第二节 对称元素组合原理

第二节 对称元素组合原理
•反映面之间的组合 •反映面与旋转轴的组合 •旋转轴与对称中心的组合 •反映面与反轴的组合 •旋转轴之间的组合

•反映面之间的组合 反映面之间的组合
定理：两个反映面相交，其交线为旋 转轴，基转角为反映面相交角的2倍。

图示 反映面之间的组合

若维持交线位置和二反映面夹角不变，仅改变二反映面 的取向则改变中间过渡点B的位置，而对A、C点相对位 置无影响，即动作的效果仍然一样。
反映面之间的组合

推论：基转角为2α的旋转轴可以分解为两个夹角为α的反映
面的连续操作。 P1 • P2 = Ln
反映面之间的组合

•反映面与旋转轴的组合 反映面与旋转轴的组合
定理：如果有一反映面穿过一n次旋转 轴，则必同时有n个反映面穿过此旋转轴。
Ln + P/ = Ln nP/ m• Ln = m • m1 • m2 = I • m2 = m2 注：“+”表示组合，“•”表示连续动作

图示 反映面与旋转轴的组合
L3 60° B
A m1
C m2

™万花筒定理 反映面与旋转轴的组合
在与m成α/2角度处有一反映面后，可以推断每隔 α/2角度便 360 ° 有一反映面，共有 (α 2 ) = 2 n 个反映面。但其中第1个与第 ⎛α⎞ ⎟ = 180 ° ， n+1个，第2个与第n+2个，···反映面间夹角为 n × ⎜ ⎝2⎠ 实际上相重合，因此反映面的数目仅有n个，与旋转轴的轴 次相同。此定理又形象地称为万花筒定理。

•旋转轴与对称中心的组合
旋转轴与对称中心的组合
定理：如果在偶次旋转轴上有对称中心，则必 有一反映面与旋转轴垂直相交于对称中心。
L2n + C = L2n m⊥ C L2 • C = m⊥

首先证明L2 的情况 旋转轴与对称中心的组合
L2 • C = m⊥

L4与对称中心组合图示 旋转轴与对称中心的组合

推论一：偶次旋转轴和反映面垂直相交，交点为 对称中心。 偶次旋转轴与反映面的组合
L2n + P⊥ = L2n P⊥C L2 • P⊥ = C

推论二：反映面和对称中心的组合，必有一垂直 反映面的二次轴。 反映面与对称中心的组合
P + C = L2 P⊥C P • C = L2

推论三：晶体对称元素中有对称中心存在时，偶次
对称轴的总数必等于反映面的总数。 旋转轴与对称中心的组合

• 反映面与反轴的组合 反映面与反轴的组合
如果有一反映面穿过一n次反轴（或有一条二次旋转轴 垂直于反轴） (1) 当反轴轴次n为奇数，必有n个二次轴垂直于该反 轴，并有n个反映面穿过该反轴； (2) 当反轴轴次为偶数时，必有n/2个二次轴垂直于该反 轴，同时有n/2个反映面穿过该反轴，且反映面的法 线与相邻二次轴的交角为360o/2n。

反映面穿过4次反轴 4 m1 m2
L2
L2

黑色和红色分别为左、右形，实心为投影面 上方，空心为投影面下方。
反映面穿过反轴的投影图例子
n=3 L3 + C + P = L3C 3P 3L2 L3 + C + L2 = L3C 3P 3L2
n=4 L4 + P = L 4 2P 2L2 L4 + L2 = L4 2P 2L2

推论 反映面与一条二次轴斜交，反映面的法线与二次轴的 夹角为α ，则在反映面法线所决定的平面上存在一垂 直二次轴的反轴，基转角为2α 。

推论: 反映面与一条二次轴斜交，反映面的法线与二 次轴的夹角为α ，则在反映面法线所决定的平面上存 在一垂直二次轴的反轴，基转角为2α 。

•旋转轴之间的组合 旋转轴之间的组合 欧拉定理：两个旋转轴的适当组合产生第三个旋 转轴
Lα ·Lβ = m1·m2·m3·m4 = m1·I·m4 = m1·m4 =Lγ

图示 旋转轴之间的组合
注：这里反映面并不真的存在于图形中，只 是在推导过程中运用一下。

立方体中例子
A: 1 → 2 B: 1 → 3 2→3=C

™欧拉公式
A，B为两个相交的旋转轴，它们的基转角分别为 2α，2β，必存在一个旋转轴C，基转角为2γ，它们之 间的关系为： cos(BC) = (cosα + cosβcosγ)/sinβsinγ cos(AC) = (cosβ + cosαcosγ)/sinαsinγ cos(AB) = (cosγ + cosαcosβ)/sinαsinβ BC,AC,AB分别是B、C轴,A、C轴，A、B轴之间的夹角。

球面三角形的角的余弦公式是：任一角的余弦等 于另外两角余弦乘积的负值加上此两角的正弦及 其夹边的余弦的连乘，即 cosγ=-cosαcosβ +sinαsinβcosAC 由此可得
cos γ + cos α cos β cos AC = sin α sin β

推论一：两个二次轴相交，交角为α/2，则垂直于这两个 二次轴所定平面，必有一基转角为α的n次轴。 推论二：一个二次轴和一个n次轴垂直相交，则有n个二次 轴同时与n次轴相交，且相邻两二次轴的交角为n次轴基转 角的一半。
二次轴和四次轴的组合