圆锥曲线小题练习三69题-普通用卷

圆锥曲线小题练习三69题一、选择题（本大题共43小题，共215.0分）1. 已知双曲线M 的焦点F 1，F 2在x 轴上，直线√7x +3y =0是双曲线M 的一条渐近线、点P 在双曲线M 上，且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，如果抛物线y 2=16x 的准线经过双曲线M 的一个焦点，那么|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=( )A. 21B. 14C. 7D. 02. 已知直线y =2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A 、B 的坐标分别是(−4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )A. (−2,4)B. (−2,−4)C. (2,4)D. (2,−4)3. 双曲线x 2−4y 2=4的离心率为( )A. √6B. √5C. √62 D. √524. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2=10，S 5=55，则过点P(n,a n )和Q(n +2,a n+2)(n ∈N ∗)的直线的斜率是( )A. 4B. 3C. 2D. 15. 双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的√2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A. y 24−x24=1 B. x 24−y 24=1 C. y 24−y29=1 D. x 28−y 24=1 6. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，左、右顶点将线段F 1F 2三等分，则该双曲线的渐近线方程为( )A. y =±2√2xB. y =±2xC. y =±√22x D. y =±x7. 设抛物线y 2=6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，垂足为A ，如果△APF 为正三角形，那么|PF|等于( )A. 4√3B. 6√3C. 6D. 128. 已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M(2,y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=( )A. 2√2B. 2√3C. 4D. 2√59. 长为3的线段AB 的端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上移动，则AB 中点C 的轨迹是( )A. 线段B. 圆C. 椭圆D. 双曲线10. 若P 为曲线y =lnx 上一动点，Q 为直线y =x +1上一动点，则|PQ|min =( )A. 0B. √22C. √2D. 211. 若坐标原点在圆(x −m)2+(y +m)2=4的内部，则实数m 的取值范围是( )A. (−1,1)B. (−√3,√3)C. (−√2,√2)D. (−√22,√22) 12. 已知直线l 1：x +2y −1=0与直线l 2：mx −y =0平行，则实数m 的取值为( )A. −12B. 12C. 2D. −213. 直线{x =−2+tcos30∘,y =1+tsin150∘(t 为参数)的倾斜角α为30°.( ) A. √ B. ×14. 已知圆C 的参数方程为{x =−1+cosαy =1+sinα(α为参数)，当圆心C 到直线kx +y +4=0的距离最大时，k 的值为( )A. 13B. 15C. −13D. −1515. 方程y =ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是(a4,0)，准线方程是x =−a4.( )A. 正确B. 错误16. 以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线C 的一条渐近线的倾斜角为π3，则双曲线C 的离心率为( )A. 2或√3B. 2或2√33 C. 2√33D. 217. 与两圆x 2+y 2+4x −4y +7=0和x 2+y 2−4x −10y +13=0都相切的直线有( )A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条18. 已知点P(3,m)在以F 为焦点的抛物线{x =4t 2,y =4t(t 为参数)上，则|PF|等于( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 519. 平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(−1,3)，若点C 满足O C ⃗ =λ1OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1+λ2=1，则点C 的轨迹是( )A. 直线B. 椭圆C. 圆D. 双曲线20. 直线y =x 与曲线{x =3cosα,y =3sinα(α为参数)的交点个数为1.( ) A. √ B. ×21. 椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a +2c(其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距).( )A. 正确B. 错误22. AB 为抛物线y 2=2px(p >0)的过焦点F (p2,0)的弦，若A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1x 2=p 24，y 1y 2=−p 2，弦长|AB|=x 1+x 2+p.( )A. 正确B. 错误23. 圆C 1：x 2+y 2+2x +2y −2=0与圆C 2：x 2+y 2−4x −2y +1=0的公切线有且仅有2条．( )A. 正确B. 错误24. 如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( )A. 正确B. 错误25. 方程xy−2=1表示斜率为1，在y 轴上的截距为2的直线．( )A. 正确B. 错误26. 椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( )A. 正确B. 错误27. △ABC 三个顶点的坐标分别是A(0,3)，B(−2,0)，C(2,0)，BC 边上的中线的方程是x =0.( )A. 正确B. 错误28. 在平面直角坐标系中，两点P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)间的“L −距离”定义为|P 1P 2|=|x 1−x 2|+|y 1−y 2|.则平面内与x 轴上两个不同的定点F 1，F 2的“L −距离”之和等于定值(大于|F 1F 2|)的点的轨迹可以是( )A.B.C.D.29. 过圆O ：x 2+y 2=r 2上一点P(x 0,y 0)的圆的切线方程是x 0x +y 0y =r 2.( )A. 正确B. 错误30. 如图所示，直线Ax +By +C =0与圆x 2+y 2=4交于M ，N 两点，若满足C 2=A 2+B 2，则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)等于( )A. −2B. −1C. 0D. 131.如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．()A. 正确B. 