脉冲在光纤中传输

d 2 F 1 dF 2 2 m2 2 + + n k0 − β − 2 F = 0 2 ρ dρ ρ dρ
(2.20)
7
2. 本征方程
方程（ 方程（2.20）的解为： ）的解为：
F ( ρ ) = C1 J m (κρ ) + C2 N m (κρ )
这里： 这里：
(2.21)
26
1. 不同的传输区域
对标准的通信光纤： 对标准的通信光纤：
when ，the dispersion and nonlinearity can be neglected. 色散主导区满足： 色散主导区满足：
27
1. 不同的传输区域
非线性主导区满足
对于输入峰功率为1瓦的脉冲， 对于输入峰功率为 瓦的脉冲，估计一下脉宽应该分 瓦的脉冲 别满足什么条件？ 别满足什么条件？ 当光纤长度满足： 当光纤长度满足：L>LD, and L>LNL，色散和非线性 共同作用。在如此情况下， 共同作用。在如此情况下， （1）在反常色散区 ） （2）在正常色散区 ） ，光纤允许孤子传输。 光纤允许孤子传输。 ，光纤能用于脉冲压缩。 光纤能用于脉冲压缩。
κ
的值决定截止频率。 的值决定截止频率。
定义归一化频率： 定义归一化频率： 单模条件： 单模条件： V < Vc 这里Vc是满足方程 的最小值。 这里 是满足方程 J 0 (Vc ) = 0 的最小值。
Vc = 2.405
10
4. 基模 01特征 基模LP
线偏振基模的光场分布： 线偏振基模的光场分布：
24
1. 不同的传输区域
引入新的时间变量τ 引入新的时间变量τ：
引入归一化振幅U： 引入归一化振幅 ：
U满足传输方程： 满足传输方程： 满足传输方程
25
1. 不同的传输区域
根据群速度色散参数β的符号， 根据群速度色散参数β的符号，
LD与LNL分别决定了色散和非线性起主导作用的传输长度。 分别决定了色散和非线性起主导作用的传输长度。 （1）色散和非线性都可忽略： ）色散和非线性都可忽略： （2）非线性可忽略： ）非线性可忽略： （3）色散可忽略： ）色散可忽略：
物态方程： 物态方程：
(2.1) (2.2) (2.3) (2.4)
(2.5) (2.6)
2
v v v D = ε 0 E + P v v v B = µ0 H + M
1. Maxwell方程与物态方程 方程与物态方程
方程（ ）两边取旋度，并利用方程(2.2)、(2.5)、 方程（2.1）两边取旋度，并利用方程 、 、 v v (2.6)消去 B 和 D ，得到： 得到： 消去
∫
∞
−∞
v % (r , ω ) exp(−iωt )d ω E
2
ε (ω ) = ( n(ω ) + iα c 2ω )
频变折射率： 频变折射率： 吸收系数： 吸收系数：
(2.14)
(2.15)
(2.16)
5
1 n(ω ) = 1 + Re χ (1) (ω ) , % 2 ω α (ω ) = Im χ (1) (ω ) % nc
18
5.1 非线性脉冲传输
% 的傅里叶变换。 这里 A( z, ω − ω0 ) 是 A( z , t ) 的傅里叶变换。并利用关系 % % 式 β 2 − β02 ≈ 2β0 ( β − β0 )
19
5.1 非线性脉冲传输
利用这个傅里叶变换， 利用这个傅里叶变换，得到
∆β 包含光纤损耗和非线性效应。 包含光纤损耗和非线性效应。
模和TM模 当m=0时，这些模式类似于波导中的 模和 模，因为它们的轴向电 时 这些模式类似于波导中的TE模和 场和磁场分量为零。 场和磁场分量为零。当m>0，电场与磁场共六个分量全部非零。 ，电场与磁场共六个分量全部非零。
9
3. 单模条件
对每一个模式，都存在一个截止频率。 对每一个模式，都存在一个截止频率。截止条件为 γ = 0
频变折射率
透明介质的频变折射率通常用Sellmeier方程描述。 方程描述。 透明介质的频变折射率通常用 方程描述 对于熔石英材料： 对于熔石英材料：
3
n 2 (ω ) = 1 + ∑
B1 = 0.6961663 B2 = 0.4079426 B = 0.8974794 3
