6-梁弯曲时的位移解析
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( )
1 ql 2
Q
( )
(a)
(b)
解：（1）列出梁的弯矩方程 1 F F ql B 由对称关系可知梁两端的支座反力为： A 2 建立坐标系如（a）图所示，取x处横截面左边一段梁作为隔离体 （图（b）），弯矩方程为： 1 1 M x qlx qx 2
2 2
（2）建立梁的挠曲线近似微分方程
由边界条件决定积分常 数： v' | x 0 0 ，得：C1 0； v | x 0 0 ，得：C2 0
FL2 q max q B 2 EI FL3 f max vB 3EI
例6-2 图示等截面简支梁AB，承受均布荷载q作用，梁的抗弯 刚度为EI，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大 挠度和最大转角。
w|
x C
，q |
x C
q |
x C
常数C1、C2确定后，代入上两式即可分别得到 梁转角方程和挠曲线方程，从而可确定任一截面的 转角和挠度。 ——积分法
例6-1 图示B端作用集中力P的悬臂梁，求其 挠曲线方程，并确定最大挠度和最大转角。
x
A
梁弯曲时的位移
F
qmax
x
B f max
EIw '' M x 1 2 1 qx qlx 2 2
积分一次，得：
EI q EIw '
EIw
1 3 1 qx qlx 2 C 6 4
再积分一次，得：
1 1 qx 4 qlx 3 Cx D 24 12
（3）利用梁的位移边界条件确定积分常数 在梁两端的支座截面处，挠度等于零，即： 即可求得
max [ ]
M max Wz [ ]
3、确定梁的许可荷载:
M max [ ]Wz
矩形截面梁弯曲切应力简化计算公式
* FS S z I zb
z
y1 y
其中：
FS→ 横截面上的剪力；
y
dA
Iz → 整个横截面对于中性轴的惯性矩；
b → 与剪力垂直的截面尺寸，此时是矩形的宽度；
梁弯曲时的位移
1 M x 横力弯曲时（不计剪力FS的影响）： x EI 1 w 几何上： 3 2 x 1 w 2
纯弯曲时：
M EI
1
因为在小变形情况下：
所以：
w l
1 w2 1
w M x EI
1 w x
第五节 梁内的弯曲应变能
第一节 概述
q (转角)Hale Waihona Puke Baidu
A C1 y w(挠度) B x
挠度：横截面的形心（即轴线上的点）在y方 向的线位移w。在图示坐标系中，w向下为正。 转角：横截面对其原来位置的角位移 q，也等 于平面曲线AC1B在C1点的切线和x轴的夹角。在图 示坐标系中， 顺时针转向的q为正。
梁的挠曲线：梁轴线变形后所形成的光滑连 续的曲线。
C1、C2为常数，由梁的边界条件（包括位移约 束和连续条件）确定。
（1）边界条件：
EI q EI w M x d x C1
y
w0
y
w0
y
w 0；q 0
（ 2 ）连续条件：挠曲线是光滑连续唯一的。在挠曲 线的任意点处，有唯一确定的挠度和转角。
F
A
C
B
w|
x C
上节内容回顾： 纯弯曲梁横截面上的应力(弯曲正应力)：
①距中性层y处的应力
弯曲应力
My Iz
梁的正应力强度条件
①拉压强度相等材料：
max
M Wz [ ]
max
弯曲应力
②拉压强度不等材料： t ,max [ ]t ， c,max [ ]c
根据强度条件可进行： 1、强度校核: 2、截面设计:
x 0和x l
ql 3 C 24
中性轴的静矩。
* → 横截面上求切应力的点处横线以外部分面积对 Sz
* FS S z FS I zb 2I z
h2 2 4 y
max
O
(1) 沿截面高度按二次抛物 线规律变化； (2) 同一横截面上的最大切应 力max在中性轴处( y=0 )；
