高中数学 2函数素材 新人教版

2010考数学概念方法题型易误点技巧总结（二）

函 数

1.映射f : A →B 的概念。在理解映射概念时要注意：⑴A 中元素必须都有象且唯一；⑵B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如（1）设:f M N →是集合M 到N 的映射，下列说法正确的是 A 、M 中每一个元素在N 中必有象 B 、N 中每一个元素在M 中必有原象 C 、N 中每一个元素在M 中的原象是唯一的 D 、N 是M 中所在元素的象的集合（答：A ）；（2）点),(b a 在映射f 的作用下的象是),(b a b a +-，则在f 作用下点

)1,3(的原象为点________

（答：（2，－1））；（3）若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =，,,a b c R ∈，则A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个，A 到B 的函数有 个

（答：81,64,81）；（4）设集合{1,0,1},{1,2,3,4,5}M N =-=，映射:f M N →满足条件“对任意的x M ∈，

()x f x +是奇数”

，这样的映射f 有____个（答：12）；（5）设2:x x f →是集合A 到集合B 的映射，若B={1,2}，则B A 一定是_____（答：∅或{1}）.

2.函数f : A →B 是特殊的映射。特殊在定义域A 和值域B 都是非空数集！据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点，但与y 轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。如（1）已知函数()f x ，x F ∈，那么集合{(,)|(),}{(,)|1}x y y f x x F x y x =∈=中所

含元素的个数有 个（答： 0或1）；（2）若函数422

12+-=x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ，则b ＝ （答：2）

3. 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为2y x =，值域为{4，1}的“天一函数”共有______个（答：9）

lg 3x -的定义域为R ，则k ∈_______(答：30,

4⎡⎫⎪⎢⎣⎭

)；（3）函数()f x 的定义域是[,]a b ，0b a >->，则函数()()()F x f x f x =+-的定义域是__________(答：[,]a a -)；（4）设函数2()lg(21)f x ax x =++，①若()f x 的定义域是R ，求实数a 的取值范围；②若()f x 的值域是R ，求实数a 的取值范围（答：①1a >；②01a ≤≤） （2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。

（3）复合函数的定义域：若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤解出即可；若已知[()]f g x 的定义域为[,]a b ,求()f x 的定义域，相当于当[,]x a b ∈时，求()g x 的值域（即()f x 的定义域）。如（1）若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦

⎤⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为__________（答：{}

42|≤≤x x ）；（2）若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________（答：[1,5]）．

5.求函数值域（最值）的方法：

（1）配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]m n 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如（1）求函数2

25,[1,2]y x x x =-+∈-的值域（答：[4,8]）；（2）当]2,0(∈x 时，函数3)1(4)(2-++=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是___（答：2

1-≥a ）；（3）已知()3(24)x b f x x -=≤≤的图象过点（2,1），则1212()[()]()F x f x f x --=-的值

域为______（答：[2, 5]）

（2）换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如（1）2

2sin 3cos 1y x x =--的值域为_____

（答：17[4,

]8

-）；（2）21y x =++_____（答：(3,)+∞）t =，0t ≥。运用换元法时，要特别要注意新元t 的范围）

；（3）sin cos sin cos y x x x x =++的

值域为____（答：1[1,-+）；（4）4y x =+的值域为____（答：4]）；

(,]2

-∞）； （4）单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，

如求1(19)y x x x =-

<<，229sin 1sin y x x

=++，532log x y -=+______（答：80(0,)9、11[,9]2、[2,10]）； （5）数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如（1）已知点(,)P x y 在圆221x y +=上，求2

y x +及2y x -的取值范围（答：

[]33

-、[）；（2）求函数y =（答：[10,)+∞）；

（3）求函数y =y 的值域

（答：)+∞、(）注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在x 轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在x 轴的同侧。

（6）判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用