B jω 2 j
15
5.1 非线性脉冲传输
定义傅立叶变换： 定义傅立叶变换：
∆ω = ω − ω 0
类似的： 类似的：
16
5.1 非线性脉冲传输
采用分离变量法求解上述Helmhotz方程： 方程： 采用分离变量法求解上述 方程
{
17
5.1 非线性脉冲传输
在一阶微扰论近似下，模分布 不变， 在一阶微扰论近似下，模分布F(x,y)不变，但本征值变为： 不变 但本征值变为：
A是脉冲包络振幅，T 是脉冲包络振幅， 是脉冲包络振幅 是群速度移动 坐标系中的时间变量， 坐标系中的时间变量，方程右边三项分别描述光纤损 色散、和非线性效应。 耗、色散、和非线性效应。 根据初始脉冲的脉宽T和峰值功率 根据初始脉冲的脉宽 和峰值功率P0，可判断光纤中是色 和峰值功率 散还是非线性起主导作用。 散还是非线性起主导作用。
v v 2 v 1 ∂ E ∂ P ∇ × ∇ × E = − 2 2 − µ0 2 c ∂t ∂t
2
(2.7)
在波长0.5－ 微米范围 光纤没有共振吸收， 微米范围， 在波长 －2微米范围，光纤没有共振吸收，极 化率可写为： 化率可写为：
v v v v v v P ( r , t ) = PL ( r , t ) + PNL ( r , t )
(2.12)
4
1. Maxwell方程与物态方程 方程与物态方程
这里，傅里叶变换和它的反变换定义为： 这里，傅里叶变换和它的反变换定义为：
v v v % (r , ω ) = ∞ E (r , t ) exp(iωt )dt E ∫
−∞
可进一步写为： 频变介电常数 ε (ω ) 可进一步写为：
v v 1 E (r , t ) = 2π
脉冲在光纤中传输
王占新
1. Maxwell方程与物态方程 方程与物态方程
电磁波在光纤中传输采用Maxwell方程描述： 方程描述： 电磁波在光纤中传输采用 方程描述
v v ∇ × E = − ∂B ∂t v v v ∇ × H = J + ∂D ∂t v ∇ ⋅ D = ρ f v ∇ ⋅ B = 0 在光纤中， 在光纤中，ρ f = 0, J = 0
(2.8)
3
1. Maxwell方程与物态方程 方程与物态方程
v v ∞ (1) PL (r , t ) = ε 0 ∫ χ (t − t ′) ⋅ E (r , t ′)dt ′
−∞
−∞
(2.9)
v v v v ∞ (3) PNL (r , t ) = ε 0 ∫ ∫ ∫ χ (t − t1 , t − t2 , t − t3 )M × E (r , t1 ) E (r , t2 ) E (r , t3 )dt1dt2 dt3
n(λ ) = 1 + 5.547 × 10 (1 +
2 −4
λ
2
+
λ
4
+
λ
6
+
λ
8
).
6
公式中波长单位为埃。适用范围： 公式中波长单位为埃。适用范围：200nm-1200nm
2. 本征方程
方程（ 方程（2.11）在柱坐标系中表示为： ）在柱坐标系中表示为：
v v v v % 1 ∂E 1 ∂ 2 E ∂ 2 E % % % v ∂ E 2 2 % + + 2 + 2 + n k0 E = 0 2 2 ∂ρ ρ ∂ρ ρ ∂φ ∂z
κ = n12 k02 − β 2
(2.22)
在纤心区域， 处为奇点， 在纤心区域，Neumann函数在 ρ =0 处为奇点，利 函数在 用连续性条件可知C =0。因此： 用连续性条件可知C2=0。因此：
F ( ρ ) = J m (κρ ), ρ ≤ a;
F ( ρ ) = K m (γρ ), ρ ≥ a;
(2.26)
利用电磁场在纤心—包层界面的连续性条件， 利用电磁场在纤心 包层界面的连续性条件，得到下 包层界面的连续性条件 列本征方程： 列本征方程：
对于每一个整数m, 对于每一个整数 本征方程对应几个不同的本征值 β ， 对应一种光纤模式。 记为 β mn 。每一个本征值 β mn 对应一种光纤模式。对应的 模场分布由方程（ 模场分布由方程（2.19）表示。 ）表示。
ω2 −ω2 j =1 j
