高二数学导数中的恒成立问题专题学案含答案

（1）讨论函数 f (x) 的单调性；
（2）若对于任意的 a [1 ,2] ，不等式 f (x) 10 在[1 ,1] 上恒成立，求 b 的取值范围．
2
4
解：（1） f (x) 1 a ． x2
当 a 0 时，显然 f (x) 0 (x 0) ．这时 f (x) 在 (, 0) ，(0, ) 上内是增函数．
∴当 x 1时， f (x) 取得极大值 f (1) 5 8c ，又 f (0) 8c ， f (3) 9 8c ． 则当 x [0,3]时， f (x) 的最大值为 f (3) 9 8c ．
∵对于任意的 x [0,3]，有 f (x) c2 恒成立，∴ 9 8c c2 ，解得 c 1或 c 9 ， 因此 c 的取值范围为 (,1) (9, ) ．
[1 2
,
2]
成
从而得 b 7 ，∴满足条件的 b 的取值范围是 (, 7] ．
4
4
法二：变量分离．
∵
f
(x)
10
，∴ b
10
(x
a) x
，即
b
10
(x
a x
)min
．
令 g(x)
10 (x
a)， x
g ( x)
1
a x2
x2 a x2
0，
∴ g(x) 在[1 ,1] 上递减， g(x) 最小值为 g(1) 4a 39 4 2 39 7 ，
a 的最大值．
解：（1）函数 f (x) 的定义域是 (1, ) ，
f (x) 2ln(1 x) x2 2x 2(1 x) ln(1 x) x2 2x ．
1 x (1 x)2
(1 x)2
设 g(x) 2(1 x) ln(1 x) x2 2x ．
则 g(x) 2ln(1 x) 2x ，令 h(x) 2ln(1 x) 2x ，则 h(x) 2 2 2x ． 1 x 1 x
解：
【针对练习 3】已知函数 f (x) ax3 3 x2 1 (x R) ，其中 a 0 ．若在区间[ 1 , 1] 上，
2
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f (x) 0 恒成立，求 a 的取值范围．
解：
【例题 3】已知函数 f (x) ln2(x 1) x2 ．
1 x
（1）求函数 f (x) 的单调区间；
（2）若不等式 (1 1)na e 对任意的 n N 都成立（其中 e 是自然对数的底数），求 n
最值法总结：区间给定情况下，转化为求函数在给定区间上的最值． 【针对练习 2】已知函数 f (x) ax4 ln x bx4 c (x 0) 在 x 1处取得极值 3 c ，其中
a 、 b 、 c 为常数． （1）试确定 a 、 b 的值；（2）讨论函数 f (x) 的单调区间； （3）若对任意 x 0 ，不等式 f (x) 2c2 恒成立，求 c 的取值范围．
（2）法一：化归为最值．
由（2）知， f (x) 在 [1 ,1] 上的最大值为 f (1 ) 与 f (1) 的较大者，对于任意的
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4
a [1 , 2] ，不等式 2
立．
f
(x)
10
在[
1 4
,1]
上恒成立，当且仅当
f f
(1) 10 4 (1) 10
，即
b b
39
4 9
a
4a
，对
a
（1）求 a 、 b 的值；（2）若对于任意的 x [0,3]，都有 f (x) c2 成立，求 c 的取值
范围．
解：（1） f (x) 6x2 6ax 3b ，
∵函数 f (x) 在 x 1及 x 2 取得极值，则有 f (1) 0 ， f (2) 0 ．
即
6 6a 3b 24 12a 3b
n
n
n
a
1 ln(1
1
)
n
．设
G(x)
1 ln(1
x)
1 x
，
x
(0,1]
，则
n
G( x)
(1
1 x) ln2 (1
x)
1 x2
(1 x) ln2(1 x) x2 x2 (1 x) ln2(1 x)
．
由（1）知， ln2(1 x) x2 0 ，即 (1 x) ln2(1 x) x2 0 ．
综上，满足条件的 a 的取值范围是 (,2] ．
说明：上述方法是不等式放缩法．
【针对练习 1】设函数 f (x) ex 1 x ax2 ，当 x 0 时， f (x) 0，求 a 的取值范围．
解：
【例题 2】设函数 f (x) 2x3 3ax2 3bx 8c 在 x 1及 x 2 时取得极值．
第讲 时间： 年 月 日
一、 兴趣导入
导数中的恒成立问题
刘满江老师
学生签名：
二、 学前测试
§1. 函数 y f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义
函数 y f (x) 在点 x0 处的导数是曲线 y f (x) 在 P(x0, f (x0 )) 处的切线的斜率，Leabharlann 相应的切线方程是.
