高中数学选修主要内容

第一章 导数及其应用

1.1 变化率与导数

问题中的变化率可用式子 1

212)

()(x x x f x f --表示,

称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率

若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代

替

x 2,

同

样

)

()(12x f x f y f -=∆=∆)则平均变化率为

=

∆∆=∆∆x

f

x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212

在前面我们解决的问题：

1、求函数2

)(x x f =在点（2，4）处的切线斜率。

x x

x f x f x y ∆+=∆-∆+=∆∆4)()2(，故斜率为4 2、直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是12

-=t V ，求o t t =时的瞬时速度。

t t t

t v t t v t V o o o ∆+=∆-∆+=∆∆2)

()(，故斜率为4 二、知识点讲解

上述两个函数)(x f 和)(t V 中，当x ∆(t ∆)无限趋近于0时，t V ∆∆(x

V

∆∆)都无限趋近于一个常数。

归纳：一般的，定义在区间（a ，b ）上的函数)(x f ，)(b a x o ，∈，当x ∆无限趋近于0

时，

x

x f x x f x y o o ∆-∆+=∆∆)()(无限趋近于一个固定的常数A ，则称)(x f 在o x x =处可导，并称A 为)(x f 在o x x =处的导数，记作)('o x f 或o x x x f =|)('，

函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:

000

0()()lim

lim x x f x x f x f

x

x ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'

|x x y =，即

0000

()()

()lim

x f x x f x f x x

∆→+∆-'=∆

说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率

（2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以000

()()

()lim

x f x f x f x x x ∆→-'=-

当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.

函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率， 即 0000

()()

()lim

x f x x f x f x k x

∆→+∆-'==∆

说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P 点的坐标;

②求出函数在点0x 处的变化率0000

()()

()lim

x f x x f x f x k x

∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点

00(,())x f x 的切线的斜率；

③利用点斜式求切线方程.

由函数f (x )在x =x 0处求导数的过程可以看到,当时,0()f x ' 是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f (x )的导函数.记作：()f x '或y '， 即: 0

()()

()lim

x f x x f x f x y x

∆→+∆-''==∆。

函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数 之间的区别与联系。 1）函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

2）函数的导数，是指某一区间内任意点x 而言的， 就是函数f(x)的导函数

3）函数()f x 在点0x 处的导数'

0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值，这也是 求函

数在点0x 处的导数的方法之一。

1．函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为

()()0y f x x f x c c x x x

∆+∆--===∆∆∆ 所以00

lim

lim 00x x y

y

∆→∆→∆'===

0y '=表示函数y c =图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程

关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．

2．函数()y f x x ==的导数 因为

()()1y f x x f x x x x x x x

∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00

lim lim11x x y

y ∆→∆→∆'===

1y '=表示函数y x =图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程

关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．

3．函数2

()y f x x ==的导数

因为22

()()()y f x x f x x x x x x x

∆+∆-+∆-==∆∆∆ 222

2()2x x x x x x x x

+∆+∆-==+∆∆

所以00

lim

lim(2)2x x y

y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆

2y x '=表示函数2y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的

变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2

y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2

y x =增加得越来越快．若2

y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．