适用范围： 适用范围：2003200nm
λ1 = 0.0684043 µ m λ2 = 0.1162414 µ m λ = 9.896161 µ m 3
5.15 ×105 4.19 ×1011 4.09 × 1017 4.32 ×1023
对于氩气： 对于氩气：
20
5.1 非线性脉冲传输
γ
2 如果F(x,y)采用高斯函数近似，则 Aeff = π w0 采用高斯函数近似， 如果 采用高斯函数近似
在波长为1.5微米处， 的取值范围为20～ 在波长为 微米处， eff 的取值范围为 ～100平方微 微米处 A 平方微 如果n 米，如果 2=2.6*1020 m2/W,则 的取值范围为 ～10 则 的取值范围为1～ W-1.km-1。
极化率的非线性部分看作微扰， 极化率的非线性部分看作微扰，我们首先考虑没有 非线性的情形。方程（ ）变换到频域为： 非线性的情形。方程（2.7）变换到频域为：
2 v v % (r , ω ) − ε (ω ) ω E (r , ω ) = 0 % ∇×∇× E c2
(2.11)
这里： 这里：
% ε (ω ) = 1 + χ (1) (ω )
v v v 2 2 v 1 ∂ Eຫໍສະໝຸດ Baidu∂ PNL ∂ PL 2 ∇ E − 2 2 = µ0 2 + µ0 c ∂t ∂t ∂t 2
2
(2.28)
为求解（ ），我们做下列合理假设 为求解（2.28），我们做下列合理假设： ），我们做下列合理假设： 处理作为微扰； （1）PNL处理作为微扰； ） （2）沿光纤传输时，光场保持它的偏振态； ）沿光纤传输时，光场保持它的偏振态； （3）光场为准单色场，即 ∆ω ω0 << 1 ）光场为准单色场，
21
5.1 非线性脉冲传输
做变量替换： 做变量替换： 传输方程变为： 传输方程变为：
脉冲振幅A被归一化， 脉冲振幅 被归一化，使光强为 I = A 被归一化
2
22
群速度色散
23
1. 不同的传输区域
对脉宽大于5 的光脉冲在单模光纤中传输 的光脉冲在单模光纤中传输， 对脉宽大于 ps的光脉冲在单模光纤中传输，传输过程可采用 下面的方程描述： 下面的方程描述：
这里： 这里：
2 γ = β 2 − n2 k02
(2.23)
在包层区域，光强应该随半径增大而指数衰减，因此： 在包层区域，光强应该随半径增大而指数衰减，因此：
(2.24)
(2.25)
8
注：常数被合并到A(omega)里 常数被合并到 里
2. 本征方程
重要关系式： 重要关系式：
2 κ 2 +γ 2 = (n12 − n2 )k02
v v % ˆ E (r , ω ) = x { A(ω ) F ( x, y ) exp [i β (ω ) z ]} ;
(2.27)
对基模光场， 经常近似为： 对基模光场，F(x,y)经常近似为： 经常近似为
11
4. 基模 01特征 基模LP
12
5. 脉冲传输方程
电磁波传输方程（ ）能进一步写为： 电磁波传输方程（2.7）能进一步写为：
13
5.1 非线性脉冲传输
电场分解为快速振荡部分与包络： 电场分解为快速振荡部分与包络：
14
5.1 非线性脉冲传输
对线偏振光场， 包含两项， 对线偏振光场，PNL包含两项，三次谐波频率成分由于 相位不匹配，在传输过程不会得到持续增长，可忽略！ 相位不匹配，在传输过程不会得到持续增长，可忽略！
为得到慢变电场振幅满足的传输方程， 为得到慢变电场振幅满足的传输方程，最好能将传输 方程变换到频域，然而非线性项使直接变换不可能！ 方程变换到频域，然而非线性项使直接变换不可能！ 一种方法是：在推导传输方程时， 看作常数。 一种方法是：在推导传输方程时， ε NL 看作常数。
2
(2.18)
v 满足类似方程。考虑x方向线偏振光传输 方向线偏振光传输。 磁场 H 满足类似方程。考虑 方向线偏振光传输。
采用分离变量法求解（ 采用分离变量法求解（2.18） ）
% E x ( r , ω ) = A(ω ) F ( ρ ) exp(±imφ ) exp(-i β z )
(2.19)