高中数学北师大版高二选修 第二章概率集体备课教案
高中数学第二章概率4二项分布2教案北师大版选修2_
4 二项分布一、教学目标：1、知识与技能：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。
2、过程与方法：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。
3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
二、教学重点：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。
教学难点：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习引入：1. 已知事件B 发生条件下事件A 发生的概率称为事件A 关于事件B 的条件概率，记作(|)P A B .2. 对任意事件A 和B ，若()0P B ≠，则“在事件B 发生的条件下A 的条件概率”，记作P(A | B)，定义为(|)P AB P A B P B （）＝（）3. 事件B 发生与否对事件A 发生的概率没有影响，即(|)()P A B P A =.称A 与B 独立 4 独立重复试验的定义：指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验5．独立重复试验的概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(．它是[](1)nP P -+展开式的第1k +项 3.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．由于k n k k n q p C -恰好是二项展开式011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．（二）、探析新课：例1．十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？解：依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次∴从低层到顶层停不少于3次的概率3364455549999991111111()()()()()()()2222222P C C C C =++++ 3459990129999999911()()2()()22C C C C C C C ⎡⎤=+++=-++⎣⎦+991233(246)()2256=-= 设从低层到顶层停k 次，则其概率为k 9999111C ()()()222k k k C -=， ∴当4k =或5k =时，9k C 最大，即991()2k C 最大， 答：从低层到顶层停不少于3次的概率为233256，停4次或5次概率最大． 例2．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．（2）按比赛规则甲获胜的概率． 解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为12． 记事件A =“甲打完3局才能取胜”，记事件B =“甲打完4局才能取胜”，记事件C =“甲打完5局才能取胜”．①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜∴甲打完3局取胜的概率为33311()()28P A C ==． ②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负∴甲打完4局才能取胜的概率为2231113()()22216P B C =⨯⨯⨯=． ③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负∴甲打完5局才能取胜的概率为22241113()()()22216P C C =⨯⨯⨯=． (2)事件D ＝“按比赛规则甲获胜”，则D A B C =++，又因为事件A 、B 、C 彼此互斥，故1331()()()()()816162P D P A B C P A P B P C =++=++=++=．答：按比赛规则甲获胜的概率为12． 例3．一批玉米种子，其发芽率是0.8.（1）问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%？（2）若每穴种3粒，求恰好两粒发芽的概率．（lg 20.3010=） 解：记事件A ＝“种一粒种子，发芽”，则()0.8P A =，()10.80.2P A =-=，（1）设每穴至少种n 粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%．∵每穴种n 粒相当于n 次独立重复试验，记事件B ＝“每穴至少有一粒发芽”，则00()(0)0.8(10.8)0.2n n n n P B P C ==-=．∴()1()10.2n P B P B =-=-．由题意，令()98%P B >，所以0.20.02n <，两边取常用对数得，lg 0.2lg 0.02n <．即(lg 21)lg 22n -<-，∴lg 22 1.6990 2.43lg 210.6990n ->=≈-，且n N ∈，所以取3n ≥． 答：每穴至少种3粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%．（2）∵每穴种3粒相当于3次独立重复试验，∴每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为2230.80.20.384P C =⨯⨯==，答：每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为0.384例4．某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．解：依题意，随机变量ξ～B (2，5%)．所以，P (ξ=0)=02C (95%)=0.9025，P (ξ=1)=12C (5%)(95%)=0.095，P (2=ξ)=22C (5%)=0.0025．因此，次品数ξ的概率分布是（三）、课堂小结：本节课学习了n次独立重复试验的模型及二项分布的简单应用（四）、课堂练习：练习册第60页练习1、3（五）、课后作业：课本第56页习题2-4中A组2、5 B组中题目。
高中数学第二章概率3条件概率与独立事件教学案北师大版选修2292
A 与 B 是否相互独立．
41
26 1
1
解：抽到老 K 的概率为 P(A)＝ 52＝ 13，抽到红牌的概率 P(B)＝ 52＝2，故 P(A)P(B)＝13×
11 2＝ 26，事件 AB 即为“既抽得老 K 又抽得红牌” ，亦即“抽得红桃老 K 或方块老 K ”，故 P(AB)
21 ＝52＝ 26，从而有 P(A)P(B)＝ P(AB)，因此 A 与 B 互为独立事件 .
1 答案：
6
3．甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨
天所占的比例分别为 20%和 18%，两地同时下雨的比例为 12%，问： (1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？
(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？ 解：设“甲地为雨天”为事件 A，“乙地为雨天”为事件 P(B)＝ 0.18，P(AB)＝ 0.12.
1
P AB
解析：
P(B)＝ ， P(A∩ B)＝ ， P(A|
6
3
B)＝
P
B
1
32 ＝＝.
55
6
答案： C
1
1
2．已知 P(A| B)＝ ， P(B)＝ ，则 P(AB)＝________.
2
3
P AB 解析：∵ P(A| B)＝ P B ，
111
∴Leabharlann P(AB)＝P(A|
B)P(B)＝
2× 3＝
. 6
232211 331 ＝×× ＋××＋××
543543 543
23 ＝.
60
恰有一人合格的概率：
1 23 1 25 5 P1＝1－P0－ P2－ P3＝ 1－ 10－ 60－ 10＝60＝ 12.
高中数学 第二章 概率教案 北师大版选修2-3
第二章概率§1离散型随机变量及其分布列第1课时随机变量(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解随机变量的含义．(2)会用随机变量描述随机现象．2．过程与方法通过具体实例，感受现实生活中大量随机现象存在着的数量关系，经历概念的形成过程，从而体会概念的内涵．3．情感、态度与价值观体会数学来源于生活，也应该服务于生活，增强学习数学的兴趣．●重点难点重点：随机变量的概念．难点：用随机变量描述随机现象．教学时从具体实例出发，引导学生观察、分析、掌握随机变量的概念，通过例题与练习让学生在应用中更深入理解其概念以强化重点，引导学生通过对用随机变量表示随机试验的结果的理解来化解难点．(教师用书独具)●教学建议本节课宜采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“随机变量”为基本探究内容，以掷骰子试验为突破口，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过各种尝试活动，充分认识理解“随机变量”的概念及应用．●教学流程创设问题情境，提出问题．⇒引导学生回答问题，理解随机变量的概念．⇒通过例1及变式训练，使学生加深对随机变量概念的理解．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握用随机变量描述随机现象．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫.正【问题导思】(1)抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上，反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？(2)在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗棵数为X，则X取什么数字？【提示】(1)可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．(2)X＝0,1,2，…10.随机变量的概念及其表示(1)随机变量的定义：将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量．(2)随机变量通常用大写的英文字母如X，Y来表示.判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)北京国际机场候机厅中2013年5月1日的旅客数量；(2)2013年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；(3)2013年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；(4)体积为1 000 cm3的球的半径长．【思路探究】判断所给的量是否随试验结果的变化而变化，发生变化的是随机变量．【自主解答】(1)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．(4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．1．解答本题主要是运用随机变量的定义，透彻理解定义是解此类题的关键．2．随机变量X满足三个特征：(1)可以用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取何值．