简析行列式和线性方程组
第四章 矩阵·行列式·线性方程组
1, 2, , n 的一切排列求和，那么数 D 称为 n 阶方阵相应的行列式。例如，四阶行列式是 4! 个形为
(1)k a1k1 a2 k2 a3k3 a4 k4 的项的和，而其中 a13 a21a34 a42 相应于 k 3 ，即该项前端的符号应为 (1)3 。
（6）
2.1.5. 拉普拉斯恒等式
（7）
显然（2） ， （3）分别是（6） ， （7）的特例。
n 设 A (aij )mn ， B (bij ) mn （ m n ） ，又设 l Cm ，A 的所有 n 阶子式为 U1 ,U 2 , ,U l ，B 的相应的 n
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第四章
矩阵·行列式·线性方程组
§1 矩阵与行列式
第四章
矩阵·行列式·线性方程组
本章内容包括矩阵、行列式与线性代数方程组两部分. 在前一部分，叙述了矩阵和行列式的基本概念，重点介绍各种类型矩阵的性质、基本运算，此外， 还介绍了矩阵的特征值与特征矢量的求法，及有关的内容，如相似变换等；在线性方程组部分，着重介 绍含 n 个未知量的 n 个方程的方程组解法，也简单地讨论了解的结构。最后对整系数线性方程组和线性 不等式组也作了扼要说明。
若行列式中有两行（或列）对应的元素完全相同或成比例，则行列式为零。 若行列式中有一行（或列）元素是其他某些行（或列）对应元素的线性组合，则行列式为零。
7°若行列式中某一行（或列）的所有元素都可表示为两项之和，则该行列式可用两个同阶的行列式
之和来表达。例如
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第四章
行列式的性质及线性方程组的求解
§1.3 行列式的性质
§1.4 线性方程组的求解
2011. 9. 26
回顾 n阶行列式的计算方法
1.定义法—利用n阶行列式的定义计算; 2.三角形法—利用性质化为三角形行列式来 计算； 3.降阶法—利用行列式的按行(列)展开 定理对行列式进行降阶计算； 4.递推公式法； 5.析因法； 6.归纳法； 7.加边法(升阶法)；
第一章 行列式和线性方程组的求解
§1.4 线性方程组的求解
定理1.3. 线性方程组 a11x1+a12x2+…+a1nxn = b1 a21x1+a22x2+… a2nxn = b2 … … … … … … … an1x1+an2x2+…+annxn = bn Di 当D 0时有唯一解: xi = (i = 1, …, n), D a11 a12 … a1n a11 … a1,n1 b1 a21 a22 … a2n a21 … a2,n1 b2 Dn 其中D = … … … … , … = … … … … . an1 an2 … ann an1 … an,n1 bn
xn
n 1
此结论要记住！
行列式的几何意义Fra bibliotek 二阶行列式 a11 a12 = a11a22 a12a21 a21 a22
=(a12, a22) =(a11, a21)
sin a 1 1 a 2 2 a 1 2 a 2 1
a11 a12 = a11a22 a12a21 a21 a22 =以,为邻边的平行四边形的有向面积 其中(,)逆时针方向为正，顺序针方向为负
例5 计算 n 阶行列式
线性代数知识点总结
大学线性代数知识点总结第一章 行列式 二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n nn nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ奇偶排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换,其值不变.转置行列式T D D = ②行列式中某两行列互换,行列式变号.推论：若行列式中某两行列对应元素相等,则行列式等于零. ③常数k 乘以行列式的某一行列,等于k 乘以此行列式. 推论：若行列式中两行列成比例,则行列式值为零； 推论：行列式中某一行列元素全为零,行列式为零. ④行列式具有分行列可加性⑤将行列式某一行列的k 倍加到另一行列上,值不变 行列式依行列展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零.克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时,则只有零解逆否：若方程组存在非零解,则D 等于零特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:3331222113121100a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零,..化为三角形行列式⑤上下三角形行列式: 行列式运算常用方法主要行列式定义法二三阶或零元素多的 化零法比例化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵矩阵的概念：n m A *零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵矩阵的运算：加法同型矩阵---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA,不满足消去律；由AB=0,不能得A=0或B=0转置A A T T =)( T T T B A B A +=+)( T T kA kA =)( T T T A B AB =)(反序定理 方幂：2121k k k k A A A +=2121)(k k k kA A +=几种特殊的矩阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵,k 是数,则kA 、A+B 、 AB 都是n 阶对角阵 数量矩阵：相当于一个数若…… 单位矩阵、上下三角形矩阵若…… 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是0 分块矩阵：加法,数乘,乘法：类似,转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵,若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的, B A =-1非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵 初等变换1、交换两行列 2.