5、欧洲文艺复兴时的数学

欧洲文艺复兴时期的数学
●从15世纪中期到16世纪末，这段时期在欧洲称为文艺复兴时期。

●在这一时期，欧洲，特别是西欧，出现了思想大解放、生产大发展、社会大进步的喜人
景象，科学文化技术，其中包括数学，也随之开始复苏并逐步繁荣起来。

●从此欧洲的数学开始走到世界的前列，并长期成为世界数学发展的中心。

一、欧洲中世纪的回顾
1、5世纪，罗马人占领了希腊本土后，他们依靠强权与军队来维持自己对异族的统治，热衷于创立所谓“实业家的文化”，为其统治者豪华奢侈的生活服务。

他们对抽象思维毫不关心，数学研究仅限于简单的几何和测量。

2、另一方面，这一时期又是基督教绝对统治的时期，为了达到在精神上麻痹奴隶的目的，基督教竭力宣扬“今生忍辱负重，来生进入天堂”的谬论，用死后的幸福生活来欺骗被统治者，要他们安于被奴役的痛苦命运。

3、圣经是这一时期人们唯一能够学习、研究的“百科全书”。

4、7世纪，在英格兰的北部出现了一位博学多才的神学家，这就是被称为“英格兰文化之父”的比德。

在数学方面，比德曾写过一些算术著作，研究过历法及指头计算方法。

当时，对耶酥复活期的推算是教会讨论最热烈的课题之一，据说，这位比德大师就是最先求得复活节的人。

5、自然现象进行理性的探讨，英国的哲学家培根可以说是这种理性探讨的先驱。

●培根是英格兰的一个贵族，曾在牛津大学和巴黎大学任教，会多种语言，对当时几乎所
有的知识都感兴趣，号称“万能博士”。

●他提倡科学，重视现实，反抗权威。

他认为，数学的思想方法是与生俱来的，并且是与
自然规律相一致的。

●在他看来，数学是一切科学的基础，科学真理之所以是珍贵的，是因为它们是在数学的
形成中被反映出来的，即用数学数量和尺度刻画的。

6、意大利数学家列昂纳多·斐波那契(约1170—1250)，
（1）曾在埃及、叙利亚、希腊以及西西里岛等地游历，在这些地方，他获得了许多数学知识，对印度—阿拉伯计算方法的实用性尤为欣赏。

（2）1202年，斐波那契综合阿拉伯和希腊资料著成一部重要著作《算经》（Liber Abaci，亦译作《算盘书》），这部著作共15章，主要介绍算术与代数，内容十分丰富，包括：印度—阿拉伯数码的读法与写法；整数与分数的计算；平方根与立方根的求法；线性方程组和二次方程的解法等，给出了数学在实物交易、合股、比例法和测量几何中的应用。

（3）《算经》的最大功绩是向欧洲人介绍了印度—阿拉伯数码，斐波那契熟悉各国的算术系统，他发现印度—阿拉伯数码的符号和记数法是最优越的。

该书一开头写道：“印度的九个数字是9、8、7、6、5、4、3、2、1，用这九个数字与阿拉伯人称为零的符号0，任何数都可以表示了”。

（4）“兔子问题”：假设大兔子每月生一对小兔，而小兔两个月长成大兔，那么问，自一对兔子开始，一年后可繁殖多少对兔子。

●由这个问题引出了著名的“斐波那契数列”：
1,1,2,3,5,8,13,21,34,…即从第3项开始，每一项都是前相邻两项的和。

●斐波那契数列具有许多重要的性质及应用，尤其是当项数n无限增大时，其前项和后项
之，这便与被开普勒说成是几何学宝藏之一的黄金分割联起来。

（5）斐波那契还写过一部纯几何著作《实用几何》，书中运用欧几里得等人的方法介绍了直线形的面积、圆的度量、球和圆柱等。

（6）《算经》可以看作是欧洲数学在经历了漫长的黑夜之后走向复苏的号角。

二、欧洲文艺复兴时期的数学
（一）透视理论的创立和三角学的独立
1、起因：如何把三维的现实世界反映到二维的画布上来。

（1）布鲁内利斯：这一问题的最初研究者，第一个认真研究了透视法并试图运用几何方法来进行绘画。

（2）阿尔贝蒂：尝试从数学的角度去研究这一方法，他在《论绘画》一书中指出，在眼睛和景物之间插进一张直角的玻璃屏板，设想光线从眼睛或观测点发射到景物本身的一个点上，称这些光线叫光束棱锥或投影线，它们穿过屏板时所留下的集就构成了截景。