§2.几种常见函数的导数
0
0
，解得
a
3
，
b
4
．
（2）由（1）可知， f (x) 2x3 9x2 12x 8c ， f (x) 6x2 18x 12 6(x 1)(x 2) ．
当 x (0,1) 时， f (x) 0 ；当 x (1, 2)时， f (x) 0 ；当 x (2,3) 时， f (x) 0 ．
【例题 4】已知三次函数 f (x) ax3 5x2 cx d 图象上点 (1,8) 处的切线经过点 (3,0) ，并
且 f (x) 在
x 3处有极值．
（1）求 f (x) 的解析式；（2）当 x (0,m) 时， f (x) 0 恒成立，求实数 m 的取值范
围．
解：（1）∵ f (x) 3ax2 10x c ，∴ f (1) 3a 10 c ，
∴ x 0 时， g(x) g(0) ，即 f (x) ax ．
（2）若 a 2 ，方程 g(x) 0 的正根为 x1 ln a
a2 4 ， 2
此时，若 x (0, x1) ，则 g(x) 0 ，故 g(x) 在该区间为减函数．
∴ x (0, x1) 时， g(x) g(0) 0 ，即 f (x) ax ，与题设 f (x) ax 相矛盾．
上是减函数，又 f (1) 3 ． 22
（1）求 f (x) 的解析式；（2）若在区间[0,m] (m 0) 上恒有 f (x) x 成立，求 m 的取 值范围．
解：
三、双参数中知道其中一个参数的范围型：
【例题 5】已知函数 f (x) x a b (x 0) ，其中 a ， b R ． x
∴当 m 3 时， f (x) 0 在 (0, m) 内不恒成立，当且仅当 m(0,3] 时， f (x) 0 在
(0, m) 内恒
成立，∴ m 的取值范围为 (0,3] ．
【针对练习 6】（07 陕西文）已知 f (x) ax3 bx2 cx 在区间[0,1]上是增函数，在区间
(,0) ， (1,)
（2）
f
(x)
3x2
10x 3
(3x 1)(x 3)
，由
f
(x)
0 得 x1
1 3
，
x2
3．
当 x (0, 1) 时， f (x) 0 ， f (x) 单调递增，∴ f (x) f (0) 9 ； 3
当 x (1 ,3) 时， f (x) 0 ， f (x) 单调递减，∴ f (x) f (3) 0 ． 3
两次导数）；④写出变
量的取值范围．
【针对练习 4】已知 f (x) (x 1) ln x x 1 ，若 xf (x) x2 ax 1，求 a 的取值范围．
解：
【针对练习 5】若对所有的 x [e,) 都有 xln x ax a 成立，求实数 a 的取值范围． 解：
二、单参数放在区间上型：
当 1 x 0时， h(x) 0 ， h(x) 在 (1,0) 上为增函数，
当 x 0 时，h(x) 0 ，h(x) 在 (0, ) 上为减函数．∴ h(x) 在 x 0 处取得极大值，
而 h(0) 0 ，∴ g(x) 0 (x 0)，函数 g(x) 在 (1, ) 上为减函数．
于是当 1 x 0 时， g(x) g(0) 0 ，当 x 0 时， g(x) g(0) 0 ．
1 x
∴ G(x) 0 ， x (0,1] ，于是 G(x) 在 (0,1] 上为减函数．
故函数 G(x) 在 (0,1] 上的最小值为 G(1) 1 1．∴a 的最大值为 1 1．
ln 2
ln 2
小结：解决此类问题用的是恒成立问题的变量分离的方法，此类方法的解题步骤是：
①分离变量；②构造
函数（非变量一方）；③对所构造的函数求最值（一般需要求导数,有时还需求
①C'=
；② (xn )'
； ③ (sin x)'
；
④ (cos x)'
；
⑤ (ax )'
； ⑥ (ex )'
§3.导数的运算法则
； ⑦ (loga x)'
；⑧ (ln x)'
（ 1 ） (u v)'
.
