人教版七年级数学上册辅导讲义

最新人教版 七年级数学上册培优辅导讲义

第1讲 与有理数有关的概念

考点·方法·破译

1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.

3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.

经典·考题·赏析

【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米 ⑵收人－50元 ⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”

解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】

01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ）

A ． －18%

B ． －8%

C ． ＋2%

D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )

A ． －5吨

B ． ＋5吨

C ． －3吨

D ． ＋3吨

03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京

时间15：00，纽约时问是_ ___

【例２】在－22

7

，π，0，0.033.

3这四个数中有理数的个数（ )

A ． 1个

B ． 2个

C ． 3个

D ． 4个

【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0⎧⎧⎨⎪

⎩⎪⎪

⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩

正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；

（2）按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩

正整数

整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－

22

7是分数，0.033.

3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．

【变式题组】

01．在7，0，15，－12，－301，31.25，－1

8

，100，1，－3 001中，负分数为 ，

整数为 ，正整数 .

02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－19，215，－13

8

，0.1，－5.32，123,

2.333

【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14，－15，1

6，…，找规律到第2007个数是 .

【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．归

纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－1

2007

.

【变式题组】

01（湖北宜昌）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5

＋4，第四个数是17＝9＋8…观察并猜想第六个数是 . 02．（毕节）毕达哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____. 03．（茂名）有一组数1，2，5，10，17，26…请 观察规律，则第8个数为__ __ . 【例４】（2008年河北张家口）若1＋m

2

的相反数是－3，则m 的相反数是____.

【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫 互为相反数，本题m

2＝2,m ＝4，则m 的相反数－4。

【变式题组】 01．（四川宜宾）－5的相反数是( )

A ．5

B ． 1

5 C ． －5 D ． －15

02．已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则a ＋b ＋cd ＝______

03．如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别填人适当的 数，使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数互为相反数，则填入正方形A 、B 、C 内的 三个数依次为( )

A ． － 1 ,2，0

B ． 0，－2，1

C ． －2，0，1

D ． 2，1，0

【例５】（湖北）a 、b 为有理数，且a ＞0，b ＜0，|b |＞a ，则a ,b 、－a ,－b 的大小顺序是( ) A ． b ＜－a ＜a ＜－b B ． –a ＜b ＜a ＜－b C ． –b ＜a ＜－a ＜b D ． –a ＜a ＜－b ＜b 【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点到原点的距离,

即|a |,用式子表示为|a |＝0)0(0)(0)a a a a a >⎧⎪

=⎨⎪-<⎩

(.本题注意数形结合思想，画一条数轴

标出a 、b ,依相反数的意义标出－b ,－a ,故选A ．

【变式题组】

01．推理①若a ＝b ，则|a |＝|b |；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若a ≠b ，则|a |≠|b |；④若 |a |≠|b |，则a ≠b ，其中正确的个数为（ ）

A ． 4个

B ． 3个

C ． 2个

D ． 1个 02．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，则|a |a ＋|b |b ＋|c |

c

＝ .

03．a 、b 、c 为不等于O 的有理数，则a |a |＋b |b |＋c

|c |的值可能是____.

【例６】（江西课改）已知|a －4|＋|b －8|＝0，则

a +b

ab

的值. 【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a 的绝对值都是非负数，即|a |≥0．所以|a －4|≥0，|b －8|≥0.而两个非负数之和为0，则两数均为0.

解：因为|a －4|≥0，|b －8|≥0，又|a －4|＋|b －8|＝0，∴|a －4|＝0，|b －8|＝0即a －4＝0，b －8＝0，a ＝4，b ＝8.故

a +

b ab ＝1232＝38

【变式题组】

01．已知|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，且a ＞b ＞c ，求a ＋b ＋C ． 02．（毕节）若|m －3|＋|n ＋2|＝0，则m ＋2n 的值为( )

A ． －4

B ． －1

C ． 0

D ． 4

03．已知|a |＝8，|b |＝2，且|a －b |＝b －a ，求a 和b 的值

【例７】（第18届迎春杯）已知(m ＋n )2

＋|m |＝m ，且|2m －n －2|＝0．求mn 的值．

【解法指导】本例的关键是通过分析(m ＋n )2

＋|m |的符号，挖掘出m 的符号特征,从而把问

题转化为(m ＋n )2

＝0，|2m －n －2|＝0，找到解题途径.

解：∵(m ＋n )2≥0，|m |≥O ∴(m ＋n )2＋|m |≥0，而(m ＋n )2

＋|m |＝m

∴ m ≥0,∴(m ＋n )2＋m ＝m ，即(m ＋n )2

＝0

∴m ＋n ＝O ① 又∵|2m －n －2|＝0 ∴2m －n －2＝0 ②

由①②得m ＝23，n ＝－23，∴ mn ＝－4

9

【变式题组】 01．已知(a ＋b )2

＋|b ＋5|＝b ＋5且|2a －b –1|＝0，求a －b ． 02．（第16届迎春杯）已知y ＝|x －a |＋|x ＋19|＋|x －a －96|，如果19＜a ＜96．a ≤x ≤96,

求y 的最大值.