个数n 有关，与ξi 的取法无关 C ．与f (x )和区间[a ，b ]的分点的个数n ，ξi 的取法都有关 D ．与f (x )和区间[a ，b ]的ξi 的取法有关，与分点的个数n 无关 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 C解析 用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝∑i ＝1nf (ξi )·Δx .若对和式求极限，则可以得到函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0围成的区域的面积，在求极限之前，和式的大小与函数式、分点的个数和变量的取法都有关．8.lim n →∞∑ni ＝1⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫15i n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫5n 的含义可以是( )A ．求由直线x ＝1，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积B ．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0，y ＝15x 围成的图形的面积C ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积D ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0及曲线y ＝5x围成的图形的面积 考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题答案 C解析 将区间[0,5]n 等分，则每一区间的长度为5n ，各区间右端点对应函数值为y ＝15i n， 因此∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫15i n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫5n 可以表示由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0和y ＝3x 围成的图形的面积的近似值．9．若直线y ＝2x ＋1与直线x ＝0，x ＝m ，y ＝0围成图形的面积为6，则正数m 等于( )A ．1B ．3C ．2D ．4 考点 求曲边梯形的面积问题题点 由曲边梯形的面积求参数答案 C解析 将区间[0，m ]n 等分，每个区间长为m n ，区间左端点函数值y ＝2·mi n ＋1＝2mi ＋n n， 作和S n ＝∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎪⎫2mi ＋n n ·m n＝m ＋m n ·2m n(1＋2＋3＋…＋n ) ＝m ＋2m 2n 2·n (n ＋1)2 ＝m ＋m 2(n ＋1)n， ∵S ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋m 2(n ＋1)n ＝6， ∴m ＝2.故选C.二、填空题10．在区间[0,8]上插入9个等分点后，则所分的小区间长度为________，第5个小区间是________．考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题答案 45 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤165，4 解析 在区间[0,8]上插入9个等分点后，把区间[0,8]10等分，每个小区间的长度为810＝45，第5个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤165，4. 11．已知某物体运动的速度v ＝t ，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．考点 变速运动的路程问题题点 变速运动的路程问题答案 55解析 ∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n (n ＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.∴物体运动的路程近似值s ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.12．当n 很大时，下列可以代替函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值有________个． ①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ；②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n ；③f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ；④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n －12n . 考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题答案 3解析 因为当n 很大时，区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的任意的取值都可以代替，又因为1n ∉⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，i －1n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n，i n ，i n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，i n －12n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，故能代替的有②③④. 三、解答题13．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 2＋2x 围成的图形的面积．考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题解 将区间[0,1]n 等分，每个区间长度为1n ，区间右端点函数值y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2＋2·i n ＝i 2n 2＋2i n. 作和S n ＝∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i 2n 2＋2i n 1n ＝∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i 2n 3＋2i n 2 ＝1n 3∑i ＝1n i 2＋2n 2∑i ＝1n i ＝1n 3·16n (n ＋1)(2n ＋1)＋2n 2·n (n ＋1)2＝(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n ＝8n 2＋9n ＋16n 2，∴所求面积S ＝lim n →∞ 8n 2＋9n ＋16n 2 ＝lim n →∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋32n ＋16n 2＝43. 四、探究与拓展14．设函数f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b ]上的面积．已知函数y ＝sin nx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，πn (n ∈N *)上的面积为2n ，则y ＝sin 3x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的面积为________．考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题答案 43解析 由于y ＝sin nx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，πn (n ∈N *)上的面积为2n， 则y ＝sin 3x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的面积为23. 而y ＝sin 3x 的周期为2π3， 所以y ＝sin 3x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的面积为23×2＝43. 15．有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t 的速度为v (t )＝3t 2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)是多少？