（ 2 ） (uv)'
.
（3）
(u )' v
. (v 0)
§4.复合函数求导法则
值； 值.
三、 方法培养
一、单参数放在不等式上型： 【例题 1】设函数 f (x) ex ex ．若对所有 x 0 都有 f (x) ax ，求 a 的取值范围． 解：令 g(x) f (x) ax ，则 g(x) f (x) a ex ex a ，
（1）若 a 2 ，当 x 0 时， g(x) ex ex a 2 a 0 ，故 g(x) 在 (0, ) 上为增函 数，
当 a 0 时，令 f (x) 0 ，解得 x a ．
当 x 变化时， f (x) ， f (x) 的变化情况如下表：
x (, a ) a ( a , 0) (0, a )
a ( a, )
f (x)
0
－
0
f (x)
↗ 极大值 ↘
↘ 极小值 ↗
∴ f (x) 在 (, a ) ， ( a, ) 内是增函数，在 ( a , 0) ， (0, ) 内是减函数．
∴当 1 x 0时， f (x) 0, f (x) 在 (1,0) 上为增函数．
当 x 0 时， f (x) 0 ， f (x) 在 (0, ) 上为减函数．
故函数 f (x) 的单调递增区间为 (1,0) ，单调递减区间为 (0, ) ．
（2）不等式 (1 1)na e 等价于不等式 (n a)ln(1 1) 1，由1 1 1 知，
复合函数 y f (g(x)) 的导数和函数 y f (u),u g(x) 的导数间的关系为 yx yu ux ， 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.
解题步骤:分层—层层求导—作积还原.
§5.函数的极值
(1)极值定义：
极值是在 x0 附近所有的点，都有 f (x) ＜ f (x0 ) ，则 f (x0 ) 是函数 f (x) 的极
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4
法三：变更主元．
f (x) 10 在[1 ,1] 上恒成立，即 x a b 10 ，(a) x a b 10 0 ，
4
x
x
∵ x [1 ,1]，∴(a) 在[1 , 2] 递增，即(a) 的最大值为(2) x 2 b 10 0 ．
值；
极 值 是 在 x0 附 近 所 有 的 点 ， 都 有 f (x) ＞ f (x0 ) ， 则 f (x0 ) 是 函 数 f (x) 的 极
值.
(2)判别方法：
①如果在 x0 附近的左侧 f ' (x) ＞0，右侧 f ' (x) ＜0，那么 f (x0 ) 是极 ②如果在 x0 附近的左侧 f ' (x) ＜0，右侧 f ' (x) ＞0，那么 f (x0 ) 是极
于是过点 (1,8) 处的切线为 y 8 (3a 10 c)(x 1) ，
又切线经过点 (3,0) ，∴ 3a 6 c 0 ，①
∵ f (x) 在 x 3处有极值，∴ f (3) 27a 30 c 0 ，②
又 f (1) a 5 c d 8 ，③
∴由①②③解得： a 1， c 3， d 9 ，∴ f (x) x3 5x2 3x 9 ．
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从而得 b 7 ，∴满足条件的 b 的取值范围是 (, 7] ．
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或用 a x2 (10 b)x ，即 x2 (10 b)x 2 ，进一步分离变量得 b 10 (x 2) ， x
利用导数可以得到10 (x 2) 在 x 1 时取得最小值 7 ，
x
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从而得 b 7 ，∴满足条件的 b 的取值范围是 (, 7] ．