(3)上下边缘处（y=±h/2)， 切应力为零。
max
z
y
max
FS h FS h 3 FS 3FS 3 8I z 8 bh 12 2 bh 2 A
2
2
梁的切应力强度条件
max
* Fs ,maxS z max
弯曲应力
I zb
[ ]
与正应力强度条件相似，也可以进行三方面的工作： 1、强度校核，2、截面设计，3、确定梁的许可荷载
但通常用于校核。
特殊情况下：
1、梁的最大弯矩小，而最大剪力大； 2、焊接组合截面，腹板厚度与梁高之比小于型钢的相应比值； 3、木梁因其顺纹方向的抗剪强度差。
需进行切应力强度计算。
第六章
第一节 概述
梁弯曲时的位移
第二节 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
第三节 叠加法求梁的位移
第四节 梁的刚度校核 提高梁刚度的措施
挠曲线方程：横截面的挠度w与横截面位置x 有关，即 w=f(x) 为挠曲线方程。 转角方程：转角q 很小，有：
q tanq w f x
表明挠曲线在任一点的切线斜率足够精确地代 表该截面的转角q。 计算位移的目的：刚度校核、解超静定梁、采取适 当施工措施。
第二节 梁的挠曲线近似微分方程 及其积分 一、挠曲线近似微分方程
⇒
对于本书采用的坐标系，由下图可见：
x M y M>0, w″<0 y M<0, w″>0
x
M
M x 即： w EI
对等直梁：
EIw M x
此即为挠曲线的近似微分方程。
二、积分法求梁的挠曲线
EIw M x
EIw [ M x d x ] d x C1 x C2
l
y
解：建立坐标系如图
x处弯矩方程为： M ( x) F (l x)
转角和挠曲线方程分别 为： Fx q v' (2l x) 2 EI Fx2 v (3l x) 6 EI
列挠曲线方程并积分两 次： EIv" M ( x) F (l x) Fx2 EIv' Flx C1 2 FLx2 Fx3 EIv C1 x C2 2 6
1 ql 2
Q
( )
(a)
(b)
解：（1）列出梁的弯矩方程 1 F F ql B 由对称关系可知梁两端的支座反力为： A 2 建立坐标系如（a）图所示，取x处横截面左边一段梁作为隔离体 （图（b）），弯矩方程为： 1 1 M x qlx qx 2
2 2
（2）建立梁的挠曲线近似微分方程
由边界条件决定积分常 数： v' | x 0 0 ，得：C1 0； v | x 0 0 ，得：C2 0
FL2 q max q B 2 EI FL3 f max vB 3EI
例6-2 图示等截面简支梁AB，承受均布荷载q作用，梁的抗弯 刚度为EI，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大 挠度和最大转角。
w|
x C
，q |
x C
q |
x C
常数C1、C2确定后，代入上两式即可分别得到 梁转角方程和挠曲线方程，从而可确定任一截面的 转角和挠度。 ——积分法
例6-1 图示B端作用集中力P的悬臂梁，求其 挠曲线方程，并确定最大挠度和最大转角。
x
A
梁弯曲时的位移
F
qmax
x
B f max
EIw '' M x 1 2 1 qx qlx 2 2
积分一次，得：
EI q EIw '
EIw
1 3 1 qx qlx 2 C 6 4
再积分一次，得：
1 1 qx 4 qlx 3 Cx D 24 12
（3）利用梁的位移边界条件确定积分常数 在梁两端的支座截面处，挠度等于零，即： 即可求得
max [ ]
M max Wz [ ]
3、确定梁的许可荷载:
M max [ ]Wz
矩形截面梁弯曲切应力简化计算公式
* FS S z I zb
z
y1 y
其中：
FS→ 横截面上的剪力；
y
dA
Iz → 整个横截面对于中性轴的惯性矩；