考点 变速运动的路程问题题点 变速运动的路程问题解 (1)分割在时间区间[0,2]上等间隔地插入n －1个分点，将它分成n 个小区间，记第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δt ＝2i n －2(i －1)n ＝2n .每个时间段上行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )，则显然有s ＝∑i ＝1nΔs i .(2)近似代替取ξi ＝2i n(i ＝1,2，…，n )，用小矩形的面积Δs ′i 近似地代替Δs i ，于是 Δs i ≈Δs ′i ＝v ⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n ·Δt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2＋2·2n＝24i 2n 3＋4n (i ＝1,2，…，n )．(3)求和s n ＝∑i ＝1n Δs ′i ＝∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫24i 2n 3＋4n ＝24n 3(12＋22＋…＋n 2)＋4＝24n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋4＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋4.(4)取极限s ＝lim n →∞ s n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋4＝8＋4＝12. 所以这段时间内行驶的路程为12 km.。
人教版高中数学选修2-2学案：第一章1.51.5.1-1.5.2曲边梯形的面积汽车行驶的路程
1．曲边梯形的面积汽车行驶的行程预习课本P38～ 44，思虑并达成以下问题(1)连续函数与曲边梯形的观点分别是什么？(2)曲边梯形的面积和汽车行驶行程的求解步骤是什么？[新知初探 ]1．连续函数假如函数y＝ f (x)在某个区间I 上的图象是一条连续不停的曲线，那么就把它称为区间I 上的连续函数．2．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线 x＝ a， x＝b( a≠b)， y＝ 0 和曲线 y＝ f (x)所围成的图形称为曲边梯形 (如图① )．(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：①切割：把区间[a，b]分红很多小区间，从而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)；②近似取代：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似取代小曲边梯形的面积，获得每个小曲边梯形面积的近似值(如图② )；③乞降：把以近似取代获得的每个小曲边梯形面积的近似值乞降；④取极限：当小曲边梯形的个数趋势无量时，各小曲边梯形的面积之和趋势一个定值，即为曲边梯形的面积．3．求变速直线运动的位移(行程 )假如物体作变速直线运动，速度函数为v＝ v(t)，那么也能够采纳切割、近似取代、求和、取极限的方法，求出它在 a ≤t ≤b 内所作的位移 s.[点睛 ] 当 n →＋ ∞ ，所得梯形的面 不是近似 ，而是真 ．[小 身手 ]1．判断 (正确的打 “√”， 的打 “×”)(1) 求汽 行 的行程 ，切割的区 表示汽 行 的行程． () (2) 当 n 很大 ，函数2i － 1 i上的 ，只好用i2近似取代． ()f(x)＝ x 在区 ， n nn4(3) m i ＝ i 2， m i ＝ 30.()i ＝1答案：(1) × (2) × (3) √2．将区 [1,3] 行 10 平分需插入 ________个分点，第三个区 是________．答案： 9 [1.4,1.6]3．做直 运 的物体的速度v ＝ 2t(m/s)， 物体在前 3 s 行家 的行程 ________ m.答案： 9求曲 梯形的面[典例 ] 求直 x ＝ 0，x ＝ 2，y ＝ 0 与曲 y ＝ x 2＋1 所 成的曲 梯形的面[参照公式12＋ 22＋⋯ ＋ n 2＝16n(n ＋ 1)(2n ＋ 1)]．[解 ] 令 f (x)＝ x 2＋ 1.(1) 切割：将区 [0,2]n 平分，分点挨次x 0＝ 0， x 1＝ 2， x 2＝ 4， ⋯ ， x n － 1＝n － ， x n ＝ 2.nn n第 i 个区 2i － 2 2in，n (i ＝ 1,2， ⋯ ， n)，每个区 度x ＝2i －2i － 2＝ 2.nnn(2) 近似取代、乞降：取 ＝ 2iξi n (i ＝ 1,2， ⋯ ，n)，S n ＝ n f 2i ·Δx ＝ n 2i 2 2n n ＋ 1 ·i ＝ 1 i ＝ 1n8ni 28222＝ 3＋ 2＝3 (1 ＋ 2 ＋ ⋯ ＋ n )＋ 2 nni ＝ 18 n n ＋n ＋＋ 2＝ 4 3 ＋ 1＝ 3 ·＋ 2 ＋ 2. n 6 n n3＝ 4 3 1(3) 取极限： ＝S n 2＋ ＋ 2 ＋ 2S3 n n1414 ＝ 3，即所求曲 梯形的面 3.求曲 梯形面(1) 思想：以直代曲．(2) 步 ：切割 →近似取代 → 乞降 → 取极限． (3) 关 ：近似取代．(4) 果：切割越 ，面 越精准．[活学活用 ]求由直x ＝ 1， x ＝ 2， y ＝ 0 及曲 y ＝ x 3 所 成的 形的面 ．33312提示： 1 ＋2 ＋ ⋯ ＋ n ＝ 2nn ＋解： ①切割．n ＋ 1 n ＋ 2 n ＋ n －，把区 [1,2]平分如 所示，用分点n，n ， ⋯ ，n成 n 个小区1， n ＋1 ， n ＋ 1， n ＋ 2 ，nnn⋯ ，n ＋ i －1， n ＋ i ， ⋯ ，nnn ＋n － ， 2 ，每个小区 的 度x ＝ n ＋ i － n ＋ i － 1＝1 (i ＝ 1,2,3，⋯ ， n)．nnnn各分点作 x 的垂 ，把曲 梯形 ABCD 切割成 n 个小曲 梯形， 它 的面 分 作 S 1，S 2， ⋯ ， S n.②近似取代．31各小区 的左端点ξi ，取以点 ξi 的 坐 ξi 一 ， 以小区x ＝ n 其 的小矩形面 ， 近似取代小曲 梯形面 ．3第 i 个小曲 梯形面 ， 能够近似地表示 S i ≈ξi ·Δx＝n ＋ i － 1 3·1(i ＝ 1,2,3， ⋯ ，n)．n n③乞降．因 每一个小矩形的面 都能够作 相 的小曲 梯形面 的近似 ，所以n 个小矩形面 的和就是曲 梯形ABCD 面 S 的近似 ，nnn ＋ i －1 3 1即 S ＝S i ≈n · .i ＝1i ＝1n④取极限．当分点数量越多， 即x 越小 ，和式的 就越靠近曲 梯形ABCD 的面 S.所以 n →∞，即 x → 0 ，和式的极限，就是所求的曲 梯形ABCD 的面 ．nn ＋ i － 1 3 1因n·i ＝1n1 n(n ＋ i － 1) 3＝ 4n i ＝ 1＝ 14 n [(n － 1)3＋ 3(n － 1)2i ＋ 3(n － 1)i 2＋ i 3] n i ＝ 113－ 1)2nn ＋ － 1) n12 2＝ 4[n(n － 1) ＋ 3(n·＋ 3(n··(n ＋ 1)·(2n ＋ 1)＋ n (n ＋ 1)]，n26 4所以 S ＝nn ＋ i －1 3 1n·i ＝ 1n31 15＝ 1＋2＋1＋4＝ 4 .求 速运 的行程6[典例 ] 一 汽 作 速直 运 ， 汽 在t 的速度 v(t)＝ t 2 ，求汽 在 t ＝ 1到 t＝ 2 段 内运 的行程 s.[解 ] (1)切割：把区 [1,2]平分红 n 个小区n ＋ i － 1 ， n ＋ i (i ＝ 1,2，⋯ ，n)，每个区n n 的 度t ＝ 1，每个 段行 的行程s i (i ＝ 1,2， ⋯ ， n)．nn故行程和 s n ＝ s i .i ＝ 1n ＋ i －1(2) 近似取代： ξi ＝n(i ＝ 1,2， ⋯ ， n)，＋ － 1n21 n i·Δt ＝ 6·s i ≈v·nn ＋ i － 1n＝6n2n ＋ i －≈n ＋ i －6nn ＋ i (i ＝ 1,2,3， ⋯ ， n)．(3) 乞降： s n ＝n6nn ＋ i －n ＋ ii ＝ 11 － 1 ＋ 1 － 1 ＋ ⋯ ＋ 1 － 1 ＝ 6n n n ＋ ＋ ＋ － 2n1 n 1 n2 2n 11 1＝ 6n n－2n .(4) 取极限： s ＝ li n →∞m s n ＝ li n →∞m 6n 1－ 1＝3. n 2n求 速直 运 行程的方法求 速直 运 行程的 ，方法和步 似于求曲 梯形的面 ，用“以直代曲 ”“逼近 ”的思想求解．求解 程 ：切割、近似取代、乞降、取极限． 特 注意 速直 运的 区 ．[活学活用 ]已知一 点的运 速度 v(t)＝ 6t 2＋ 4( 位： m/s)，求 点开始运 后5 s 内通 的路程．解： (1)切割在 区[0,5] 上等 隔地插入n － 1 个点，将区 平分红n 个小区， 5，0 n5， 10，⋯，i － ，5i， ⋯ ，5n － 5， 5 ，n nnnn 此中，第 i(1≤i ≤n)个小区i －， 5i，nn其区 度5i － i － ＝ 5，nnn每个小 段内的行程s 1， s 2， ⋯ ， s n .