这里已经涉及到透视学中的一些基本概念。

在此基础上，阿尔贝蒂提出了一个十分重要的问题：如果从两个不同的位置去看同一个景物，而在每一种情况下，都插入一张玻璃屏板，那么得到的截景当然是不相同的。

这两种截景之间有什么数学关系，或者它们有什么共同的数学性质？虽然他没能解决这一问题，但这些正是射影几何学研究的出发点。

（3）德沙格：第一个真正意义上对于透视法所产生的问题从数学上直接给予解答
●他出生于法国里昂，曾经在陆军任职，后成为工程师和建筑师。

●为了证明阿波罗尼斯的那些有关圆锥曲线的定理，他开始研究所谓“中心射影法”，并
在1636年就已经发表相关论文。

●但流传下来的是他在1639年写的名为《论锥面截一平面所得结果的初稿》的小册子。

在这部传世之作中，他从开普勒的连续性理论出发，导出了许多关于对合、调和变程、透射、极轴、极点以及透视的基本原理。

●尽管这部著作写作方式形式古怪，晦涩难懂，但恰恰充满了创造性的思想。

●例如，他从焦点透视的投影和截影原理出发，对平行线引入无穷远点和无穷远线的概念。

●不过，其中最引人注目的是所谓的德沙格定理。

●德沙格定理：“如果两个三角形（在同一平面内或不在同一平面内）对应顶点的连线共
点，则其对应边的交点共线；反之亦然。

”
●德沙格的研究的出发点是有关圆锥曲线的定理证明。

●德沙格的同僚帕斯卡也在射影几何方面做出了杰出的贡献。

（4）帕斯卡
●通过自己的探索，他用折纸的方法找到了证明三角形的三个内角之和等于一个平角的两
种方法：将三角形的顶点折到其内切圆的圆心上或将一个顶点折到其在对边的垂足上。

16岁时写了一篇关于圆锥曲线的论文，竟让笛卡儿怀疑是其父亲的作品。

●十七八岁时为了帮助其父亲查帐方便而设计计算机，他曾经制造了50多种计算机，有
些至今还保存在巴黎艺术和技术博物馆。

●另外他在物理学方面提出的流体动力学原理，为每一个学过中学物理的人所熟知。

●他是在16岁的时候开始研究投影和取景法。

在德沙格的建议下，他把圆锥曲线的性质
简化为几个基本命题，并于1640年完成了著作《圆锥曲线论》。

●在这部著作中最重要的成就可能就是所谓“帕斯卡定理”：“如果一个六边形内接于一条
圆锥曲线，则其三对对边的交点共线；反之亦然。

”
●据说，帕斯卡从这一定理出发，推出了400多个与圆锥曲线有关的结论。

●对早期射影几何学有所贡献的还有画家拉伊尔。

●德沙格等把这种投影分析的方法和所获得的结果，视为欧几里得几何的一部分，从而在
17世纪人们对二者不加区别。

但我们应该认识到，当时由于这一方法而诱发了一些新
的思想和观点：⑴一个数学对象从一个形状连续变化到另一形状；⑵变换与变换不变性；
⑶几何新方法——仅关心几何图形的相交与结构关系，不涉及度量。