、非零k 乘某一行列3、将某行列的K 倍加到另一行列初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的对换阵 倍乘阵 倍加阵等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O O O I D r r矩阵的秩rA ：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆,则满秩 若A 是非奇异矩阵,则rAB=rB 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样,矩阵不一样；行列式最终是一个数,只要值相等,就相等,矩阵是一个数表,对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=,行列式n ij nn ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆；③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆,则其逆矩阵是唯一的.矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的,且A A =--11)(2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的,且111)(--=A kkA 3、可逆矩阵A 的转置T A 也是可逆的,且T T A A )()(11--=4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的,且111)(---=A B AB 但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆,即使可逆,但11)(--+≠+B A B AA 为N 阶方阵,若|A|=0,则称A 为奇异矩阵,否则为非奇异矩阵. 5、若A 可逆,则11--=A A伴随矩阵：A 为N 阶方阵,伴随矩阵：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22211211*A A A A A 代数余子式 特殊矩阵的逆矩阵：对1和2,前提是每个矩阵都可逆1、分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C O B A D 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-----11111C O BC A AD 2、准对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A A A A A , 则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-----141312111A A A A A 3、 I A A A AA ==** 4、1*-=A A A A 可逆 5、1*-=n A A 6、()()A AA A 1*11*==--A 可逆7、()()**T TA A = 8、()***AB AB =判断矩阵是否可逆：充要条件是0≠A ,此时*11A AA =- 求逆矩阵的方法：定义法I AA =-1伴随矩阵法AA A *1=-初等变换法()()1||-=A I I A n n 只能是行变换初等矩阵与矩阵乘法的关系： 设()nm ij aA *=是mn 阶矩阵,则对A 的行实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同等的m 阶初等矩阵左乘以A ：对A 的列实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同种n 阶初等矩阵右乘以A 行变左乘,列变右乘第三章 线性方程组消元法 非齐次线性方程组：增广矩阵→简化阶梯型矩阵rAB=rB=r 当r=n 时,有唯一解；当n r ≠时,有无穷多解 rAB ≠rB,无解齐次线性方程组：仅有零解充要rA=n 有非零解充要rA<n 当齐次线性方程组方程个数<未知量个数,一定有非零解 当齐次线性方程组方程个数=未知量个数,有非零解充要|A|=0齐次线性方程组若有零解,一定是无穷多个N 维向量：由n 个实数组成的n 元有序数组.希腊字母表示加法数乘 特殊的向量：行列向量,零向量θ,负向量,相等向量,转置向量 向量间的线性关系: 线性组合或线性表示向量组间的线性相关无：定义179P向量组的秩：极大无关组定义P188定理：如果rj j j ααα,.....,21是向量组s ααα,.....,21的线性无关的部分组,则它是 极大无关组的充要条件是：s ααα,.....,21中的每一个向量都可由rj j j ααα,.....,21线性表出.秩:极大无关组中所含的向量个数.定理：设A 为mn 矩阵,则r A r =)(的充要条件是：A 的列行秩为r.现性方程组解的结构：齐次非齐次、基础解系线性组合或线性表示注：两个向量αβ,若βαk =则α是β线性组合单位向量组任意向量都是单位向量组的线性组合 零向量是任意向量组的线性组合任意向量组中的一个都是他本身的线性组合 向量组间的线性相关无注： n 个n 维单位向量组一定是线性无关 一个非零向量是线性无关,零向量是线性相关 含有零向量的向量组一定是线性相关 若两个向量成比例,则他们一定线性相关向量β可由n ααα,..,21线性表示的充要条件是)...()...(2121T Tn TTTnTTr r βαααααα=判断是否为线性相关的方法：1、定义法：设n k k k ....21,求n k k k ....21适合维数低的2、向量间关系法183P ：部分相关则整体相关,整体无关则部分无关3、分量法n 个m 维向量组180P ：线性相关充要n r Tn T T <⇒)....(21ααα 线性无关充要n r T n T T =⇒)....