(2) 近似取代依据 意可得第i(1 ≤i ≤n)个小 段内的行程i － 25i －220＋ .s i ＝ 6＋ 4 ·＝3n nnn(3) 乞降每个小 段内的行程之和ni －220S n ＝＋ 3i ＝1nn＝750[02＋ 12＋ 22＋ ⋯＋ (n － 1)2]＋ 203n750 1＝ 3 ·(n － 1)n(2n － 1)＋ 20 n 61252＝ n 2 (2n － 3n ＋ 1)＋ 20.(4) 取极限当 n →∞ ， S n 的极限 就是所求 点运 的行程，→∞ ＝n →∞ 1252＋20 ＝，＝ li 2n－ 3n ＋lim270sm Sn即 点运 的行程270 m.一 学 水平达51．和式(x i ＋ 1)可表示 ()i ＝1A ． (x 1＋ 1)＋ (x 5＋ 1)B ． x 1＋ x 2＋ x 3＋x 4＋ x 5＋ 1C ． x 1 ＋ x 2 ＋x 3＋ x 4＋ x 5＋ 5D ． (x 1＋ 1)(x 2＋ 1) ⋯(x 5＋ 1)5分析： C(x i ＋ 1)＝ (x 1＋ 1)＋ (x 2＋1)＋ (x 3＋ 1)＋ (x 4＋ 1)＋ (x 5＋ 1)＝ x 1＋ x 2＋ x 3＋ x 4i ＝1＋ x 5＋ 5.2．在求由 x ＝ a ，x ＝ b(a<b)，y ＝ f(x)( f(x) ≥ 0)及 y ＝ 0 成的曲 梯形的面S ，在区[a ， b]上等 隔地插入 n － 1 个分点，分 些分点作 x 的垂 ，把曲 梯形分红n个小曲 梯形，以下 法中正确的个数是()① n 个小曲 梯形的面 和等于 S ；② n 个小曲 梯形的面 和小于 S ；③ n 个小曲 梯形的面 和大于 S ；④ n 个小曲 梯形的面 和与 S 之 的大小关系没法确立A ．1个B ．2 个C ．3个D ．4 个分析：An 个小曲 梯形是所 曲 梯形等距离切割获得的，所以其面 和S.∴①正确，②③④ ，故A.3．在 “近似取代 ”中，函数 f( x)在区 [x i ， x i ＋ 1] 上的近似 等于 () A ．只好是左端点的函数 f(x i )B ．只好是右端点的函数 f(x i ＋1 )C ．能够是 区 内任一点的函数 ∈ [x ， x ＋1])f(ξi )( ξi i iD ．以上答案均不正确分析：选C 由求曲边梯形面积的 “近似取代 ”知， C 正确，故应选 C.4．在求由函数 1与直线 x ＝ 1，x ＝ 2，y ＝ 0 所围成的平面图形的面积时，把区间 [1,2]y ＝ x平分红 n 个小区间，则第 i 个小区间为 ()A. i － 1， iB. n ＋ i － 1， n ＋ in nn nC ． [i － 1， i]i ，i ＋ 1D. nn分析：选B把区间 [1,2]平分红 n 个小区间后，每个小区间的长度为1，且第 i 个小区n间的左端点不小于1，清除 A 、D ； C 明显错误；应选 B.5．函数 f(x)＝ x 2在区间 i － 1 ， i 上 ( )n nA ． f(x)的值变化很小B ． f(x)的值变化很大C ． f(x)的值不变化D ．当 n 很大时， f(x)的值变化很小分析：选D当 n 很大时，区间i － 1， i 的长度 1 愈来愈小， f(x)的值变化很小，应选n n nD.6.求由抛物线 f(x)＝ x 2，直线 x ＝ 0， x ＝ 1 以及 x 轴所围成的平面图形的面积时，若将区间[0,1] 5 平分，如下图，以小区间中点的纵坐标为高，则全部矩形的面积之和为__________ ．分析： S ＝15×1 2 3 2527292＝ 0.33. 10 ＋ 10 ＋ 10 ＋ 10 ＋ 10答案： 0.337．由直线 x ＝ 0，x ＝ 1，y ＝ 0 和曲线 y ＝ x 2＋ 2x 围成的图形的面积为 ________________．分析：将区间 [0,1]n 平分，每个区间长度为1，区间右端点函数值 y ＝i 2i i 2 2in ＋ 2·＝2nnn ＋ n .作 和 S n ＝ ni22i 1＝ ni22i＝ 1 n2 2n1 11) ＋22＋n n3＋n 23i ＋2i ＝3 × n(n ＋ 1)(2n ＋2i ＝1n i ＝1nn i ＝ 1ni ＝1n 6nn n ＋ ＝n ＋n ＋n ＋1＝8n 2 ＋ 9n ＋ 1×26n 2 ＋ n 6n 2 ，∴所求面积 S ＝8n 2 ＋ 9n ＋ 1 4 3 1 46n 2＝ 3＋ 2n ＋6n 2 ＝ 3.答案：438．汽 以 v ＝ (3t ＋ 2)m/s 做 速直 运 ，在第 1 s 到第 2 s 的行程是 ________．分析： 将 [1,2]n 平分，并取每个小区 的左端点的速度近似取代，t ＝ 1，nv(ξi )＝ v ＋ i － 1 ＝ 3 1 ＋ i － 1 ＋ 2＝ 3 (i － 1) ＋ 5.1 n n nn31所以 s n ＝i － 1n＋ 5 ·i ＝ 1n＝3 [0＋1＋2＋⋯ ＋n － 1 ]＋ 5n 1n ·n 3 n n －1 3 1 ＝ n2· 2＋ 5＝ 2 1－ n ＋ 5，所以 s ＝ s n ＝3＋ 5＝ 6.5 (m) ．2 答案： 6.5 m9. 求由抛物 y ＝ x 2 与直 y ＝ 4 所 成的 形的面 ．解：如 ，∵ y ＝ x 2 偶函数， 象对于 y称，∴所求 形的面y ＝ x 2(x ≥0)与直x ＝ 0， y ＝ 4 所 成的 形面S 暗影的 2 倍，下边求 S 暗影．y ＝ x 2，由 y ＝ 4， 得交点 (2,4) ．x ≥0，先求由直x ＝ 0， x ＝ 2， y ＝ 0 和曲 y ＝ x 2 成的 形的面 ．(1) 切割将区 [0,2]n 平分，x ＝2，取 ξ＝i － (i ＝ 1,2， ⋯ ， n)．nin(2) 近似取代、乞降ni －22S n ＝n·i ＝ 1n822222 ＝ 3[0＋ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ ⋯ ＋ (n － 1)]n＝81 13 1－ n 1－ 2n (3) 取极限8 1 1 8S ＝31－n 1－ 2n ＝ 3.∴ S 暗影＝ 2×4－ 8 16 323＝3 .∴2S暗影＝ 3 .即抛物 y ＝ x 2 与直 y ＝ 4 所 成的 形的面323.10．汽 做 速直 运 ，在 刻 t 的速度 ( 位：km/h)v(t)＝ t 2＋ 2，那么它在 1≤t ≤2(位： h) 段 行 的行程 多少？解： 将区 [1,2] 平分红 n 个小区 ，第i 个小区1＋ i － 1， 1＋ i (i ＝ 1,2， ⋯， n)．n n 第 i 个 区 的行程的近似1＝ v 1＋ i － 1 1Δξ≈Δξ′＝v(t)nnn＝ 3＋i －i － 2＋，n 2n 3nnn3＋ i －i －2于是 s n ＝Δξi ′＝＋n 2n 3i ＝1i ＝1n3 2·[0＋ 1＋ 2＋ ⋯ ＋ (n － 1)]＋122 22＝ n ·＋2 n3 [0 ＋1 ＋ 2 ＋ ⋯ ＋ (n － 1)]nn2· n － n＋ 1 n －nn －＝3＋ 223·6nn＝ 3＋ 1－ 1n ＋ 13 1－ 1n 1－ 2n 1.11 1 1 13所以 s ＝s n ＝3＋ 1－n ＋ 3 1－n 1－ 2n ＝ 3.13故 段 行 的行程3km.二能力达1． 函数 f(x)在区 [a ，b]上 ， 用分点 a ＝ x 0＜ x 1＜ ⋯ ＜ x i － 1＜ x i ＜ ⋯ ＜ x n ＝ b ，把区[a ， b]平分红 n 个小区 ，在每个小区 [x i － 1， x i ]上任取一点 ξi (i ＝1,2， ⋯ ， n)，作和式nS n ＝f(ξi ) x(此中 x 小区 的 度 )，那么 S n 的大小 ()i ＝ 1A ．与 f(x)和区 [a ， b]相关，与分点的个数 n 和 ξi 的取法没关B ．与 f(x)和区 [a ，b]的分点的个数 n 相关，与 ξi 的取法没关C ．与 f(x)和区 [a ， b]的分点的个数n ， ξi 的取法都相关D ．与 f(x)和区 [a ， b]的 ξi 的取法相关，与分点的个数 n 没关分析：C用分点 a ＝ x 0＜ x 1＜ ⋯＜ x i － 1＜ x i ＜ ⋯ ＜x n ＝ b 把区 [a ， b]平分红 n 个小区 ，在每个小区[x i －1， x i ]上任取一点 ξi (i ＝ 1,2， ⋯， n)，作和式 S n ＝nf (ξi ) ·Δx.若 和i ＝1式求极限， 能够获得函数 y ＝ f(x)的 象与直 x ＝ a ，x ＝ b ，y ＝ 0 成的地区的面 ，在求极限以前，和式的大小与函数式、分点的个数和 量的取法都相关．2． 于由直 x ＝ 1，y ＝0 和曲 y ＝ x 3 所 成的曲 三角形，把区3 平分， 曲三角形面 的近似(取每个区 的左端点)是 ( )11 A. 9B.251 1C. 27D.30分析： A将区 [0,1]三平分 0， 1 ，1，2，2， 1 ，各小矩形的面 和s 1＝33 333 1 1 3 12 3 1 10 ·＋3·＋3·＝ .333 9n15i 5 的含 能够是 ()3． li n →∞ mi ＝1n ·nA ．求由直 x ＝ 1， x ＝ 5， y ＝ 0， y ＝ 3x 成的 形的面B ．求由直 x ＝ 0， x ＝ 1， y ＝0， y ＝ 15x 成的 形的面C ．求由直 x ＝ 0， x ＝ 5， y ＝ 0， y ＝ 3x 成的 形的面D ．求由直5成的 形的面x ＝ 0， x ＝ 5， y ＝ 0 及曲 y ＝ x分析：C将区 [0,5]n 平分， 每一区 的 度5，各区 右端点 函数n15i y ＝ n ，所以 的近似 ．