下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某天新坐标书业公司信息台接到咨询电话的个数；(2)标准大气压下，水沸腾的温度；(3)在将要举行的绘画作品评比中，设一、二、三等奖，某同学的一件作品获得的奖次；【解】(1)接到咨询电话的个数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．(2)标准大气压下，水沸腾的温度100℃是定值，所以不是随机变量．(3)获得的奖次可能是1,2,3，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；(2)从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．【思路探究】分析题意→写出X可能取的值→分别写出取值所表示的结果【自主解答】(1)设所需的取球次数为X，则X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1,2， (11)(2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3,4,5， (11)X＝3，表示取出标有1,2的两张卡片；X＝4，表示取出标有1,3的两张卡片；X＝5，表示取出标有2,3或标有1,4的两张卡片；……X＝11，表示取出标有5,6的两张卡片．1．解答此类问题，关键是要弄清题意，第(1)问中，X＝1,2，…，11所表示的结果不需要分别列出来，只写出X＝i即可．2．在写出随机变量的取值表示的试验结果时，要特别注意随机变量的一个值表示多个试验结果的情况，不能遗漏某些试验结果．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)一袋中装有5个同样大小的球，编号为1,2,3,4,5，现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数ξ；(2)电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间ξ分钟．【解】(1)ξ可取3,4,5.ξ＝3，表示取出的3个球的编号为1,2,3；ξ＝4，表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4；ξ＝5，表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5.(2)ξ的可能取值为区间[0,59.5]内任何一个值，每一个可能取值表示他所等待的时间.忽视变量的实际意义致误在含有3件次品的100件产品中任意抽取2件，其中次品件数x是一个随机变量，写出x的可能的值，并说明随机变量的取值表示的事件．【错解】随机变量x的可能取值为1,2.x＝1表示抽到1件次品，x＝2表示抽到2件次品．【错因分析】忽视了x的实际意义即遗漏了x＝0的情况．【防范措施】解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及取每一个值时对应的意义．【正解】随机变量x的可能取值为0,1,2.x＝0表示抽到0件次品即抽到的都是正品，x＝1表示抽到1件次品，x＝2表示抽到2件次品．2．随机变量与函数的异同点：1．抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是( ) A．2颗都是4点B．1颗1点，另一颗3点C．2颗都是2点D．1颗是1点，另1颗是3点；或者2颗都是2点【解析】由于抛掷1颗骰子，可能出现的点数是1,2,3,4,5,6这6种情况之一，而X表示抛掷2颗骰子所得到的点数之和，所以X＝4＝1＋3＝2＋2表示的随机试验结果是：1颗是1点，另一颗是3点；或者2颗都是2点．【答案】 D2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是( )A．取到产品的件数B．取到正品的概率C．取到次品的件数D．取到次品的概率【解析】取到次品的件数可能为0,1,2是随机的，可作为随机变量．【答案】 C3．一串钥匙有5把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数ξ的最大可能取值为________．【解析】因为只有5把钥匙，最多只需试验4次，故ξ≤4.【答案】 44．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，写出“ξ＝6”时表示的试验结果．【解】根据题意可知，ξ＝6表示甲在前5局中胜3局且在第6局中胜出或乙在前5局中胜3局且在第6局中胜出．一、选择题1．下列不是随机变量的是( )A．从编号为1～10号的小球中随意取一个小球的编号B．从早晨7∶00到中午12∶00某人上班的时间C．A、B两地相距a km，以v km/h的速度从A到达B的时间D．某十字路口一天中经过的轿车辆数【解析】选项C中“时间”为确定的值，故不是随机变量．【答案】 C2．抛掷质地均匀的硬币一次，下列能称为随机变量的是( )A．出现正面向上的次数B．出现正面或反面向上的次数C．掷硬币的次数D．出现正、反面向上的次数之和【解析】掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上次数来描述随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量X，X的取值是0,1，故选A.而B中标准模糊不清，C中掷硬币次数是1，都不是随机变量，D中对应的事件是必然事件．故选A.【答案】 A3．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，不放回地从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为( ) A．1,2,3，…，6 B．1,2,3，…，7 C．0,1,2，…，5 D．1,2，…，5【解析】由于取到白球游戏结束，那么取球次数可以是1,2,3，…，7，故选B.【答案】 B4．下列变量不是随机变量的是( )A．掷一枚骰子，所得的点数B．一射手射击一次，击中的环数C．某网站一天的点击量D．标准状态下，水在100 ℃时会沸腾【解析】D对应的是必然事件，试验前便知是必然出现的结果，所以不是随机变量，故选D.【答案】 D5．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是( )A．第5次击中目标B．第5次未击中目标C．前4次均未击中目标D．第4次击中目标【解析】ξ＝5表示前4次均未击中目标．【答案】 C二、填空题6．抛掷两颗骰子，所得点数之和记为X，则X＝5表示的随机试验的结果是________．【解析】两颗骰子的点数之和为5，则共有两种情况，1,4或2,3.【答案】一颗骰子是1点，另一颗是4点，或一颗骰子是2点，另一颗是3点．7．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量x描述1次试验的成功次数，则x的值可以是________．【解析】这里“成功率是失败率的2倍”是干扰条件，对1次试验的成功次数没有影响，故x可能取值有两种，即0,1.【答案】0,18．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________．【解析】因为答对的个数可以取0,1,2,3，所对应的得分为－300，－100,100,300，∴ξ可取－300，－100,100,300.【答案】－300，－100,100,300三、解答题9．连续向一目标射击，直到命中目标为止，所需要的射击次数为X，写出X＝6所表示的试验结果．【解】X＝6表示的试验结果是“射击了6次，前5次都未击中目标，第6次击中目标”．10．盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为ξ.(1)写出ξ的所有可能取值；(2)写出{ξ＝1}个所表示的事件．【解】(1)ξ可能取的值为0,1,2,3.(2){ξ＝1}表示的事件为：第一次取得次品，第二次取得正品．11．设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，ξ表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，写出ξ所有可能取值并说明这些值所表示的试验结果．【解】ξ可能取值为0,1,2,3,4,5.“ξ＝0”表示第一盏信号灯就停下；“ξ＝1”表示通过了一盏信号灯，在第2盏信号灯前停下；“ξ＝2”表示通过了两盏信号灯，在第3盏信号灯前停下；“ξ＝3”表示通过了三盏信号灯，在第4盏信号灯前停下；“ξ＝4”表示通过了四盏信号灯，在第5盏信号灯前停下；“ξ＝5”表示在途中没有停下，直达目的地.(教师用书独具)指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．①广州国际机场候机室中一天的旅客数量；②某人射击一次命中的环数；③每天游览济南大明湖的人数；④从装有3个红球，2个白球的袋子中随机摸取2球，所得红球的个数；⑤某人的性别随年龄的变化．【思路探究】解答本题可利用随机变量的定义去分析相应的实例．【自主解答】①候机室的旅客数量可能是：0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．②某人射击一次，可能命中的环数是0,1,2，…，10，这11个结果中出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．③每天游览大明湖的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．④从袋子中取球，所得红球的数量可能是0个，1个，2个，其中究竟出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．⑤某人的性别是与生俱来的，不随年龄的变化而变化，不是随机变量．写出下列随机变量的可能取值，并说明相应取值所对应的随机试验结果．(1)袋中装有10个红球、5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；(2)从4张已编号(1～4号)的卡片中任意取出2张，被取出的卡号数之和为X.【解】(1)X的可能取值为0,1,2,3,4，X＝k表示取出k个红球，4－k个白球，其中k＝0,1,2,3,4.(2)X的可能取值为3,4,5,6,7.其中，X＝3表示取出分别标有1,2的2张卡片；X＝4表示取出分别标有1,3的2张卡片；X＝5表示取出分别标有1,4或2,3的2张卡片；X＝6表示取出分别标有2,4的2张卡片；X＝7表示取出分别标有3,4的2张卡片．第2课时离散型随机变量及其分布列(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念．(2)掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质．2．过程与方法通过具体实例，感受现实生活中的数学原型，经历概念的形成过程，体会概念的内涵．3．情感、态度与价值观体会数学来源于生活，也应该服务于生活，增强学习数学的兴趣．●重点难点重点：离散型随机变量分布列及其性质的应用．难点：求离散型随机变量的分布列．教学时引导学生结合学习过的概率，来理解离散型随机变量分布列的概念及性质，通过例题与练习加深对其理解，通过观察、比较、分析找出分布列的特点及求法，以强化重点，化解难点．(教师用书独具)●教学建议教材通过掷骰子试验的例子概括出离散型随机变量分布列的概念，教学时可通过引导启发学生类比函数的表示法来探究分布列的表示方法，通过例题让学生归纳分布列的性质特点，通过独立自主和合作交流进一步理解分布列．●教学流程创设问题情境，提出问题．⇒通过引导学生回答问题，让学生掌握离散型随机变量及其分布列．⇒通过例1及变式训练，掌握离散型随机变量的判定．⇒通过例2及互动探究掌握如何求离散型随机变量的分布列．⇒通过例3及变式训练掌握离散型随机变量的性质及应用．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正.