(21ααα推论①当m=n 时,相关,则0321=T T T ααα；无关,则0321≠T T T ααα ②当m<n 时,线性相关推广：若向量s ααα,...,21组线性无关,则当s 为奇数时,向量组13221,...,αααααα+++s 也线性无关；当s 为偶数时,向量组也线性相关.定理：如果向量组βααα,,...,21s 线性相关,则向量β可由向量组s ααα,...,21线性表出,且 表示法唯一的充分必要条件是s ααα,...,21线性无关. 极大无关组注：向量组的极大无关组不是唯一的,但他们所含向量的个数是确定的；不全为零的向量组的极大无关组一定存在； 无关的向量组的极大无关组是其本身； 向量组与其极大无关组是等价的. 齐次线性方程组I 解的结构：解为...,21αα I 的两个解的和21αα+仍是它的解； I 解的任意倍数αk 还是它的解；I 解的线性组合s s c c c ααα+++....2211也是它的解,s c c c ,...,21是任意常数.非齐次线性方程组II 解的结构：解为...,21μμII 的两个解的差21μμ-仍是它的解；若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解,v 是其导出组AX=O 的一个解,则u+v 是II 的一个解. 定理：如果齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩n r A r <=)(,则该方程组的基础解系存在,且在每个基础解系中,恰含有n-r 个解.若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解,v 是其导出组AX=O 的全部解,则u+v 是II 的全部解.第四章 向量空间向量的内积 实向量定义：α,β=n n T b a b a b a +++=....2211αβ 性质：非负性、对称性、线性性 α,k β=k α,β; k α,k β=2k α,β;α+β,δγ+=α,γ+α,δ+β,γ+β,δ;),(),(1111j i sj j ri i j sj j ri i i l k l k βαβα∑∑∑∑===== n R ∈δγβα,,,,向量的长度),(ααα=0=α的充要条件是α=0；α是单位向量的充要条件是α,α=1单位化 向量的夹角正交向量：αβ是正交向量的充要条件是α,β=0 正交的向量组必定线性无关 正交矩阵：ｎ阶矩阵Ａ I A A AA T T ==性质：1、若A 为正交矩阵,则Ａ可逆,且T A A =-1,且1-A 也是正交矩阵；２、若A 为正交矩阵,则1±=A ；３、若A 、Ｂ为同阶正交矩阵,则ＡＢ也是正交矩阵； ４、ｎ阶矩阵Ａ＝ij a 是正交矩阵的充要条件是Ａ的列行向量组是 标准正交向量；第五章 矩阵的特征值和特征向量 特征值、特征向量A 是N 阶方阵,若数λ使AX=λX,即λI-A=0有非零解,则称λ为A 的一 个特征值,此时,非零解称为A 的属于特征值λ的特征向量. |A|=n λλλ...**21 注： 1、AX=λX2、求特征值、特征向量的方法0=-A I λ 求i λ 将i λ代入λI-AX=0求出所有非零解 3、对于不同的矩阵,有重根、单根、复根、实根主要学习的特殊：n I )(λ的特征向量为任意N 阶非零向量或)(21不全为零i n c c c c ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4、特征值： 若)0(≠λλ是A 的特征值则1-A --------λ1 则m A --------m λ则kA --------λk若2A =A 则-----------λ=0或1若2A =I 则-----------λ=-1或1若k A =O 则----------λ=0迹trA ：迹A=nn a a a +⋯⋯++2211性质：1、N 阶方阵可逆的充要条件是A 的特征值全是非零的2、A 与1-A 有相同的特征值3、N 阶方阵A 的不同特征值所对应的特征向量线性无关4、5、P281相似矩阵定义P283：A 、B 是N 阶矩阵,若存在可逆矩阵P,满足B AP P =-1,则矩阵A 与B 相似,记作A~B性质1、自身性：A~A,P=I2、对称性：若A~B 则B~A B AP P =-1 1-=PBP A A BP P =---111)(3、传递性：若A~B 、B~C 则A~C B AP P =-111 C BP P =-212---C P P A P P =-)()(211214、若AB,则A 与B 同不可逆5、若A~B,则11~--B A B AP P =-1两边同取逆,111---=B P A P6、若A~B,则它们有相同的特征值. 特征值相同的矩阵不一定相似7、若A~B,则)()(B r A r = 初等变换不改变矩阵的秩例子：B AP P =-1则1100100-=P PB AO AP P =-1 A=OI AP P =-1 A=II AP P λ=-1 A=I λ矩阵对角化定理：N 阶矩阵A 与N 阶对角形矩阵相似的充要条件是A 有N 个线性无关的特征向量注：1、P 与^中的i i x λ与顺序一致2、A~^,则^与P 不是唯一的推论：若n 阶方阵A 有n 个互异的特征值,则~^A P281定理：n 阶方阵~^A 的充要条件是对于每一个i K 重特征根i λ,都有i i K n A I r -=-)(λ注：三角形矩阵、数量矩阵I λ的特征值为主对角线.约当形矩阵约当块：形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλ111J 的n 阶矩阵称为n 阶约当块； 约当形矩阵：由若干个约当块组成的对角分块矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n J J J J 21i J 是约当块称为约当形矩阵. 定理：任何矩阵A 都相似于一个约当形矩阵,即存在n 阶可逆矩阵J AP P =-1.第六章 二次型二次型与对称矩阵只含有二次项的n 元多项式f 称为一个n 元二次型,简称二次型. 标准型：形如 的二次型,称为标准型.规范型：形如 的二次型,称为规范型.线性变换矩阵的合同：设AB 是n 阶方阵,若存在一个n 阶可逆矩阵C,使得 则称A 与B 是合同的,记作A B.合同的性质：反身性、对称性、传递性、秩、化二次型为标准型：配方法、做变换二次型中不含有平方项。
