等差数列知识点总结
数列大题知识点归纳总结
数列大题知识点归纳总结数列是数学中一个重要的概念，数列大题是考察数列相关知识的一种形式。
本文将对数列的相关知识点进行归纳总结。
一、等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之差都相等的数列。
常用的表示方法为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，第n项的值等于首项加上项数减1再乘以公差。
在计算等差数列时，可以利用常用公式：等差数列前n项和Sn=n/2(a1+an)，等差数列的前n项和等于项数乘以首项和末项的和再除以2。
二、等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之比都相等的数列。
常用的表示方法为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，第n项的值等于首项乘以公比的n-1次方。
在计算等比数列时，可以利用常用公式：等比数列前n项和Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，等比数列的前n项和等于首项乘以1减去公比的n 次方，再除以1减去公比。
三、求和公式在一般的数列中，求解前n项和的问题较为复杂。
但对于等差数列和等比数列，可以利用求和公式快速计算前n项和。
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，等差数列的前n项和等于项数乘以首项和末项的和再除以2。
等比数列的前n项和公式为Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，等比数列的前n项和等于首项乘以1减去公比的n次方，再除以1减去公比。
四、常用性质在数列的研究中，常用的一些性质也很重要。
1. 首项与末项之和等于相邻两项之和的一半。
即a1+an=an-1+an。
2. 首项与末项之和等于中间任意两项之和的一半。
即a1+an=ak+ak+1。
3. 对于等差数列，如果求出了它的前n项和Sn，那么其后m项和Sm等于Sn减去前m项的和。
即Sm=Sn-(S1+S2+...+Sm-1)。
4. 对于等比数列，如果求出了它的前n项和Sn，那么其后m项和Sm等于Sn乘以公比的m次方减去1，再除以公比减去1。
根据等差数列知识点总结及题型归纳
根据等差数列知识点总结及题型归纳
等差数列是数学中常见的数列，也是初中数学中的基础概念之一。
以下是关于等差数列的知识点总结及题型归纳。
等差数列的定义
等差数列是指一个数列中的每个数与它的前一个数的差值都相等的数列。
通常用字母 a 表示首项，d 表示公差，数列的通项公式为 an = a + (n-1)d。
等差数列的性质
1. 首项与末项之和等于中间项之和的两倍（也即数列的平均值）：a + an = 2 * (a + (n-1)d)。
2. 求和公式：等差数列前 n 项和 Sn = (n/2) * (2a + (n-1)d)。
3. 最后一项的值可以通过首项、末项和公差求得：an = a + (n-1)d。
4. 任意一项的值可以通过首项、公差和项数求得：ak = a + (k-1)d。
等差数列的题型归纳
1. 求等差数列的第 n 项的值。
2. 求等差数列的前 n 项和。
3. 求等差数列中缺失的项或差值。
4. 求等差数列中满足一定条件的项数。
5. 求等差数列中满足一定条件的和。
示例题目
1. 已知等差数列的首项 a = 3，公差 d = 2，求第 5 项的值和前5 项的和。
2. 一个等差数列的首项 a = 1，公差 d = 3，已知数列中缺失了第 4 项，求第 4 项的值。
3. 已知等差数列的首项 a = 2，公差 d = 5，求该等差数列中满足大于 20 的项数。
以上是对于等差数列的知识点总结及题型归纳，希望对你有所帮助。
如有需要，可以参考相应的解题方法和公式。
数列的等差与等比性质知识点总结
数列的等差与等比性质知识点总结数列是由一系列数字按照一定规律排列组成的序列，而等差与等比性质是数列中常见的两种规律。
在数学中，掌握数列的等差与等比性质对于解题和推导数学公式都具有重要意义。
本文将对数列的等差与等比性质进行详细总结。
一、等差数列1. 定义：若数列中相邻两项之差保持不变，则称该数列为等差数列。
2. 通项公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，则第n项的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
3. 性质：a) 任意一项与它的前一项的差等于公差，即an - an-1 = d。
b) 等差数列的前n项和为Sn = (a1 + an) * n / 2。
c) 等差数列的任意一项可以表示为前一项与公差之和，即an = an-1 + d。
d) 若等差数列的前两项之和等于第三项，即a1 + a2 = a3，则该等差数列为等差数列。
二、等比数列1. 定义：若数列中相邻两项之比保持不变，则称该数列为等比数列。
2. 通项公式：设等比数列的首项为a1，公比为r，则第n项的通项公式为an = a1 * (r^(n-1))。
3. 性质：a) 任意一项与它的前一项的比等于公比，即an / an-1 = r。
b) 等比数列的前n项和为Sn = (a1 * (1 - r^n)) / (1 - r)。
c) 等比数列的任意一项可以表示为前一项与公比之积，即an = an-1 * r。
d) 若等比数列的前两项之积等于第三项，即a1 * a2 = a3，则该等比数列为等比数列。
三、等差与等比的联系与区别1. 联系：等差与等比数列都是按照一定规律排列的数列，且都有其通项公式和前n项和的公式。
2. 区别：a) 等差数列的相邻项之差相等，等比数列的相邻项之比相等。
b) 等差数列的公差为常数d，等比数列的公比为常数r。
c) 等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，等比数列的通项公式为an = a1 * (r^(n-1))。
(完整版)等差等比数列知识点总结
等差等比数列知识点总结1. 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d叫做等差数列的公差，即a n a n 1 d (d 为常数)(n 2)；2. 等差中项:(1)如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.即:或2A a b3. 等差数列的通项公式：一般地，如果等差数列a n的首项是a1，公差是d，可以得到等差数列的通项公式为：a n 4 n 1 d推广：a n a m(n m)d.a n a m 从而dn m4. 等差数列的前n项和公式：n(a1 a n) n(n 1) , d 2 , 1 2S n na1 d n 佝d)n An Bn2 2 2 2(其中A、B是常数，所以当d M 0时，S是关于n的二次式且常数项为0) 5. 等差数列的判定方法(1)定义法：若a n a n 1 d或a n 1 a n d (常数n N ) a n是等差数列.(2)等差中项：数列a n是等差数列2a n a n-1 a n 1 (n 2)2a n 1a n a n 2 .(3)数列a n是等差数列a n kn b (其屮k, b是常数)。
(4)数列a n是等差数列S n An2Bn,(其中A、B是常数)。
6.等差数列的证明方法定义法：若a n a n 1d或a n1 a n d(常数n N) a n是等差数列.(2 ) 等差中项数列a n 2a n a n-1 a n i(n 2) 2a n 1 a n a n 27.等差数列的性质:（1）当m n p q 时,则有a m a n a p a q ，特别地，当m n 2p 时，则有⑵ 若｛a n ｝是等差数列，则S n ,S 2n 5,务 S ?n ，…也成等差数列和，S n 是前n 项的和 1.当项数为偶数2n 时,a na n 12、当项数为奇数2n 1时，则（其中a n+1是项数为2n+1的等差数列的中间项） 1、 等比数列的定义：旦q q 0 n 2,且*n N ，q 称为公比a n 12、通项公式：n 1a n aga 〔 n n1q A B a-i q 0,A B0，首项:a 1 ；公比：qq推广：a nn mn ma m qqa nq n ma mV am3、 等比中项：（1）如果a,A,b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：A 2 ab 或A ab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项 有两个（两个等比中项互为相反数）a m a n2a p .（3）设数列a n 是等差数列,d 为公差，S 奇是奇数项的和, S 偶是偶数项项的n a ia 2n 1a2n 1— nana 2nn a 2a 2n2na n 1na n 1 na nn a n 1 a n =ndS 2n 1S 奇S 偶（2n1） a n+1S 奇 S 偶 a n+1S 奇 （n 1応+1S 偶n a n+1a i a 3a 5a 2 a 4 a 6 na n na n 1S奇为等比数列6等比数列的证明方法:7、等比数列的性质:(3)若｛a n ｝为等比数列，则数列S n ，S 2n S n ，务 dn,，成等比数列 (4)在等比数列｛a n ｝中，当项数为2n(n N *)时，§奇-S 禺q(2)数列a n 是等比数列 2 ana n 1 a n 14、等比数列的前n 项和S n 公式:(1)当 q 1 时，S nna i(2)当 q 1 时，S.a, 1a 〔 a 〔A AB n A'B n A' ( A,B,A',B'为常数)5、等比数列的判定方法:(1)用定义：对任意的n,都有amqa n 或 也 q(q 为常数，a n 0){a n }a n(2)等比中项:2 ana n 1a n 1 ( a n 1 a n 1 0) ｛a n ｝为等比数列(3)通项公式：a nA B n A B 0｛a n ｝为等比数列依据定义：若-a ^ qa n 1q 0 n 2,且 nN 或a n 1 qa n ｛a n ｝为等比数列(1) 若 m n s t(m,n,s,t N )，贝U a n a m a s a t 。
