1定态微扰论和变分法

)(
(0) n

(1) n

(2) n

)
令两边同极小量相等，可得到一系列方程如下：
(Hˆ (0)

E
(0) n
)
(0) n

0
（5.5）
(Hˆ (0)

E(0) n
)
(1) n

(Hˆ

E(1) n
)
(0) n
（5.6）
(Hˆ (0)

En(0)
)
(2) n

(Hˆ
En(1) n(0)*Hˆ n(0)d
百度文库再求

(1) n
令

(1) n

a (1) (0) ll
（5.9）
代入（5.6），得 ln
E a E (0) (1) (0) (0)
lll
n
a(1) (0) ll

E(1) (0) nn

Hˆ

(0) n
x nxn 0
有外电场时
x n xn

qE
(2 3 )1/ 2
(
2
1
)2
(n

n
1
n
1
n)

qE
2
即平衡位置偏离了
qE
2
，因此，由于外
电场而产生的电偶极矩为
| q | E q2E
p | q |

2 2
例题5.2 基态氢原子的极化
基态的氢原子处于沿z方向的均匀弱外电场 E中，试求基态波函数的一级修正和能量的 二级修正。
En(1)
)
(1) n

En(2) n(0)（5.7）
注意，若
(1) n
是(5.6)的解，则

(1) n


(0) n
也同样是(5.6)的解。
非简并情形,一级修正：

(0)* n
(Hˆ
(0)

En(0)) n(1)d

En(1)

(0)*
n
n(0)d

n(0)*Hˆ n(0)d
H (1)
mn
(0)
n
(0) (0) m
E E mn n
m
（5.10）
二级修正：
以
(0)*
n 左乘（5.7）两边，并对整个空间积分，得：

(0)* n
(Hˆ
(0)

E(0) n
)
n(2)d


a(1) l
Hnl

E(1) n
a(1) l nl

E(2) n
ln
ln
(0)
mn En(0) Em(0) m
Hˆ 很小的含义为
|
H
' mn
En(0) Em(0)
|1
例题5.1 线性谐振子的极化
电荷为q的线性谐振子受恒定弱电场E作用，
电场沿正x方向。用微扰求体系的定态能量和
波函数。
解：体系的Hamilton算符是
Hˆ


2
2
d2 dx2

1 2
2 x2
主要内容：
§5.1非简并定态微扰理论 线性谐振子和基态氢原子的极化
§5.2 简并定态微扰理论 Stark效应 §5.3 变分法 氦原子基态 §5.4 与时间有关的微扰论 跃迁概率 §5.5 光的发射和吸收 选择定则 §5.6 低能散射―分波法 §5.7 高能散射－Born近似
§5.1非简并定态微扰理论 线性谐振子和基态氢原子的极化
ln
ln

E a (0) (1) ll
ml

E(0) n
a(1) l ml

m(0)*Hˆ n(0)d
Hm' n
ln
ln

H
' mn

( En( 0 )

Em(0) )am(1)

am(1)

H
' mn
/(En(0)

Em(0) )
代入(5.9)有
'
n m,n1
E (0) n

E (0) m
n 1 m,n1) |2

q
2
E
2
(

2
)[
E (0) n
n
E (0) n1

n 1
E (0) n

E (0) n1
]

q2E2( )[ n
2

n 1]

q2E2
22
从而有
En

E (0) n

E (1) n

E (2) n

(n
1 )
2

q2E2
2 2
上式表明，能级整体向下移动了

q2E2
2 2
但此移动与n无关，即与振子的状态无关。
波函数的一级微扰
(1) n

mn
H
' mn
(0)
E (0) n

E (0) m
m

mn

qE(

1
) 2(
2
nm,n1
E(0) n

E (0) m
qE(
1
1
) 2(
2 3
n
(0) n1

n

1
(0) n1
)
n 1m,n1) (0)
m

qE (2 3
)1/
2
(
n

1
(0) n1

n
(0) n1
),
(n

1)
(1) 0

qE
(23 )1/ 2
(0) 1
无电场时 谐振子的能量本征态具有确定的宇称，故

En
(0) n

n
En

E
(0) n
En(1)
En(2)
（5.2）
令
n


(0) n


(1) n


(2) n

（5.3）
代入(5.1),得到：
(
Hˆ
(0) n

Hˆ
)(
(0) n

(1) n

(2) n

)

（5.4）

( En( 0 )

En(1)

En(2)
设体系的Hamiton算符 Hˆ 不显含时间t，
且可以分为两部分： Hˆ Hˆ (0) Hˆ
其中
Hˆ
(0)

(0) n

E
(0) n

(0) n

E
(0) n
和（n0)已知
Hˆ n En n
Hˆ

或（Hˆ（0)＋Hˆ ）
很小，可视为微扰。
n＝En
n
（5.1）
微扰使得:
E (0) n

qEx
在弱场情况下，最后一项可看成微扰，即
Hˆ (0)


2
2
d2 dx2

1 2
2 x2
Hˆ qEx
先计算微扰矩阵元：
Hm n
m (qExˆ) n

m (qE(

)
1 2
(aˆ

aˆ
))
n
2
qE(

1
)2
2
m (aˆ aˆ ) n
qE(

1
) 2( m
n n1 m
n1n1 )
2
qE(

1
) 2(
2
nm,n1
n 1m,n1)
可以得出，能级的一级微扰 H nn 0
能级的二级微扰
E(2) n

mn
| H nm |2
E (0) n

E (0) m

mn
|
qE(

2
)
1 2
(
En(2)
al(1)Hnl
ln

ln
Hln Hnl En(0) El(0)

ln
| Hnl |2 En(0) El(0)
综上，有
En

En(0)
Hnn

mn
| Hnm |2 En(0) Em(0)

n


(0) n

Hm' n