简析行列式和线性方程组

简析行列式和线性方程组

摘要：作为数学专业的一门竹竿基础课程，高等代数是学生的逻辑能力、抽象思维能力的培养，它同数学分析都是对后继课程学习起着非常重要的作用。学生在学习高等代数的过程中，由于高等代数中知识的抽象，让学生不能更好地掌握其中的内涵。为帮助学生消化课堂讲授的内容，加深对基础概念、基本理论的理解，提高学生学习能力，所以对高等代数知识中的行列式和线性方程组进行总结。

关键词：高等代数；行列式；抽象；线性方程组

学生在学习高等代数的过程中，由于高等代数中知识的抽象，让学生不能更好地掌握其中的内涵。为帮助学生消化课堂讲授的内容，加深对基础概念、基本理论的理解，提高学生学习能力，所以对高等代数知识中的行列式和线性方程组进行总结。希望可以帮助学生，理解和掌握行列式和线性方程组。

一、行列式

行列式是高等代数中的一个基本概念，特别是在中学所学代数中，解方程占有很重要的地位。它不仅是讨论线性方程组理论的有力工具，而且在求矩阵的秩，判断向量的线性相关性以及运用克拉默法则解答问题等等。所以行列式虽然是一个基本概念，但是却在高等代数中占有尤为重要的地位。

（一）行列式的性质

1. 性质1 行与列互换，行列式的值不变

2. 性质2 某行（列）的公因子可以提到行列式符号外

3. 性质3 如果某行（列）的所有元素都可以写成两项的和，则该行列式可以写成两个行列式的和；这两个行列式的这一行（列）的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行（列）元素与原行列式相同

4. 性质4 两行（列）对应元素相同，行列式的值为零

5. 性质5 两行（列）对应元素成比例，行列式的值为零

6. 性质6 某行（列）的倍数加到另一行（列），行列式的值不变

7. 性质7 交换两行（列）的位置，行列式的值不变

（二）行列式的解答方法

1. 利用行列式的性质，将行列式化为上（下）三角形

2. 行列式按某一行（列）展开，结合归纳法展开

3. 升阶法

行列式计算的方法一般是降阶，但对于一些特殊的n阶行列式，如除对角元（或次对角元）外，其余元素相同或者成比例的行列式，有时加上一行一列变成n+1阶行列式，特别是第一列为（1，0，……0）并适当选取第一行的元素，就可以使消零化简更简单，这一方法成为升阶法或加边法。

4. 利用特殊行列式，如范德蒙德行列式

5. 行列式降阶定理（利用分块矩阵）

设a为r阶方阵，b为r×s阵，c为s×r阵，d为s阶方阵，则当a、d都可逆时，id—ca_1bi=书甜ia—bd叫cf （3）称定理2为行列式的第二降阶定理。

6. 克拉默法则

（1）如果线性方程组

（2）含n个方程n个未知量的其次线性方程组如果有非零解，则其系数矩阵的行列式必为零

二、线性方程组

线性方程组的理论在数学各个分支及其他许多领域被广泛应用着。关于线性方程组的基本问题得到了完满的解决。

（一）求解线性方程组的消元法

1. 消元法是求解线性方程组的具体方法，它通过对线性方程组施行三种初等变换

（1）用一非零的数乘某一方程

（2）把一方程的倍数加到另一方程

（3）互换两个方程的位置

2. 消元法解线性方程组的理论根据是：线性方程组经初等变换得到同解线性方程组。

3. 使用消元法解线性方程组可以在线性方程组的增广矩阵由

方程组的系数与右端项构成的矩阵上进行，即对增广矩阵的行施行

矩阵的响应的初等变换化为阶梯矩阵，此时就可以判别方程组有解还是无解，在有解的情形，回到阶梯方程行去解。

（二）向量组的线性相关性

设v是数域p上的向量空间α，α1，……，αs，β，β1，……，βs∈v

1.如果存在数域p中的一组数k1，k2，……，ks，使α=k1α1+k2α2+……+ksαs，则称向量α是向量组α1，……，αs的线性组合，或称向量α可由向量组α1，……，αs的线性表出。

2.如果向量组（ⅰ）α，α1，……，αs中每个向量αi都可由向量组（ⅱ）β，β1，……，βs线性表出，则称这两个向量组等价。

（1）反身性：每个向量组都与它本身等价

（2）对称性：如果向量组α1，……，αs与β1，……，βs

等价，则向量β1，……，βs也与α1，……，αs等价（3）传递性：如果向量组α1，……，αs与β，β1，……，βt等价，β1，……，βt与γ1，……，γp等价，那么向量组α1，……，αs与γ1，……，γp等价

3.线性表出与线性相关的关系：

（1）向量组α1，……，αs（s≥2）线性相关充分必要条件是其中至少有一个向量可由其余s-1个向量线性表出；

（2）如果向量组α1，……，αs线性无关，而向量组α1，……，

αs，β线性相关，则β可由向量组α1，……，αs唯一线性表示；

（3）如果向量组α1，……，αs可由向量组β，β1，……，βt线性表出，且s>t，则α1，……，αs必线性无关；

（4）如果向量组α1，……，αs线性无关，且它可由由向量组β，β1，……，βt线性表出，则s≤t

（5）两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量。

（三）向量的秩与极大线性无关组的有关结论：

1.向量组与它的任一极大线性无关组等价；

2.向量组的任意两个极大线性无关组等价；

3.向量组的任意两个极大线性无关组所含向量的个数相同；

4.如果向量组（ⅰ）可由向量组（ⅱ）线性表出，则向量组（ⅰ）的秩大于向量组（ⅱ）的秩；

5.等价的向量组有相同的秩

（四）矩阵

矩阵理论是高等代数的主要内容之一，也是数学及许多科学领域中的重要工具，它有着广泛的应用。在矩阵的学习中，我们可以利用行列式、伴随矩阵、逆矩阵以及对称矩阵和反对称矩阵，这使我们的对于矩阵的学习有着更深刻的印象和了解。

以上就是关于行列式以及线性方程组的一些知识点提要。这些知识高等代数中的基础知识，想要学好高等代数，这些还是远远不够的。高等代数最为基础学科，其包含的内容深刻有实际意义，在