●不过17世纪数学家们的时尚是理解和控制自然，用代数方法处理数学问题一般更为有
效，也特别容易获得实践所需的定量结果。

而射影几何学家的方法是综合的，而且得出的结果也是定性的，不那么有用。

●因此，射影几何产生后不久，很快就让位于代数、解析几何和微积分，终由这些学科进
一步发展出在近代数学中占中心地位的其他学科，德沙格、帕斯卡、拉伊尔等人的工作与结果也渐被人们所遗忘，迟至19世纪才被人们重新发现。

●航海、历法推算以及天文观测的需要，推动了三角学的发展。

●早期三角学总是与天文学密不可分，这样在1450年以前，三角学主要是球面三角，后
来由于间接测量、测绘工作的需要而出现了平面三角。

●15、16世纪德国人开始对三角学作出新的推进，他们从意大利获得了阿拉伯天文学著
作中的三角学知识。

●在欧洲，第一部脱离天文学的三角学专著是雷琼蒙塔努斯的《论各种三角形》（《三角全
书》）。

●在文艺复兴之前，如在古希腊和印度、阿拉伯人眼里，三角学是天文学的附庸，它仅仅
是为了天文学的研究而使用的一种工具。

●将三角学从天文学奴仆的地位解放出来的是15世纪的德国数学家穆勒，人们更多的是
以他的出生地哥尼斯堡这个城市的拉丁文名字雷琼蒙塔努斯来称呼他。

年轻时，他曾就学于波伊尔巴赫，在协助老师翻译希腊数学著作的过程中，对数学产生了浓厚的兴趣，自己也独立翻译了阿波罗尼斯、海伦和阿基米德等人的著作，并由此走上了数学研究的道路。

●穆勒在许多数学领域中都有建树，其中对三角学的贡献最为杰出。

●在1461—1464年间，他完成了《三角全书》，这部著作共5卷，将平面三角和球面三角
放在一起处理，给出了球面三角的余弦定理和正弦定理，对于如何解平面与球面三角形作出了较为全面的论述。

●该书中还讨论到一个新颖的极值问题：天花板上挂下一根竖直的杆子，杆长10英尺，
下端离地面4英尺，在地面上求一点（或点的轨迹）使其对杆的视角最大。

这是数学史上第一次明确讨论极值的问题。

他还编制了一个五位数的正切函数
●我们知道，过去希腊人仅把三角学看作是天文学的一个分支，通过穆勒的工作使三角学
脱离了天文学而成为一个独立的数学分支。

●此外，穆勒还使用代数的方法研究过许多几何问题，为150年后笛卡儿的研究开拓了方
向。

三、四次方程的解法
●泰塔格利亚对卡当的行为感到非常愤怒，他向法庭提出了控告。

也许卡当毕竟理亏，不
敢与泰塔格利亚对簿公堂，而派出他的学生斐拉里(Ludovico Ferrari,1522—1565)代他出庭。

斐拉里能言善辩，在法庭上倒打一耙，指控泰塔格利亚剽窃了费罗的成果，平时说话口吃的泰塔格利亚在激烈的舌战中的处境是可想而知的，尽管他是受害者，但在这场官司中仍然败诉了。

从道义上讲，卡当的行为是不道德的，但如果每一个科学家都象费罗、泰塔格利亚一样，将自己的成果秘不示人，那么，科学发展到今天会是什么样
子就很难预料了。

在三次方程被解决后不久，一般四次方程的代数解法也就被发现了。

1540年，意大利数学家达科伊向卡当提出了一个可以导致四次方程求解的问题（把10分成三个数，使它们成连比，且前两数的乘积为6），这个问题最终由卡当的学生斐拉里解决。

卡当在《大法》一书中也详细地介绍了这个被称为“斐拉里方法”的解法。

（四）韦达与符号代数
●数学是思维的体操，同时，是一种符号的游戏。

历史的经验表明，采用合理的符号，能
使数学学科得到迅速发展，相反，没有一套合理的符号，其进展就会十分缓慢。

●众所周知，印度人发明的0,1,2,…,这十个数码及其十进位值制记数法，由于简洁实用，
受到阿拉伯人的青睐，并经阿拉伯人之手传入欧洲，进而成为当今科学世界的通用语言，对数学的迅速发展所起的作用是无法估量的。