数列的等差数列与等比数列知识点总结
数列的等差数列与等比数列知识点总结数列是数学中经常出现的概念，它是按照一定规律排列的一组数的集合。
其中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。
本文将对等差数列和等比数列的基本概念、性质、求和公式以及应用进行总结。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差均相等的数列。
用通项公式表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1为首项，d为公差。
1. 等差数列的基本概念等差数列中，每一项与它的前一项的差值都相等，这个差值称为公差。
等差数列可以是正差、零差或负差的数列。
2. 等差数列的性质（1）首项和末项之和等于中间项之和的两倍：a1 + an = 2Sn，其中Sn表示前n项和。
（2）任意一项与首项之和等于任意一项与末项之和：ai + aj = a1 + an。
（3）等差数列的前n项和Sn等于首项与末项之和乘以项数的一半：Sn = (a1 + an) × n / 2。
3. 求等差数列的和求解等差数列的和可以利用求和公式Sn = (a1 + an) × n / 2，其中n 为项数。
4. 等差数列的应用等差数列在实际问题中有广泛的应用，如金融投资、房贷分期还款等均可以利用等差数列的性质进行计算。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比均相等的数列。
用通项公式表示为：an = a1 × r^(n-1)，其中an表示第n项，a1为首项，r为公比。
1. 等比数列的基本概念等比数列中，每一项与它的前一项的比值都相等，这个比值称为公比。
等比数列可以是正比、零比或负比的数列。
2. 等比数列的性质（1）相邻两项之商等于任意一项与首项之商等于任意一项与末项之商：ai/aj = a1/ai = ai/an。
（2）等比数列的前n项和Sn等于首项与末项之差除以公比减1：Sn = (a1 - an × r^n) / (1 - r)。
3. 求等比数列的和求解等比数列的和可以利用求和公式Sn = (a1 - an × r^n) / (1 - r)，其中r不等于1。
等差数列知识点总结归纳
等差数列知识点总结归纳等差数列，顾名思义，是指数列中相邻两项之差保持不变的数列。
它是数学中一种重要的基本数列，不仅在数学中有着广泛的应用，而且在实际问题中也有很多的应用。
本文将为您总结归纳一些等差数列的重要知识点。
一、等差数列的定义与性质1. 等差数列的定义：设数列a₁, a₂, a₃, ..., an, ...，如果它的公差d 是一个常数，即对于任意的正整数n，有an+1 - an = d，那么我们称这个数列为等差数列。
2. 等差数列的通项公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，那么等差数列的第n项an可以表示为an = a₁ + (n-1)d。
3. 等差数列的前n项和公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项和Sn可以表示为Sn = (a₁ + an)n/2，其中an为等差数列的第n 项。
二、等差数列的常见问题1. 求等差数列的公差：根据等差数列的定义，可以通过求相邻两项的差来确定等差数列的公差。
2. 求等差数列的前n项和：使用前n项和公式，带入相应的数值进行计算即可。
3. 求等差数列的第n项：使用通项公式，将n带入公式中即可求得等差数列的第n项。
4. 求等差数列中满足特定条件的项数：将通项公式中的an与给定的值进行比较，解方程可以求得满足条件的项数。
三、等差数列的应用场景等差数列在实际问题中有着广泛的应用，以下是一些用途的例子：1. 资金的等额递增或等额递减：在金融领域中，等差数列可以用来描述资金的等额递增或等额递减情况，比如按固定金额逐月还贷款。
2. 数学建模问题：在一些数学建模问题中，等差数列可以用来描述数量的变化规律，例如人口增长问题、物品价格变化问题等。
3. 科学实验中的数据分析：在科学实验中，往往需要对一系列数据进行分析，若这些数据满足等差数列的规律，就可以使用等差数列的知识进行处理和预测。
四、等差数列与数学思维培养研究等差数列的性质，可以促进我们培养一些重要的数学思维，比如：1. 归纳推理能力：通过观察等差数列的规律，总结归纳出等差数列的通项公式和前n项和公式。
完整版)数列知识点归纳
完整版)数列知识点归纳数列一、等差数列性质总结1.等差数列的定义式为：$a_n-a_{n-1}=d$（其中$d$为常数，$n\geq2$）；2.等差数列通项公式为：$a_n=a_1+(n-1)d$（其中$a_1$为首项，$d$为公差）推广公式为：$a_n=a_m+(n-m)d$。
因此，$d=\frac{a_n-a_m}{n-m}$；3.等差数列中，如果$a$、$A$、$b$成等差数列，那么$A$叫做$a$与$b$的等差中项，即$A=\frac{a+b}{2}$；4.等差数列的前$n$项和公式为：$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)d}{2}=\frac{n[2a_1+(n-1)d]}{2}$。
特别地，当项数为奇数$2n-1$时，$a_n$是项数为$2n-1$的等差数列的中间项，且$S_{2n-1}=n\cdot a_n$；5.等差数列的判定方法：1）定义法：若$a_n-a_{n-1}=d$或$a_{n+1}-a_n=d$（常数$n\in N^*$），则$\{a_n\}$是等差数列；2）等差中项：数列$\{a_n\}$是等差数列，当且仅当$2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$（$n\geq2$，$n\in N^*$）；3）数列$\{a_n\}$是等差数列，当且仅当$a_n=kn+b$（其中$k$、$b$为常数）；4）数列$\{a_n\}$是等差数列，当且仅当$S_n=An^2+Bn$（其中$A$、$B$为常数）；6.等差数列的证明方法：定义法：若$a_n-a_{n-1}=d$或$a_{n+1}-a_n=d$（常数$n\in N^*$），则$\{a_n\}$是等差数列；等差中项性质法：$2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$（$n\geq2$，$n\in N^+$）。
7.提醒：1）等差数列的通项公式及前$n$项和公式中，涉及到5个元素：$a_1$、$d$、$n$、$a_n$及$S_n$，其中$a_1$、$d$称作为基本元素。
等差数列知识点总结
等差数列知识点总结等差数列是数学中重要的概念之一，也是初等数学中最基础的数列形式。
在这篇文章中，我们将对等差数列的定义、性质以及常见问题进行总结。
让我们一起来探索等差数列的奥秘吧！一、等差数列的定义等差数列是指数列中任意两个相邻项之间的差都相等的数列。
简单来说，如果一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的差都相等，那么这个数列就是等差数列。
通常用字母 "a" 表示首项，字母 "d" 表示公差，递推公式可以写作：an = a1 + (n-1)d，其中 n 表示数列中的第 n 项。
二、等差数列的性质1. 公差 (d)：等差数列中相邻两项之间的差称为公差。
任意两项之差为公差的倍数。
2. 首项 (a1)：等差数列中第一项称为首项。
3. 通项公式：等差数列的通项公式用来计算数列中第 n 项的值。
通项公式为：an = a1 + (n-1)d。
4. 项数 (n)：数列中项的个数称为项数。
5. 数列和公式：等差数列的前 n 项和可以通过数列的首项、末项以及项数来计算得出。
数列和公式为：Sn = (n/2)(a1 + an)。
三、等差数列的常见问题1. 求和问题：给定一个等差数列，如何计算前 n 项的和？使用数列和公式 Sn = (n/2)(a1 + an) 可以得到结果。
2. 求特定项问题：在一个等差数列中，找到第 n 项的值。
可以利用通项公式 an = a1 + (n-1)d 来计算。