掷一枚骰子，所得点数为x ，x 是离散型随机变量吗？x 可取哪些数字？x 取不同的值时，其概率分别是多少？【提示】 是，x ＝1,2,3,4,5,6，概率均为16.1．离散型随机变量随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量．2．离散型随机变量X的分布列(1)定义：设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…，随机变量X取a i的概率为p i(i＝1,2，…)，记作：P(X＝a i)＝p i(i＝1,2，…)，①或把①式列成如下表格：如果随机变量X的分布列为上述表格或①式，我们称随机变量X服从这一分布(列)，并记为a1a2p1p2….X～[](2)性质：在离散型随机变量X的分布列中，①p i>0；②p1＋p2＋ (1)(1)某座大桥一天经过的车辆数X；(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.【思路探究】随机变量的实际背景→判断取值是否具有可列性→得出结论【自主解答】 (1)车辆数X 的取值可以一一列出，故X 为离散型随机变量． (2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量． (3)不是离散型随机变量，水位在(0,29]这一范围内变化，不能按次序一一列举．1．解答此类问题的关键在于明确随机变量的取值是否都能“一一列出”． 2．判断一个变量是否是离散型随机变量的步骤 (1)分析变量是否是随机变量； (2)考察随机变量的值域；(3)判断这些取值能否按一定顺序列举出来，若能则是离散型随机变量．判断下列变量是否为离散型随机变量： (1)下节课外语老师提问学生的次数η； (2)同时掷两枚硬币得到硬币反面向上的个数X ； (3)汽车的使用寿命Y ； (4)小麦的单位面积产量X .【解】 (1)(2)中的随机变量的取值均能一一列出，故为离散型随机变量． (3)(4)中的随机变量取值不能一一列出，故不是离散型随机变量．分，每取到一个白球得1分，每取到一个红球得2分，用X 表示得分数，求X 的分布列．【思路探究】 确定X 的可能取值―→ 求X 取每一个值的概率―→列表【自主解答】 由题意知，X 的可能取值是0,1,2,3,4， P (X ＝0)＝C 24C 29＝4×39×8＝16.P (X ＝1)＝C 14·C 13C 29＝13.P (X ＝2)＝C 14·C 12＋C 23C 29＝4×2＋39×82＝1136. P (X ＝3)＝C 13·C 12C 29＝3×29×82＝16.P (X ＝4)＝C 22C 29＝136.故X 的分布列为1．解答本题首先要明确X 指的是什么，能取哪些值． 2．解答此类题目，要注意解题格式．本例中，若每取到一个黑球得0分，每取到一个白球也得0分，每取到一个红球得2分，其它条件不变，求X 的分布列．【解】 由题意知，X 的可能取值是0,2,4. P (X ＝0)＝C 27C 29＝712，P (X ＝2)＝C 17C 12C 9＝718，P (X ＝4)＝C 22C 29＝136.故X 的分布列为设随机变量X 的分布列P (X ＝5)＝ak (k ＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a 的值； (2)求P (X ≥35)；(3)求P (110<X <710)．【思路探究】 (1)先求出X 的分布列，再根据分布列的性质确定a .(2)、(3)中的概率利用互斥事件的概率公式结合分布列求解即可．【自主解答】 依题意，随机变量X 的分布列为(1)由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，得a ＝15.(2)P (X ≥35)＝P (X ＝35)＋P (X ＝45)＋P (X ＝55)＝315＋415＋515＝45，或P (X ≥35)＝1－P (X ≤25)＝1－(115＋215)＝45.(3)因为110<X <710，所以X ＝15，25，35.故P (110<X <710)＝P (X ＝15)＋P (X ＝25)＋P (X ＝35)．＝115＋215＋315＝25.1．随机变量的取值不一定是整数，它的取值一般来源于实际问题，并有特定的含义． 2．随机变量在某一范围内取值的概率等于在这一范围内取每个值的概率之和．已知随机变量X 的概率分布列，求随机变量Y ＝X 2的分布列.【解】 4与1，即Y 取4这个值的概率为X 取－2与2的概率112与212合并的结果，Y 取1这个值的概率为X 取－1与1的概率312与112合并的结果，故Y 的分布列为离散型随机变量分布列的应用(12分)袋中装有标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量X 的概率分布列； (3)计算介于20分到40分之间的概率．【思路点拨】 解答本题(1)利用古典概型公式求解即可；解答本题(2)的关键在于确定X 的所有可能取值；解答本题(3)由题意知计算介于20分到40分之间的概率等于X ＝3与X ＝4的概率之和，由(2)易得其概率．【规范解答】 (1)法一 “一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则P (A )＝C 35C 12C 12C 12C 310＝23.4分法二 “一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B ，则事件A 和事件B 是对立事件，2分因为P (B )＝C 15C 22C 18C 10＝13，3分所以P (A )＝1－P (B )＝1－13＝23.4分(2)由题意，X 所有可能的取值为2,3,4,5.5分 P (X ＝2)＝C 22C 12＋C 12C 22C 310＝130；6分 P (X ＝3)＝C 24C 12＋C 14C 22C 310＝215；7分 P (X ＝4)＝C 26C 12＋C 16C 22C 310＝310；8分P (X ＝5)＝C 28C 12＋C 18C 22C 310＝815.9分 所以随机变量X 的概率分布列为10分(3)“一次取球得分介于20分到40分之间”的事件记为C，则P(C)＝P(X＝3或X＝4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝215＋310＝1330.12分离散型随机变量分布列问题融合了排列、组合，古典概型、互斥事件、对立事件的概率等知识，是较强的综合应用．1．离散型随机变量可能取的值为有限个或可列举的无限个，或者说能将它的可能取值按一定次序一一列出．2．求离散型随机变量的分布列时应注意以下几点(1)确定离散型随机变量的分布列的关键是搞清X取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出X取每一个值的概率．(2)在求离散型随机变量X的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样可以减少运算量，也可利用分布列的性质验证分布列是否正确.1．如果ξ是一个离散型随机变量，则假命题是( ) A ．ξ取每一个可能值的概率都是非负实数 B ．ξ取所有可能值的概率之和为1C ．ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和D ．ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和 【解析】 根据离散型随机变量的特点易知D 是假命题． 【答案】 D2．若随机变量X 的分布列如下，则m 的值是( )A.13B.12C.6D.4【解析】 由分布列的性质得m >0，且13＋16＋m ＝1，故m ＝12.【答案】 B3．设随机变量ξ等可能取值1,2,3，…，n ，若P (ξ<4)＝0.3，则n 的值为________． 【解析】 由条件知，ξ取1,2,3，…，n 时的概率均为1n.又∵ξ<4时，n ＝1,2,3，且P (ξ<4)＝0.3，∴3n＝0.3即n ＝10.【答案】 104．一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，摸出白球，1，摸出红球.求X 的分布列；(2)从中任意摸出两个球，用“X ＝0”表示两个球全是白球，用“X ＝1”表示两个球不全是白球，求X 的分布列．【解】 (1)X 的分布列如下表：(2)X 的分布列如下表：一、选择题1．设随机变量X的分布列如下，则下列各式中正确的是( )A.P(X＝1)＝0.1 B．P(X＞－1)＝1C．P(X＜3)＝1 D．P(X＜0)＝0【解析】根据分布列知只有A正确．【答案】 A2．下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数ξ是一个随机变量；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η是一个随机变量；③某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数ξ是一个随机变量；④1天内的温度η是一个随机变量．其中是离散型随机变量的为( )A．①②B．③④C．①③D．②④【解析】①中经过的车辆数和③中寻呼次数都能列举出来，而②④中都不能列举出来，所以①③中的ξ是一个离散型随机变量．【答案】 C3．(2013·东营高二检测)已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝12k，k＝1,2，…，则P(2<ξ≤4)等于( )A.316B.14C.116D.15【解析】2<ξ≤4时，ξ＝3,4.∴P(2<ξ≤4)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝123＋124＝316.【答案】 A4．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1,2,3,4,5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积记为X，则X所有可能值的个数是( ) A．6 B．7 C．10 D．25 【解析】X的所有可能值有1×2,1×3,1×4,1×5,2×3,2×4,2×5,3×4,3×5,4×5，共计10个．【答案】 C5．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋里各任意取出1个球，设取出的白球个数为X ，则下列概率中等于C 18C 16＋C 14C 16C 112C 112的是( )A ．P (X ＝0)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2)【解析】 C 18C 16表示从甲袋中取出的是白球，从乙袋中取出的是红球的方法数，C 14C 16表示从甲袋中取出的是红球，从乙袋中取出的是白球的方法数，恰好对应X ＝1.【答案】 C 二、填空题6．邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X (单位：克)，如果P (X ＜10)＝0.3，P (10≤X ≤30)＝0.4，那么P (X ＞30)等于________．【解析】 根据随机变量的概率分布的性质，可知P (X ＜10)＋P (10≤X ≤30)＋P (X ＞30)＝1，故P (X ＞30)＝1－0.3－0.4＝0.3.【答案】 0.37．(2013·岳阳高二检测)设X 是一个离散型随机变量，其分布列为，则q 等于________．【解析】 由分布列的性质知⎩⎪⎨⎪⎧1－2q ≥0，q 2≥0，12＋1－2q ＋q 2＝1，∴q ＝1－22. 【答案】 1－228．由于电脑故障，随机变量X 的分布列中部分数据丢失，以代替，其表如下：【解析】 由概率和为1知，最后一位数字和必为零， ∴P (X ＝5)＝0.15，从而P (X ＝3)＝0.25.