[信息与通信]第四章：根轨迹法

m n n m 1 nm n m 1 nm s s (n m) a s s z p j i i 1 j 1

a
p z
i 1 i j 1
n
m
j
nm
法则四
如果m<n,k→∞时，根轨迹有渐近线
由
(n m)
得

( s p1 )(s p2 ) ( s pn ) k ( s z1 )(s z2 ) ( s zm ) 0
法则一 根轨迹的分支数等于特征方程的阶次，
即开环极点个数。
根轨迹的连续性与对称性

法则二 根轨迹连续且对称于实轴。
根轨迹的起点和终点
i 1 s m
s pi s zj
j 1
n
lim s
s
nm

k s z j ，s 。开环零点和无穷远处 都是根轨迹的终点。

法则三 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。若 n>m,则有(n-m)条根轨迹终止于[s]平面无穷远处。
根轨迹的渐近线
i 1 i
n
本章重点
2、根轨迹的绘制方法，八个法则 3、广义根轨迹的概念
4、根轨迹与系统性能的关系
5、几个基本要概念 根轨迹的概念：根轨迹是指开环系统某一参数从零到无穷变 化时，闭环特征根相应在s平面上运动的轨迹。 根轨迹增益k*与开环增益k的关系：根据对传递函数分子多项
式和分母多项式的分解，开环传递函数可写成二种不同的表达式。
j
注意：一组根对应同一个K；
K一变，一组根变； K一停，一组根停；
-2
-1
0
演示rltool
2.根轨迹与系统性能之间的关系
有了根轨迹，就可以立即分析系统的稳定性:
稳定性：如果从k＝0到k＝∞，根轨迹不会越过虚轴进入右半s 平面，说明系统对所有的k值都是稳定的。 如果越过虚轴进入右半s平面，此时根轨迹与虚轴交点处的k值 就是系统稳定与不稳定的临界增益。
n-m条。这些渐近线在实轴上交于一点 a ，
a
ห้องสมุดไป่ตู้
p z
动态性能：从根轨迹图可以分析出系统的工作状态，如过阻尼
状态、欠阻尼状态……
3.根轨迹增益、闭环零极点与开环零 极点的关系 l f ∏(s-zj ) ∏( s-z ) j=1 i * i=1 * q ; H (s)= KH h G(s)= KG ∏( s-pj ) ∏(s-pi ) j=1
i=1
f
G H

k * (s z j ) s v ( s pi )
i 1 j 1 n v
m
K*与k的关系： K*是根轨迹增益；k是开环增益
k k
*
( z )
j
m
( pi )
i 1
j 1 n
或：k k
*
1 2
2
T1T2
2
本章要求
1、正确理解根轨迹的概念 2、掌握根轨迹绘制方法（以开环增益k为变量）
i
Φ(s)=
* ∏(s-z ) ∏(s-p ) KG j i
* k * ∏(s-z )∏(s-z ) ∏(s-pi ) ∏(s-pj ) + kG H i j=1 j i=1 j=1 i=1 q h i=1 j=1 f l
f
h
结论：1 零点、 2 极点、3 根轨迹增益
结论：


1）闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨 迹增益。对于单位反馈系统，闭环系统的根轨迹增益 就等于开环系统根轨迹增益。 2）闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通 路传递函数的极点所组成。对于单位反馈系统，闭环 零点就是开环零点。 3）闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益 k*均有关。 4）根轨迹法的基本任务就是如何由已知的开环零、 极点的分布，通过图解的方法，求出闭环的极点。
s - z︱ i ︱ ∏ j
j=1
确定根轨迹上某点对应的K*值
4.2 绘制根轨迹的基本规则
根轨迹的分支数
( s z1 )(s z2 ) ( s zm ) 1 G( s ) H ( s ) 1 k 0 ( s p1 )(s p2 ) ( s pn )
第四章：根轨迹法
教学目的
对于低阶控制系统，我们可以用求解微分方程方法来分析控制 系统，而对于高阶系统，用微分方程的方法求解就比较困难。根轨
迹方法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法，使用起来比较
简便，因此在工程设计中获得了广泛应用。 通过本章内容学习，要使学生懂得根轨迹的概念，根轨迹的作 图方法，以及根轨迹与系统性能之间的关系。

n>m，(n-m)条根轨迹沿什么方向趋于[s]平面无穷远处。 渐近线可认为是 k , s 时的根轨迹。
( s z1 )(s z 2 )( s z m ) k 1 ( s p1 )(s p2 )( s pn ) 当s 时 ， 设 s z1 s z 2 s z m s p1 s pn s a a是 实 数 . k ( s a )n m 1 ( s a )n m k 是 渐 近 线 应 满 足 的 方 。 程 ( l 0,1,2, )
G( s) H ( s) K G K

i 1 H q
(S Z ) (S Z )
i j
l
f l m
(S P ) (S P )
i j i 1 j 1
j 1 h
K
j 1 q hn i 1
(S Z )
j
K*为开环系统根轨迹增益
(S P )
( n m )( s a ) ( 2l 1)
( 2l 1) ( s a ) ( l 0,1,2, n m 1) nm 上式说明根轨迹渐近 线是 n m条 直 线 。
求 a 。
由多项式除法，
n n 1 n s pi s m n n m 1 i 1 nm k s z j pi s m m 1 j 1 i 1 m s z j s j 1 由二项式定理， k ( s a ) n m s n m (n m) a s n m 1
根轨迹的起点是指k=0时的特征根位置，根轨迹的
终点是指