3. 求公差问题：已知一个等差数列的首项和任意两个相邻项之间的差，怎样求出公差？公差可以通过任意两项之差来求得。
4. 推理问题：已知一个等差数列中的几个项，如何判断一个数是否属于这个数列？当且仅当这个数与该等差数列中的任意两个相邻项之差相等时，该数属于该等差数列。
四、等差数列的应用等差数列广泛应用于数学、物理、经济等领域。
在数学中，等差数列是数学研究的基础，也是其他数列的基础形式之一。
在物理学中，等差数列用来描述匀速直线运动的位移变化。
(完整版)等差数列知识点总结
(完整版)等差数列知识点总结1. 等差数列的定义等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项之差都相等的数列。
2. 等差数列的通项公式设等差数列的首项为 a1，公差为 d，则第 n 项的通项公式为 an = a1 + (n - 1) * d。
3. 等差数列的前 n 项和公式设等差数列的首项为 a1，末项为 an，项数为 n，公差为 d，则前 n 项的和公式为 Sn = n * (a1 + an) / 2。
4. 判断数列是否为等差数列- 检查数列中连续两项的差是否相等，即是否满足等差数列的定义。
- 可以通过计算数列的前 n 项和是否满足 Sn = n * (a1 + an) / 2 来判断。
5. 求等差数列的公差设等差数列的首项为 a1，第二项为 a2，则公差可以通过计算差值 d = a2 - a1 获得。
6. 求等差数列的项数设等差数列的首项为 a1，末项为 an，公差为 d，则项数可以通过以下公式计算：n = (an - a1 + d) / d。
7. 求等差数列的首项设等差数列的第一项为 a1，公差为 d，已知项数为 n，末项为an，则首项可以通过以下公式计算：a1 = an - (n - 1) * d。
8. 求等差数列的末项设等差数列的首项为 a1，公差为 d，已知项数为 n，末项可以通过以下公式计算：an = a1 + (n - 1) * d。
9. 等差数列的性质- 等差数列的任意三项成等差数列。
- 等差数列中的取任意几项可以组成一个等差数列。
- 等差数列的平均数等于首项与末项的平均数。
10. 应用场景等差数列的应用非常广泛，常见的应用场景包括：- 数学题中的数列问题，如求和、推导等。
- 统计学中的数据分析，如平均数、标准差等。
- 金融学中的投资计算，如等额本息还款、定期存款等。
- 工程学中的时间序列分析，如温度变化、电压波动等。
以上是等差数列的一些重要知识点总结，希望能对你有所帮助！。
等差数列知识点总结与题型归纳讲义
10.1等差数列知识梳理.等差数列1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)①通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝nd ＋(a 1－d )⇒当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数．②通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(3)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．①若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．②当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(4)前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2――→a n ＝a 1＋(n －1)dS n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋a 1－d2n ⇒当d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，且没有常数项．2.常用结论：已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d .(2)若{a n }是等差数列，则S nn 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12.(3)若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a na n ＋1.若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝nn －1.题型一.等差数列的基本量1．已知等差数列{a n}满足a3+a4＝12，3a2＝a5，则a6＝11．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a4＝12，3a2＝a5，∴2a1+5d＝12，3（a1+d）＝a1+4d，联立解得a1＝1，d＝2，∴a6＝a1+5d＝11故答案为：112．（2018•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a1＝2，则a5＝（）A．﹣12B．﹣10C．10D．12【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3＝S2+S4，a1＝2，∴3×(31+3×22p=a1+a1+d+4a1+4×32d，把a1＝2，代入得d＝﹣3∴a5＝2+4×（﹣3）＝﹣10．故选：B．3．（2017•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．8【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5＝24，S6＝48，∴1+3+1+4=2461+6×52=48，解得a1＝﹣2，d＝4，∴{a n}的公差为4．故选：C．题型二.等差数列的基本性质1．在等差数列{a n}中，已知a5+a10＝12，则3a7+a9等于（）A．30B．24C．18D．12【解答】解：∵等差数列{a n}中，a5+a10＝12，∴2a1+13d＝12，∴3a7+a9＝4a1+26d＝2（2a1+13d）＝24．故选：B．2．在等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12＝120，则a9−1311的值为（）A．17B．16C．15D．14【解答】解：由a4+a6+a8+a10+a12＝（a4+a12）+（a6+a10）+a8＝5a8＝120，解得a8＝24．a9−1311=a1+8d−1+103=23a1+143d=23（a1+7d）=23a8＝16故选：B．3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝10，S4＝36，则公差d为2．【解答】解：∵a3＝10，S4＝36，∴a1+2d＝10，4a1+4×32d＝36，解得d＝2．故答案为：2．题型三.等差数列的函数性质1．下面是关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：（1）数列{a n}是递增数列；（2）数列{na n}是递增数列；（3）数列{}是递减数列；（4）数列{a n+3nd}是递增数列．其中的真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：设等差数列的首项为a1，公差d＞0，则a n＝a1+（n﹣1）d＝dn+a1﹣d，∴数列{a n}是递增数列，故（1）正确；B=B2+(1−p，当n＜K12时，数列{na n}不是递增数列，故（2）错误；=+1−，当a1﹣d≤0时，数列{}不是递减数列，故（3）错误；a n+3nd＝4nd+a1﹣d，数列{a n+3nd}是递增数列，故（4）正确．∴真命题个数有2个．故选：C．2．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2（n∈N*），则{a n}的通项公式为（）A．a n＝2n B．a n＝2n﹣1C．a n＝3n﹣2D．=1，=12，≥2【解答】解：∵S n＝n2，∴当n＝1时，a1＝S1＝1．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，而当n＝1时也满足，∴a n＝2n﹣1．故选：B．3．在数列{a n}中，若a n＝5n﹣16，则此数列前n项和的最小值为（）A．﹣11B．﹣17C．﹣18D．3【解答】解：令a n＝5n﹣16≤0，解得n≤3+15．则此数列前n项和的最小值为S3=3×(−11+15−16)2=−18．故选：C．题型四.等差数列的前n项和经典结论1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S9＝72，则S6＝（）A．27B．33C．36D．45【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S9＝72，∴S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列，故2（S6﹣S3）＝S3+S9﹣S6，即2（S6﹣9）＝9+72﹣S6，求得S6＝33，故选：B．