∴P (X 为奇数)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6. 【答案】 0.6 三、解答题9．(2013·阜阳高二检测)某电视台举行选拔大奖赛，在选手综合素质测试中，有一道把我国四大文学名著《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《红楼梦》与他们的作者连线的题目，每连对一个得3分，连错不得分，记一位选手该题得分为X .(1)求该选手得分不少于6分的概率； (2)求X 的分布列.【解】 (1)P (X ＝6)＝C 24A 44＝14，P (X ＝12)＝1A 44＝124，该选手得分不少于6分的概率为P ＝P (X ＝6)＋P (X ＝12)＝724.(2)X 的可能取值是0,3,6,12.P (X ＝3)＝C 14×2A 44＝13，P (X ＝0)＝1－724－13＝924＝38.X 的分布列为10．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X 的分布列为期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．Y 表示经销一件该商品的利润． 求Y 的分布列．【解】 Y 的可能取值为200元，250元，300元．P (Y ＝200)＝P (X ＝1)＝0.4，P (Y ＝250)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4， P (Y ＝300)＝P (X ＝4)＋P (X ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2.故Y 的分布列为图2－1－111．(2013·江西高考改编)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率；(2)求X的分布列．【解】(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C28＝28种，当X＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X＝0)＝828＝27.(2)两向量数量积X的所有可能取值为－2，－1,0,1，X＝－2时，有2种情形；X＝1时，有8种情形；X＝－1时，有10种情形．所以X的分布列为(教师用书独具)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，。
高中数学北师大版高二选修2-3第二章概率集体备课教案2.4
中心 发言 人 学法
郭 伟 强
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教 学 过 程
品，抽检 n 件时所得次品数 X=m，则 P( X m) 称随机变量 X 服从超几何分布。 (二)、探析新课：
m M Cn CN nm .此时我们 M CN
课本 P43 问题引入
1、条件概率定义：已知事件 B 发生条件下事件 A 发生的概率称为事件
富县高级中学集体备课教案 年级 :高二
课题 三维 目标 重点 难点 教法
教具
(一)、复习引入： 超几何分布：在产品质量的不放回抽检中，若 N 件产品中有 M 件次 探析归纳，讲练结合
科目 ：数学
条件概率
授课人：
第 4 课时
1、知识与技能：通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义. 2、过程与方法：掌握一些简单的条件概率的计算. 3、情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用. 条件概率定义的理解 概率计算公式的应用
P( B C | A) P( B |批产品共 50 件，其中 5 件次品，45 件合格品，从这批产品中 任意抽 2 件，求其中出现次品的概率.
例 2.在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题.如果不放回地依次抽取 2 道题，求：
过
(l）第 1 次抽到理科题的概率； (2）第 1 次和第 2 次都抽到理科题的 概率； (3） 在第 1 次抽到理科题的条件下， 2 次抽到理科题的概率． 第
例 3.甲乙两市位于长江下游，根据一百多年的记录知道，一年中雨天 的比例，甲为 20%，乙为 18%，两市同时下雨的天数占 12%. 求：① 乙
A 关于事件 B 的条件概率，记作 P( A | B) . 当 P( B) 0 时，有
P( A | B)
高中数学 第二章概率全部教案 北师大版选修2
北师大版高中数学选修2-3第二章《概率》全部教案§1 离散型随机变量及其分布列第一课时离散型随机变量一、教学目标：1、知识目标：⑴理解随机变量的意义；⑵学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量的例子；⑶理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量。
2、能力目标：发展抽象、概括能力，提高实际解决问题的能力。
3、情感目标：学会合作探讨，体验成功，提高学习数学的兴趣.二、教学重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义教学难点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义三、教学方法：讨论交流，探析归纳四、内容分析：本章是在初中“统计初步”和高中必修课“概率”的基础上，学习随机变量和统计的一些知识．学习这些知识后，我们将能解决类似引言中的一些实际问题五、教学过程（一）、复习引入：1．随机事件及其概率：在每次试验的结果中，如果某事件一定发生，则称为必然事件，记为U；相反，如果某事件一定不发生，则称为不可能事件,记为φ.随机试验：为了研究随机现象的统计规律性，我们把各种科学实验和对事物的观测统称为试验．如果试验具有下述特点：（1）试验可以在相同条件下重复进行；（2）每次试验的所有可能结果都是明确可知的，并且不止一个；（3）每次试验之前不能预知将会出现哪一个结果，则称这种试验为随机试验简称试验。
2．样本空间:样本点：在相同的条件下重复地进行试验,虽然每次试验的结果中所有可能发生的事件是可以明确知道的,并且其中必有且仅有一个事件发生,但是在试验之前却无法预知究意哪一个事件将在试验的结果中发生.试验的结果中每一个可能发生的事件叫做试验的样本点,通常用字母ω表示.样本空间: 试验的所有样本点ω1，ω2，ω3，…构成的集合叫做样本空间,通常用字母Ω表示,于是,我们有Ω={ω1，ω2，ω3，… }3.古典概型的特征：古典概型的随机试验具有下面两个特征：（１）有限性.只有有限多个不同的基本事件;（２）等可能性.每个基本事件出现的可能性相等.概率的古典定义 在古典概型中，如果基本事件的总数为n ，事件Ａ所包含的基本事件个数为ｒ（），则定义事件Ａ的概率为.即(二)、探析新课：1、随机变量的概念：随机变量是概率论的重要概念，把随机试验的结果数量化可使我们对随机试验有更清晰的了解，还可借助更多的数学知识对其进行深入研究．有的试验结果本身已具数值意义，如产品抽样检查时的废品数，而有些虽本无数值意义但可用某种方式与数值联系，如抛硬币时规定出现徽花时用1表示，出现字时用0表示．这些数值因试验结果的不确定而带有随机性，因此也就称为随机变量．2、随机变量的定义：如果对于试验的样本空间 中的每一个样本点，变量 都有一个确定的实数值与之对应，则变量 是样本点 的实函数，记作 ．我们称这样的变量 为随机变量．3、若随机变量 只能取有限个数值或可列无穷多个数值则称 为离散随机变量，在高中阶段我们只研究随机变量 取有限个数值的情形 （三）、例题探析例1、（课本例1）已知在10件产品中有2件不合格品。
高中数学 第二章 概率 4 二项分布教学案 北师大版选修
§4二项分布[对应学生用书P28]某篮球运动员进行了3次投篮，假设每次投中的概率都为45，且各次投中与否是相互独立的，用X 表示这3次投篮投中的次数，思考下列问题．问题1：如果将一次投篮看成做了一次试验，那么一共进行了多少次试验？每次试验有几个可能的结果？提示：3次，每次试验只有两个相对立的结果投中(成功)，未投中(失败)． 问题2：X ＝0表示何意义？求其概率．提示：X ＝0表示3次都没投中，只有C 03＝1种情况，P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫153.问题3：X ＝2呢？提示：X ＝2表示3次中有2次投中，有C 23＝3种情况，每种情况发生的可能性为⎝ ⎛⎭⎪⎫452·15.从而P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫452·15.二项分布进行n 次试验，如果满足以下条件：(1)每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”； (2)每次试验“成功”的概率均为p ，“失败”的概率均为1－p ； (3)各次试验是相互独立的．用X 表示这n 次试验中成功的次数，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )． 若一个随机变量X 的分布列如上所述，称X 服从参数为n ，p 的二项分布，简记为X ～B (n ，p )．1．P (X ＝k )＝C kn ·p k(1－p )n －k.这里n 为试验次数，p 为每次试验中成功的概率，k 为n次试验中成功的次数．2．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三：其一是对立性，即一次试验中，事件发生与否，二者必居其一；其二是重复性，即试验重复地进行了n次；其三是各次试验相互独立．[对应学生用书P28][例1]活到70岁的概率为0.6，试问3个投保人中：(1)全部活到70岁的概率；(2)有2个活到70岁的概率；(3)有1个活到70岁的概率．[思路点拨] 每人能否活到70岁是相互独立的，利用二项分布公式可求．[精解详析] 设3个投保人中活到70岁的人数为X，则X～B(3,0.6)，故P(X＝k)＝C k30.6k·(1－0.6)3－k(k＝0,1,2,3)．(1)P(X＝3)＝C33·0.63·(1－0.6)0＝0.216；即全部活到70岁的概率为0.216.(2)P(X＝2)＝C23·0.62·(1－0.6)＝0.432.即有2个活到70岁的概率为0.432.(3)P(X＝1)＝C13·0.6·(1－0.6)2＝0.288.即有1个活到70岁的概率为0.288.[一点通] 要判断n次试验中A发生的次数X是否服从二项分布，关键是看试验是否为独立重复试验，独立重复试验的特点为：(1)每次试验是在相同的条件下进行的；(2)每次试验的结果不会受其他试验的影响，即每次试验是相互独立的；(3)基本事件的概率可知，且每次试验保持不变；(4)每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生．1．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，出现“3个正面，1个反面”的概率是( )A.12B.38C.25D.14解析：由题意，出现正面的次数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12， ∴出现3个正面1个反面的概率为P (X ＝3)＝C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×12＝14.答案：D2．甲每次投资获利的概率是p ＝0.8，对他进行的6次相互独立的投资，计算： (1)有5次获利的概率； (2)6次都获利的概率．解：用X 表示甲在6次投资中获利的次数，则X 服从二项分布B (6,0.8)，且 (1)P (X ＝5)＝C 560.85(1－0.8)≈0.39， 他5次获利的概率约等于0.39. (2)P (X ＝6)＝C 660.86≈0.26. 