错误32.从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的乘积．()A. √B. ×33.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为()A. 16B. 14C. 12D. 1034.到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2=y2.()A. 正确B. 错误35.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为()A. 16B. 14C. 12D. 1036.已知定点F1(−2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2+y2=1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是()A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆37.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点是双曲线x25+p −y27+p=1的一个焦点，则p的值为()A. 4B. 6C. 8D. 1238.若直线y=kx与圆(x−2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，则k，b的值分别为()A. k =12,b =−4 B. k =−12,b =4 C. k =12,b =4D. k =−12,b =−439. 已知圆C 与直线x −y =0及x −y −4=0都相切，圆心在直线x +y =0上，则圆C 的方程为( )A. (x +1)2+(y −1)2=2B. (x −1)2+(y +1)2=2C. (x −1)2+(y −1)2=2D. (x +1)2+(y +1)2=240. 已知点P(a,b)是抛物线x 2=20y 上一点，焦点为F ，|PF|=25，则|ab|=( )A. 100B. 200C. 360D. 40041. 若圆心在x 轴上，半径为√5的圆C 位于y 轴左侧，且被直线x +2y =0截得的弦长为4，则圆C 的方程是( )．A. (x −√5)2+y 2=5B. (x +√5)2+y 2=5C. (x −5)2+y 2=5D. (x +5)2+y 2=542. 平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(−1,3)，若点C 满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1+λ2=1，则点C 的轨迹是( )A. 直线B. 椭圆C. 圆D. 双曲线43. 过圆x 2+y 2=1上一点作切线与x 轴，y 轴的正半轴交于A 、B 两点，则|AB|的最小值为( )A. √2B. √3C. 2D. 3二、填空题（本大题共25小题，共125.0分） 44. 过双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P.若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为______．45. 已知抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于M ，N 两点．设直线l 是抛物线C 的切线，且l//MN ，P 为l 上一点，则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为________．46. 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线的倾斜角越大，其斜率越大．( )(2)斜率公式k =y 2−y1x 2−x 1，不适用于垂直于x 轴和平行于x 轴的直线．( )(3)当直线的斜率不存在时，其倾斜角存在．( )(4)过点P(x 1,y 1)的直线方程一定可设为y −y 1=k(x −x 1).( ) (5)直线方程的截距式xa +yb =1中，a ，b 均应大于0.( )47. 双曲线x 24−y 2=1的离心率等于________．48. 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y =cosx 在第一、二象限内是减函数．( ) (2)y =ksinx +1，x ∈R ，则y 的最大值是k +1.( ) (3)由sin (π6+2π3)=sin π6知2π3是正弦函数y =sinx(x ∈R)的一个周期．( ) (4)函数y =sin (2x +3π2)是偶函数，最小正周期为π.( )(5)函数y =sinx 的对称轴方程为x =2kπ+π2(k ∈Z).( ) (6)函数y =tanx 在整个定义域上是增函数．( )49. 在△ABC 中，|B C ⃗ |=4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且|B D ⃗⃗ |−|C D⃗⃗ |=2√2，则顶点A 的轨迹为________．50. 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：{x =t +2y =1−2t (t 为参数)与曲线C 2：{x =3cosθy =3sinθ(θ为参数)相交于A 、B 两点，则线段AB 的长为________．51. 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两点F 1(−1,0)，F 2(1,0)的距离之差等于1的点的轨迹是双曲线．( ) (2)方程x 2m−y 2n =1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( ) (3)与双曲线x 2m−y 2n=1(其中mn >0)共渐近线的双曲线方程可设为x 2m −y 2n=λ(λ≠0).( )(4)等轴双曲线的离心率等于√2，且渐近线互相垂直．( )(5)若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与x2b2−y2a2=1(a>0,b>0)的离心率分别是e1，e2，则1e12+1e22=1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线).()52.直线y=kx+3与圆(x−2)2+(y−3)2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2√3，则k的取值范围是______．53.由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为________________．54.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为______ ．55.过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|=2512,|AF|<|BF|，则|AF|=______．56.判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b)，半径为t的一个圆．()(3)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a−1=0表示圆心为(−a2,−a)，半径为12√−3a2−4a+4的圆．()(4)已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x−x1)(x−x2)+(y−y1)(y−y2)=0.