2．等差数列{a n}中，S n是其前n项和，1=−11，1010−88=2，则S11＝（）A．﹣11B．11C．10D．﹣10【解答】解：=B1+oK1)2，得=1+(K1)2，由1010−88=2，得1+10−12−(1+8−12)=2，d＝2，1111=1+(11−1)2=−11+5×2=−1，∴S11＝﹣11，故选：A．3．若两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别是S n和T n，已知=2r1，则77等于（）A．1321B．214C．1327D．827【解答】解：∵=2r1，∴77=2727=132(1+13)132(1+13)=1313=132×13+1=1327，故选：C．题型五.等差数列的最值问题1．已知等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，若S16＞0，S17＜0，则当S n最大时，n的值为（）A．8B．9C．10D．16【解答】解：∵等差数列{a n}中，S16＞0且S17＜0∴a8+a9＞0，a9＜0，∴a8＞0，∴数列的前8项和最大故选：A．2．在等差数列{a n}中，已知a1＝20，前n项和为S n，且S10＝S15，求当n为何值时，S n取得最大值，并求出它的最大值．【解答】解：∵等差数列{a n}中S10＝S15，∴S15﹣S10＝a11+a12+a13+a14+a15＝5a13＝0，∴a13＝0，∴数列的前12项为正数，第13项为0，从第14项开始为负值，∴当n＝12或13时，S n取得最大值，又公差d=13−113−1=−53，∴S12＝12×20+12×112（−53）＝130∴S n的最大值为1303．（2014·江西）在等差数列{a n}中，a1＝7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n＝8时S n取得最大值，则d的取值范围为（﹣1，−78）．【解答】解：∵S n＝7n+oK1)2，当且仅当n＝8时S n取得最大值，∴7＜8 9＜8，即49+21＜56+2863+36＜56+28，解得：＞−1＜−78，综上：d的取值范围为（﹣1，−78）．题型六.证明等差数列1．已知数列{a n}满足1=35，=2−1K1(≥2，∈∗)，数列{b n}满足=1−1(∈∗)．（1）求证数列{b n}是等差数列；（2）求数列{a n}中的最大项和最小项．【解答】解：（1）由1=35，=2−1K1(≥2，∈∗)，得a n+1＝2−1（n∈N•）b n+1﹣b n=1r1−1−1−1=12−1−1−1−1=1…（4分）又b1=−52，所以{b n}是以−52为首项，1为公差的等差数列…（6分）（2）因为b n＝b1+（n﹣1）＝n−72，所以a n=1+1=22K7+1．…（9分）1≤n≤3时数列{a n}单调递减且a n＜1，n≥4时数列{a n}单调递减且a n＞1所以数列{a n}的最大项为a4＝3，最小项为a3＝﹣1．…（14分）2．已知数列{a n}中，a2＝1，前n项和为S n，且S n=o−1)2．（1）求a1；（2）证明数列{a n}为等差数列，并写出其通项公式；【解答】解：（1）令n＝1，则a1＝S1=1(1−1)2=0（2）由=o−1)2，即=B2，①得r1=(r1)r12．②②﹣①，得（n﹣1）a n+1＝na n．③于是，na n+2＝（n+1）a n+1．④③+④，得na n+2+na n＝2na n+1，即a n+2+a n＝2a n+1又a1＝0，a2＝1，a2﹣a1＝1，所以，数列{a n}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，a n＝n﹣1课后作业.等差数列1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＝72，则a1+a5+a9＝（）A．36B．24C．16D．8【解答】解：由等差数列的求和公式可得，S9=92（a1+a9）＝72，∴a1+a9＝16，由等差数列的性质可知，a1+a9＝2a5，∴a5＝8，∴a1+a5+a9＝24．故选：B．2．设等差数列{a n}的前n项和为S n，S8＝4a3，a7＝﹣2，则a10＝（）A．﹣8B．﹣6C．﹣4D．﹣2【解答】解：等差数列{a n}中，前n项和为S n，且S8＝4a3，a7＝﹣2，则81+28=41+81+6=−2，解得a1＝10，d＝﹣2，∴a10＝a1+9d＝﹣8．故选：A．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＞0，2a5+a11＝0，则下列说法错误的为（）A．a8＜0B．当且仅当n＝7时，S n取得最大值C．S4＝S9D．满足S n＞0的n的最大值为12【解答】解：∵2a5+a11＝0，∴2a1+8d+a1+10d＝0，∴a1＝﹣6d，∵a1＞0，∴d＜0，∴{a n}为递减数列，∴a n＝a1+（n﹣1）d＝﹣6d+（n﹣1）d＝（n﹣7）d，由a n≥0，（n﹣7）d≥0，解得n≤7，∴数列前6项大于0，第7项等于0，从第8项都小于0，∴a8＜0，当n＝6或7时，S n取得最大值，故A正确，B错误；∵S4＝4a1+6d＝﹣24d+6d＝﹣18d，S9＝9a1+36d＝﹣28d+36d＝﹣18d，∴S4＝S9，故C正确；∴S n＝na1+oK1)2=2（n2﹣13n）＞0，解得0＜n＜13，∴满足S n＞0的n的最大值为12，故D正确．故选：B．4．若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n＝8时，{a n}的前n项和最大；当S n＞0时n的最大值为15．【解答】解：∵a7+a8+a9＝3a8＞0，a7+a10＝a8+a9＜0，∴a8＞0，a9＜0，∴n＝8时，{a n}的前n项和最大；∵S15=15(1+15)2=15a8＞0，S16=16(1+16)2=8（a8+a9）＜0，∴当S n＞0时n的最大值为15．故答案为：8；15．5．在数列{a n}中，a2＝8，a5＝2，且2a n+1﹣a n+2＝a n（n∈N*），则|a1|+|a2|+…+|a10|的值是（）A．210B．10C．50D．90【解答】解：∵2a n+1﹣a n+2＝a n（n∈N*），即2a n+1＝a n+2+a n（n∈N*），∴数列{a n}是等差数列，设公差为d，则a1+d＝8，a1+4d＝2，联立解得a1＝10，d＝﹣2，∴a n＝10﹣2（n﹣1）＝12﹣2n．令a n≥0，解得n≤6．S n=o10+12−2p2=11n﹣n2．∴|a1|+|a2|+…+|a10|＝a1+a2+…+a6﹣a7﹣…﹣a10＝2S6﹣S10＝2（11×6﹣62）﹣（11×10﹣102）＝50．故选：C．6．已知在正整数数列{a n}中，前n项和S n满足：S n=18（a n+2）2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=12a n﹣30，求数列{b n}的前n项和的最小值．【解答】解：（1）∵S n=18（a n+2）2，∴当n＝1时，1=18(1+2)2，化为(1−2)2=0，解得a1＝2．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1=18（a n+2）2−18(K1+2)2，化为（a n﹣a n﹣1﹣4）（a n+a n﹣1）＝0，∵∀n∈N*，a n＞0，∴a n﹣a n﹣1＝4．∴数列{a n}是等差数列，首项为2，公差为4，∴a n＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2．（2）b n=12a n﹣30=12(4−2)−30=2n﹣31．由b n≤0，解得≤312，因此前15项的和最小．又数列{b n}是等差数列，∴数列{b n}的前15项和T15=15(−29+2×15−31)2=−225．∴数列{b n}的前n项和的最小值为﹣225．。
等差数列知识点总结
等差数列知识点总结等差数列是数学中的一个重要概念，具有广泛的应用。
在学习等差数列的过程中，我们需要掌握以下几个方面的知识点。
1.等差数列的定义等差数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的差相等。
即对于数列 {a1, a2, a3, ..., an}，满足 ai - ai-1 = d，其中 d 为常数，称为公差。
2.等差数列的通项公式通项公式是等差数列的核心，它表示第 n 项的值与 n 之间的关系。
对于等差数列 {a1, a2, a3, ..., an}，通项公式可以表示为 an = a1 + (n-1)d，其中 a1 为首项，d 为公差。
3.等差数列的性质等差数列具有多个性质，包括：- 任意两项的差是公差，即 ai - aj = d；-任意三项可以构成一个等差数列；-一个数列是等差数列的充分必要条件是数列的前三项成等差数列；-等差数列中的任意k项组成的数列也是等差数列。
4.等差数列的和等差数列的和表示数列中前 n 项的和。
求和公式为 Sn = (n/2)(a1 + an)，其中 Sn 表示前 n 项的和。
5.等差数列的前n项和的推导利用等差数列的通项公式可以从数列中推导出前n项和的公式。