高中数学之七《行列式和线性方程组》
些二项式各取一项作成相应行（或列）而余行（或列）不变的两个行列式的和。
定理 6 把行列式的某一行（或列）的所有元素同乘以一个数 k ，加到另一行（或另一
列）的对应元素上，所得行列式与原行列式相等。 （四）按一行（或一列）展开三阶行列式
把行列式中某一元素所在的行与列划去后，剩下的元素按原行列顺序排列所组成的行列 式，叫做原行列式中对应于这个元素的余子式。
的乘积的和等于零。
（五）三元线性方程组
一个三元线性方程组，当其中方程的个数与未知数的个数相同时，它的一般形式是
aa12xx
b1 y c1z d1 b2 y c2 z d
2
a3 x b3 y c3 z d3
如 果 当 x x1，y y1，z z1 时 ， 方 程 组 的 每 个 方 程 左 右 两 边 的 值 相 等 ， 那 么
如果当 x x1，y y1 时，方程组 I 中的每个方程左右两边的值相等，也就是说
x x1，y y1 适 合 方 程 组 I ， 那 么 x x1，y y1 叫 做 方 程 组 I 的 一 个 解 ， 记 为
x y
x1 y1
，或简记为
x1，y1
。方程组
I
的所有的解构成的集合叫做方程组
设行列式中某一元素位于第 i 行第 j 列，把对应于这个元素的余子式乘上 1 i j 后所得
到的式子叫做原行列式中对应于这个元素的代数余子式。
定理 1 行列式等于它的任意一行（或一列）的所有元素与它们各自对应的代数余子式
的乘积的和。
定理 2 行列式某一行（或一列）的各元素与另一行（或一列）对应元素的代数余子式
a1 b1 ， 6
a2 b2
并且规定它就表示
行列式与线性方程组的关系
行列式与线性方程组的关系
线性方程组与行列式一直是数学中重要的概念，而它们之
间又存在着密不可分的关系，在现代计算机技术中也得到了有
效地应用。
首先，线性方程组是数学中一类重要的几何概念，它表示
一组线性互不平行的线性方程，即由坐标变换把一个空间的点
映射到另一个空间的点。
而行列式（Determinant）是数学中
的一个重要的概念，它是一种矩阵的数字类型为实数的表达式，又叫矩阵式，主要用于表示一系列数学变换的变换程度。
线性
方程组与行列式之间存在着多方面的相互作用。
例如，线性方程组可以用消元法求解，这称之为线性可分
离元素，这是由它们之间的行列式特征决定的。
如果行列式不
为零，则该线性方程组是可分解的，反之亦然。
此外，常用的
齐次线性方程组的特征根与行列式的范数有关，即行列式的
范数等于特征根的乘积，因此，通过行列式的求值方式，可以
解决齐次线性方程组。
再者，受普通线性方程组（LSE）矩阵形式的启发，已经
有许多研究工作证明，与行列式相关的线性方程组存在唯一解，这就是对LSE理论最新的突破。
同时，也有研究工作表明，
行列式可用来求解无解线性方程系统，从而弥补了无解线性方
程组中未解的部分，这大大提高了解决LSE的效率。
最后，行列式在现代计算机技术中也受到了广泛应用，经
常被用来用于表达矩阵的变换程度，或者用于分析矩阵中每个
元素和它所在坐标轴之间的对角线之间的关系，用以优化程序
的性能。
总之，线性方程组与行列式之间的关系是十分重要的，它们的结合不仅可以解决许多复杂的数学问题，而且可以用于提高现代计算机技术的效率。
考研数学线性代数知识点精讲
考研数学线性代数知识点精讲线性代数是考研数学中非常重要的一部分，对于许多考生来说，它可能具有一定的挑战性。
但只要我们掌握了关键的知识点和方法，就能轻松应对。
接下来，让我们深入地探讨一下线性代数中的重要知识点。
一、行列式行列式是线性代数中的一个基本概念，它是一个数值。
行列式的计算方法有很多，比如按照某一行（列）展开、利用行列式的性质化简等。
对于二阶和三阶行列式，我们可以直接使用公式计算。
二阶行列式的值为“主对角线元素之积减去副对角线元素之积”；三阶行列式的计算相对复杂一些，但我们可以通过按某一行（列）展开，将其转化为二阶行列式的计算。
行列式的性质是我们化简计算的重要工具。
比如，行列式某一行（列）元素乘以一个数加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变；交换两行（列），行列式的值变号等等。
二、矩阵矩阵是线性代数的核心概念之一。
矩阵的运算包括加法、减法、数乘和乘法。
需要注意的是，矩阵乘法不满足交换律，即一般情况下AB≠BA。
矩阵的逆也是一个重要的概念。
若矩阵 A 可逆，则存在矩阵 B 使得 AB ＝ BA ＝ I，其中 I 是单位矩阵。
求矩阵的逆可以使用伴随矩阵法或初等变换法。
矩阵的秩反映了矩阵中线性无关的行（列）向量的个数。
通过初等变换可以将矩阵化为阶梯形，从而求出矩阵的秩。
三、向量向量是既有大小又有方向的量。
线性相关和线性无关是向量组的重要性质。
如果存在一组不全为零的数使得向量组的线性组合等于零向量，则称该向量组线性相关；否则，称其线性无关。
向量组的秩等于其极大线性无关组中向量的个数。
四、线性方程组线性方程组是线性代数中的常见问题。
对于齐次线性方程组，当系数矩阵的秩等于未知数的个数时，方程组只有零解；当系数矩阵的秩小于未知数的个数时，方程组有非零解。
对于非齐次线性方程组，如果增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩且等于未知数的个数，则方程组有唯一解；如果增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩且小于未知数的个数，则方程组有无穷多解；如果增广矩阵的秩不等于系数矩阵的秩，则方程组无解。
行列式和线性方程组的总结
行列式和线性方程组的总结作者：邵琳琳来源：《今日湖北·中旬刊》2013年第04期摘要高等代数是数学专业的一门竹竿基础课程，它是学生的抽象思维能力、逻辑能力的培养，它同数学分析都是对后继课程学习起着非常重要的作用。
学生在学习高等代数的过程中，由于高等代数中知识的抽象，让学生不能更好地掌握其中的内涵。
为帮助学生消化课堂讲授的内容，加深对基础概念、基本理论的理解，提高学生学习能力，所以对高等代数知识中的行列式和线性方程组进行总结。