k 时的特征根位置。
由 (s p1 )(s p2 ) (s pn ) k (s z1 )(s z2 ) (s zm ) 0， k 0 (s p1 )(s p2 ) (s pn ) 0 s pi (i 1,2,n)
本章重点
1、根轨迹方程
* 1 G(s) H (s) 0 或：G ( s) H ( s) k
(s z )
j
m
s p
模值条件：
n
(s p )
i i 1
j 1 n
1
i
sz
j 1
m j 1 j
i 1 m
k*
j
相角条件：
（0， 1， 2) (s z ) (s p ) (2k 1) k
4.根轨迹方程
由于根轨迹是所有闭环极点的集合，而闭环极点又是特征方程 的特征根，为了求出所有的闭环极点，研究一下闭环系统的特征 方程。
特征方程 1+GH = 0
或：GH＝－1
所以，只要将闭环特征方程化为根轨迹方程，就可以绘出根轨迹
图，由于GH是系统的开环传递函数，这样就达到了从开环传递函 数出发，研究闭环系统的目的。
第四章第一次课
3、从相位条件看，有180°根轨迹，有0°根轨迹（具有正反馈 系统）。
4、根轨迹方程：幅值条件、相角条件，根轨迹上的任意一点都
得满足这二个条件。 二、根轨迹的绘制方法，七个基本绘图法则
第四章第二次课
一、继续讲绘制根轨迹的基本法则 二、由根轨求闭环系统的极点
三、广义根轨迹
1、参数根轨迹，正确理解等效单位反馈，等效传递函数 问题：如何解析出等效传递函数 2、零度根轨迹
根轨迹的概念：它是开环系统某一参 数从零变化至无穷时，闭环系统的特征根 在s平面上变化的轨迹。 注意概念，根轨迹是通过开环系统来 研究闭环系统特征根的变化。
1.根轨迹概念
设控制系统及系统的传 递函数如图所示，当k 从0→∞时，求系统特 征根的变化。
( s )
R(s)
k s(0.5s+1)
k s(0.5s+1)
本章重点
尾1型：时间常数表达式
k ( 1 1)( 2 s 2 21 2 s 1) G( s) H ( s) v 2 s (T1 1)(T2 s 2 2 2T2 s 1)
2
首1型：零极点形式
G( s) H ( s)
k * ( s z1 ) ( s z j ) s v ( s p1 ) ( s pn v )
第四章第三次课
一、零度根轨迹 什么情况下产生零度根轨迹
零度根轨迹与常规根轨迹的差别
二、系统性能分析
第四章第四次课
一、应用MATLAB绘制根轨迹 二、本章小结
要求解系统的特征根，对于高于三阶的系统，求根比较 困难，如果要研究系统参数变化对特征根的影响时，需要大 量反复的计算，同时还不能直观地看出系统性能随参数变化 的影响趋势。 为了避免直接求解高阶方程的特征根困难，1948年， W.R.Evans根据反馈控制系统开环传递函数与其闭环特征方程 式之间的内在联系，提出了一种非常实用的求取闭环特征方 程式根的图解法－根轨迹法。
∑ ∠ (s-z ) － ∑ ∠ (s-p ) = (2k+1) π j j j=1 i=1
k=0, ±1,
±2, … m 绘制根轨迹的充要条件 i=1 m
模值条件:
1+K K = -1 0 1 n = ( s -p︱ ) ∏︱
i=1
n ) ∏︱ ( s - z︱ j p︱ s ︱ ∏ j=1 i * *
C(s)
C ( s) 2k 2 R ( s ) S 2 S 2k
根轨迹概念 特征方程： S2+2s+2k=0 特征根：s1,2= －1±√1－2k k=0时， s1=0, s2=－2
k s(0.5s+1)
K:0 ~ ∞
0＜k＜0.5 时，两个负实根 k=0.5 时，s1=s2=－1 0.5＜k＜∞时，s1,2=－1±j√2k－1
根轨迹方程
特征方程 1+GH = 0 Zj 开环零点“○”,是常数！
m
* 1+K
∏ ( s - zj )
j=1
也是常数！ 根轨迹增益K* ，不是定数，从 0 ~ ∞变化
∏ ( s -pi) i=1 开环极点“×”, pi
n
=0
这种形式的特征方程就是根轨迹方程
相角条件:
m
根轨迹的模值条件与相角条件 n

根轨迹起始于开环极点。 此时开环极点就是闭环极点。
k ( s z1 )(s z2 ) ( s z m ) 1 0 ( s p1 )(s p2 ) ( s pn )

( s p1 )(s p2 ) ( s pn ) ( s z1 )(s z 2 ) ( s zm ) 0 k k ( s z1 )(s z 2 ) ( s zm ) 0 s z j ( j 1,2,, m) 开环零点是根轨迹的终 点。 n m k lim
3、广义根轨迹绘制方法（以系统其它参数为变量）
4、用根轨迹分析系统性能 了解：零度根轨迹 学时：8学时
第四章第一次课
一、根轨迹的基本概念 1、开环系统的某一参数从零变化到无穷时，闭环系统的特征根在
s平面上变化的轨迹。
注意理解：根轨迹是由开环系统来作闭环系统极点的运动的轨迹 一般系统的闭环传递函数比较复杂，而开环传递函数的表达 式相对简单，所以绘制根轨迹比较容易。 2、根轨迹有常规根轨迹（以开环增益为变量参数）；广义根轨迹 （除开环增益k外，以其他参数为变量）。