具体的推导过程为：-两个等差数列的和相减，得到每一项与公差的关系；-利用等差数列的通项公式，将每一项与公差的关系代入前n项和的公式；-化简表达式，得到前n项和的公式。
6.等差数列的媒数等差数列的媒数是指两个等距离首项相同的等差数列之间的项。
媒数可以用公式表示为M=a1+(n-1)d/27.等差数列的应用等差数列在数学中具有广泛的应用，特别是在算术和几何等领域实际问题的数学建模中。
常见的应用包括：-财务问题中的等差数列：如每月定期存款、贷款还款等；-时间和距离的等差数列：如速度与时间的关系、地理坐标系等；-数据分析中的等差数列：如平均数、中位数、众数等。
总之，等差数列是数学中的重要概念之一，通过掌握其定义、通项公式、性质、求和公式和应用，能够帮助我们更好地理解和应用等差数列的知识。
等差数列知识点总结
等差数列知识点总结等差数列是数学中常见且重要的一个概念。
在数列中，如果相邻的两项之间的差值都相等，那么这个数列就是等差数列。
等差数列有很多应用，例如在数学、物理、工程等领域中都能见到它的身影。
本文将对等差数列的定义、常见知识点以及一些定理进行总结。
1. 等差数列的定义等差数列是指数列中每一项与它的前一项之差都相等的数列。
设数列A的公差为d，首项为a₁，则数列A的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1) * d其中，aₙ为数列A的第n项，n为项数。
2. 前n项和公式等差数列的前n项和公式是指数列前n项的和。
设数列A的首项为a₁，公差为d，数列的前n项和为Sn，那么有如下公式：Sn = (n/2)(a₁ + aₙ)其中，n为项数，aₙ为数列A的第n项。
3. 等差数列的性质(1) 通项公式的推导：设数列A的首项为a₁，公差为d，根据等差数列的定义，可以得到递推公式：aₙ = aₙ₋₁ + d。
通过数学归纳法可以证明等差数列的通项公式为aₙ = a₁ + (n-1) * d。
(2) 首项与末项求和：等差数列的首项与末项之和等于所有项之和的一半，即a₁ + aₙ = Sn/2。
(3) 任意三项求和：对于等差数列中的任意三项aᵢ、aₙ、aₙ，其和满足如下关系：aᵢ + aₙ + aₙ = 3a〈(i+j+k)/3〉，其中，a〈(i+j+k)/3〉表示等差数列中下标为⌈(i+j+k)/3⌉的项。
(4) 项数与公差求和：对于等差数列，项数与公差的乘积等于数列中所有项的和与项数之积减去首项，即n * d = Sn - a₁。
4. 等差数列的常见定理(1) 等差中项定理：在等差数列中，任意三项构成的两个连续子列之和相等。
即对于等差数列中的任意三项aᵢ、aₙ、aₙ，有aᵢ + aₙ =2a〈(i+j)/2〉。
(2) 等差数列的均值定理：等差数列的任意k项的和与这k项的平均值之积等于这k项中间项的平方，即aᵢ + aᵢ₊₁ + ... + aₙ = (j-i+1)a〈(i+j)/2〉。
完整版等差数列知识点总结
完整版等差数列知识点总结等差数列是数学中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将对等差数列的定义、通项公式、前n项和等差数列的性质等知识点进行全面总结。
一、等差数列的定义等差数列是指一个数列中相邻两项之差都相等的数列。
数列中的每一项我们称之为等差数列的项，其中第一项通常用a1表示，等差用d表示。
例如，数列2，5，8，11，14就是一个等差数列，其中a1=2，d=3。
二、等差数列的通项公式等差数列通项公式是指根据等差数列的首项和公差，求出任意一项的求值公式。
通项公式的推导有多种方法，这里我们介绍其中一种常用的方法。
设等差数列的首项是a1，公差是d，第n项是an，则通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d根据这个公式，我们可以轻松地求得等差数列中任意一项的值。
三、等差数列前n项和公式在等差数列中，求前n项和也是一个常见的问题。
我们可以通过求和公式来解决这个问题。
设等差数列的首项是a1，公差是d，第n项是an，前n项和用Sn表示，则前n项和公式可以表示为：Sn = (n/2)(a1 + an)利用前n项和公式，我们可以方便地求得等差数列的前n项和。
四、等差数列的性质等差数列具有一些特点和性质，我们在解题过程中可以利用它们来简化计算。
1. 通项差是公差的倍数：an - an-1 = d这个性质意味着等差数列中，相邻两项之差都是公差的倍数。
2. 对称性：an = a1 + (n-1)d，an+k = a1 + (n+k-1)d根据等差数列的通项公式，我们可以发现等差数列具有对称性。
一个等差数列中的第k项和倒数第k项之和等于第一项与最后一项之和。
3. 求和公式与项数有关：Sn = (n/2)(a1 + an)求和公式中的项数n对和值Sn有影响，这个公式可以帮助我们快速计算一个等差数列的前n项和。
五、等差数列的应用领域等差数列在数学中有广泛的应用，它们不仅仅出现在数学题目中，还出现在其他许多领域。
等差数列知识点总结和题型归纳
一.等差数列知识点:知识点1、等差数列的定义①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列 就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示知识点2、等差数列的判定方法：②定义法：对于数列 a n ，若am a n d （常数），则数列a .是等差数列 ③等差中项：对于数列a n ，若2a ni a n a n 2，则数列a n 是等差数列 知识点3、等差数列的通项公式：⑥S nar卫d2对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数 知识点5、等差中项:⑥ 如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：A 号或2A a b 在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项 与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 知识点6等差数列的性质：⑦ 等差数列任意两项间的关系：如果a n 是等差数列的第n 项，a m 是等差数列的第m 项, 且m n ，公差为d ，则有a n a m （n m ）d⑧ 对于等差数列a n ，若n m p q ，则a n a m a p a q也就是： a i a n a 2 a n i a 3 a n 2⑨若数列a n 是等差数列，S n 是其前n 项的和，k N *，那么S k ，S ?k S k ，S 3k S ?k 成 等差数列如下图所示:等差数列④如果等差数列a n的首项是a !，公差是d ，则等差数列的通项为a na i(n 1)d该公式整理后是关于n 的一次函数 知识点4、等差数列的前n 项和:题型选析:题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）1、.等差数列｛a n ｝的前三项依次为a-6 , 2a -5 , -3a +2，则a 等于（） A . -1 B . 1 C .-2 D. 22 .在数列｛a n ｝中，a 1=2, 2a”1=2a n +1，贝U a 101 的值为 （） A. 49 B . 50 C . 51 D . 523.等差数列1,—1,_ 3，…，—89的项数是（ ) A. 92B . 47 C. 46D. 454、已知等差数列 ｛a n ｝中，a 7 a 9 16, a 4 1,则 a 12 的值是（）()A 15B 30C 31D 645.首项为一24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（）a 1 a 2a 3a k a k 1 S kS 2ka 2k a 2k 1 a 3kS kS 3k S 2 k的性质:①若项数为2n n则 dnn % a n 1 ，且nd , ^奇，则 S 2n 1 2n 1 a n ，且 S 奇 S 偶 a .,（其中S 奇na n ， S 禺 n 1 a .)-S 3k10、等差数列的前n 项和出•②若项数为2n 1 na n 1> 8 v 3 C. 8< d v 3 3 3 D. 8v d< 336、.在数列｛a n｝中，a1 3 ,且对任意大于1的正整数n，点（.a n, a n 1）在直x y . 