三角函数-任意角与弧度制

三角函数-任意角与弧度制

知识点

1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α。旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。 2. 角的分类为了区别起见，我们规定:

（1）正角：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角； （2）负角：按顺时针方向旋转所形成的角叫负角；

（3）零角：如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。 注意：（1）角的概念推广后，它包括任意大小的正角、负角和零角

（2）在不引起混淆的情况下，“角α”或“∠α”可以简化成“α”。

3.终边相同的角的表示方法：与α终边相同的角构成一个集合： {}

360,S k k Z ββα==+⋅∈ 注:（1） Z k ∈； （2）α是任意角；

（3）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。

4.象限角：在直角坐标系内,角的顶点与原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.

非象限角：终边落在x 轴或y 轴上的夹角。

5.弧度与角度的互化

（1）弧度制的定义

比较两个同心圆，我们发现同一个圆心角所对应的弧长与半径对应成比例。

或者说同一个圆中弧长与半径之比是不变的。

因此我们有如下定义：

如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝l

r

（2）. 弧度角的定义

把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。 弧度单位：rad 。（此单位写不写都可以） （3）. 弧长公式：r l ⋅=α

（4）. 角度与弧度的换算3602π=rad ；180π=rad 。 1°＝

π180rad ；1 rad ＝(180

π

)° (3)特殊角的度数与弧度制对应表：

（5）. 弧长、扇形面积的公式

设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，又l ＝rα，则扇形的面积为S ＝12＝12|α|·r 2

题型一 终边相同的角的表示

【例1】写出与

75角终边相同的角的集合，并求在

1080~360范围内与

75角终边相同的角

【例2】写出终边落在如图所示直线上的角的集合．

【例3】如图βα，分别是终边落在OA,OB 位置上的两个角.且

31560==βα，. (1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的所有角的集合;

(2)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角θ.且

3600≤≤θ的所有角的集合.

【过关练习】

1.下列各对角中终边相同的角是（ ）。

A

2π和2()2Z k k ππ-+∈ B 3π-和22

3

C 79π-

和119

π D

203π和1229

π

2.已知角α的终边经过点(33)P -，，则与α终边相同的角的集合是 .

A.2π2π3x x k k ⎧⎫

=+∈⎨⎬⎩

⎭Z ， B.5π2π6x x k k ⎧⎫

=+∈⎨⎬⎩

⎭Z ，

C.5ππ6x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩

⎭Z ，

D.2π2π3x x k k ⎧⎫

=-∈⎨⎬⎩

⎭Z ，

3.与1840终边相同的最小正角为________，与1840-终边相同的最小正角是________。

4.在0

360，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限：

（1）120-；（2）'

95012。

5.若α与β的终边互为反向延长线，则有（ ） A 180αβ=+ B 180αβ=-

C αβ=-

D (21)180,k k Z αβ=++⋅∈

6.如果角α与角45θ+具有同一条终边，角β与角45θ-具有同一条终边，那么α与β的关系是什么？

7.已知角α的终边在如图所示的阴影部分内(包括边界),试指出角α的取值范围.

题型二 象限角的判定

【例1】⑴在0︒与360︒范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角：

①120-︒；②640︒；③95012'-︒.

⑵分别写出与下列各角终边相同的角的集合S ， 写出S 中满足不等式360720β-︒︒≤≤的元素β： ①80︒；②51-︒；③36734'︒.

【例2】若α是第四象限角，则180α-是（ ）

A 第一象限角

B 第二象限角

C 第三象限角

D 第四象限角

【例3】若角α是第二象限角，确定3

2α

α，，是第几象限角。

【过关练习】

1.下列说法正确的有几个（ ）

（1）锐角是第一象限的角；（2）第一象限的角都是锐角； （3）小于90的角是锐角；（4）0

90的角是锐角。

A 1个

B 2个

C 3个

D 4个

2.已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x 轴的正半轴上，则角855是第（ ）象限角。 A 第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角

3.若α是第一象限角，则2

-

α是（ ）

A. 第一象限角

B.第四象限角

C.第二或第三象限角

D..第二或第四象限角