而在13—14世纪的欧洲，由于采用的是繁琐冗长的罗马记数法，以至于当时最杰出的数学工作者，也把当今小学生就已十分熟练的乘除运算看做是人世间最麻烦的事情。

欧洲人至今仍用“掉进乘除里”这样一句习语来形容某人陷入了困境，就是一个极为典型的例证。

●虽然我们无法对每一个数学符号的产生做系统的介绍，但符号对数学乃至整个科学发展
的重要促进作用却是不容置疑的。

●用字母表示数，尽管在今天已是初中代数的一个最基本的内容，但在数学发展史上却是
一件划时代的大事，它给数学思维插上了翅膀，使得原来在算术中许多需要极高技巧的算法变成了简单的机械性的操作，也为数学研究开拓了壮观的空间。

●因此，从某种意义上来说，用字母表示数标志着代数从算术脱胎而出，成为一门独立的
学科。

●事实上，代数学的研究历史可以说是与数学的历史一样长，早在古巴比伦、埃及、印度
和中国的早期数学知识中就积累了大量的代数内容。

例如，在古埃及的数学纸草书中，就包含了许多关于解方程、数列求和等方面的内容。

然而，这一时期以及后来的希腊人的代数学，几乎毫无例外地都是用文字语言叙述的，其解决问题的方法，也基本是算术的，他们繁琐的表现形式，是代数学发展的必有之路。

●自觉地运用一套符号，以使代数的思路与表述更为紧凑、更加有效的人是古希腊数学家
丢番图。

与古希腊其他的数学家相比较，丢番图对于数学的贡献主要是在代数方面，而他最杰出的功绩之一就是在代数中采用了未知数以及一整套符号。

●丢番图以后一直到17世纪，尽管许多数学家在引入代数符号方面作出了不少贡献，但
总体上说，他们的符号基本上仍是标准文字的缩写，还只是丢番图工作的延续。

●在符号体系上使代数学发生最大变革的是法国数学家韦达(Francis Veita,1540—
1603)。

韦达1540年出生于丰内特的一个贵族家庭，他的姓名叫佛兰西斯·韦埃特，韦达是他的拉丁文名字。

他早年学习法律，并曾在巴黎裁判所担任过律师，后到布列塔尼地方议会工作。

在一位侯爵的推荐下，1580年末，他成为亨利亲王的枢密顾问官，对数学始终不懈的浓厚兴趣，使得他把绝大部分闲暇贡献给了数学。

●关于韦达的数学研究，有着许多有趣的轶事。

●据说，有一位比利时的大使曾向法国国王亨利夸口说法国没有一位数学能够解决他的同
国人罗芒乌斯1593年提出的需要解四十五次方程的问题。

亨利找来了韦达，让他来解
决这个问题。

韦达一眼看出了这个方程所蕴含的三角关系，几分钟内就给出了两根，后来又求出21个根，当然，他没有考虑方程的负根。

反过来，韦达也向罗芒乌斯提出了挑战，看谁能解古希腊的阿波罗尼斯所提出的“作一圆与三个给定圆相切”的问题。

韦达顺利地以欧几里得几何作工具来求解，而罗芒乌斯却百思不得其解。

当罗芒乌斯得知韦达的天才解法后，十分敬佩，专程长途跋涉到丰特内拜访韦达，两人从此结下了深厚的友谊。

●还有这样一个传说，在法国和西班牙的战争中，韦达成功地破译了西班牙人的军事密码，
使得法国人对西班牙的军事行动了如指掌，因而掌握了战争的主动拳，赢得了胜利。

于是西班牙国王菲力普二世向教皇控告法国在战争中对西班牙施用了魔法，这是“与基督教信仰的惯例相违背的”。

更为荒谬的是，西班牙宗教裁判所在韦达缺席的情况下，竟以背叛上帝的罪名处韦达以焚烧致死的极刑。

当然，韦达不会跑到西班牙去服刑的。

●韦达一生写了许多关于三角学、代数学和几何学的著作，其中主要有：《三角学的数学
基础》、《分析方法引论》、《几何补编》、《有效的数值解法》和《论方程的整理和修正》。