他6次都获利的概率约等于0.26.3．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，求： (1)甲恰好击中目标2次的概率； (2)乙至少击中目标2次的概率； (3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率． 解：(1)甲恰好击中目标2次的概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38.(2)乙至少击中目标2次的概率为 C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝2027. (3)设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A ，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B 1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B 2，则A ＝B 1＋B 2，B 1，B 2为互斥事件．P (A )＝P (B 1)＋P (B 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233·C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝118＋19＝16.[例2] 的事件是相互独立的，并且概率都是25，设X 为途中遇到红灯的次数．求(1)随机变量X 的分布列；(2)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．[思路点拨] 求随机变量的分布列，首先应根据题目中的条件确定离散型随机变量的取值，然后再求随机变量取各个值的概率．[精解详析] (1)由题意X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，则P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫250⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝27125，分) P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫251⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝54125， 分) P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫252⎝ ⎛⎭⎪⎫351＝36125， 分) P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫253⎝ ⎛⎭⎪⎫350＝8125.分)∴X 的分布列为(8分)(2)由题意知，“至少遇到一次红灯”的对立事件是“一次红灯都没有遇到”．因此有P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－27125＝98125. 分)[一点通] 解决这类问题一般步骤：(1)判断所述问题是否是相互独立试验；(2)建立二项分布模型；(3)求出相应概率；(4)写出分布列．4．设某批电子手表正品率为34，次品率为14，现对该批电子手表进行测试，设第X 次首次测到正品，则P (X ＝3)等于( )A ．C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34B ．C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫342×14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34D.⎝ ⎛⎭⎪⎫342×14解析：P (X ＝3)是前两次未抽到正品，第三次抽到正品的概率，则P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34.答案：C5．某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%.现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数X 的分布列．解：由题意，得到的次品数X ～B (2,0.05)，P (X ＝0)＝C 02×0.952＝0.902 5；P (X ＝1)＝C 12×0.05×0.95＝0.095；P (X ＝2)＝C 22×0.052＝0.002 5.因此，次品数X 的分布列如下：6．射击运动员在双向飞碟比赛中，每轮比赛连续发射两枪，击中两个飞靶得2分，击中一个飞靶得1分，不击中飞靶得0分．某射击运动员在每轮比赛连续发射两枪时，第一枪命中率为23，第二枪命中率为13，该运动员进行2轮比赛．(1)求该运动员得4分的概率为多少？ (2)若该运动员所得分数为X ，求X 的分布列． 解：(1)记“运动员得4分”为事件A ， 则P (A )＝23×13×23×13＝481.(2)X 的可能取值为0,1,2,3,4.P (X ＝0)＝P (X ＝4)＝481， P (X ＝1)＝P (X ＝3)＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝2081，P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫134＋⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝3381.∴X 的分布列为1．各次试验互不影响，相互独立；每次试验只有两个可能的结果，且这两个结果是对立的；两个结果在每次试验中发生的概率不变，是判断随机变量服从二项分布的三个条件．2．二项式[(1－p )＋p ]n的展开式中，第k ＋1项T k ＋1＝C kn (1－p )n －k p k，可见P (X ＝k )＝C k np k (1－p )n －k 就是二项式[(1－p )＋p ]n 的展开式中的第k ＋1项．[对应课时跟踪训练十二1．若X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13，则P (X ＝2)＝( )A.316 B.4243 C.13243D.80243解析：∵X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13， ∴P (X ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝80243.答案：D2．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中发生的概率为( )A.13B.25C.56D.34解析：事件A 在一次试验中发生的概率为p ，由题意得1－C 04p 0(1－p )4＝6581.所以1－p＝23，p ＝13. 答案：A3．某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有2次击中目标的概率为( )A.81125 B.54125 C.36125D.27125解析：至少有2次击中目标包含以下情况： 只有2次击中目标，此时概率为 C 23×0.62×(1－0.6)＝54125，3次都击中目标，此时的概率为C 33×0.63＝27125，∴至少有2次击中目标的概率为54125＋27125＝81125.答案：A4．甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他次投篮结果的影响，设投篮的轮数为X ，若甲先投，则P (X ＝k )等于( )A ．0.6k －1×0.4 B ．0.24k －1×0.76 C ．0.4k －1×0.6D ．0.76k －1×0.24解析：甲每次投篮命中的概率为0.4，不中的概率为0.6，乙每次投篮命中的概率为0.6，不中的概率为0.4，则在一轮中两人均未中的概率为0.6×0.4＝0.24，至少有一人中的概率为0.76. 所以P (X ＝k )的概率是前k －1轮两人均未中，第k 轮时至少有一人中，则P (X ＝k )＝0.24k－1×0.76. 答案：B5．设X ～B (2，p )，若P (X ≥1)＝59，则p ＝________.解析：∵X ～B (2，p )，∴P (X ＝k )＝C k 2p k (1－p )2－k，k ＝0,1,2.∴P (X ≥1)＝1－P (X <1) ＝1－P (X ＝0) ＝1－C 02p 0(1－p )2＝1－(1－p )2.由P (X ≥1)＝59，得1－(1－p )2＝59，结合0<p ≤1，得p ＝13.答案：136．某一批花生种子，如果每一粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是________．解析：每粒种子的发芽概率为45，并且4粒种子的发芽与不发芽互不影响，符合二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，45，则4粒种子恰有2粒发芽的概率为：C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝96625.答案：966257．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为35，且各次射击的结果互不影响．该射手射击了5次，求：(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率； (2)其中恰有3次击中目标的概率．解：(1)该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也即在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又各次射击的结果互不影响，故所求其概率为P 1＝35×⎝⎛⎭⎪⎫1－35×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×35＝1083 125；(2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标，击中次数X ～B (5，35)，故所求其概率为P (X ＝3)＝C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎫353×⎝⎛⎭⎪⎫1－352＝216625.8．(四川高考)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；(2)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X ，求X 的概率分布列．解：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么1－P (C )＝1－110p ＝4950，解得p ＝15.(2)由题意，P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫1103＝11 000，P (X ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1102×⎝⎛⎭⎪⎫1－110＝271 000， P (X ＝2)＝C 23×110×⎝⎛⎭⎪⎫1－1102＝2431 000， P (X ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎪⎫1－1103＝7291 000. 所以，随机变量X 的概率分布列为。
高中数学 第二章 概率整合学案 北师大版选修2-3(2021年最新整理)