ni ＝115i 5n ·n能够表示由直x ＝ 0， x ＝ 5， y ＝ 0 和 y ＝ 3x 成的 形的面4．若做 速直 运 的物体 v(t)＝ t 2，在 0≤t ≤a 内 的行程9， a 的 ()A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4分析：C 将区 [0， a]分 等 的 n 个小区 ，第i － 1iai 个区(i ＝n a ，naia 2n，s n＝i ＝ 11,2，⋯ ，n)，取每个小区 的右端点的速度近似取代，t ＝n ，所以 v(t i )＝ nia 2 a 33a 22 a n n ＋n·＝ 3 (1＋ 2＋ ⋯＋ n ) ＝n na311 a 361＋n 2＋ n ＝ 3 ＝ 9，得 a ＝ 3.故n ＋3 1 16n 3 ＝a1＋ 2＋ ，于是 s ＝ s n ＝6 n nC.5．已知某物体运 的速度 v ＝ t ，t ∈ [0,10]，若把区10 平分，取每个小区 右端点的函数 近似小矩形的高， 物体运 的行程近似________．分析： ∵把区 [0,10]10 平分后，每个小区 右端点 的函数n(n ＝ 1,2.⋯ ， 10)，每个小区 的 度1.∴物体运 的行程近似S ＝ 1×(1＋ 2＋ ⋯ ＋ 10)＝ 55.答案： 556.如 ，曲C ： y ＝ 2x (0 ≤x ≤ 2)两头分M ， N ，且 NA ⊥ x于点 A ，把 段 OA 分红 n 等份，以每一段 作矩形，使其与x平行的 的一个端点在曲C 上，另一端点在曲C 的下方，n个矩形的面 之和S n ，[(2n － 3)(n4－ 1)S n ]＝ __________.分析： 依 意可知从原点开始，矩形的高成等比数列，首1，公比 22， S n ＝ 2n n1－ 22n－ 32 ＋ 2 4＋ ⋯ ＋ 22n － 22n ＝ 2n →∞n＋ ＝ · · 所以 －－n ＝(12nnn)n2n1－n.lim [(2n3)( 41)S ]1－ 2n4n －n 4－2－ 3n ·＝ 12.1－ n4答案： 127．汽 行 的速度 v ＝ t 2，求汽 在 0≤t ≤1 段 行家 的行程s.解： (1)切割将区 [0,1]平分 n 个小区0，1， 1， 2 ， ⋯ ，i － 1， i， ⋯ ，n － 1， 1 ，n n nnnn每个小区 的 度t ＝i－ i － 1＝ 1.nnn(2) 近似取代－ 1 i i － 1－1－i的速度 v ii 1在区 n ， n (i ＝ 1,2，⋯ ，n)上，汽 近似地看作以 刻n n ＝n2 作匀速行 ，i － 1 2 1在此区 上汽 行 的行程·.nn(3) 乞降在全部小区 上，汽 行 的行程和s n ＝ 0 2 1＋12 12 2 1 ＋ ⋯ ＋ n － 1 2 1 ＝ 1 [12 2 ＋ ⋯ ＋ (n － 1) 2] ＝ 1 ×n × ＋ n × n × n 3 ＋ 2 3nnn nn n －nn －＝111－ 1×631－n 2n.(4) 取极限s ＝s n ＝11 1 1汽 行 的行程3 1－ n 1－ 2n ＝ 3.8． 簧在拉伸的 程中，力与伸 量成正比，即力F (x)＝ kx(k 常数， x 是伸 量 )，求将 簧从均衡地点拉b 所做的功．解： 将物体用常力 F 沿力的方向拖 距离x ， 所做的功 W ＝ F ·x.(1) 切割在区 [0， b]上等 隔地插入n － 1 个点，将区 [0， b]平分红 n 个小区 ：bb 2bn －b 0， n ， n ， n ⋯ ， n， b 第 i 个区i －b·n ，i b＝ 1,2， ⋯ ， n)，n (i 其 度·i －bx ＝i b－＝ b.n n n把在分段 0， b ， b ， 2b，⋯ ，n －b， b 上所做的功分 作：W 1， W 2，⋯ ，n n nnW n .(2) 近似取代取各小区 的左端点函数 作 小矩形的高，由条件知：W ≈i －b ·Δi Fxni －b b＝ k ·n·(i ＝ 1,2， ⋯， n)．n(3) 乞降nni － b bW n ＝W i ≈ k ·n ·i ＝1i ＝1nkb 2＝ n 2 [0＋ 1＋ 2＋⋯ ＋ (n － 1)]kb 2 n n －kb 2 1＝n 2 ×2＝2 1－n .W 的近似 W ≈W n ＝ kb21从而获得 2 1－n .(4) 取极限n22 kb1kbW＝W n＝i＝ 1W i＝21－n＝ 2.所以将弹簧从均衡地点拉长 b 所做的功为kb22.。
最新人教版高中数学选修2-2第一章《定积分的概念》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、曲边梯形的面积 1.曲边梯形我们把直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形. 2.曲边梯形面积的算法把区间［a,b ］分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形,每个小曲边梯形“以直代曲”,即用矩形的面积近似替代小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值,对这些近似值求和,就得到曲边梯形面积的近似值.方法点拨 拆分越来越细,近似程度就会越来越好,即用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积. 3.求曲边梯形面积的步骤(1)分割:将［a,b ］等分成n 个小区间:［a,a+n a b -］,［a+n a b -,a+na b )(2-］,…,［a+n a b n ))(1(--,b ］.第i 个区间为［a+n a b i ))(1(--,a+na b i )(-］.分别过n 个小区间的端点作y 轴的平行线将曲边梯形分成n 个小曲边梯形,每个小曲边梯形的面积记作ΔS 1、ΔS 2,…,ΔS n .S=∑=∆ni iS1.(2)近似代替:当Δx 很小时,可用小矩形的面积ΔS i ′近似地代替ΔS i , 即ΔS i ≈ΔS i ′=f ［a+na b i ))(1(--］Δx.(3)求和:S n =∑='∆ni iS 1.(4)取极限:S=∑=∞→∞→'∆=ni i n nn S S1lim lim .深化升华 ①近似代替时,用第i 个小区间左端点对应的函数值与Δx 相乘求出的为不足近似值.用右端点对应的函数值与Δx 相乘求出的为过剩近似值;当n→∞时这两种取法求得的曲面面积是相同的,实质上只要取区间［a+n a b i ))(1(--,a+na b i )(-］内任何一点对应的函数值计算小曲面的面积,只要n→∞,求得的结果都一样. ②求和时首先可提公因式n1,再将和进行处理,算出S n . ③取极限时注意n→∞. 二、汽车行驶的路程一般地,如果物体做变速直线运动,速度函数为v=v(t),那么我们可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法,求出它在a≤t≤b 内所做的位移s.方法点拨 其解决的方法与求曲边梯形面积类似,我们采取“以不变代变”的方法,把求变速直线运动的路程问题,化归为求匀速直线运动的路程问题. 三、定积分的概念 1.定积分的概念如果函数f(x)在区间［a,b ］上连续,用分点a=x 0<x 1<…<x i -1<x i <…<x n =b,将区间［a,b ］等分成n 个小区间,在每个小区间［x i -1,x i ］上任取一点ξi (i=1,2,…,n),作和式x=∑∑==-=∆ni n i inab x f 11)(εf(ξi ),当n→∞时,上述和式无限接近于某个常数,这个常数叫做函数f(x)在区间［a,b ］上的定积分,记作dx x f ba⎰)(,即∑⎰=-=ni i baf nab dx x f 1)()(ε.这里a 与b 分别叫做积分下限和积分上限,区间［a,b ］叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积式.疑点突破 ①定积分是一种“和”的极限.在定积分的定义中,含着分割、近似代替、求和、取极限这种解决问题的思想.这种思想方法来源于“计算底在区间［a,b ］上,高为y=f(x)的曲边梯形的面积”等问题.②定积分上限和下限之间的关系.在定义中假设a<b.当a=b 或a>b 时,不难验证dx x f aa⎰)(=0,dx x f b a⎰)(=dx x f ab⎰-)(.③定积分的值仅与被积函数f(x)及积分区间［a,b ］有关,与积分变量用什么字母无关. ④定积分dx x f ba⎰)(存在的必要条件是函数f(x)在区间［a,b ］上有界.因此,当函数f(x)在区间［a,b ］上无界时,定积分dx x f ba⎰)(是不存在的.⑤定积分是一个常数.因为定积分是一种“和”的极限值,所以是一个常数,因此,(dx x f ba⎰)()′=0,d dx x f ba⎰)(=0.2.定积分的几何意义图1-5-1当函数f(x)在区间［a,b ］上恒为正时,定积分dx x f ba⎰)(的几何意义是以曲线f(x)为曲边的曲边梯形的面积.一般情况下(如图1-5-1),定积分dx x f b a⎰)(的几何意义是介于x 轴、函数f(x)的图象以及直线x=a 、x=b 之间各部分面积的代数和,在x 轴上方的面积取正号;在x 轴下方的面积取负号. 3.定积分的性质由定积分的定义,可得到定积分的如下性质: (1)dx x kf ba ⎰)(=k dx x f ba⎰)((k 为常数).