这些著作中所包含的杰出的数学成就表明，他是这个时期最伟大的数学家之一。

●韦达在符号代数方面的贡献最为突出。

●当时数学研究的中心内容是探究各种代数方程的解法。

但随着研究的深入，各种特殊形
式的代数方程也随之迅速增长（例如卡当《大法》一书中方程的种类就有66种之多），对每一种方程都需要一个特殊的解法，这无疑要耗去数学家们巨大的精力。

●韦达设想寻找出一种求解各种类型代数方程的通用的方法。

●为此，他认真研究了泰塔格利亚、卡当、斯蒂文、邦贝利和丢番图等人的著作，从这些
名家特别是丢番图那里获得了灵感，那就是要实现自己的设想，首先要使方程具有普遍的形式，而其中关键的一步就是使用字母来表示数，因此在他的名著《分析方法引论》一书中，他第一个有意识地、系统地使用了字母。

●《分析方法引论》被公认是一部最早的符号代数的著作。

在这部著作中，韦达不仅使用
字母表示未知量和未知量的乘幂，而且还用来表示一般的系数。

通常他用辅音字母表示已知量，用元音字母表示未知量，用拉丁字母表示各次方幂。

例如，现在的A,A2,A3，韦达记作A,A quadratum,A cubum，有时还缩写简化为A,AQ,AC。

韦达使用了“+”与“-”
分别表示加法与减法，但没有一个确定的符号来表示相乘，也没有一个确定的符号来表示相等，这些通常都用文字来说明。

如恒等式，他的写法是a cubus+b in a quad.3+a in quad.3+b cubo equalia a + b cubo，在这里，韦达用统一的符号表示已知量、未知量及其运算，取代了以往惯用的词的缩写方法，在使得代数学形成国际惯用的独立的语言方面发挥了巨大的作用。

●韦达把他的符号化代数称为“类的算术”(logistica speciosa)，以区别于“数的算术”
(logistica numerosa)，并明确指出：类的算术是施行于事物的类或形式的运算，而数的算术仅仅与具体的数字有关，从而，类的算术即代数成为研究一般类型的数学形式和方法的学问。

●由于采用先进的代数符号系统，很快地，韦达在当时代数研究的中心问题——方程论方
面取得了杰出的成就。

在《分析方法引论》中，他改进了意大利数学家泰塔格利亚、卡当拉斐里等人关于三、四次方程的解法，利用变换消去方程的次高项，将二次、三次和
四次方程的解都用一般表达式给出，这就是所谓的公式解。

●韦达在《论方程的整理和修正》一书中还借助于三角恒等式
给出了满足一定条件的不可约三次方程的一个方法。

●在这本书中，韦达提出了四个揭示整式方程的根与系数之间的关系的著名定理——韦达
定理。

不过应当指出，韦达仅就n=2,3等几种特殊的情况得出了结论，并没有给出n 次方程的韦达定理的一般证明。

●这个定理的证明，是在笛卡儿1637年得出因式定理，高斯1797年证明了代数基本定理
以后才给出的。

●韦达关于代数符号体系的伟大设想和实践，对于代数学的发展无疑是一座重要的里程
碑，它使得代数学的面貌发生了根本的变化。

●然而，当时大多数数学家并没有马上体会到符号体系对代数发展的巨大作用，他们依旧
我行我素，不过随着迅速发展的科学技术对数学家们提出的问题日益复杂，使得人们不得不对韦达的工作刮目相看，他们为韦达精湛的思想所折服。