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高中数学 第二章 概率整合学案 北师大版选修2—3知识建构⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=⎪⎩⎪⎨⎧•==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-====∑=---正态分布连续型随机变量连续型随机变量均值与方差的性质均值与方差独立事件条件概率条件概率与独立事件二项分布超几何分布定义及性质分布列离散型随机变量概率n i i i r r k n k k n n N kn MN k M pEX X DX p a p a p a EX B P A P AB P A P AB P A B P p p C k X P C C C k X P 122211)()()()()()()|()1()()( 综合应用专题一利用分布列的性质解题分布列的计算是概率部分计算的延伸,概率讨论的是某一具体事件概率的计算，分布列讨论的是全部基本事件概率的计算，求解有关离散型随机变量的分布列问题的重要基础是对基本概念的理解和概率的计算.任一离散型随机变量的概率分布列都有如下性质：（1）p i ≥0，i=1，2,3，…,n ；（2）∑==ni 11.已知离散型随机变量的分布列（含未知参数）,可利用两条性质求出其中的未知参数。
【例】随机变量X 的分布列如下表，求常数a.解：由离散型随机变量X 的概率分布列的性质（2）知： 0。
高中数学 第二章 概率小结与复习(一)教案 北师大版选修2-3-北师大版高二选修2-3数学教案
第二章概率一、教学目标：1、理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性2、理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题二、教学重点：（1）离散型随机变量及其分布列（2）条件概率及事件的独立性（3）离散型随机变量的期望与方差。
教学难点：离散型随机变量及其分布列及其两个基本性质。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、知识梳理1、随机变量的概念：如果随机试验的结果可以用一个变量X表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，那么这样的变量X叫随机变量，随机变量常用希腊字母X、Y、…表示。
如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量。
2、离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量X可能取得的值为，X取得每一个值的概率为，则称表为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．离散型随机变量X的分布列的性质：（1）（2）一般的，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。
3、二点分布如果随机变量X的分布列为，其中，则称离散型随机变量X服从参数为的二点分布．4、超几何分布：一般的，设有总数为N件的两类物品，其中一类有n件，从所有物品中任取M件（M≤N），这M件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为（０≤≤，为n和M中较小的一个）。
我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布．5、条件概率：一般地，设A，B为两个事件，且，称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。
一般把读作“A发生的条件下B的概率”．古典概型中，若用表示事件A中基本事件的个数，则。
6、条件概率的性质：条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即。
如果B和C是两个互斥事件，则.7、事件的独立性：设A，B为两个事件，如果，则称事件A与事件B相互独立，并把A，B这两个事件叫做相互独立事件。
高中数学 第二章 概率整合学案 北师大版选修23
高中数学 第二章 概率整合学案 北师大版选修2-3知识建构⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=⎪⎩⎪⎨⎧•==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-====∑=---正态分布连续型随机变量连续型随机变量均值与方差的性质均值与方差独立事件条件概率条件概率与独立事件二项分布超几何分布定义及性质分布列离散型随机变量概率n i i i r r k n k k n nN kn MN k M pEX X DX p a p a p a EX B P A P AB P A P AB P A B P p p C k X P C C C k X P 122211)()()()()()()|()1()()(Λ 综合应用专题一利用分布列的性质解题分布列的计算是概率部分计算的延伸，概率讨论的是某一具体事件概率的计算，分布列讨论的是全部基本事件概率的计算，求解有关离散型随机变量的分布列问题的重要基础是对基本概念的理解和概率的计算.任一离散型随机变量的概率分布列都有如下性质：（1）p i ≥0,i=1,2,3,…,n;(2)∑==ni 11.已知离散型随机变量的分布列（含未知参数），可利用两条性质求出其中的未知参数.解：由离散型随机变量X 的概率分布列的性质（2）知： 0.16+10a +a 2+5a+0.3=1, ∴10a 2+3a-5.4=0. ∴a=53或a=-109. 又由分布列的性质（1）知：概率的数值不可能为负，∴a=-109舍去. 故所求常数a=53.绿色通道:离散型随机变量的概率分布列的性质指的是表中的第二行概率的特点，而且，离散型随机变量在某个范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和..专题二事件的相互独立性【例1】有三种灯泡，合格率分别为0.90,0.95,0.95，现各抽取一件进行检验.求:（1）恰有一件不合格的概率；（2）至少有2件不合格的概率.分析：设从三种灯泡中抽到合格品的事件分别记为事件A、B、C，显然A、B、C是相互独立的，并且事件“恰有1件不合格”及“至少有2件不合格”均可由A、B、C及其对立事件来表示.解：设P（A）=0.90,P(B)=0.95,P(C)=0.95.(1)恰有1件不合格的概率为P(A·B·C+A·B·C+A·B·C)=0.10×0.952+0.90×0.05×0.95+0.90×0.95×0.05=0. 175 75.(2)至少有2件不合格的概率为P（A·B·C+A·B·C+A·B·C+A·B·C）=0.10×0.05×0.95+0.10×0.95×0.05+0.90×0.052+0.10×0.052=0.012.绿色通道:该例综合性较强，需将复杂的事件分解为互斥事件的和以及独立事件的积，或其对立事件.【例2】制造一种零件，甲机床制造的产品中正品率为0.96, 乙机床制造的产品中正品率为0.95，从它们制造的产品中各任抽一件，求：（1）两件都是正品的概率是多少？（2）恰有一件正品的概率是多少？分析：分别用A、B表示从甲、乙机床制造的产品中抽得正品.由题意知A、B是相互独立事件，A B、A B是互斥事件.解：(1)“两件都是正品”记为事件AB，则P（AB）=P（A）·P（B）=0.96×0.95=0.912. (2)“恰有一件正品”记为事件A B∪A B,则P（A B∪A B）=P（A B）+P(A B)=(1-0.96)×0.95+0.96×(1-0.95)=0.086.绿色通道:解决此类问题，必须弄清楚：若A与B互相独立，则A与B，A与B都相互独立，A B与A B互斥.专题三离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的期望是离散型随机变量的重要的数字特征，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此不仅要掌握其计算公式，还要掌握其计算方法.一、利用定义求期望根据定义求离散型随机变量的期望首先要求分布列，然后利用公式EX=a1p1+a2p2+…+a r p r求解.【例1】某人参加工作竞聘，需回答三个问题，竞聘规定，每题回答正确得100分，不正确得-100分，假定这名竞聘者每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响.求这名竞聘者回答这三个问题的总得分的数学期望.分析：先求分布列，再利用定义求期望.解：故设X 为这名竞聘者的总得分，则X 的可能取值为-300，-100，100，300.P(X=-300)=0.23=0.008,P(X=-100)=3×0.22×0.8=0.096,P(X=100)=3×0.2×0.82=0.384,P(X=300)=0.83=0.512. 故X 的概率的分布列为所以EX=（-300）×0.008+(-100)×0.096+100×0.384+300×0.512=180. 绿色通道:期望与分布列联系密切，分布列离不开概率，而概率又离不开排列组合.正确地求出随机变量的概率分布，是求数学期望的关键.解题时，确定随机变量X 取哪些值及其相应的概率，是利用定义求期望的重点.. 【例2】已知随机变量X 的分布列如下:求随机变量X 的期望.分析：要求随机变量X 2的期望可考虑先求出其分布列，然后利用定义求解.2利用X 的分布列求EX ，得 EX 2=0×0.1+1×0.4+4×0.5=2.4.另外我们也可以直接利用随机变量X 的分布列求EX 2，EX 2=（-2）2×0.2+(-1)2×0.1+02×0.1+12×0.3+22×0.3=2.4. 这两种算法实质上是一致的，后者是利用随机变量X 的分布列直接进行计算，同样的方法也可以计算EX 3，EX 4等.二、利用分布模型的期望公式求数学期望 （1）若X 服从两点分布,则EX=p.（2）若X 服从参数为N 、M 、n 的超几何分布，则EX=NmM. (3)若X —B （n,p ），则EX=np. 【例3】某寻呼台共有客户3 000人，若寻呼台准备了100份礼物，邀请客户在指定时间来领取，假设任意客户去领奖的概率为4%，问：寻呼台能否向每一位客户都发出邀请？若能使每一位领取人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少份礼品？分析：来多少人是一个随机变量，而显然是服从二项分布的，用数学期望来反映平均来领奖的人数，即能说明问题.解：设来领奖的人数X=k(k=0,1,2,…,3 000),所以P （X=k ）=C k3000(0.04)k·(1-0.04)3 000-k.可见X —B （3 000，0.04）. 所以EX=3 000×0.04=120(人).所以寻呼台不能向每一位客户都发出邀请，若能使每一位领取人都得到礼品，寻呼台至少应准备120份礼品.绿色通道:数学期望反映了随机变量取值的平均水平，用它来刻画、比较取值的平均情况，在一些实际问题中有重要的价值. 三、利用方差的性质求期望【例4】随机变量X 的数学期望EX=2,方差DX=4，求EX 2的值.分析：本题首先要找出EX 与DX 之间的关系，进一步探讨EX ，DX ，EX 2三者之间的关系，寻找解题的突破口.解：EX 2=x 12p 1+x 22p 2+x 32p 3+…DX=(x 1-EX)2p 1+(x 2-EX)2p 2+(x 3-EX)2p 3+…=(x 12p 1+x 22p 2+x 32p 3+…)-2EX(x 1p 1+x 2p 2+x 3p 3+…)+(EX)2(p 1+p 2+p 3+…) =EX 2-2EX·EX+（EX ）2 =EX 2-（EX ）2.将EX=2，DX=4带入上式得4=EX 2-22.∴EX 2=8.绿色通道:此题利用了方差的性质DX=EX 2-（EX ）2进行求解.