()(5)方程x2+Bxy+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是B=0，D2+E2−4F>0.()(6)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外，则x 02+y 02+Dx0+Ey0+F>0.()57.判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．()(2)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为0√1+k2()(3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．()(4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．()(5)若点A，B关于直线l：y=kx+b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于−1k，且线段AB的中点在直线l上．()58.设F1、F2分别是椭圆x225+y216=1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|PF1|=4，|OM|=_____．59.已知函数y=f(x)(x∈R)，对函数y=g(x)(x∈R)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y=ℎ(x)(x∈R)，y=ℎ(x)满足：对任意x∈R，两个点(x,ℎ(x))，(x,g(x))关于点(x,f(x))对称．若ℎ(x)是g(x)=√4−x2关于f(x)=3x+b的“对称函数”，且ℎ(x)>g(x)恒成立，则实数b的取值范围是______．60.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是______ ．61.在极坐标系中，设P是直线l：ρ(cosθ+sinθ)=4上任一点，Q是圆C：ρ2=4ρcosθ−3上任一点，则|PQ|的最小值是______ ．62.已知圆O：x2+y2=1和点A(−2,0)，若定点B(b,0)(b≠−2)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|=λ|MA|，则：(Ⅰ)b=______；(Ⅱ)λ=______．63.在直角坐标系xOy中．直线l过抛物线y2=4x的焦点F.且与该抛物线相交于A、B两点．其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°.则△OAF的面积为______．64.已知F(c,0)是双曲线C：x2a −y2b=1(a>0,b>0)的右焦点，若双曲线C的渐近线与圆E：(x−c)2+y2=12c2相切，则双曲线C的离心率为______ ．65.过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1与l2分别与x，y轴交于A，B两点，则AB中点M的轨迹方程为______ ．66.在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点，则该抛物线的准线方程是______ ．67.在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)=2x的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是______ ．68.椭圆x2m +y2n=1的焦点在y轴上，且m∈{1,2，3，4，5}，n∈{1,2，3，4，5，6，7}，则这样的椭圆的个数为______ ．三、解答题（本大题共1小题，共12.0分）69.已知抛物线y2=2px(p>0)，过其焦点且斜率为−1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为________．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查勾股定理和抛物线的方程和性质的运用，以及运算能力，属于中档题．求得抛物线的焦点，可得c=4，即a2+b2=16，由渐近线方程可得ba =√73，解得a，b，运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，化简整理，即可得到所求值．【解答】解：抛物线y2=16x的准线为x=−4，由题意可得双曲线M的一个焦点为(−4,0)，设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1(a,b>0)，可得c=4，即a2+b2=16，直线√7x+3y=0是双曲线M的一条渐近线，可得ba =√73，解得a=3，b=√7，可设P为右支上一点，由双曲线的定义可得|PF1|−|PF2|=2a=6，①由勾股定理可得，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=64，②②−①2，可得|PF1|⋅|PF2|=14．故选B．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．设A(−4,2)关于直线y=2x的对称点为(x,y)，利用垂直平分线的性质可得：{y−2x+4×2=−1y+22=2×−4+x 2，解出可得直线BC 所在方程；同理可得点B 关于直线y =2x 的对称点，即可得出直线AC 所在方程，联立解出可得出．【解答】解：设A(−4,2)关于直线y =2x 的对称点为(x,y)，则{y−2x+4×2=−1y+22=2×−4+x 2，解得{x =4y =−2，即(4,−2)． ∴直线BC 所在方程为：y −1=−2−14−3(x −3)，化为：3x +y −10=0．同理可得：点B(3,1)关于直线y =2x 的对称点为(−1,3)，直线AC 所在方程为：y −2=3−2−1−(−4)(x +4)，化为：x −3y +10=0．联立{3x +y −10=0x −3y +10=0，解得{x =2y =4，可得C(2,4)． 故选：C ．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查双曲线的性质及几何意义.化双曲线方程为标准方程，再利用离心率的定义求解．【解答】解：椭圆x 2−4y 2=4化为标准方程为x 24−y 2=1， 则a 2=4，b 2=1，c 2=5，∴e =c a =√52． 故选D ．4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查等差数列的性质，直线斜率的表示，属基础题．先根据等差数列的求和公式和S 2=10，S 5=55，求得d ，进而根据直线的斜率a n+2−a n n+2−n =d，得出答案．【解答】解：由题意知{2a1+d=10(2a1+4d)⋅52=55，解得a1=3，d=4，∴直线的斜率为a n+2−a nn+2−n=d=4．故选：A．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．由已知得双曲线的标准方程为y24−x2b2=1，且2a+2b=√2⋅2c，由此能求出双曲线方程．【解答】解：∵双曲线的顶点坐标为(0,2)，∴a=2，且双曲线的标准方程为y24−x2b2=1．根据题意2a+2b=√2⋅2c，即a+b=√2c.又a2+b2=c2，且a=2，∴解上述两个方程，得b2=4．∴符合题意的双曲线方程为y24−x24=1．故选A．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的图象，由图象知2c=6a，又c2=a2+b2，求出渐近线方程。