●许多人，如哈里奥特、吉拉德、奥特雷德等沿着韦达所开辟的道路继续前进，他们在推
广与引进代数符号、完善代数体系等方面都做出了杰出的贡献。

●特别是解析几何的创始人、近代著名的法国哲学家笛卡儿对韦达使用字母的方法作了重
要的改进，他用排在英文字母表前面的字母如a,b,c等表示已知量。

用表末的字母如x,y,z等表示未知量，这在现在已成习惯用法。

由他提出和使用的许多符号同现今的写法基本是一致的。

●综上所述，我们可以看出，正是由于韦达等人有意识地引入了代数符号，使得代数成为
研究对象更为广泛的独立的数学分支，符号代数由此而生，韦达无愧于“符号代数之父”
的称号。

（五）对数的发明
●对数的发明是计算技术的一次重大的进步。

●16世纪初，欧洲人的商业活动和科学探索对计算技术提出了更高的要求。

特别是以精
确测量为基础的天文学的兴起，使得人们遇到了繁杂的数值计算。

●人们由衷地希望能简化计算，比如说把乘除运算归结为简单的加减运算等。

●德国数学家施蒂费尔在其著作《整数算术》讨论了几何级数与其指数之间的关系，指出：
几何数列1,r,r2,r3,…的各项与其指数数列0,1,2,3,…的各项相互对应，几何数列中两两相商所得的项，其项的指数等于对应的指数数列中两项的和（差）。

他甚至还把两个数列之间的这种联系推广到负指数和分数指数的情形。

但他最终并没有提出对数的概念。

●对数发明的功绩应该归功于苏格兰贵族纳皮尔(Nieper,1550—1617)。

●1614年，他在题为《奇妙的对数定理说明书》一书中，阐述了他的对数方法。

纳皮尔
借助于运动概念与连续的几何量的结合来引入对数。

●他的思想方法是：如图，假定质点P沿着一有限直线AZ运动，另一质点Q沿着一无限
长直线A’Z’运动。

两个质点开始运动时的初速度相同，Q的速度保持不变，而P的速度则以如下方式变化；在其路径上任意一点B的速度与该点到终点的距离即BZ成正比，设比例系数为1。

如果当P点位于B时，Q点位于B’，则将A’B’称为BZ的对数。

●纳皮尔称x为y的对数，这实际上是以1/e为底的对数。

但纳皮尔并没有“底”的概念，
这是因为当时还没有明确的指数概念。

对数概念的建立先于指数，这也是数学发展过程中的一个趣闻。

●纳皮尔发明对数的目的其实是想用对数来解决平面和球面三角问题，因此他制作了以分
弧为间隔的00~900的正弦对数表。

●真正认识到纳皮尔对数的实用价值的是他的朋友、伦敦格雷啥姆学院的几何学教授布里
格斯(H.Briggs,1561—1631)。

他与纳皮尔合作，决定利用关系y=10x（当x=x1+x2时，y=y1y2）来设计对数，这就是今天所谓的以10为底的常用对数。

这种对数的优越性是显然的，因为我们的系数是10进制的。

他的《对数算术》（1624）实际上就是一张1~20000以及90000~100000的14位的常用对数表。

●与纳皮尔一起分享发明对数方法殊荣的还有瑞士人比尔吉(J.Burgi,1552—1632)。

他
1600年也独立地发明了对数方法以简化天文计算，他的出发点是施蒂费尔级数的对应思想，属于算术性质而略于纳皮而的做法。

不过他的发明迟至1620年才得到发表。

●对数发明之后不到一个世纪，这种奇妙的算法传遍世界，成为人们不可或缺的计算工具。

●它的出现让那些需要计算的学者、尤其是天文学家欣喜若狂，拉普拉斯曾经赞誉说：“对
数的发明以节约劳力而延长了天文学家的寿命。

”
●伽利略甚至说：“给我空间、时间和对数，我即可创造一个宇宙。

”
●在文艺复兴时期，特别是16、17世纪，欧洲的数学工作者们冲破宗教势力的禁锢，发
奋图强，使得初等数学这一古老学科的主要内容基本成熟，文艺复兴促成的东西方数学的融合，为近代数学的兴起以及后来的发展铺平了道路，并为后来欧洲成为世界数学的中心，且长盛不衰打下了坚实的基础。