(2)⎰⎰⎰±=±ba b abadx x f dx x f dx x f x f )()()]()([2121.(3)⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()(深化升华 不论a,b,c 三点的相互位置如何,恒有⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()(.这一性质表明定积分对于积分区间具有可加性. 知识拓展 性质4.若在区间［a,b ］上,f(x)≥0,则dx x f ba⎰)(≥0.推论1.若在区间［a,b ］上,f(x)≤g(x),则dx x f ba⎰)(≤dx x g ba⎰)(.推论2.|dx x f ba⎰)(|≤⎰badx x f |)(|.性质5.(估值定理)设函数f(x)在区间［a,b ］上的最小值与最大值分别为m 与M,则 m(b-a)≤dx x f ba⎰)(≤M(b -a).证明:因为m≤f(x)≤M,由性质4的推论1得⎰bamdx ≤dx x f ba⎰)(≤⎰baMdx ,即m⎰badx ≤dx x f b a⎰)(≤M ⎰badx .故m(b-a)≤dx x f ba⎰)(≤M(b -a).利用这个性质,由被积函数在积分区间上的最小值及最大值,可以估计出积分值的大致范围. 问题·探究问题1 火箭发射后t s 的速度为v(t),假定0≤t≤10,对函数v(t)按f(x 1)Δx+f(x 2)Δx+…+f(x n )Δx 式所作的和具有怎样的实际意义?思路:本题考查“近似代替”“无限细分”和“无穷积累”的数学思想方法. 探究:将区间［0,10］等分成n 个小区间,每个小区间的长度为Δt,在每个小区间上取一点,依次为t 1,t 2,…,t i ,…,t n ,虽然火箭的速度不是常数,但在一个小区间内其变化很小,所以可以用v(t 1)来代替火箭在第一个小区间上的速度,这样v(t 1)Δt≈火箭在第一个时段内运行的路程;同理,v(t 2)Δt≈火箭在第二个时段内运行的路程,从而S n =v(t 1)Δt+v(t 2)Δt+…+v(t n )Δt≈火箭在10 s 内运行的总路程.这就是函数v(t)在时间区间［0,10］上按f(x 1)Δx+f(x 2)Δx+…+f(x n )Δx 所作的和的实际背景. 当Δt 无限趋近于0,S n 就是无限趋近于火箭在10 s 内所运行的总路程. 问题2 定积分的几何意义是什么?思路:利用定积分的定义,先分割,再近似代替,然后作和,求出极限即得所求. 探究:从几何上看,如果在区间［a,b ］上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0,那么定积分dx x f ba⎰)(表示由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.这就是定积分dxx f ba⎰)(的几何意义. 典题·热题例n n nn nn222)1()21()11(lim ++++∞→ =_________________.思路解析: n n nn nn222)1()21()11(lim ++++∞→=∑+=∞→n i n n ni e 121)1ln(lim =∑+=∞→n i n n ni e11)1ln(2lim =⎰21ln 2xdxe答案:e ⎰21ln 2xdxe例2用定积分的定义求出由y=3x,x=0,x=1,y=0围成的图形的面积.思路分析:利用定积分的定义,先分割,再近似代替,然后作和,求出极限即得面积. 解:(1)分割:把区间［0,1］等分成n 个小区间［n i n i ,1-］(i=1,2,…n).其长度为Δx=n1,把曲边梯形分成n 个小曲边梯形,其面积记为ΔS i (i=1,2,…n).(2)近似代替:用小矩形面积代替小曲边梯形面积,ΔS i =f(n i 1-)Δx=3·n i 1-·n 1=23n(i-1),(i=1,2,…n). (3)作和:21213)1(3n i n S ni ni i =-=∆∑∑==［1+2+…+(n -1)］=n n 123-∙. (4)求极限:S=23123lim )1(3lim12=-∙=-∞→=∞→∑n n i nn ni n . 深化升华 本题考查的是用定积分的方法求面积,用定积分的定义求面积是定积分的一个应用方式,也是定积分产生的源泉.通常的做法就是将图形分成一些非常小的图形,然后求出这些小图形面积的和,最后再求极限.例3已知某运动的物体做变速直线运动,它的速度v 是时间t 的函数v(t),求物体在t=0到t=t 0这段时间内所经过的路程s.思路分析:利用定积分的定义,先分割,再近似代替,然后作和,求出极限即得路程. 解:(1)分割:将时间区间［0,t 0］分成n 等份:［nit n i ,10-t 0］(i=1,2,…,n),每个小区间所表示的时间为Δt=nt 0;各区间物体运动的距离记作Δs i (i=1,2,…,n). (2)近似代替:在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的距离.在小区间［00,1t nit n i -］上任取一时刻ξi (i=1,2,…,n).用时刻ξi 的速度v(ξi )近似代替第i 个小区间上的速度.由匀速直线运动的路程公式,每个小区间上物体运动所经过的距离可以近似地表示为Δs i ≈v(ξi )Δt(i=1,2,…,n).(3)求和:因为每个小区间上物体运动的距离可以用这一区间上做匀速直线运动的路程近似代替,所以在时间［0,t 0］内物体运动的距离s,就可以用这一物体分别在n 个小区间上作n 个匀速直线运动的路程和近似代替,即s=∑∑==∆≈∆ni in i it v S 11)(ε.(4)求极限:当所分时间区间越短,即Δt=n t 0越小时,∑=∆ni i t v 1)(ε的值越接近于s.因此,当n→∞,即Δt=n t 0→0时,∑=∆ni i t v 1)(ε的极限,就是所求的物体在时间区间［0,t 0］上经过的路程.由此得到s=∑=∞→∆ni in t v 1)(limε.深化升华 s=∑=∞→∆ni in t v 1)(limε为做变速直线运动的物体在［0,t 0］这段时间内所运动的路程,其中ξi 为区间［00,1t n i t n i -］上的任意值,取ξi =n i 1-t 0时,s=∑=∞→∆-ni n t t n i v 10)1(lim ;取ξi =n i t 0时,s=∑=∞→∆ni n t t n iv 10)(lim ;取ξi =i i n t n it n t i )1()1(000-=⨯-时,s=∑=∞→∆-ni n t i i nt v 1])1([lim.当物体做匀速直线运动时,上面的结论仍成立. 例4利用定积分的几何意义,说明下列等式. (1)⎰12xdx =1;(2)21112π=-⎰-dx x .思路分析:定积分的几何意义是指曲边梯形的面积,只要理解被积函数和积分极限的意义,并作出图形,即可得到解决. 解:(1)如图1-5-2,⎰12xdx 表示由曲线y=2x,直线x=0,x=1,y=0所围成的图形(直角三角形)的面积, 由S Δ=21×2×1=1,故⎰102xdx =1.(2)如图1-5-3,⎰--1121dx x 表示圆x 2+y 2=1在第一、二象限的上半圆的面积.由S 半圆=2π,又在x 轴上方,故21112π=-⎰-dx x .图1-5-2 图1-5-3 例5利用定积分计算⎰23dx x 的值.思路分析:令f(x)=x 3,按分割、近似代替、作和、求极限四步求解.解:令f(x)=x 3.⎰23dx x ≈∑=-+ni ni a f 1)2(·n 2=∑=n i ni n 13)2(2=]321[16])2()4()2[(233334333n n n n n n n ++++=+++2222)1(4)1(4n n n n +=+∙= 取极限⎰23dx x =22)1(4lim nn n +∞→=4. 误区警示 将区间［0,2］分成n 个小区间,每个区间长为n2,并且第i 个区间是［n i n i 2,)1(2-］,习惯上按n1计算ξ. 例6估计定积分⎰+π023sin 21dx x的值. 思路分析:首先计算出被积函数在给定区间上的最大值和最小值,然后利用估值定理求解. 解:∵当x ∈［0,π］时,0≤sinx≤1,∴0≤23sin x≤1, 因此有2≤2+23sin x≤3,31≤x23sin 21+≤21, 于是由估值定理有2sin 21323πππ≤+≤⎰dx x.。
1.5.1、2曲边梯形的面积汽车行驶的路程课件人教新课标
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
1．曲边梯形面积的求解步骤 (1)将区间[a，b]分割，等分为 n 个小区间，每个小区间的 长度为 Δx＝b－n a； (2)“近似代替”中每个小区间上函数 f(x)的值可任意取一 点 ξi∈[xi－1，xi]，用 f(ξi)来代替，不影响极限的值．为了计算方 便，可以取区间的一些特殊点，如区间的端点或中点等；
第一章 导数及其应用
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(4)取极限
当分割无限变细，即 Δx 趋向于 0 时，n 趋向于∞，此时－
16n12－1趋向于
S.从而有
S＝lim n→∞
－16n12－1＝16.
所以由直线 x＝0，x＝1，y＝0 和曲线 y＝x(x－1)围成的图
形面积为16.
