变量之间的关系

变量之间的关系

知识梳理

1．概念

变量：在某一变化过程中，数值发生变化的量是变量。

自变量、因变量：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，其中y随x 的变化而变化，我们就说x是自变量，y是因变量。

常量：在某一个变化过程中，数值始终保持不变的量是常量。

表格法：借助表格，可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况。

表格法的基本特征是：表示两个变量之间的表格，一般第一栏表示自变量，第二栏表示因变量，从表格中可以发现因变量随自变量变化而存在一定的变化规律，从而可以利用变化趋势对结果作出预测。

关系式法：利用等式表示两个变量之间的关系。

关系式的基本特征是：（1）等式的左边是因变量，等式的右边是关于自变量的代数式；（2）等式中只含有自变量和因变量两个变量，其他的量都是常数；（3）自变量可在允许的范围内任意取值。

图像：将一个变量随着另一个变量的变化而变化的情况绘制成一条曲线，这条曲线称为两个变量之间关系的图像。

图像法：用图像来表示一个变量与另一个变量之间关系的方法，叫做图像法。

例题精讲

考点1．变量、自变量、因变量、常量

例1．甲、乙两城市相距300千米，在甲城市有一列火车以每小时100千米的速度向乙城

市行驶，t 小时后火车与乙城市的距离为y 千米，在这个问题中， 是常量， 是自变量， 是因变量。

变式1.下列各题中，哪些量在发生变化？其中的自变量与因变量各是什么？

（1）用总长为60m 的篱笆围城一个边长为l (m)、面积为S （㎡）的矩形场地； （2）正方形边长是3，若边长增加x ，则面积增加y 。

变式2．小明帮妈妈预算家庭4月份电费的开支情况，下表是小明家4月处连续8天每天早上电表显示的读数。

（1）表格中反映的变量是 ，自变量是 ，因变量是 。 （2）估计小明家4月份（按30天计）用电量是 ，若每度电0.55元，估计他家4月份应交电费 元。

考点2.表格法表示变量之间的关系

例2.下表是一次秋汛期某河流在一天内涨水情况，警戒水位是25米。

（1）上表反映了 与 之间的关系，其中 是自变量， 是因变量；

（2）估计上午10时的超警戒水位是 ；

（3）从0时到24时，水位从 上升到 ； （4）借助表格，从 时到 时，水位上升最快。

变式1.

一辆汽车在公路上行驶，其所走的路程和所用的时间可用下表表示：

(1) 说出自变量，因变量；

(2) 当汽车行驶路程s 为20km 时所花的时间t 是多少分钟？ (3) 从表中说出路程s 随时间t 变化的趋势；

(4)按照这一行驶规律估计当路程s=400km时，所需时间t是多少分钟？

变式2. 在一次试验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x(kg)的几组对应值。

（1）上表反映哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

（2）当所挂重物为3kg时，弹簧多长？不挂重物时呢？

（3）若所挂重物为7kg时（在允许范围内），你能说出此时的弹簧长度吗？

变式3.心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间

（2）根据表格中的数据，你认为提出概念所用时间为几分钟时，学生的接受能力最强？（3）从表格中可知，当提出概念所用时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当提出概念所用时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？

（4）根据表格大致估计当提出概念所用时间为23分钟时，学生对概念的接受能力是多少．

例3.一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行驶1km，耗油0.6升，如果设剩油量为y（升），行驶路程为x(km).

(1) 上述的哪些量发生变化？自变量和因变量分别是什么？ (2) 写出y 与x 之间的关系式；

(3) 用表格表示汽车从出发地行驶10km 、20km 、30km 、40km 、50km 时的剩油量； (4) 根据表格中的数据说明剩油量是怎样随着路程的变化而变化的；

(5) 这辆汽车行驶35km 时，剩油多少升？汽车剩油12升时，行驶了多少千米？ (6) 请你估计这车在中途不加油的情况下最远能运行多少千米？

变式1.有一种粗细均匀的电线，为了确定其长度，从一捆上剪下1米，称得它的质量是60克。（1）写出这种电线长度与质量之间的关系式；（2）如果一捆电线剪下1米后的质量是b(千克)，请写出每捆电线的总长度。

变式2.某市出租车收费标准如下：3km 以内（含3km ）收费8元；超过3km 的部分每千米收费1.6元．（1）写出应收费用y （元）与出租车行驶路程x （km ）之间的关系式（其中3 x ） （2）小亮乘出租车行驶4km ，应付多少元？

（3）小波付车费16元，那么出租车行驶了多少千米？ 考点4.图像法表示两个变量之间的关系

例4.如图6—5所示的曲线表示某人骑一辆自行车时离家的距离与时间的关系．骑车者九点离开家，十五点回家．根据这个曲线图，回答下列问题： (1)到达离家最远的地方是什么时间?离家多远? (2)何时开始第一次休息?休息多长时间? (3)第一次休息时离家多远?

(4)11:00到12:00他骑了多少千米?

(5)他在9:00到10:00和10:00到10:30的平均速度是多少? (6)他在何时至何时停止前进并休息用午餐?

(7)他在停止前进后返回，骑了多少千米?返回时的平均速度是多少?

变式1.某种洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y

小结：

（升）与时间x （分钟）之间的关系如折线图所示. 根据图象解答下列问题： （1）洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中水量的多少升？ （2）已知洗衣机的排水速度为每分钟19升。

①求排水时洗衣机中的水量y （升）与时间x （分钟）与之间的关系式； ②如果排水时间为2分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量。

变式 2. 如图，表示一骑自行车者与一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的图象，两地间的距离是100千米，请根据图象回答或解决下面的问题. （1）谁出发的较早？早多长时间？谁到达乙地早？早到多长时间？ （2）两人在途中行驶的速度分别是多少？

（3）指出在什么时间段内两车均行驶在途中；在这段时间内，①自行车行 驶在摩托车前面；②自行车与摩托车相遇；③自行车行驶在摩托车后面？

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一.填空题

1.在变化过程中，我们把变化着的量叫做变量，其中一个叫________，一个叫________.

2.若某长方体底面积是602

cm ，高为hcm ，则体积V 3

cm 与h 的关系式为______________若h 从1cm 变化到10cm 时，长方体的体积由________3

cm 变化到________3

cm .

小结：