关键词高等代数抽象行列式线性方程组一、行列式（一）行列式的性质1、性质1行与列互换，行列式的值不变2、性质2某行（列）的公因子可以提到行列式符号外3、性质3如果某行（列）的所有元素都可以写成两项的和，则该行列式可以写成两个行列式的和；这两个行列式的这一行（列）的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行（列）元素与原行列式相同4、性质4两行（列）对应元素相同，行列式的值为零5、性质5两行（列）对应元素成比例，行列式的值为零6、性质6某行（列）的倍数加到另一行（列），行列式的值不变7、性质7交换两行（列）的位置，行列式的值不变（二）行列式的解答方法1、利用行列式的性质，将行列式化为上（下）三角形2、行列式按某一行（列）展开，结合归纳法展开例3、升阶法行列式计算的方法一般是降阶，但对于一些特殊的n阶行列式，如除对角元（或次对角元）外，其余元素相同或者成比例的行列式，有时加上一行一列变成n+1阶行列式，特别是第一列为（1，0，…0）并适当选取第一行的元素，就可以使消零化简更简单，这一方法成为升阶法或加边法。
4、利用特殊行列式，如范德蒙德行列式例：5、行列式降阶定理（利用分块矩阵）设A为r阶方阵，B为r€譻阵，c为s€譺阵，D为s阶方阵，则当A、D都可逆时，ID—CA_1BI=书甜iA—BD叫cf（3）称定理2为行列式的第二降阶定理。
6、克拉默法则（1）如果线性方程组的系数矩阵则方程组有唯一解其中（2）含n个方程n个未知量的其次线性方程组如果有非零解，则其系数矩阵的行列式必为零二、线性方程组（一）求解线性方程组的消元法1、消元法是求解线性方程组的具体方法，它通过对线性方程组施行三种初等变换（1）用一非零的数乘某一方程（2）把一方程的倍数加到另一方程（3）互换两个方程的位置2、消元法解线性方程组的理论根据是：线性方程组经初等变换得到同解线性方程组。
行列式和线性方程组的求解
行列式在解线性方程组中的优势与局限性
优势
行列式可以用来判断线性方程组的解的情况，如是否有解、解的个数等，同时也可以用于求解某些特 定类型的线性方程组。
局限性
对于一些复杂或大规模的线性方程组，直接利用行列式求解可能比较困难或计算量较大，此时需要考 虑其他方法或工具进行求解。
THANKS
谢谢
当线性方程组的系数行列式不为零时，克拉默法则适用。
克拉默法则的原理基于代数余子式的概念，通过代数余子式的计算，可以得出系数和常数项之间的关系。
应用克拉默法则的步骤
第一步
计算系数行列式D，确保D≠0。
第二步
根据D的值，计算每个未知数的系数行列式Di（i=1,2,3...n）。
第三步
根据Di的值，计算每个未知数的代数余子式Ai。
迭代法
通过迭代过程逐步逼近方程组的解，常用的迭代法有雅可比法、高斯 -赛德尔迭代法和松弛法等。
03
CHAPTER
高斯消元法求解线性方程组
消元过程
初始化
将线性方程组转化为增广矩阵形式，并存储在矩阵中。
消元
通过行变换将增广矩阵中的某一行或某一列的元素化 为零，以便消除该行或列中的未知数。
迭代
重复上述步骤，直到所有未知数都被消除。
回带过程
确定主元
在回带过程中，选择主元是为了保证计算的稳定性 和准确性。主元应选择绝对值最大的元素。
回带
从最后一行开始，将已求解的未知数代入增广矩阵 中，并计算出其他未知数的值。
迭代
重复上述步骤，直到所有未知数的值都被计算出来。
算法的优缺点
优点
高斯消元法是一种简单、直观且易于理 解的算法，适用于大多数线性方程组。 它能够精确求解方程组，且在主元选择 合适的情况下具有较高的计算效率和稳 定性。
行列式和线性方程组之间的关系
行列式和线性方程组之间的关系一前言线性方程组是线性代数的基本内容。
它不仅是数学中非常重要的基础理论，也是科学研究、工程技术、社会和生产实践中常用的数学工具。
本文介绍了行列式的基本概念和一些典型的计算方法。
下一篇文章将介绍基本的消除方法。
二低阶行列式行列式概念来源于求解线性方程组，对于一个二元线性方程组：a_11 * x+a_12 * y = b_1; a_21 * x + a_22 * y = b2利用消元法可知，当 a_11*a_22 - a_12*a21 != 0 时，这个方程组有唯一解。
我们记：同样的，针对三阶行列式，我们有以下的计算方式：计算过程可以利用，下面的方式表达其中实线是主对角线，虚线是次对角线。
但是，需要提醒的针对3阶以上的行列式，并不是主对角线相乘-次对角线的计算方式。
例子：使用matlab计算一个行列式数值：构建一个行列式数值，然后计算det（D），即可计算行列式（矩阵）的行列式数值。
三高阶行列式在讲高阶行列式之前，我们需要插一个小概念:逆序数。
定义1：有n个自然数1，2，3，... ，n按任意次数排列成一列所得的n元数串i1, i2, ..., in称为一个n级排列。
对于一个给定的正整数n，一共有n！个不同的n级排列（排列组合方式）。
定义2：在n级排列i1, i2, ..., in中，排在第k个数ik 前面，但是比ik大的数的个数成为ik在这个排列中的逆序数。
排列i1, i2, ..., in中各个元素逆序数之和称为这个排列的逆序数。
逆序数为奇数称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。
奇排列和偶排列是计算高阶行列式元素符号的必备知识。
这里我们也可以给出n^2个数的行列式的计算方法：其中，为该其中一种元素排列的逆序数。
四行列式的性质（1）用数k乘以行列式的某一行（列）的所有元素相当于k 乘以该行列式（和矩阵有很大不同）（2）如果行列式某一行（列）的元素是两组数之和，那么该行列式可以写成两个行列式之和（3）互换行列式的两行（列），行列式+-符号互换（4）如果行列式中两行（列）元素对应成比例，那么该行列式的值为0（5）如果将行列式某行（列）改成该行（列）与另一行（列）的k倍之和，行列式数值不变。
第一章 行列式
于是方程组Ⅰ的解可简写为：
当D =
a11 a 21
a12 a 22
a11 b1 b1 a12 a b b a 22 ≠ 0 时，方程组Ⅰ有唯一解 x1 = 2 , x 2 = 21 2 . a11 a12 a11 a12 a 21 a 22 a 21 a 22
(1) × a 22 − (2) × a12 得： (a11a 22 − a12 a 21 ) x1 = b1a 22 − b2 a12 . (2) × a11 − (1) × a 21 得： (a11a 22 − a12 a 21 ) x2 = b2 a11 − b1 a 21 .