3 0上,7、在等差数列｛a n｝中, a5= 3, a6= — 2,贝U a4 + a s + …+8、等差数列a n的前n项和为S n，若a2 1,a3 3,则S4=（）(A) 12 ( B) 10 (C) 8 ( D) 69、设数列 a n的首项a17,且满足a n 1 a n 2 (n N)，则a1 a210、已知｛a｝为等差数列，a+ a = 22 , a= 7，贝a= _________________________a17 ____________11、 已知数列的通项 a n = -5 n +2,则其前n 项和为S=12、 设S n 为等差数列a n 的前n 项和，S 4 = 14, Sg S 7 30 ,则S 9 = ________________________________题型二、等差数列性质已知｛和为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于（）(A )a 1 a 8 a 4a 5 (B ) Os a 1 a 4a 5 (C ) a 1 + a 8 a 4+ a 5 (D ) a 1 a 8 = a 4a 510、若一个等差数列前 3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和 为390,则这个数列有（ ）（A ） 13 项 （B ） 12 项 （C ） 11 项 （D ） 10 项题型三、等差数列前n 项和1、等差数列a n 中，已知a 1a 2a 3La 10P ,a n 9a n 8L a n q ，则其前 n 项和S n2、等差数列2,1,4,的前n 项和为( )1A. n 3n 4 1B.n 3n 7 C. 1 n 3n 4 D. 1 -n 3n 72 2 223、已知等差数列 a n 满足a 1 a 2 a 3 a 99, 则( )A. a1a gg 0B. a 1a ggC.a 1a 99D.a 50501、 2、（A ）4（B ）5（C ） 6设S n 是等差数列a n 的前n 项和，若(D)7S 735，则 a 4()3、 A . 8 B . 7 C . 6若等差数列 a n 中，a 3 a 7 亦8, an a 44,则 a 74、记等差数列a n 的前n 项和为S n ,若S 24, S 420，则该数列的公差 d=（）A . 7 B. 6C. 3D. 215、等差数列｛a n ｝中，已知a 1-,a 233 ,n 为（ ）(A)48( B) 49( C) 50(D) 516.、等差数列｛a n ｝中，a 1=1, a 3+a 5=14,其前n 项和S=100,则n =(A)9 (B) 10 (C)11 (D)12 7、设S 是等差数列a n 的前n 项和,a 5 a 35,则鱼(9S 5S 5A . 1B . - 1C . 28、已知等差数列｛a n ｝满足a 1 +a 2+a 3+…+a 101 = 0 则有(A .a 1 + a 101 > 0B . a 2+ a 100 V 0C . a 3 + a 99= 0 9、如果a 51 = 51a 1, a 2, …，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d 0，则（）4、在等差数列a n 中, a1 a2 a 3 15, a n a n 1 a n 2 78 , S n 155 ,则n5、等差数列a n的前n 项和为S n , 若S2,S4 10,则S6等于( )A. 12 B . 18 C . 24 D . 426、若等差数列共有2n 1项n N*，且奇数项的和为44,偶数项的和为33,则项数为 ( )A. 5B. 7C. 9D. 117、设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若S3 9 , & 36，则a y a s a g& 若两个等差数列a n和b n的前n项和分别是S n,「，已知◎，则色等于( )T n n 3 b5227 21A. 7B. -C. 27D. 2138 4题型四、等差数列综合题精选1、等差数列｛a n｝的前n项和记为S n.已知a10 30,a20 50.(I)求通项a n；(n)若S n=242，求n.2、已知数列｛a n｝是一个等差数列，且a2 1，a55。
(完整版)数列知识点总结(经典)
数列基础知识点和方法归纳1. 等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+-等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+前n 项和()()11122n n a a n n n S na d +-==+ 性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，，（4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，2. 等比数列的定义与性质 定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -=. 等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G =前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意！） 性质：{}n a 是等比数列（1）若m n p q +=+，则mn p q a a a a =··（2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q . 注意：由n S 求n a 时应注意什么？1n =时，11a S =；2n ≥时，1n n n a S S -=-.4. 求数列前n 项和的常用方法(1) 裂项法（2）错位相减法如：2311234n n S x x x nx -=+++++……① ()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……② ①—②()2111n n n x S x x x nx --=++++-…… 1x ≠时，()()2111n n nx nx S x x -=---，1x =时，()11232n n n S n +=++++=……。
总结等差数列知识点归纳
总结等差数列知识点归纳等差数列是数学中常见且重要的概念，它在很多领域都有着广泛的应用。
通过对等差数列的学习和理解，我们可以更好地掌握数列的性质和特点，进一步深入研究数学问题。
下面将总结等差数列的知识点，归纳为以下几个方面。
一、等差数列的定义和性质1. 等差数列的定义：等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项的差都相等。
2. 等差数列的通项公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则等差数列的通项公式为：aₙ=a₁+(n-1)d。
3. 等差数列的前n项和公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项和为Sₙ，则等差数列的前n项和公式为：Sₙ=(a₁+aₙ)×n/2。
二、求等差数列的项数和公差1. 已知首项和末项求项数：设等差数列的首项为a₁，末项为aₙ，项数为n，则项数n可由公式n=(aₙ-a₁)/d+1求得。
2. 已知首项和项数求末项：设等差数列的首项为a₁，公差为d，项数为n，则末项aₙ可由公式aₙ=a₁+(n-1)d求得。
3. 已知首项和公差求项数：设等差数列的首项为a₁，公差为d，末项为aₙ，则项数n可由公式n=(aₙ-a₁)/d+1求得。
4. 已知首项和末项求公差：设等差数列的首项为a₁，末项为aₙ，公差为d，则公差d可由公式d=(aₙ-a₁)/(n-1)求得。
三、常见问题实例分析1. 求等差数列的和：根据前n项和的公式Sₙ=(a₁+aₙ)×n/2，即可求得等差数列的前n项和。
2. 求等差数列中某一项的值：根据等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d，将对应的n值代入，即可求得所需项的值。
3. 求等差数列中第一次出现满足某条件的项数：根据等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d，代入满足条件的项的值，解方程即可求得。
四、应用领域实例展示1. 数学中的应用：等差数列广泛应用于数学中的数列求和、方程求解、数值推测等问题，帮助我们更好地理解和解决数学难题。
等差数列和的知识点归纳总结
等差数列和的知识点归纳总结等差数列是指数列中相邻两项之差恒为常数的数列。
等差数列的和是数列中所有项的总和，对于等差数列求和，有以下几个重要的知识点需要归纳总结。
知识点一：等差数列的通项公式等差数列的通项公式是指通过数列的首项和公差来表示数列中的任意一项的公式。
通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列的第n 项，a1表示数列的首项，d表示公差。
例如，对于等差数列1, 4, 7, 10, 13，公差d为3，首项a1为1，则该数列的通项公式为an = 1 + (n-1)3。
知识点二：等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和公式是指通过数列的首项、末项和项数来求等差数列的和的公式。
前n项和公式为：Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn表示数列的前n项和，a1表示数列的首项，an表示数列的第n项。
例如，对于等差数列1, 4, 7, 10, 13，首项a1为1，末项an为13，项数n为5，则该数列的前n项和公式为Sn = (5/2)(1 + 13)。
知识点三：等差数列和的性质等差数列和的性质有以下几个方面：1. 公差相同的等差数列，其和与项数成正比。
即当公差固定时，等差数列的和随着项数的增加而增加。
2. 公差为正的等差数列，其和随项数的增加而增加；公差为负的等差数列，其和随项数的增加而减小。