b → 与剪力垂直的截面尺寸，此时是矩形的宽度；
梁弯曲时的位移
1 M x 横力弯曲时（不计剪力FS的影响）： x EI 1 w 几何上： 3 2 x 1 w 2
纯弯曲时：
M EI
1
因为在小变形情况下：
所以：
w l
1 w2 1
w M x EI
1 w x
第五节 梁内的弯曲应变能
第一节 概述
q (转角)Hale Waihona Puke Baidu
A C1 y w(挠度) B x
挠度：横截面的形心（即轴线上的点）在y方 向的线位移w。在图示坐标系中，w向下为正。 转角：横截面对其原来位置的角位移 q，也等 于平面曲线AC1B在C1点的切线和x轴的夹角。在图 示坐标系中， 顺时针转向的q为正。
梁的挠曲线：梁轴线变形后所形成的光滑连 续的曲线。
C1、C2为常数，由梁的边界条件（包括位移约 束和连续条件）确定。
（1）边界条件：
EI q EI w M x d x C1
y
w0
y
w0
y
w 0；q 0
（ 2 ）连续条件：挠曲线是光滑连续唯一的。在挠曲 线的任意点处，有唯一确定的挠度和转角。
F
A
C
B
w|
x C
上节内容回顾： 纯弯曲梁横截面上的应力(弯曲正应力)：
①距中性层y处的应力
弯曲应力
My Iz
梁的正应力强度条件
①拉压强度相等材料：
max
M Wz [ ]
max
弯曲应力
②拉压强度不等材料： t ,max [ ]t ， c,max [ ]c
根据强度条件可进行： 1、强度校核: 2、截面设计:
x 0和x l
ql 3 C 24
中性轴的静矩。
* → 横截面上求切应力的点处横线以外部分面积对 Sz
* FS S z FS I zb 2I z
h2 2 4 y
max
O
(1) 沿截面高度按二次抛物 线规律变化； (2) 同一横截面上的最大切应 力max在中性轴处( y=0 )；
(3)上下边缘处（y=±h/2)， 切应力为零。
max
z
y
max
FS h FS h 3 FS 3FS 3 8I z 8 bh 12 2 bh 2 A
2
2
梁的切应力强度条件
max
* Fs ,maxS z max
弯曲应力
I zb
[ ]
与正应力强度条件相似，也可以进行三方面的工作： 1、强度校核，2、截面设计，3、确定梁的许可荷载
但通常用于校核。
特殊情况下：
1、梁的最大弯矩小，而最大剪力大； 2、焊接组合截面，腹板厚度与梁高之比小于型钢的相应比值； 3、木梁因其顺纹方向的抗剪强度差。
需进行切应力强度计算。
第六章
第一节 概述
梁弯曲时的位移
第二节 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
第三节 叠加法求梁的位移
第四节 梁的刚度校核 提高梁刚度的措施
挠曲线方程：横截面的挠度w与横截面位置x 有关，即 w=f(x) 为挠曲线方程。 转角方程：转角q 很小，有：
q tanq w f x
表明挠曲线在任一点的切线斜率足够精确地代 表该截面的转角q。 计算位移的目的：刚度校核、解超静定梁、采取适 当施工措施。
第二节 梁的挠曲线近似微分方程 及其积分 一、挠曲线近似微分方程
⇒
对于本书采用的坐标系，由下图可见：
x M y M>0, w″<0 y M<0, w″>0
x
M
M x 即： w EI
对等直梁：
EIw M x
此即为挠曲线的近似微分方程。
二、积分法求梁的挠曲线
EIw M x
EIw [ M x d x ] d x C1 x C2
l
y
解：建立坐标系如图
x处弯矩方程为： M ( x) F (l x)
转角和挠曲线方程分别 为： Fx q v' (2l x) 2 EI Fx2 v (3l x) 6 EI
列挠曲线方程并积分两 次： EIv" M ( x) F (l x) Fx2 EIv' Flx C1 2 FLx2 Fx3 EIv C1 x C2 2 6