则 x1 =
b1 a 22 − b2 a12 b a −b a , x 2 = 2 11 1 21 . 这时， 我们要求 a11a 22 − a12 a 21 ≠ 0 . a11 a 22 − a12 a 21 a11 a 22 − a12 a 21
理学院田宝玉
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第一章
行列式
§1.2 n 阶行列式的定义及性质
一、二阶行列式与三阶行列式的关系 先规定一阶行列式的定义. 一阶行列式 二阶行列式 三阶行列式
a11 = a11
a11 a 21
（注：这是行列式符号而非绝对值符号）
a12 = a11 a 22 − a12 a 21 = a11 (−1)1+1 a 22 + a12 (−1)1+ 2 a 21 a 22
同二元方程组，我们采取相同的办法，我们记
a11 a21 a31
a12 a22 a32
行列式与解线性方程组
= a11 a22 - a12 a21
= b1 a22 a33 + a12 a23 b3 +
可知 , 其数学表达式共有 2 ( 2 = 2 ! ) 项 , 1 项带正号 1 2! 项带负号 1 = ; 每项 2 个因子 , 分别来自 D 的 2 不同的行和不同的列 , 2 个因子的第 1 下标的数码 排成自然顺序后 , 第 2 下标恰为 2 个数码 1, 2 的某 个全排列 (共 2 = 2 ! 个全排列 ) , 逆序数 σ ( 12 ) = 0 (偶数 ) 的项带正号 , 逆序数 σ ( 21 ) = 1 (奇数 ) 的项 带负号 。 分析 3 阶行列式 ( 8 ) 式
这本来是一个纯代数问题如果我们把这个纯代数问题与几何结合起来在求解线性方程组的过程中从整体上考虑系数与常数项的关系就产生了求解线性方程组的行列式理论和矩阵理论
中国人民公安大学学报 (自然科学版 )
2010 年第 1 期 No. 1 2010 Journal of Chinese Peop leπ s Public Security University ( Science and Technology)
显然 , 线性方程组的解与其系数和常数项有关 。 这本来是一个纯代数问题 , 如果我们把这个纯代数 问题与几何结合起来 , 在求解线性方程组的过程中 从整体上考虑系数与常数项的关系 , 就产生了求解 线性方程组的行列式理论和矩阵理论 。
1 标准形式的 2 元线性方程组
= b1 a22 - b2 a12 , = a11 b2 - a21 b1 。
- a12 a21 ≠0, 则得线性方程组 ( 1 ) 式的惟一解及求解
于是 , 2 元线性方程组 ( 1 ) 式的求解公式 ( 2 ) 式 就可以写成容易记忆的公式
《经济数学》第6章 行列式矩阵与线性方程组
第6章 行列式、矩阵与线性方程组本章教学要求：了解行列式、矩阵的基本概念，并会计算行列式、矩阵的计算题。
在一个函数、方程或不等式中，如果所出现的数学表达式是关于未知数或变量的一次式，那么这个函数、方程或不等式就称为线性函数、线性方程或线性不等式。
在经济管理活动中，许多变量之间存在着或近似存在着线性关系，使得对这种关系的研究显得尤为重要，许多非线性关系也可转化为线性关系。
线性代数是高等数学的又一个重要内容，与微积分有着同样的地位和同等的重要性．行列式、矩阵与线性方程组（即一次方程组）的理论是线性代数的一个基本内容，也是主要内容．线性代数在许多实际问题中有着直接的应用，并为数学的许多分支和其它学科所借鉴．行列式、矩阵与线性方程组在数据计算、信息处理、均衡生产、减少消耗、增加产出等方面有着广泛应用，是我们改善企业生产经管管理、提高经济效益很有用的工具。
在这一章里，我们将介绍行列式和矩阵的一些基础知识，并讨论线性方程组的解法，以及行列式、矩阵与线性方程组的一些相关经济应用。
６．１ n 阶行列式及性质行列式是在讨论线性方程组时建立起来的一个数学概念，是我们解线性方程组的一个有力工具．6.1.1 二阶行列式二元线性方程组的一般形式是)(Ⅰ ⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a ②① 利用消元法求解：1222a ②a ①⨯-⨯，得 122221112212211)(a b a b x a a a a -=-． 2111a ①a ②⨯-⨯，得 121211212212211)(b a b a x a a a a -=-．当012212211≠-a a a a 时，方程组)(Ⅰ的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=122122112111122122122111222211a a a a a b a b x a a a a a b a b x ③． 在二元线性方程组)(Ⅰ的解的表达式③中，1x 、2x 的解的分母都是12212211a a a a -．为了便于记忆和讨论，引入一个新的记号22211211a a a a 来表示12212211a a a a -，即22211211a a a a ＝12212211a a a a - (6-1)在22211211a a a a 中，11a 、12a 、21a 、22a 是方程组)(Ⅰ中1x 、2x 的系数，它们按原来的位置排成一个正方形． 我们称22211211a a a a 为二阶行列式，其中横排称为行，纵排称为列，ij a （2,1=i ；2,1=j ）称为二阶行列式第i 行第j 列的元素．(6-1)式的右端称为二阶行列式的展开式．显然，二阶行列式有二行和二列，共4个元素，记为22个元素，二阶行列式的展开式有两项，记为2!项。
阐述行列式与线性方程组的关系
阐述行列式与线性方程组的关系
行列式与线性方程组是线性代数学习中务必掌握的重要概念。
