高考数学总复习 第2讲 参数方程课件 理 新人教A版选修4-4

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• 平面直角坐标系中，同一曲线的参数方程唯 一吗？
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已知O为原点，参数方程
x＝cosθ， y＝sinθ
一点为A，则|OA|＝________.
(θ为参数)上的任意
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• 2．直线、圆、椭圆的参数方程
曲线
参数方程
过点M(x0，y0)，倾斜角为 α的直线l
圆心在点M0(x0，y0)，半 径为R的圆
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例2 [2012·湖南高考]在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：
x＝t＋1， y＝1－2t
(t为参数)与曲线C2：
x＝asinθ y＝3cosθ
(θ为参数，a>0)有
一个公共点在x轴上，则a＝________.
• [审题视点] 通过消参化为普通方程，联立方 程组确定a的值．
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[解析] ∵C1：xy＝＝t1＋－12，t， ∴C1的方程为2x＋y－3＝0.
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• 3点必须注意
• 1. 参数方程通过代入消元或加减消元消去参 数化为普通方程，要注意普通方程与原参数 方程的取值范围保持一致．
• 2. 普通方程化为参数方程需要引入参数，选 择的参数不同，所得的参数方程也不一 样．一般地，常选择的参数有角、有向线段 的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)．
• 3. 常见曲线的参数方程中的参数都有几何意
答案：52，52
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解析：由极坐标方程可知，θ＝
π 4
表示直线y＝x(y≥0)，而
x＝t＋1， y＝t－12
表示y＝(x－2)2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点
M(x0，y0)．联立
y＝x， y＝x－22
可得，x2－5x＋4＝0，可得x1＋x2
＝5.即x0＝y0＝x1＋2 x2＝52，故M52，52.
填一填：1 2．填一填：(1)－32 (2)(2，－1) 3 (3)2 6
Baidu Nhomakorabea13
核心要点研究
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例1
[2012·北京高考]直线
x＝2＋t y＝－1－t
(t为参数)与曲线
x＝3cosα， y＝3sinα
(α为参数)的交点个数为________．
• [审题视点] 本题主要考查直线和圆的位置关 系，考查参数方程和普通方程之间的转化等 基础知识，考查数形结合思想的运用．
2.将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价 性，不要增解.
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[变式探究] [2012·湖北高考]在直角坐标系xOy中，以原
点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝
π 4
与曲线
x＝t＋1， y＝t－12
(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的
中点的直角坐标为________．
圆心在原点，半径为R的 圆
椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)
x＝x0＋tcosα， y＝y0＋tsinα
(t为参数)
x＝x0＋Rcosθ， y＝y0＋Rsinθ
(θ为参数)
x＝Rcosθ， y＝Rsinθ
(θ为参数)
x＝acosφ， y＝bsinφ
(φ为参数)
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(1)若直线的参数方程为
x＝1＋2t， y＝2－3t
|4sinθ＋35cosθ－3|，其最大值为8 5
5 .
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在曲线或者直线的参数方程与普通方程中，根据问题的 实际需要进行相互转化能够使问题的解决更为方便．一般来 说，如果问题中的方程都是参数方程，那就要至少把其中的 一个化为直角坐标方程，以便于问题的解决．
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[变式探究] [2012·天津高考]已知抛物线的参数方程为
∵C2：xy＝＝a3scionsθθ，， ∴C2的方程为ax22＋y92＝1.
∵C1与C2有一个公共点在x轴上，且a>0， ∴C1与x轴的交点32，0在C2上，代入解得a＝32.
[答案]
3 2
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• 奇思妙想：在本例中若a＝2，则曲线C2上的 点到曲线C1上的点的最大距离？
解：曲线C2上的点到曲线C1上的点的距离d＝
义，注意利用几何意义常能够给解题带来方
便.
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课前自主导学
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1. 参数方程的概念
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都
是某个变数t的函数
x＝fx y＝gt
(*)，如果对于t的每一个允许值，
由方程组(*)所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组
(*)就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参数．
x＝2pt2， y＝2pt
(t为参数)，其中p>0，焦点为F，准线为l.过抛物线
上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是
(t为参数)，则直线的
斜率为________．
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(2)若圆的参数方程为xy＝＝2－＋13＋co3ssαin，α (α 为参数)，则圆心
为________，半径为________．
(3)
曲
线
x＝2 y＝3
3cosθ， 2sinθ
(θ
为参数)中两焦点间的距离是
________.
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1. 想一想：提示：平面直角坐标系中，对于同一曲线来 说，由于选择的参数不同，得到的曲线的参数方程也不同．
第2讲 参数方程 1
• 不同寻常的一本书，不可不读哟！
1.了解参数方程，了解参数的意义． 2. 能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.
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• 1个重要策略 • 参数方程是新课标新增的选学内容，对该部
分知识的复习，只需要掌握好参数方程与普 通方程的互化、常见曲线参数方程中参数的 几何意义，会解与教材例题、习题难度相当 的题目即可．
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[解] 方程转化为普通方程，直线为x＋y＝1，圆为x2＋y2
＝9，
法一：圆心到直线的距离为d＝
|1| ＝ 2
12<3，所以直线与圆
相交，答案为2.
法二：联立方程组
x2＋y2＝9， x＋y＝1，
消去y可得x2－x－4＝0，
Δ>0，所以直线和圆相交，答案为2.
• [答案] 2
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1.将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构 特征，选取适当的消参方法.常见的消参方法有：代入消参 法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方 程，常利用同角三角函数关系式消参如sin2θ＋cos2θ＝1等.
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• 2种必会方法
• 1. 参数方程化为普通方程：化参数方程为普 通方程的基本思路是消去参数，常用的消参 方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三 角的或代数的)消去法．
• 2. 普通方程化为参数方程：化普通方程为参 数方程的基本思路是引入参数，即选定合适 的参数t，先确定一个关系x＝f(t)(或y＝φ(t))， 再代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y ＝φ(t)(或x＝f(t))．