如再进一步求E （4X 2-3）可得E（4X 2-3）=4EX 2-3=4×8-3=29.. 四、利用导数求期望 【例5】射手击中目标的概率为p(0<p<1)，求开始射击到击中目标所需要的射击次数X 的期望.分析：利用导数公式（q k）′=kq k-1,及∞→k lim (q+q 2+q 3+…+q k)=∞→k lim qqq q q k -=--11)1(求解.解：P （X=k ）=p(1-p)k-1（k=1,2,3, …）,记q=1-p,则由分布列的性质得∑∞=1k =1(1-q)q k=1,即∑∞=1k q k=q q -1,两边对q 求导，得∑∞=1k kq k-1=2)1(1q -. ∴EX=∑∞=1k kp(1-p)k-1=(1-q)∑∞=1k kq k-1=(1-q )·.1)1(12p q =- 绿色通道:本题巧妙地将EX 转化为EX=（1-q ）∑∞=1k kq k-1=(1-q)∑∞=1k (q k)′,利用导数和极限以及等比数列求和公式求解..专题四期望、方差中的最值问题【例】若随机事件A 在1次试验中发生的概率为p(0<p<1)，用随机变量X 表示A 在1次试验中发生的次数.(1)求方差DX 的最大值.(2)求EXDX 12-的最大值. 分析：利用二次函数及均值不等式求最值.解：随机变量X 的所有可能取值为0，1，并且有P （X=1）=p ，P （X=0）=1-p. 从而EX=0·（1-p ）+1·p=p,DX=（0-p ）2（1-p ）+（1-p ）2p=p-p 2. （1）DX=p-p 2=-（p 2-p+41）+41=-（p-21）2+41. ∵0<p<1, ∴当p=21时，DX 取得最大值41. (2))12(21)(2122pp p p p Ex DX --=--=-. ∵0<p<1, ∴2p+p1≥22. 当且仅当2p=p1时，即p=22时取“=”.因此，当p=22时，EXDX 12-取得最大值2-22. 绿色通道:显然随机事件A 服从两点分布，易求得EX 和DX ，求DX 的最大值用二次函数，求EXDX 12-的最大值则用均值不等式. 科海观潮概率论的缘起与发展1.概率论的缘起对概率论的兴趣，本来是由保险事业的发展而产生的，但刺激数学家思考概率论的一些特殊问题却来自赌博者的请求.在17世纪的许多欧洲国家里，贵族之间盛行赌博之风，而掷骰子则是一种常见的赌博方式.这种骰子的形状为小正方体，当它被掷出时，每个面向上的可能性是相等的，即出现1点至6点中任何一个点数的可能性是相等的.这时期，法国一位热忠于掷骰子赌博的贵族德·梅耳发现了这样一个事实：将一个骰子连掷四次至少出现一个6点的机会比较多，而同时将两个骰子掷24次至少出现一次双6的机会却很少.这是什么原因呢？后人称此为著名的德·梅耳问题.此后又提出了“分赌注问题”：两个赌徒相约赌若干局，谁先赢s 局就算赢了.现在一个人赢a(a<s)局，另一个人赢b(b<s)局，赌博因故中止.问赌局应怎样分法才合理？诸如此类计算可能性大小的赌博问题困扰了梅耳很久，于是他向当时的法国数学家帕斯卡请教了上述问题.帕斯卡思考了这个问题，且将这个问题及自己的解法又寄给了另一个数学家费马，从1654年7月9日起，帕斯卡与费马便开始互相通信来讨论这一问题，并对这一问题首次得出了正确答案，之后他们将此题的解法向更一般的情况推广，从而建立了概率论的一个基本概念——数学期望.费马与帕斯卡通信讨论的问题被来到巴黎的荷兰数学家惠更斯获悉，回荷兰后，他独立地对此问题进行了研究，他经过多年的潜心研究，解决了掷骰子中的一些数学问题.1657年，惠更斯的著作《论赌博中的计算》出版，此书是概率论最早的论著，提出了数学期望、概率的加法定理与乘法定理等基本概念.因此，可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费马和惠更斯.2.概率论的发展在三位创立者之后，为概率论成为一个独立的数学分支作出贡献的是瑞士学家雅各布·贝努利.他在前人研究的基础上继续分析赌博中的其他问题，他证明了掷n个骰子所得总点m这样场合的数为（x+x2+x3+x4+x5+x6）n展开式中x m这一项的系数，这不仅是概率论的一个妙解，而且开了母函数的先河.1713年出版了雅各布·贝努利的遗作《猜度术》，建立了概率论中的第一个极限定律，即贝努利大数定律.这一定律指出，概率是相对频率的数学抽象，贝努利的这一理论在概率的发展史上起到了理论奠基的作用，是研究等可能性事件的古典概率论中的极其重要的结果.19世纪初期概率论的巨大进步是和法国科学家拉普拉斯分不开的.他将古典概率论向近代概率论推进.1812年，拉普拉斯的名著《分析的概率理论》出版，在书中他系统地总结了前人关于概率的研究成果，明确了概率的古典定义，在概率论中引入分析方法，把概率论提高到一个新的阶段，把此前各数学家关于概率的零星结果系统化.1814年第二版的书名换为《概率论的哲学导论》，书中给概率下的定义是：“有利情况的个数与所有可能情况个数之比.”他还证明了“隶莫弗——拉普拉斯定理”，把隶莫弗的结论推广到一般场合.概率论在19世纪后期再度迅速发展起来，这一时期的主要成就是中心极限定理，主要人物是俄国的切比雪夫，他于1866年建立的独立随机变量的大数定律，使贝努利和泊松的大数定律成为其特例，他还把隶莫弗与拉普拉斯的极限定理推广成一般的中心极限定理.1906年，切比雪夫的学生俄国数学家马尔科夫提出了有名的“马尔科夫链”.从20世纪20年代起，前苏联的大数学家柯尔莫哥洛夫开始从测度论的途径来改造概率论.1933年他出版了《概率论基础》，他的这本书中建立了柯尔莫哥洛夫公理化概率论，即概率论的公理体系，他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支.。
[推荐学习]高中数学第二章概率4二项分布1教案北师大版选修2_3
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4 二项分布一、教学目标：1、知识与技能：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。
2、过程与方法：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。
3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
二、教学重点：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。
教学难点：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。
三、教学方法：讨论交流，探析归纳四、教学过程（一）、复习引入：1. 已知事件B 发生条件下事件A 发生的概率称为事件A 关于事件B 的条件概率，记作(|)P A B .2. 对任意事件A 和B ，若()0P B ≠，则“在事件B 发生的条件下A 的条件概率”，记作P(A | B)，定义为(|)P AB P A B P B （）＝（）3. 事件B 发生与否对事件A 发生的概率没有影响，即(|)()P A B P A =.称A 与B 独立（二）、探析新课：1独立重复试验的定义：指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验2．独立重复试验的概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(．它是[](1)nP P -+展开式的第1k +项 3.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．由于k n k k n q p C -恰好是二项展开式011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布（binomial distribution )，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．例1．某射手每次射击击中目标的概率是0 . 8.求这名射手在 10 次射击中，(1)恰有 8 次击中目标的概率； (2)至少有 8 次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．) 解：设X 为击中目标的次数，则X ～B (10, 0.8 ) .(1)在 10 次射击中，恰有 8 次击中目标的概率为 P (X = 8 ) ＝88108100.8(10.8)0.30C -⨯⨯-≈.(2)在 10 次射击中，至少有 8 次击中目标的概率为 P (X ≥8) = P (X = 8) + P ( X = 9 ) + P ( X = 10 )8810899109101010101010100.8(10.8)0.8(10.8)0.8(10.8)C C C ---⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-0.68≈. 例2．某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）：（1）5次预报中恰有4次准确的概率；（2）5次预报中至少有4次准确的概率解：（1）记“预报1次，结果准确”为事件A ．预报5次相当于5次独立重复试验，根据n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率计算公式，5次预报中恰有4次准确的概率4454455(4)0.8(10.8)0.80.41P C -=⨯⨯-=≈答：5次预报中恰有4次准确的概率约为0.41.例3．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是14，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字）解：记事件A ＝“1小时内，1台机器需要人照管”，1小时内5台机器需要照管相当于5次独立重复试验1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率55513(0)(1)()44P =-=， 1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率145511(1)(1)44P C =⨯⨯-， 所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为[]551(0)(1)0.37P P P =-+≈。
高中数学北师大版高二选修2-3第二章概率集体备课教案
单位
学
O
a
b
它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出 总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线 x=a，x=b 及
x 轴所围图形的面积．
观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右 对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数
过
的图象来表示或近似表示：
简称 ；
x 2
2
2
, x R 的图像称为正态分布密度曲线，
正态分布完全由参数 与 确定，常记做 量Ｘ服从正态分布， 记做 ， 则Ｘ的均值ＥＸ＝
，如果随机变
， ＤＸ＝
；
2 ３、若Ｘ : N , , 则有 P X
P 2 X 2 P 3 X 3
（四）作业：完成新学案
教 学 反 思 备课组长：
5
王新敞
奎屯 新疆
-3σ ，μ +3σ ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分 （三）例题探析：
王新敞
奎屯
新疆
例 1、给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ 和标准 差σ （１） f ( x)
1 2 1
e
x2 2
, x (,)
（２） f ( x)
2 2
e
王新敞
奎屯 新疆