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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C．当 v＝at＋b(a≠0，a，b 为常数)时，汽车做匀变速直 线运动，这时路程 s＝bt1＋12at21
D．当 v＝at2＋bt＋c(a≠0，a，b，c 为常数)时，汽车做变
n
速直线运动，这时路程 s＝nli→m∞sn＝nli→m∞i＝1v(ξi)Δt
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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(3)求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似 值__求__和______；
(4)取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，所有小曲边 梯形的面积之和趋向一个__定__值___，即为曲边梯形的面积．
高中数学——定积分的概念常考试题解析讲解
3
(−36.计算
1 3
2 3
2 2
1
15
7
1 ＝ ，1 ＝ ，0 ＝ ，7.已知
4
4
3
4 2
56
2 ＝ 3 ，求：
2
这就是定积分
的几何意义.
直线＝把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，
因此大曲边梯形的面积是两个小曲边梯形的面积1，
2之和，即＝2)
=
( )( 为常数)
1 () ± 2 () =
形”的所有边都是直线段.
思考3:能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边
图形”的面积问题？
求曲边梯形面积的步骤：①分割，②近似代替，③求
和，④取极限.
1、求由直线＝0，＝1，＝0和曲线＝(－1)
围成的图形面积.
2、求由抛物线＝2与直线＝4所围成的曲边梯形
的面积.
求变速直线运动的(位移)路程
高中数学—定积分的概念
1.5.1 曲边梯形的面积常考试题解析
1.5.2 汽车行驶的路程常考试题解析
思考1：如何计算下列两图形的面积？
思考2：如图，为求由抛物线＝2与
直线＝1，＝0所围成的平面图形
的面积，图形与我们熟悉的“直边
图形”有什么区别？
曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图
＝( < )，＝0及曲线＝()所围成的曲边梯形的面积.
(2)当函数() ≤ 0时,曲边梯形位于轴的下方,此时 等
1.5定积分的概念(1)
i 1 i n , n 处的函数值f（ξ ）作为小 i
小矩形的面积是 x f(xi) y = f(x)
y f(xi)
曲 边 梯 形 的 面 积
f(x2) f(x1)
O
a x1X１x2 X２
Xi－１xi
xi
Xn－１
b x
分割
近似代替
n
求和
n
取极限
面积近似为Ｓ f (x i )xi ． S lim f (x i )xi ． 则
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个 小曲边梯形，他们的面积分别记作
S1 , S 2 , , S i , , S n .
（2） 近似代替
曲 边 梯 形 的 面 积
i 1 i [ , ] n n
记f（x）＝x２，当n很大时，即△x很小时，在区间
上，可认为函数f（x）＝x２的值变化很小， 近似的等于一个常数，不妨认为它近似地等于
曲 边 梯 形 的 面 积
1 面积为 2 3 面积为 8 19 面积为 54
y
y＝x２
O
1
x
特例:直线x0、x1、y0及曲线yx2所围成 的图形（曲边三角形）面积S是多少？
曲 边 梯 形 的 面 积
对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替 “曲边”（即在很小范围内以直代曲）.
y y＝x２
O
1
x
一般地，小矩形越多，小矩形面积 和越接近曲边梯形面积．
（1）分割
曲 边 梯 形 的 面 积
把区间[0，1]等分成n个小区间： 1 1 2 i 1 i n 1 n [0, ],[ , ], , [ , ], , [ , ], n n n n n n n
定积分的概念
§1.5定积分的概念1．5.1曲边梯形的面积1．5.2汽车行驶的路程学习目标 1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．知识点一曲边梯形的面积思考1如何计算下列两图形的面积？答案①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．思考2如图所示的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答案已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．梳理曲边梯形的概念及面积求法(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．(2)求曲边梯形面积的方法把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形．对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限．知识点二求变速直线运动的(位移)路程一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.1．求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路程．(×)2．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i－1n，in上的值，只能用⎝⎛⎭⎫in2近似代替．(×)3．利用求和符号计算∑i＝14i(i＋1)＝40.(√)类型一求曲边梯形的面积例1求由直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2＋1所围成的曲边梯形的面积．⎣⎡⎦⎤参考公式12＋22＋…＋n2＝16n(n＋1)(2n＋1)考点求曲边梯形的面积问题题点求曲线梯形的面积问题解令f(x)＝x2＋1.(1)分割将区间[0,2]n等分，分点依次为x0＝0，x1＝2n，x2＝4n，…，x n－1＝2(n－1)n，x n＝2.第i个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2i－2n，2in(i＝1,2，…，n)，每个区间长度为Δx＝2in－2i－2n＝2n.(2)近似代替、求和 取ξi ＝2in (i ＝1,2，…，n )，S n ＝∑i ＝1n f ⎝⎛⎭⎫2i n ·Δx＝∑i ＝1n ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2i n 2＋1·2n ＝8n3∑i ＝1n i 2＋2＝8n 3(12＋22＋…＋n 2)＋2 ＝8n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋2 ＝43⎝⎛⎭⎫2＋3n ＋1n 2＋2. (3)取极限S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ ⎣⎡⎦⎤43⎝⎛⎭⎫2＋3n ＋1n 2＋2＝143， 即所求曲边梯形的面积为143.反思与感悟 求曲边梯形的面积 (1)思想：以直代曲．(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限． (3)关键：近似代替．(4)结果：分割越细，面积越精确． (5)求和时可用一些常见的求和公式，如 1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6，13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22. 跟踪训练1 求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 2所围成的图形的面积． 考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题 解 (1)分割将区间[0,1]等分为n 个小区间：⎣⎡⎦⎤0，1n ，⎣⎡⎦⎤1n ，2n ，⎣⎡⎦⎤2n ，3n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，1，其中i ＝1,2，…，n ，每个小区间的长度为 Δx ＝i n －i －1n ＝1n.过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n . (2)近似代替 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )上，以i －1n 处的函数值⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2为高，小区间的长度Δx ＝1n 为底边的小矩形的面积作为第i 个小曲边梯形的面积，即 ΔS i ≈⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n. (3)求和∑i ＝1nΔS i ≈∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n ＝0·1n ＋⎝⎛⎭⎫1n 2·1n ＋⎝⎛⎭⎫2n 2·1n ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n 2·1n ＝1n 3[12＋22＋…＋(n －1)2]＝13－12n ＋16n 2. (4)取极限曲边梯形的面积S ＝lim n →∞ ⎝⎛⎭⎫13－12n ＋16n 2＝13. 类型二 求变速运动的路程例2 当汽车以速度v 做匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程s ＝v t .如果汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝t 2＋2(单位：km/h)，那么它在1≤t ≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？ 考点 变速运动的路程问题 题点 变速运动的路程问题 解 将区间[1,2]等分成n 个小区间，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n .所以Δs i ＝v ⎝⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ·1n .s n ＝∑ni ＝1v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n 1n ＝1n ∑n i ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n 2＋2 ＝1n ∑n i ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(i －1)2n 2＋2(i －1)n ＋3 ＝1n ⎩⎨⎧ 3n ＋1n 2[02＋12＋22＋…＋(n －1)2]＋⎭⎬⎫1n [0＋2＋4＋6＋…＋2(n －1)] ＝3＋(n －1)(2n －1)6n 2＋n －1n.s ＝lim n →∞ s n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋(n －1)(2n －1)6n 2＋n －1n ＝133. 所以这段时间行驶的路程为133km. 引申探究本例中求小曲边梯形面积时若用另一端点值作为高，试求出行驶路程，比较两次求出的结果是否一样？解 将区间[1,2]等分成n 个小区间，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n .所以Δs i ＝v ⎝⎛⎭⎫1＋i n ·1n. s n ＝∑ni ＝1v ⎝⎛⎭⎫1＋i n 1n ＝3＋1n 3[12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2]＋1n 2[2＋4＋6＋…＋2(n －1)＋2n ]＝3＋(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n.s ＝lim n →∞ s n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋(n ＋1)n ＝133. 所以这段时间行驶的路程为133km. 所以分别用小区间的两个端点求出的行驶路程是相同的．反思与感悟 求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解．求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速直线运动的时间区间．跟踪训练2 一辆汽车在直线形公路上做变速行驶，汽车在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋5(单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)． 