它们之间有着密不可分的联系，行列式中的每一项都直接关系到线性方程组求解结果的实质，因此在计算机有关应用中都广泛采用，比如解决线性规划问题。
行列式是一维数组，当元素数大于一时，需要乘以一个常数把这些数变成一个多项式，这就是行列式的基本定义。
它定义了线性方程组的解的存在，且行列式的值处于两种特殊的区间，一旦出现这两种特殊值，就可以了解到线性方程组是否可解。
线性方程组表示为Ax=B，A为系数矩阵，x为未知数，B为常数项，而行列式实际上就是系数矩阵的值，通过行列式的值可以确定线性方程组是否有解，也可以计算线性方程组的解。
更容易理解的是，如果行列式（系数矩阵）不可行，那么线性方程组也就不存在解；如果行列式（系数矩阵）可逆，那么线性方程组有唯一解；如果行列式（系数矩阵）可除，那么线性方程组有无穷多解。
总的来说，行列式与线性方程组之间的联系非常紧密，是许多计算机应用中重要的内容，研究行列式及其特性能帮助我们得出线性方程组的解，甚至解决一些线性规划问题，使行列式在计算机科学领域更加重要。
第一章线性方程组与行列式1
2
本学期的内容:
第一章 线性方程组与行列式 第二章 矩阵与线性方程组 第三章 向量组的线性相关性 第四章 相似矩阵与二次型 第五章* 线性空间与线性变换
3
第一章
线性方程组 与行列式
行列式的概念 行列式的性质 与计算 克莱姆法则解 线性方程组
4
§1 二元、三元方程组与二阶与三阶行列式
一．二元线性方程组与二阶行列式 a11 x1 a12 x2 b1 (1) a21 x1 a22 x2 b2
a12 a 22 a32 a13 a 23 a33
a13
主对角线 副对角线
对角线法则
特点 （1）三行三列； （2）含六项(3!)的代数式；
（3）每一项都是取自不同行不同列的元素的乘积； （4）三正三负。
8
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 3 21 1 22 2 33 3
18
注意
(1)当 n = 1时，一阶行列式 a a 。
例: 1 1
(2)n 阶行列式也可以定义为
D 1 a p11a p2 2 a pn n
τ 为行标排列 p1 p2 pn 的逆序数。
19
例1：计算
a 0 0 0 0 b 0 0 0 0 c 0 0 0 0 d
其中第一个和第三个是偶排列,第二和第四个是奇排列.所以
D acfh adeh bdeg bcfg
21
a11
a12 a1n a22 a2 n
例3 上三角行列式 D
0
证 展开式中项的一般形式是 由于i >j时，有 aij 0，则
三阶行列式与线性方程组图文
图形化表示方法
三阶行列式的图形化表示
通过几何图形（如立方体、平行六面体等）来表示三阶行列式的各个元素，使得行列式的求解过程更 加直观。
线性方程组的图形化表示
通过平面直角坐标系或空间直角坐标系，将线性方程组的解表示为图形上的点、线或面，使得方程组 的解更加直观。
直观理解两者关系
要点一
通过图形化表示，可以直观地看 出三阶行列式与线性方程组之…
线性方程组的概念
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，用于求解多个未知数的 值。
三阶行列式与线性方程组的关系
三阶行列式可以用于判断线性方程组是否有解，以及求解线性方程组 中的未知数。
常见误区及注意事项
将三阶行列式与二阶行列式混淆，导致计算错误。需 要注意三阶行列式的计算规则与二阶行列式有所不同。
列式相似。
矩阵理论
行列式是矩阵理论中的重要概念， 高阶行列式的研究有助于深入理
解矩阵的性质和运算。
线性代数
在线性代数中，行列式与矩阵、 线性方程组等概念紧密相关，高 阶行列式的研究有助于解决更复
杂的线性代数问题。
与其他数学分支的联系
01
微分学
在多元函数微分学中，雅可比行列式（一种特殊的三阶行列式）用于表
矩阵基础
了解矩阵的基本概念、运算和性质，如矩阵的加法、数乘 、转置等。这些知识将为学习三阶行列式打下基础。
代数运算
具备基本的代数运算能力，如加法、减法、乘法、除法等 ，以及因式分解、整式运算等技巧。这些技能在计算三阶 行列式时将发挥重要作用。
02 三阶行列式基础
三阶行列式定义
表示方法
通常使用双竖线 || 或方括号 [] 表示 ，如 |a11 a12 a13| 或 [a11 a12 a13; a21 a22 a23; a31 a32 a33]。
线性方程组和行列式
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
第5页，本讲稿共74页
3.1.2 行列式在线性方程组中的应用
(1)
如果含有两个未知量两个方程的线性方程组(1)
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
b1 b2
第2页，本讲稿共74页
3.1 线性方程组和行列式
一、内容分布 3.1.1 二阶、三阶行列式的计算(对角线法则)
3.1.2 行列式在线性方程组中的应用
二、教学目的：
1.了解二阶、三阶行列式的定义。
2.会利用对角线法则计算二阶、三阶行列式。 三、重点难点：
利用对角线法则计算二阶、三阶行列式
第3页，本讲稿共74页
二、教学目的： 1.掌握和理解n阶行列式的定义。
2.会利用定义计算一些特殊的行列式。 3.掌握和理解行列式的性质。 4.熟练掌握利用性质计算及证明行列式的技巧。
三、重点难点：
利用定义计算行列式 利用性质熟练计算及证明行列式
第16页，本讲稿共74页
3.3.1 n阶行列式的定义
定义1
用n2个元素aij (i, j 1,2,n) 组成的记号 a11 a12 a1n a21 a22 a2n
p q. 同样可得 q p. 因此 p q.
例题选讲
例 1 计算排列 32514 的逆序数 . 例 2 计算排列 217986354 的逆序数, 并讨论其奇偶性. 例 3 求排列 n(n 1)(n 2) 321的逆序数, 并讨论其奇偶性.