3. 公差为正的等差数列，它的前n项和比它的前n-1项和要大；公差为负的等差数列，它的前n项和比它的前n-1项和要小。
知识点四：等差数列和的应用等差数列和的应用非常广泛，它可以帮助解决各种数学问题。
以下是几个常见的应用场景：1. 求等差数列中某一段数列的和，可以利用前n项和公式进行计算。
2. 求等差数列中项数，可以利用前n项和公式的逆推方法进行计算。
3. 根据等差数列的和和项数求出公差，可以利用前n项和公式和等差数列的通项公式进行计算。
综上所述，等差数列和的知识点主要包括等差数列的通项公式、前n项和公式、和的性质以及应用。
等差数列知识点总结
等差数列知识点总结一、等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示。
例如：数列 2，4，6，8，10就是一个公差为 2 的等差数列。
二、等差数列的通项公式等差数列的通项公式为：an ＝ a1 ＋（n 1)d ，其中 an 表示第 n 项的值，a1 表示首项，n 表示项数，d 表示公差。
通项公式的推导：第 2 项：a2 ＝ a1 ＋ d第 3 项：a3 ＝ a2 ＋ d ＝（a1 ＋ d) ＋ d ＝ a1 ＋ 2d第 4 项：a4 ＝ a3 ＋ d ＝（a1 ＋ 2d) ＋ d ＝ a1 ＋ 3d第 n 项：an ＝ a1 ＋（n 1)d通过通项公式，我们可以根据首项、公差和项数求出任意一项的值。
三、等差数列的性质1、若 m，n，p，q ∈ N+ ，且 m ＋ n ＝ p ＋ q ，则 am ＋ an ＝ ap ＋ aq 。
例如：在等差数列中，若 a3 ＋ a8 ＝ 10 ，a5 ＋ a6 也等于 10 。
2、若数列{an}是等差数列，公差为 d ，则 ak，ak ＋ m，ak ＋ 2m，（k，m ∈ N+ ）仍为等差数列，且公差为 md 。
3、若数列{an}是等差数列，Sn 表示前 n 项和，则 Sk，S2k Sk，S3k S2k ，仍为等差数列。
4、若数列{an}，｛bn}均为等差数列，公差分别为 d1 ，d2 ，则数列{pan ＋ qbn}（p，q 为常数）仍为等差数列，且公差为 pd1 ＋ qd2 。
四、等差数列的前 n 项和公式等差数列的前 n 项和公式为：Sn ＝ n(a1 ＋ an) ／ 2 或 Sn ＝ na1 ＋n(n 1)d ／ 2 。
前 n 项和公式的推导：Sn ＝ a1 ＋ a2 ＋ a3 ＋＋ an将通项公式 an ＝ a1 ＋（n 1)d 代入上式：Sn ＝ a1 ＋（a1 ＋ d) ＋（a1 ＋ 2d) ＋＋ a1 ＋（n 1)d将上式倒序相加：Sn ＝ a1 ＋（n 1)d ＋ a1 ＋（n 2)d ＋＋（a1 ＋ d) ＋ a12Sn ＝ 2a1 ＋（n 1)d ＋ 2a1 ＋（n 1)d ＋＋ 2a1 ＋（n 1)d（共 n 个）2Sn ＝ n2a1 ＋（n 1)dSn ＝ n(a1 ＋ an) ／ 2又因为 an ＝ a1 ＋（n 1)d ，所以 Sn ＝ na1 ＋ n(n 1)d ／ 2 。
等差数列知识点归纳总结
等差数列知识点归纳总结
等差数列是一种非常重要的数学概念，它广泛应用于几乎所有数学分支，包括代数、统计、优化等。
本文将介绍等差数列的基本概念、定义、性质及应用，以此对此知识点进行归纳总结。
一、等差数列的定义
等差数列是一种特殊的的数列，它的元素保持一定的差值相等，例如： 1,4,7,10...，元素之间的差值都为3.
二、等差数列的性质
（1）等差数列的前n项和
若等差数列的前n项和为Sn,公差为d，则Sn = n(a1 + an) / 2 = n(a1 + a1 + (n 1)d) / 2 = n(2a1 + (n 1)d) / 2
（2）等差数列的等比数列
如果一个数列所有元素都是正数，且满足等比数列的性质，则称这个数列为等比数列。
例如：2 ,4 ,8, 16...，元素之间的比值都为
2.
三、等差数列的应用
（1）数学问题
等差数列在解决数学问题时很有用，可以用来计算总和、平均数和对数等。
（2）统计分析
等差数列也可以用于统计分析，可以用来判断数据的变化趋势，并进行回归分析。
（3）其他
等差数列也可以在其它领域有用。
例如，它可以用来帮助用户在购物时进行折扣，并可以帮助用户在预测股票价格变化时做出正确的决策。
综上所述，等差数列是一种非常重要的数学概念，它广泛应用在几乎所有数学分支，具有明显的规律性，可以被用来解决各种数学问题，并可以用于统计分析和其他应用。
因此，掌握等差数列的相关知识是数学学习中必不可少的一部分。
等差数列与等比数列的知识点总结
等差数列与等比数列的知识点总结等差数列与等比数列是数学中常见的两种数列，它们在数学和实际生活中都有着重要的应用。
下面将从定义、性质、求和公式和应用等几个方面对等差数列和等比数列进行全面总结。
**一、等差数列的基本概念**等差数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列。
一般来说，等差数列的通项公式为：a_n=a_1+(n-1)d，其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的首项，n表示项数，d表示公差。
**二、等差数列的性质**1. 等差数列的通项公式：a_n=a_1+(n-1)d2. 等差数列的前n项和公式：S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)3. 等差数列的性质：任意三项成等差数列，等差中项相等。
4. 等差数列的性质：首项与末项的关系。
**三、等差数列的应用**等差数列在实际生活中有着广泛的应用，比如在金融领域中的等额还款、在物理学中的匀速运动等等。
**四、等比数列的基本概念**等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列。
一般来说，等比数列的通项公式为：a_n=a_1 \cdot q^{n-1}，其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的首项，n表示项数，q表示公比。
**五、等比数列的性质**1. 等比数列的通项公式：a_n=a_1 \cdot q^{n-1}2. 等比数列的前n项和公式：S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}，当|q|<1时成立3. 等比数列的性质：首项、末项、项数的关系。
4. 等比数列的性质：任意三项成等比数列，等比中项与等比积。
**六、等比数列的应用**等比数列同样在实际中有着广泛的应用，比如在利息计算中的等比增长、在生物学中的细胞分裂等等。
**结语**等差数列与等比数列是数学中基础而重要的概念，它们不仅在数学理论中有着重要的意义，而且在实际生活中也有着广泛的应用。
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第一讲数列定义及其性质、基本概念: 1通项公式：a n ； 2、前n 项和：S n 3、关系：a n =S n -S n 」(n _ 2)二、性质： 1单调性：增数列： a n - a nj ；减数列：a n ::： a nj ；常数列：a n =a n 」2、最值:最大值：减数列最小值：增数列最大值： ------------- +++川(0)若色最大，贝y a 7 >0^8 c0若S ^<S 8最大，则 a 7 >0,a 8=0, a ? £0, 最小值:与上面相反3、前n 项积T n 有最大值: 三、几种常见数列：-1,7,-13,19 HI2、 7,77,777, HI1 3 5hJ3、2 4 84、11，?，4 川2么2旦 —? ? 33 15 35 63★随堂训练:2 n5、 n1已知数列｛a n｝通项公式是a n ——，那么这个数列是（）3n +1A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列a 12、已知数列｛a n｝满足a i 0 , 亠，那么这个数列是（）a n 2A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列2 *3、已知数列｛a n｝通项公式是a n = n • kn • 2，若对任意n • N，都有a n .1 - a n成立，则实数k的取值范围是（）4、已知数列｛a n｝通项公式是a*二~~ ,T n是数列｛a*｝的前n项积，即T n=a i a2a3ill a n，2n +1当T n取到最大值是，n的值为（）5、设数列｛a n｝的前n项和S n二n2，则a$的值是（）等差数列专题一、等差数列知识点回顾与技巧点拨1. 等差数列的定义一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，空差通常用字母d 表示.2•等差数列的通项公式若等差数列｛a n ｝的首项是a i ,公差是d ,则其通项公式为 a n = a i + (n — 1)d = (n -m )d = p .3.等差中项如果三个数x , A, y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，如果 A 是x 和y 的等差x + y中项，贝y 人二一^4•等差数列的常用性质(1)通项公式的推广： a n = a m + ( n — m )d ( n , m E N *). ⑵若｛a n ｝为等差数列，且n = p + q ,贝U a m + a n = a p + a q (m n , p , q E N ).