考点 变速运动的路程问题 题点 变速运动的路程问题解 (1)分割：在区间[0,2]上等间隔插入n －1个点，将区间分成n 个小区间，记第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n (i ＝1,2，…，n )，Δt ＝2n .则汽车在时间段⎣⎡⎦⎤0，2n ，⎣⎡⎦⎤2n ，4n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(n －1)n ，2n n 上行驶的路程分别记为：Δs 1，Δs 2，…，Δs i ，…，Δs n ，有s n ＝∑i ＝1nΔs i .(2)近似代替：取ξi ＝2in (i ＝1,2，…，n )，Δs i ≈v ⎝⎛⎭⎫2i n ·Δt ＝⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫2i n 2＋5·2n ＝－4i 2n 2·2n ＋10n(i ＝1,2，…，n )．(3)求和：s n ＝∑i ＝1nΔs i ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫－4i 2n 2·2n ＋10n ＝－8·13⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫1＋12n ＋10. (4)取极限：s ＝lim n→∞s n ＝lim n →∞ ⎣⎡⎦⎤－8·13⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫1＋12n ＋10＝223.1．把区间[1,3] n 等分，所得n 个小区间的长度均为( ) A.1n B.2n C.3n D.12n 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 B解析 区间[1,3]的长度为2，故n 等分后，每个小区间的长度均为2n .2．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均正确考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 C3．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为( ) A.13 B.12 C ．1 D.32 考点 变速运动的路程问题 题点 变速运动的路程问题 答案 B4.∑i ＝1nin＝________. 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求和符号的表示 答案n ＋12解析 ∑i ＝1ni n ＝1n(1＋2＋…＋n )＝1n ·n (n ＋1)2＝n ＋12. 5．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________． 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 1.02解析 将区间5等分所得的小区间为⎣⎡⎦⎤1，65，⎣⎡⎦⎤65，75，⎣⎡⎦⎤75，85，⎣⎡⎦⎤85，95，⎣⎡⎦⎤95，2，于是所求平面图形的面积近似等于110⎝⎛⎭⎫1＋3625＋4925＋6425＋8125＝110×25525＝1.02.求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤(1)分割：n等分区间[a，b]；(2)近似代替：取点ξi∈[x i－1，x i]；(3)求和：∑i＝1nf(ξi)·b－an；(4)取极限：s＝limn→∞∑i＝1nf(ξi)·b－an.“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)．一、选择题1．和式∑i＝15(x i＋1)可表示为()A．(x1＋1)＋(x5＋1)B．x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋1C．x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋5D．(x1＋1)(x2＋1)…(x5＋1)考点求曲边梯形的面积问题题点求和符号的表示答案 C解析∑i＝15(x i＋1)＝(x1＋1)＋(x2＋1)＋(x3＋1)＋(x4＋1)＋(x5＋1)＝x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋5.2．在求由x＝a，x＝b(a<b)，y＝f(x) (f(x)≥0)及y＝0围成的曲边梯形的面积S时，在区间[a，b]上等间隔地插入(n－1)个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是( ) ①n 个小曲边梯形的面积和等于S ； ②n 个小曲边梯形的面积和小于S ； ③n 个小曲边梯形的面积和大于S ；④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定． A ．1 B ．2 C ．3D ．4考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 A解析 n 个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S . ∴①正确，②③④错误．3．在求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边三角形的面积时，把区间[0,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤i －1n ，i nB.⎣⎡⎦⎤i n ，i ＋1n C.⎣⎡⎦⎤2(i －1)n ，2i nD.⎣⎡⎦⎤2i n ，2(i ＋1)n考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 C解析 将区间[0,2]等分为n 个小区间后，每个小区间的长度为2n ，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n . 4．在求由曲线y ＝1x 与直线x ＝1，x ＝3，y ＝0所围成图形的面积时，若将区间n 等分，并用每个区间的右端点的函数值近似代替每个小曲边梯形的高，则第i 个小曲边梯形的面积ΔS i 约等于( ) A.2n ＋2i B.2n ＋2i －2 C.2n (n ＋2i )D.1n ＋2i考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 A解析 每个小区间的长度为2n，第i 个小曲边梯形的高为11＋2i n，∴第i 个小曲边梯形的面积为2n ×11＋2i n ＝2n ＋2i .5．在等分区间的情况下f (x )＝11＋x 2(x ∈[0,2])及x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( ) A.lim n →∞ ∑ni ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋⎝⎛⎭⎫i n 2·2n B.lim n →∞ ∑ni ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋⎝⎛⎭⎫2i n 2·2n C.lim n→∞ ∑ni ＝1 ⎝⎛⎭⎫11＋i 2·1nD.lim n →∞ ∑ni ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋⎝⎛⎭⎫i n 2·n 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 B解析 ∵Δx ＝2－0n ＝2n ，∴和式为∑n i ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋⎝⎛⎭⎫2i n 2·2n .故选B.6．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( ) A.130 B.125 C.127D.19考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 D解析 将区间[0,1]三等分为⎣⎡⎦⎤0，13，⎣⎡⎦⎤13，23，⎣⎡⎦⎤23，1，各小矩形的面积和为S ＝03×13＋⎝⎛⎭⎫133×13＋⎝⎛⎭⎫233×13＝19.7．设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝∑i ＝1nf (ξi )Δx (其中Δx 为小区间的长度)，那么S n 的大小( )A ．与f (x )和区间[a ，b ]有关，与分点的个数n 和ξi 的取法无关B ．与f (x )和区间[a ，b ]的分点的个数n 有关，与ξi 的取法无关C ．与f (x )和区间[a ，b ]的分点的个数n ，ξi 的取法都有关D ．与f (x )和区间[a ，b ]的ξi 的取法有关，与分点的个数n 无关考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题答案 C解析 用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝∑i ＝1nf (ξi )·Δx .若对和式求极限，则可以得到函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0围成的区域的面积，在求极限之前，和式的大小与函数式、分点的个数和变量的取法都有关．8.lim n →∞∑ni ＝1 ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫15i n ·⎝⎛⎭⎫5n 的含义可以是( ) A ．求由直线x ＝1，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积B ．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0，y ＝15x 围成的图形的面积C ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积D ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0及曲线y ＝5x围成的图形的面积 考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题答案 C解析 将区间[0,5]n 等分，则每一区间的长度为5n ，各区间右端点对应函数值为y ＝15i n， 因此∑i ＝1n ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫15i n ·⎝⎛⎭⎫5n 可以表示由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0和y ＝3x 围成的图形的面积的近似值． 9．若直线y ＝2x ＋1与直线x ＝0，x ＝m ，y ＝0围成图形的面积为6，则正数m 等于( )A ．1B ．3C ．2D ．4考点 求曲边梯形的面积问题题点 由曲边梯形的面积求参数答案 C解析 将区间[0，m ]n 等分，每个区间长为m n ，区间左端点函数值y ＝2·mi n ＋1＝2mi ＋n n， 作和S n ＝∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫2mi ＋n n ·m n ＝m ＋m n ·2m n(1＋2＋3＋…＋n ) ＝m ＋2m 2n 2·n (n ＋1)2＝m ＋m 2(n ＋1)n， ∵S ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋m 2(n ＋1)n ＝6， ∴m ＝2.故选C.二、填空题10．在区间[0,8]上插入9个等分点后，则所分的小区间长度为________，第5个小区间是________．考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题答案 45 ⎣⎡⎦⎤165，4 解析 在区间[0,8]上插入9个等分点后，把区间[0,8]10等分，每个小区间的长度为810＝45，第5个小区间为⎣⎡⎦⎤165，4.11．已知某物体运动的速度v ＝t ，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．考点 变速运动的路程问题题点 变速运动的路程问题答案 55解析 ∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n (n ＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.∴物体运动的路程近似值s ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.12．当n 很大时，下列可以代替函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值有________个． ①f ⎝⎛⎭⎫1n ；②f ⎝⎛⎭⎫i n ；③f ⎝⎛⎭⎫i －1n ；④f ⎝⎛⎭⎫i n －12n . 