第15页，本讲稿共74页
3.3 n阶行列式
一、 内容分布 3.3.1 n阶行列式排列共有n！个
例如：1，2，3这三个数码的全体不同的排列一共有3！= 6个 ，它们是：123，132，231，213，312，321。 定义2 在一个排列里，如果某一个较大的数码排在某一个较 小的数码前面，就说这两个数码构成一个反序。
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简析行列式和线性方程组
摘要：作为数学专业的一门竹竿基础课程，高等代数是学生的逻辑能力、抽象思维能力的培养，它同数学分析都是对后继课程学习起着非常重要的作用。
学生在学习高等代数的过程中，由于高等代数中知识的抽象，让学生不能更好地掌握其中的内涵。
为帮助学生消化课堂讲授的内容，加深对基础概念、基本理论的理解，提高学生学习能力，所以对高等代数知识中的行列式和线性方程组进行总结。
关键词：高等代数；行列式；抽象；线性方程组
学生在学习高等代数的过程中，由于高等代数中知识的抽象，让学生不能更好地掌握其中的内涵。
为帮助学生消化课堂讲授的内容，加深对基础概念、基本理论的理解，提高学生学习能力，所以对高等代数知识中的行列式和线性方程组进行总结。
希望可以帮助学生，理解和掌握行列式和线性方程组。
一、行列式
行列式是高等代数中的一个基本概念，特别是在中学所学代数中，解方程占有很重要的地位。
它不仅是讨论线性方程组理论的有力工具，而且在求矩阵的秩，判断向量的线性相关性以及运用克拉默法则解答问题等等。
所以行列式虽然是一个基本概念，但是却在高等代数中占有尤为重要的地位。
（一）行列式的性质
1. 性质1 行与列互换，行列式的值不变
2. 性质2 某行（列）的公因子可以提到行列式符号外
3. 性质3 如果某行（列）的所有元素都可以写成两项的和，则该行列式可以写成两个行列式的和；这两个行列式的这一行（列）的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行（列）元素与原行列式相同
4. 性质4 两行（列）对应元素相同，行列式的值为零
5. 性质5 两行（列）对应元素成比例，行列式的值为零
6. 性质6 某行（列）的倍数加到另一行（列），行列式的值不变
7. 性质7 交换两行（列）的位置，行列式的值不变
（二）行列式的解答方法
1. 利用行列式的性质，将行列式化为上（下）三角形
2. 行列式按某一行（列）展开，结合归纳法展开
3. 升阶法
行列式计算的方法一般是降阶，但对于一些特殊的n阶行列式，如除对角元（或次对角元）外，其余元素相同或者成比例的行列式，有时加上一行一列变成n+1阶行列式，特别是第一列为（1，0，……0）并适当选取第一行的元素，就可以使消零化简更简单，这一方法成为升阶法或加边法。
4. 利用特殊行列式，如范德蒙德行列式
5. 行列式降阶定理（利用分块矩阵）
设a为r阶方阵，b为r×s阵，c为s×r阵，d为s阶方阵，则当a、d都可逆时，id—ca_1bi=书甜ia—bd叫cf （3）称定理2为行列式的第二降阶定理。
6. 克拉默法则
（1）如果线性方程组
（2）含n个方程n个未知量的其次线性方程组如果有非零解，则其系数矩阵的行列式必为零
二、线性方程组
线性方程组的理论在数学各个分支及其他许多领域被广泛应用着。
关于线性方程组的基本问题得到了完满的解决。
（一）求解线性方程组的消元法
1. 消元法是求解线性方程组的具体方法，它通过对线性方程组施行三种初等变换
（1）用一非零的数乘某一方程
（2）把一方程的倍数加到另一方程
（3）互换两个方程的位置
2. 消元法解线性方程组的理论根据是：线性方程组经初等变换得到同解线性方程组。
3. 使用消元法解线性方程组可以在线性方程组的增广矩阵由
方程组的系数与右端项构成的矩阵上进行，即对增广矩阵的行施行
矩阵的响应的初等变换化为阶梯矩阵，此时就可以判别方程组有解还是无解，在有解的情形，回到阶梯方程行去解。
（二）向量组的线性相关性
设v是数域p上的向量空间α，α1，……，αs，β，β1，……，βs∈v
1.如果存在数域p中的一组数k1，k2，……，ks，使α=k1α1+k2α2+……+ksαs，则称向量α是向量组α1，……，αs的线性组合，或称向量α可由向量组α1，……，αs的线性表出。
2.如果向量组（ⅰ）α，α1，……，αs中每个向量αi都可由向量组（ⅱ）β，β1，……，βs线性表出，则称这两个向量组等价。
（1）反身性：每个向量组都与它本身等价
（2）对称性：如果向量组α1，……，αs与β1，……，βs
等价，则向量β1，……，βs也与α1，……，αs等价（3）传递性：如果向量组α1，……，αs与β，β1，……，βt等价，β1，……，βt与γ1，……，γp等价，那么向量组α1，……，αs与γ1，……，γp等价
3.线性表出与线性相关的关系：
（1）向量组α1，……，αs（s≥2）线性相关充分必要条件是其中至少有一个向量可由其余s-1个向量线性表出；
（2）如果向量组α1，……，αs线性无关，而向量组α1，……，
αs，β线性相关，则β可由向量组α1，……，αs唯一线性表示；
（3）如果向量组α1，……，αs可由向量组β，β1，……，βt线性表出，且s>t，则α1，……，αs必线性无关；
（4）如果向量组α1，……，αs线性无关，且它可由由向量组β，β1，……，βt线性表出，则s≤t
（5）两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量。
（三）向量的秩与极大线性无关组的有关结论：
1.向量组与它的任一极大线性无关组等价；
2.向量组的任意两个极大线性无关组等价；
3.向量组的任意两个极大线性无关组所含向量的个数相同；
4.如果向量组（ⅰ）可由向量组（ⅱ）线性表出，则向量组（ⅰ）的秩大于向量组（ⅱ）的秩；
5.等价的向量组有相同的秩
（四）矩阵
矩阵理论是高等代数的主要内容之一，也是数学及许多科学领域中的重要工具，它有着广泛的应用。
在矩阵的学习中，我们可以利用行列式、伴随矩阵、逆矩阵以及对称矩阵和反对称矩阵，这使我们的对于矩阵的学习有着更深刻的印象和了解。
以上就是关于行列式以及线性方程组的一些知识点提要。
这些知识高等代数中的基础知识，想要学好高等代数，这些还是远远不够的。
高等代数最为基础学科，其包含的内容深刻有实际意义，在
数学领域为其他学科做了重要的铺垫，希望上述内容可以帮助大家更好地理解高等代数的行列式和线性方程组着两个知识。
（作者单位：沈阳师范大学）。