⑶ 若｛a n ｝是等差数列，公差为 d ,则a k , a k +m , a k +2m ,—(k , m E N*)是公差为md 的等差数列.(4)数列Sn , S 2m — S m ,务―S m ,…也是等差数列. ⑸ S 2n — 1= (2 n — 1) a n .若n 为奇数，则S 奇一$偶=a 中(中间项). 5.等差数列的前 n 项和公式6•等差数列的前 n 项和公式与函数的关系7•最值问题在等差数列｛a n ｝中，a 1>0, d v 0,则S 存在最大值，若 av 0, d >0,贝U S 存在最小值.⑹若n 为偶数，则ndS 偶一 S 奇=—若已知首项a 1和末项 a n ,a 1+ a n2，或等差数列｛a n ｝的首项是a 1,公差是d ,则其前n 项和公式为n Si = nai + n —12d .S = d n 2+2",数列｛a n ｝是等差数列的充要条件是S n =An 2 + Bn （A, B 为常数）.一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n 项和公式:S n = a i + a 2 + a 3 +…+ a n ，① S n = a n + a n -1 + …+ d i ,②两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元 .... .（1） ............................................. 若奇数个.数成等差数列且和为定值时，可设为二， a -2d , a —d , a , a + d ,a 土 2d ,：...（2） ............................................. .若偶数个数成等差.数列且和为定值时，可设为二, a -3d , a - d , a + d , a 土 3d ,二，其 余各项再依据等差.数列的定义进行对称设元 ..四种方法等差数列的判断方法（1） 定义法：对于n 》2的任意自然数，验证 a n - a n -1为同一常数; （2） 等差中项法：验证 2a n -1 = a n + a n -2（n 》3, n € N *）都成立； （3） 通项公式法：验证 a n = pn + q ; （4） 前n 项和公式法：验证 S = An 2+ Bn注： 后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列.基础训练：（公式的运用，定义的把握）1.已知等差数列｛a n ｝中，a 3=9, a o =3,则公差d 的值为（）A .1隔JB.1C ._ 1 2D . -12•已知数列｛a n ｝的通项公式是a n =2n+5，则此数列是（）A . 以7为首项，公差为2的等差数列B . 以7为首项，公差为5的等差数列C . 以5为首项，公差为2的等差数列D . 不是等差数列3.在等差数列｛a n ｝中，a i =13, a 3=12，若a n =2，贝U n 等于（）A .: 23B . 24C . 25D . 264.两个数1与5的等差中项是（）A . 1B . 3C . 2D .±Vs5. （ 2005?黑龙江）如果数列｛a n ｝是等差数列，则（）A .a 1+a 8 > a 4+a 5 B . a 1 +a 8=a 4+a 5 C . a 1+a 8 v a 4+a 5 D . a 1 a 8=a 4a 5①+②得:S n =a i + a n ~2考点1:等差数列的通项与前n项和题型1:已知等差数列的某些项，求某项【解题思路】给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法【例1］已知'a* ＜为等差数列，玄仆=8,a6o = 20，则a75 - _______________________对应练习：1已知Sn f为等差数列，a m =p,a n =q （m,n,k互不相等），求a-2、已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为165，求这5个数•题型2：已知前n项和S n及其某项，求项数.【解题思路］⑴利用等差数列的通项公式a.二％•（ n - 1）d求出a1及d，代入S n可求项数n ；⑵利用等差数列的前4项和及后4项和求出a1■ a n，代入S n可求项数n.【例2］已知S n为等差数列：a n*的前n项和，a4 =9,a9 - -6,S n =63，求n对应练习：3、若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780,求这个数列的项数n .4、已知S n 为等差数列 a :啲前n 项和，a i =1,a 4 =7,S n =100，则n 二 _—题型3：求等差数列的前 n 项和【解题思路】(1)利用S n 求出a .,把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题 (2)含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论【例3】已知S n 为等差数列fa n 詁勺前n 项和，S n -12n-n 2.【评注】由正項开始的递减等差数列的绝对值莪和的计算解题步陳*(“找出率值或者持罟由正变步的項 叫^n(2)对相进行讨论，劈并£珈 时，丁” = £ |务| =S /曹n>n 0时* T, = S \a. | =2S.a —S.・练习：已知数列的前斤项和S, = 10n -n S 数列｛%｝的每一项都有久=Ia…h 求数列｛仇｝的前卅项和.对应练习： 5、已知S n 为等差数列a n •的前 n 项和，S 10 - 1OO,S 1oo - 10，求Sn o . 考点2 :证明数列是等差数列【名师指引】 判断或证明数列是等差数列的方法有： 1定义法：ani-an=d （ N .，d 是常数）= d ?是等差数列； 2、 中项法：2a n 1二a. ■ a n 2 （ N .） =1是等差数列；3、 通项公式法：a^kn • b （ k, b 是常数）二 乩？是等差数列；4、 项和公式法：Sn =An 2 • Bn （ A, B 是常数，A = 0）二^a n 是等差数列.【例4】已知S n 为等差数列1a n ［的前n 项和，b n 二」（n • N .）.求证：数列 b ［是等差数列(1)a i + a ? + a ?；⑵求a1 + a? + a? +…+印。
；⑶求印+ a? + a? +…+ a.n对应练习：6、设S n为数列a ■的前n项和，S n = pna n（n・N ），a^ a2.（1）常数p的值；（2）证：数列〈a n ?是等差数列考点3 :等差数列的性质【解题思路】利用等差数列的有关性质求解.【例5】1、已知S n为等差数列Gn ［的前n项和，a6 =100,则S1二_________________2、知S n 为等差数列^n /的前n 项和，S n =m, S m = n （n = m ），则S m n -.对应练习：7、含2n • 1个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（）A. 2n 1B. n 1C. n 「1D. n 1n nn 2n8.设S n 、T n 分别是等差数列a ?、的前n 项和，S n 7n 2 ，则竺—T nn 3b 5考点4:等差数列与其它知识的综合【解题思路】1、利用a n 与S n 的关系式及等差数列的通项公式可求；2、求出T n 后，判断T n 的单调性•【例6】已知S n 为数列 a 詁勺前n 项和，S n 二丄n 2 11 n ;数列满足：b^ 11，2 2b n 2 =2b n 1 -b n ，其前 9项和为 153.⑴数列a 1 "b n 涵通项公式；k —T n 对- n • N .都成立的最大正整数 k 的值.57课后练习：1.（2010广雅中学）设数列 是等差数列，且3^-8 , 31^5 , S n 是数列 7 的前n 项和，则⑵设T n 为数列 匕』的前n 项和，C n6(2a n -11)(2b n -1)求使不等式A. S io = S n B •S io - S n C . S9 = S i D - S9 ：：：S i02.在等差数列：a n冲，a^ = 120，则a2 a4 a6 a^ ______________ .____3.数列©n J中，a n = 2n -49，当数列 & 的前n项和S n取得最小值时，n =.4.已知等差数列a ［共有10项，其奇数项之和为10,偶数项之和为30，则其公差是 _」5.设数列3n』中，a i =2,a n i.=a n • n • 1，则通项a n =.对应练习：9.已知S n为数列'a n ［的前n项和，a i =3，S n S n< =2a n(n—2).⑴ 数列：a n的通项公式；⑵ 数列'a n'中是否存在正整数k，使得不等式a k- a k i对任意不小于k的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k，若不存在，说明理由。