第三章条件平差

由上式可见，平差值与闭合差W、联系数K、
改正数V是不相关的统计量，又由于它们都是
服从正态分布的向量，所以与W、K、V也是
相互独立的向量。
误
差
理 论
平差值函数的协因数
与 测 设有平差值函数
量
F ˆf(L ˆ1,L ˆ2, ,L ˆn)
平 对上式全微分得
差
d F ˆ L ˆ f1 L ˆ L d L ˆ1 L ˆ f2 L ˆ L d L ˆ2 L ˆ fn L ˆ L d L ˆn
差 为引入最小二乘法，将Φ对V求一阶导数，
并令其为零
d ( V T P)V 2 (K T A) V 2 V T P 2 K T A 0
dV V
V
得
VTPKTA
上式两端转置，得 PTVATK
误
差
理
论
与 由于P是主对角线阵，则 P = P T ，得 PVATK
测 将上式两边左乘权逆阵P – 1，得
精度评定包括单位权方差ˆ
2 0
和单位权中误差
测 ˆ 0 的计算、平差值函数( F f (Lˆ) )的协因数QFF
量 及其中误差ˆ F 的计算等。
平 第一章中学习权的定义时我们知道，某量权
差
与其方差的关系为：
2 F
2 0
1 PF
，但实
际测量中总是得到其估值
ˆ
2 0
。相应地
也就只能求得函数的估计方差
2 F
独立的偶然误差，相应的权阵为
P
，改正数为
V
n
,1
，
量 平差值为 Lˆ ，表示为
n ,n
n ,1
平 差
L1
L
n ,1
L
2
L
n
V
n ,1
v1
v
2
v
n
p1
P n,n
p2
p
n
Lˆ
n ,1
Lˆ 1 Lˆ 2
Lˆ
n
其中
Lˆ 1 Lˆ 2
L1
L
2
。
误
差
理 论
计算单位权方差和中误差的估值
与 测
前面我们学过单位权中误差的计算公式为
量
ˆ0
[ p] n
平 在一般情况下，观测值的真误差△是不知
差 道的，也就不可能利用上式计算单位权
中误差。但在条件平差中，可以通过观
测值的改正数V来计算单位权方差和中误
差：
ˆ
2 0
V T PV r
ˆ0
V T PV r
L ˆ L V L ( P 1 A T N 1 A P 1 A T N L 1 A 0 ) ( E P 1 A T N 1 A ) L P 1 A T N 1 A 0
将向量L、W、K、V、组成列向量，并以Z表示
之
L E
0
W A
A0
Z
K
N 1 A
L
差 程式式中中，的ai、系b数i、，…a、0、rib（0、i =…1、,2,r…0为…各n平）差为值各条平件差方值程条式件中方
的常数项。相应的改正数条件方程式
a 1 Lˆ1
a 2 Lˆ 2
a n Lˆ n
a0
0
b1 Lˆ1
b 2 Lˆ 2
b n Lˆ n
b0
0
r1 Lˆ1 r2 Lˆ 2
量
NK W0
平 法方程系数阵N的秩R (N )R (A 1 P A T)r
差 即N是一个r阶的满秩方阵，且可逆。移项得
NKW
上式两边左乘法方程系数阵N的逆阵N – 1，得 联系数K的唯一解：KN1W 代入前式，可计算出V，再将V代入,即可计算出
所求的观测值的最或然值。 LˆLV
误
差
理 论
精度评定
与
v1
v
2
Lˆ
n
L
n
v
n
在这n个观测值中，有t个必要观测数，多余观测
数为r。
误
差
理 论
条件平差原理
与 可以列出r个平差值线性条件方程
测 量
a1v1 a2v2 anvn wa 0 b1v 1 b 2v 2 bn vn wb 0
平
r1v1 r2v2 rnvn wr 0
rn Lˆ n
r0
0
式中wa、wb、…、wr称为改正数条件方程的闭合差
误
差
理
论
与 测
wa (a1L1 a2L2 anLn a0) wb ( b1 L1 b2L2 b nL n b0)
量
wr (r1L1 r2L2 rnLn r0)
平
a1 a2 an
差
若取
A
r ,n
b1
b2
bn
N
1
A0
V
P1 AT N 1 A
P1 AT N 1 A0
Lˆ
E P1 AT N 1 A
P1
AT
N
1
A0
误
差
理
论 与
按协因数传播律，得Z的协因数阵为
测 量
Q LL
Q LW
Q LK
Q LV
Q
L Lˆ
Q
WL
Q WW
Q WK
Q WV
Q
W
Lˆ
Q AQ
QTAQTAN1 QTAN1AQQQTAN1AQ
N
E
AQ
0
平 Q ZZ
Q
KL
差
Q VL
Q KW Q VW
Q KK Q VK
Q KV Q VV
Q
K
Lˆ
Q V Lˆ
N1AQ E QTAN1AQ QTA QQTAN1AQ 0
N1 QTAN1
0
Q
Lˆ
L
Q Lˆ W
Q Lˆ K
Q Lˆ V
Q
Lˆ Lˆ
N1AQ QTAN1AQ
0
0
0
QQTAN1AQ
误
差 理
第三章 条件平差
论
与 §3-1 条件平差原理
测 量
§3-2 高程网条件平差
平 §3-3 导线网条件平差计算
差
§3-4 三角网条件平差计算
§3-5 附有参数的条件平差
§3-6 条件平差估值的统计性质
误
差
理 论
§3-1 条件平差原理
与 设在某个测量作业中，有n个观测值 ，nL,1 均含有相互
测
式中r为多余观测值个数，r = n – t。
误
差
理 论
协因数阵
与 条件平差的基本向量L、W、K、V、都可以表
测
达成随机向量L的函数
量
LL
平
WALA0
K N 1 W N 1 ( A A 0 ) L N 1 A N L 1 A 0
差
wenku.baidu.com
V P 1 A T K P 1 A T ( N 1 A N 1 A 0 ) L P 1 A T N 1 A P 1 A T N L 1 A 0
量
VP1ATK
平 差
此式称为改正数方程，其纯量形式为
i n （ = 1，2，…， ） vi p 1i (aikabikb rikr)
将上式代入，得
A 1 P A TKW 0
此式称为联系数法方程（简称法方程）。
误
差
理
论
与 取法方程的系数阵AP-1AT=N ，由上式易知N阵关
测 于主对角线对称，得法方程表达式
r1
r2
rn
a 0
A0
r ,1
b
0
r0
w a
W
r ,1
w
b
w
r
上式可分别表达成矩阵形式如下
ALˆA0 0 AV W0
W(AL A0)
误
差
理
论
与 按拉格朗日求函数极值法，引入乘系数
测
K r,1[ka kb kr]T （联系数向量），构成函
量 平
数： VTP V 2K T(A V W )