1 2
e
x2 2
， （-∞＜x＜+∞） 其相应的曲
何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题 5、对于正态总体 N (, 2 ) 取值的概率：
王新敞
奎屯
新疆
高中数学第二章概率2超几何分布教案北师大版选修2
2 超几何分布一、教学目标： 1、通过实例，理解超几何分布及其特点；2、掌握超几何分布列及其导出过程；3、通过对实例的分析，会进行简单的应用。
二、教学重难点：重点：超几何分布的理解；分布列的推导。
难点：具体应用。
三、教学方法：讨论交流，探析归纳 四、教学过程 （一）、复习引入：1、随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量: 随机变量只能取有限个数值或可列无穷多个数值则称为离散随机变量，在高中阶段我们只研究随机变量取有限个数值的情形.3. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i=1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列4. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ（二）、探析新课：1、二点分布：如果随机变量X 的分布列为：2、超几何分布在产品质量的不放回抽检中，若N 件产品中有M 件次品，抽检n 件时所得次品数X=m则()m M m n N nMNC C P X m C --==.此时我们称随机变量X 服从超几何分布1）超几何分布的模型是不放回抽样2）超几何分布中的参数是M,N,n （三）、知识方法应用例1．在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？ 解：由题意可见此问题归结为超几何分布模型由上述公式得411020530(4)0.029C C P X C ==≈ 例2.一批零件共100件，其中有5件次品.现在从中任取10件进行检查，求取道次品件数的分布列. 解：由题意例3、4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选三人中女生人数.（1）求ξ得分布列；（2）求所选三人中女生人数1≤ξ的概率. 解：（1）（2）5)1(=≤ξP 例4、交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列.例4、由180只集成电路组成的一批产品中，有8只是次品，现从中任抽4只，用ξ表示其中的次品数，试求：（1）抽取的4只中恰好有k 只次品的概率；（2）抽取的4只产品中次品超过1只的概率. 练习：3、从分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9的9张卡片中任取2张，则两数之和是奇数的概率是________________.【95】 4、从装有3个红球，2个白球的袋中随机 取出2个球，设其中有ξ个红球，则ξ得分 布列是___________________________________.（四）、小结：超几何分布：在产品质量的不放回抽检中，若N 件产品中有M 件次品，抽检n 件时所得次品数X=m 则()m M m n N nM NC C P X m C --==.此时我们称随机变量X 服从超几何分布1）超几何分布的模型是不放回抽样2）超几何分布中的参数是M,N,n 。
高中数学北师大版高二 选修 第二章概率集体备课教案
富县高级中学集体备课教案年级:高二科目：数学授课人：
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥事件有
图2-3-2
教 学 反 思
备课组长：
例2．如图232--，用,,X Y Z 三类不同的元 件连接成系统N ．当元件,,X Y Z 都正常工作
时，系统N 正常工作．已知元件,,X Y Z 正常工作的概率依次为0.80，
0.90，0.90，求系统N 正常工作的概率P ．
例3．甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：
（1）2人都射中目标的概率；（2）2人中恰有1人射中目标的概率；（3）2人至少有1人射中目标的概率；（4）2人至多有1人射中目标的概率？ 2、练习：课本P45页练习 （五）．小结：
1、当A ，B 独立时，B ,A 也是独立的，即A 与B 独立是相互的， ()()P A B P A =；()()P B A P B =；
2、当A ，B 独立
或()()()P AB P A P B =.或A 事件的发生不影响事件B 的发生概率。
（六）作业：课本P47,3,4.新学案。
高中数学北师大版高二选修23第二章概率集体备课教案
年级:高二科目：数学授课人：课题二项分布第6课时
三维
目标
1、知识与技能：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题.2、过程与方法：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算.3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值.
重点
理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题
中心发言人
郭伟强
难点
能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算
教法
讨论交流，探析归纳
学法
（个人主页）
教具
教
学
过
程
教
学
过
程
教
学
过
程
（一）、复习引入：
1.已知事件 发生条件下事件 发生的概率称为事件 关于事件 的条件概率，记作 .
…
n
P
…
…
由于 恰好是二项展开式
中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布（binomial distribution )，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记 ＝b(k；n，p)．
例1．某射手每次射击击中目标的概率是0 . 8.求这名射手在 10 次射击中，(1)恰有 8 次击中目标的概率； (2)至少有 8 次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．)
3.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是
，（k＝0,1,2,…，n， ）．
高中数学北师大版高二选修 第二章概率集体备课教案
2.已知随机变量 服从二项分布即 ~B(6、 )求b (2；6， )
3、已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量 和 ，已知 和 的分布列如下：（注得分越大，水平越高）
1
2
3
p
a
0.1
0.6
1
2
3
p
0.3
b
0.3
试分析甲、乙技术状况.
3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值.
重点
离散型随机变量的方差、标准差
中心发言人
郭伟强
难点
比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题
教法
讨论交流，探析归纳
学法
（个人主页）
教具
教
学
过
学
过
程
（一）、复习引入：
1.数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
富县高级中学集体备课教案
年级:高二科目：数学授课人：
课题
离散型随机变量的方差
第8课时
三维
目标
1、知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差.
2、过程与方法：了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差.
ξ
x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
则称 … … 为ξ的数学期望，简称期望
2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
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x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
则称 … … 为ξ的数学期望，简称期望
2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
3.平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令 … ，则有 … ， … ，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值
3.期望的一个性质: ；13.若ξ B（n,p），则Eξ=np
3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值.
重点
离散型随机变量的方差、标准差
中心发言人
郭伟强
难点
比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题
教法
讨论交流，探析归纳
学法
（个人主页）
教具
教
学
过
程
教
学
过
程
教
学
过
程
（一）、复习引入：
1.数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
（四）、课堂小结：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ；④根据方差、标准差的定义求出 、 .若ξ～B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．⑵对于两个随机变量 和 ，在 和 相等或很接近时，比较 和 ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要
例2．1.设 ～B(n、p)且E =12 D =4，求n、p
2.已知随机变量 服从二项分布即 ~B(6、 )求b (2；6， )
3、已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变
3
p
a
0.1
0.6
1
2
3
p
0.3
b
0.3
试分析甲、乙技术状况.
富县高级中学集体备课教案
年级:高二科目：数学授课人：
课题
离散型随机变量的方差
第8课时
三维
目标
1、知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差.
2、过程与方法：了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差.
（二）、探析新课：
1. 方差:对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是 ， ，…， ，…，且取这些值的概率分别是 ， ，…， ，…，那么,
＝ ＋ ＋…＋ ＋…
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的 是随机变量ξ的期望．
2. 标准差: 的算术平方根 叫做随机变量ξ的标准差，记作 ．
3.方差的性质：（1） ；（2） ；（3）若ξ～B(n，p)，则 np(1-p)
（五）、作业布置：课本P62页习题2-5中A组2、3 B组题目
教
学
反
思
备课组长：
4.其它：⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛
（三）、例题探析：
例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.