线性代数第十讲
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设 21,αα线性无关，令
221
11 ,αβααβ=+'=，
则
11111
//ααααk ='⇒'
1121122 βαααβk k -=-=⇒。
因要求 12ββ⊥，故
) ,() ,() ,() ,(011112111212βββαββαββk k -=-==
又 θαβ≠=11，故 0) ,(11>ββ。从上式解得
)
,()
,(11121βββα=k 。
已知 21,αα线性无关，故 θβ≠2。于是 21,ββ是正交向量组。
令 222111|
|1 ,|
|1ββηββη=
=
，则 21,ηη是标准
正交向量组。此外，
},{},{ },{}{212111ηηααηα≅≅。
定理 设 V 是欧氏空间，m ααα,...,21是 V 中m 个线性无关的向量，则 V 中存在m 个标准正交的向量 m ηηη,...,,21，并且
{}{}i i ηηηααα,...,,,...,,2121≅, m i ,...,2,1=
Schmidt 正交化方法：
已知 321,,ααα线性无关
1. 正交化：
1
1αβ=
1111222)
,()
,(ββββααβ-
=
222231111333)
,()
,(),(),(ββββαββββααβ--
=；
2. 单位化：
111|
|1ββη=
，222|
|1ββη=
，333|
|1ββη=
例 已知3
R 中的
)0,0,1(),0,1,1(),1,1,1(321===ααα
求三个标准正交的向量。
解 1. 正交化
11αβ=，
)
3
2
,31,31()1,1,1(32)0,1,1(),(),(1111222-=-=-=ββββααβ
222231111333)
,()
,(),(),(ββββαββββααβ--=
)0,2
1
,21()32,31,31(9631)1,1,1(31)0,0,1(-=---=；
2. 单位化
）
，，（3
13131||1
111==ββη
）
6
2,61,61(||1
222-==ββη
)0,2
1,21(||1
333-==ββη
则 321,,ηηη即为所求的一个标准正交向量组。▌
定义 设 V 是欧氏空间，则 V 中由正交向量组构成的基称为正交基，V 中由标准正交向量组构成的基称为标准正交基。
例 欧氏空间 V 的自然基 n εεε,...,,21即是标准正交基。
定理 设 n
R V ⊆是欧氏空间，且 {
}θ≠V ，则 V 一定存在标准正交基。
例 已知欧氏空间 3
R 中的两个标准正交向量 )0,21
,21(),31,31,31(21-==ηη，
把21,ηη扩充为 3
R 的标准正交基。
解 1．把 21,ηη扩充为 3R 的一个基：
取向量 )1,0,0(3=α，易证 321,,αηη线性无关，
因此它们是 3
R 的一个基。
2．把 321,,αηη化为 3
R 的一个正交基：
令
)
3
2
,31,31( )3
1
,31,31(31)1,0,0( ),()
,(),(),(2
22231111333--=-=--=ηηηηαηηηηααβ
则 321,,βηη两两正交，且无零向量，因此它们是3
R 的一个正交基。
3．把 321,,βηη化为 3
R 的一个标准正交基：
令
)6
2
,61,61(||1
333--==
ββη
则 321,,ηηη即为 3
R 的一个标准正交基。▌
四、正交矩阵
定义 设n n R A ⨯∈，若I AA T
=，则称A 是正交矩阵。
显然，正交矩阵
A 满足 T
A A =-1。
n n ij a A ⨯=][，正交矩阵。
⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=121111n a a a α，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222122n a a a α，…，⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=nn n n n a a a 21α，
A 的列向量组。
由 I AA A A T
T == 得
][2121n T n T T
T
A A αααααα ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=n T
n T n T n n T
T
T
n T
T T αααααααααααααααααα
212221212111⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=100010001
所以
⎩⎨
⎧≠==j
i j
i j
T i ,0 ,1αα。
又 n i R ∈α（欧氏空间），且
()⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=nj j j ni i
i
j T
i a a a a a a 2121αα
nj ni j i j i a a a a a a +++= 2211
) ,(j i αα= （i α与j α的内积）
故有
⎩⎨⎧≠==j
i j
i j i ,0 ,1),(αα。