考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题答案 3解析 因为当n 很大时，区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的任意的取值都可以代替，又因为1n ∉⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，i －1n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，i n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，i n －12n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，故能代替的有②③④. 三、解答题13．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 2＋2x 围成的图形的面积．考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题解 将区间[0,1]n 等分，每个区间长度为1n ，区间右端点函数值y ＝⎝⎛⎭⎫i n 2＋2·i n ＝i 2n 2＋2i n. 作和S n ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫i 2n 2＋2i n 1n ＝∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎫i 2n 3＋2i n 2 ＝1n 3∑i ＝1n i 2＋2n 2∑i ＝1n i ＝1n 3·16n (n ＋1)(2n ＋1)＋2n 2·n (n ＋1)2＝(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n ＝8n 2＋9n ＋16n 2， ∴所求面积S ＝lim n →∞8n 2＋9n ＋16n 2 ＝lim n →∞ ⎝⎛⎭⎫43＋32n ＋16n 2＝43. 四、探究与拓展14．设函数f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b ]上的面积．已知函数y ＝sin nx 在⎣⎡⎦⎤0，πn (n ∈N *)上的面积为2n，则y ＝sin 3x 在⎣⎡⎦⎤0，2π3上的面积为________．考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题答案 43解析 由于y ＝sin nx 在⎣⎡⎦⎤0，πn (n ∈N *)上的面积为2n， 则y ＝sin 3x 在⎣⎡⎦⎤0，π3上的面积为23. 而y ＝sin 3x 的周期为2π3， 所以y ＝sin 3x 在⎣⎡⎦⎤0，2π3上的面积为23×2＝43. 15．有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t 的速度为v (t )＝3t 2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)是多少？考点 变速运动的路程问题题点 变速运动的路程问题解 (1)分割在时间区间[0,2]上等间隔地插入n －1个分点，将它分成n 个小区间，记第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δt ＝2i n －2(i －1)n ＝2n .每个时间段上行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )，则显然有s ＝∑i ＝1nΔs i .(2)近似代替取ξi ＝2i n(i ＝1,2，…，n )，用小矩形的面积Δs ′i 近似地代替Δs i ，于是 Δs i ≈Δs ′i ＝v ⎝⎛⎭⎫2i n ·Δt ＝⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫2i n 2＋2·2n＝24i 2n 3＋4n(i ＝1,2，…，n )． (3)求和s n ＝∑i ＝1n Δs ′i ＝∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎫24i 2n 3＋4n ＝24n 3(12＋22＋…＋n 2)＋4 ＝24n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋4＝8⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫1＋12n ＋4. (4)取极限s＝limn→∞s n＝limn→∞⎣⎡⎦⎤8⎝⎛⎭⎫1＋1n⎝⎛⎭⎫1＋12n＋4＝8＋4＝12.所以这段时间内行驶的路程为12 km.。
课件12：1.5.1 曲边梯形的面积~1.5.2 汽车行驶的路程
n
n
n
S＝ ΔSi≈－ f(ξi)Δx＝
i＝1
i＝1
i＝1
－i－n 1i－n 1－1·n1
＝－n13[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋n12[0＋1＋2＋…＋
(n－1)]
＝－n13·16n(n－1)(2n－1)＋n12·n
跟踪训练 2．用定积分定义求物体自由落体的下落距离．已知自由 落体的运动速度 v＝gt，求在时间区间[0，t]内物体下落 的距离． 解：(1)分割：将时间区间[0，t]分成 n 等份． 把时间[0，t]分成 n 个小区间i－n 1t，int(i＝1,2，…，n)，
每个小区间表示的时间段 Δt＝int－i－n 1t＝nt ，在各小区间 物体下落的距离记作 Δsi(i＝1,2，…，n)． (2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替 变速运动的路程． 在i－n 1t，int上任取一时刻 ξi(i＝1,2，…，n)，可取 ξi 使 v(ξi)
n－ 2
＝－－6n2n＋2 1
＝－61n12－1.
(4)取极限
当分割无限变细，即 Δx 趋向于 0 时，n 趋向于∞，
此时－16n12－1趋向于
S.从而有
S＝lim n→∞
－16n12－1＝16.
所以由直线 x＝0，x＝1，y＝0 和曲线 y＝x(x－1)围成的
图形面积为61.
名师指津 由极限法求曲边梯形的面积的步骤 第一步：分割．在区间[a，b]中等间隔地插入 n－1 个分点， 将其等分成 n 个小区间[xi－1，xi](i＝1,2，…，n)，小区间 的长度 Δxi＝xi－xi－1.
n
ΔS2，…，ΔSn，则小曲边梯形面积的和为 S＝ΔSi，
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,
2 n
，…，
n
1 n
,
1
上行
驶的路程分别记作： S1 ， S2 ，…， Sn
n
显然， S Si i 1
（ 2 ） 近 似 代 替 当 n 很 大 ， 即 t 很 小 时 ， 在 区 间
i
1 n
,
i n
上，可以认为函数 v t t2 2 的值变化很
小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端
y = f(x)
y
A1
A2
A3
A4
Oa
b
x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
y = f(x) y
A1
Ai
小曲边梯形，并用小矩阵
形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形
的面积A近似为
A A1+ A2 + + An
2
=
1 n3
n
1 n2n
6
1
2
=
1 3
1
1 n
1
1 2n
2
从而得到 S 的近似值
点
i
1 n
处的函数值
v
i
1 n
i
1 n
2
2
，从物理意义
上看，即使汽车在时间段
i
1 n
,
i n
(i 1, 2 ,
, n) 上的
速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻 i 1 处的速度 n
v
i
1 n
i
1 n
2
2
作匀速直线运动
即使汽车在时间段即在局部小范围内“以匀速代变 速”，于是的用小矩形的面积 Si 近似的代替 Si ， 则有
k n
nx
n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小 曲边梯形，他们的面积分别记作
S1, S2,, Si ,, Sn.
（2）近似代替
Si
f
(i
1)x n
(i
1)2 n
1 n
（3）求和
n
S S1 S2 Sn Si i1
n f(i -1) 1 n (i -1)2 1 i1 n n i1 n n
1 n3
[02
12
22
(n
1)2 ]
（4）取极限
当分割无限变细，即x 0(亦即n )时，
1 n3
[02
12
22
(n
1)2 ]
1 n3
1 6
(n
1)n(2n
1)
1 (1 1 )(2 1 ) 1 6n n 3
所以S 1，即所求曲边三角形的面积为1。
3
3
小结:求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法
Si
Si
v
i
1 n
t
i
1
2
n
2
1 n
i
1 n
2
1 n
2 n
(i 1, 2,
,n) ①
（3）求和 由①得，
Sn
n
Si
i 1
n i 1
v
i
1 n
t
n i 1
i
1 n
2
1 n
2 n
=
0
1 n
1 n
2
1 n
n
n
1
2
1 n
2
=
1 n3
12
22
n
12
—— 以直代曲,无限逼近
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的
曲边梯形的面积。 y
（1）分割 把区间[0，1]等分成n个小区间：
[0, 1 ],[ 1 , 2],,[i 1, i ],,[n 1, n ],
n nn
nn
nn
每个区间的长度为
y x2
x i i 1 1 nn n
O 12 nn
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
（1）分割（2）近似代替 （3）求和 （4）取极限
汽车行驶的路程
利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时 间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果 已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时 间内经过的路程呢？
问题：汽车以速度 v 组匀速直线运动时，经过时间 t 所行驶的路程为 S vt ．如果汽车作变速直线运动，
在时刻 t 的速度为 v t t2 2 （单位：km/h），那
么它在 0≤ t ≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程 S （单位：km）是多少？
分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代 变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归 为匀速直线运动的路程问题．把区间[0,1] 分成 n 个小 区间，在每个小区间上，由于 v(t) 的变化很小，可以 近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每 个小区间上行驶路程的近似值，在求和得 S （单位： km）的近似值，最后让 n 趋紧于无穷大就得到 S （单 位：km）的精确值．（思想：用化归为各个小区间上 匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变 速直线运动的路程）．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
y = f(x) y
A1
Oa
b
x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，
得 A A1.
y = f(x) y
A1
A2
Oa
b
x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A，得 A A1+ A2
解：1．分割
在时间区间 0 ,1 上等间隔地插入 n 1 个点，将区间
0 ,1 等分成 n 个小区间：
0
,
1 n
，
1 n
,
2 n
，…，
n 1 n
, 1
记第 i 个区间为
i
1 n
,
i n
(i
1, 2,
, n) ，其长度为 t i i 1 1 nn n
把汽车在时间段
0
,
1 n
，
1 n
求曲边梯形的面积
曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线
y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形
叫做曲边梯形。
y
y=f (x)
x=a
Oa
x=b
bx
P 放大
P
再放大
P
因此，我们可以用这条直线L来代替点P附近 的曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以看 作直线（即在很小范围内以直代曲）．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．