贵州大学数学分析考研真题.docx

贵州大学

2016 年硕士生入学考试式题

考试科目：数学分析

注：题大多数为靠回忆写的，个别题可能与真题不一样，但类型相同。

一、（共 90 分）

1、每小题 6 分，判断正误，并说明理由）

（1）、设 lim

f ( x) 存在， lim g( x) 存在，则存在。 x x 0

g ( x) x x 0

（2）、设有数列 a n 满足 lim( a n 1 a n ) 0，则极限 lim a n 0 。

n

n

（3）、若 f ( x) 在开区间 (a,b) 上连续，则 f ( x) 在 (a,b) 上一致连续。 （4）、若 f ( x) 在 [ a, b] 上严格单调递增，则

f ( x) 在 ( a,b) 内必有 f ( x) 0

sin x

2、求极限

lim tan x

x

tant dt

。（6 分）

sin t dt

3、设 f ( x) xe x 2

1

x 0

sin x cos x

x

，求 f ( x) 。（ 6）

4、设 f ( x) 为区间 [ a,b] 上的连续函数，且

x 1 , x 2 , , x n ( a, b) . 证明 : 存在

(a, b) ，使

得 f ( )

1

n (2 k 1) f ( x k ) .（6 分）

n 2

k 1

5、证明：当 0

x

时，tan x 2sin x 3x 。（ 6 分）

2

6、求数列

n

n 中的最大项。 （ 6 分）

7、求 cos 2

xdx 。（ 6 分）

4 x 2

2

4 x 2

8、设 I

dx 2 x f x, y dy

dx 2 x

2

2 2

f x, y dy ，请改变 I 的积分次序。 （ 7 分）

、设

cos ， y Rsin sin ，

z 为常数，

9x Rsin

Rcos ,R

求（ ） , ;(2) z z 。(8分)

x x y y

1

ln(1 x)

10、

计算积分

x(1

x 2 )dx (15 分 )

二．（每小题 12 分，共 60 分） 1、 求

(e x sin2y y)dx (2e x

cos2y 100)dy, 其中 l 为单位圆从点（

1， 0）到点（ -1， 0）

l

的上半圆周和从点（

-1，0）到点（ 1， 0）的直线段组成的闭路。

2、 设 f ( x) 在 [a,b] 连续，在（ a,b ）有二阶导数。连接 (a, f (a) )和 (b, f (b) )的直线段交曲

线

y

f ( x) 于 (c, f (c) ), a

,使 f ( ) 0 。

1

n 1 1

n 1

3、 设 a 2 n

, a 2n

1,2, )

。判断级数

( 1)

a n 的敛散性， 并证明

1

n

dx, (n

n

x

n 1

1 1

ln n) 。

下列极限存在：

lim

(1

n

n

2

4、 设 f ( x) 是 [0,1] 上的连续函数，且 f (1) 0 ，证明函数序列

g n ( x)

x n f ( x)

(n

1,2, )

在 [0,1] 上一致收敛。

5 、 设 a 是常数，已知方程

2

z

2 z

2z

0 （原自变量

x, y ）在自变量变换

x 2

2

y 2

x y

u

x y,

x ay 作用下，可化为关于 u, 的方程 2

z

0 ，证明 a

1 （假定所有一

u

2

阶二阶偏导都连续）