第6讲 函数的单调性与最值(原卷版)

第6讲函数的单调性与最值

思维导图

知识梳理

1．增函数、减函数

定义：设函数f(x)的定义域为I：

(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．

2．单调性、单调区间

若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y＝f(x)的单调区间.

3．函数的最值

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M．

(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.

那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．

核心素养分析能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。 重点提升数学抽象、逻辑推理素养.

题型归纳

题型1 函数的单调性（区间）

【例1-1】（2019•西湖区校级模拟）函数2()1f x x x =-+-的单调递增区间为( ) A ．1

[,)2

-+∞

B ．1

[,)2

+∞

C ．1

(,]2

-∞-

D ．1

(,]2

-∞

【例1-2】（2019秋•闵行区期末）已知函数1

()f x x x

=-．判断()f x 在(,0)-∞上的单调性，并给予证明．

【跟踪训练1-1】（2019秋•天津期中）函数y =( ) A ．5

[,)2

+∞

B ．5[,4)2

C ．[4，)+∞

D ．5

[1,),[4,)2

+∞

【跟踪训练1-2】（2019秋•河西区期中）用函数单调性的定义证明：()x x f x a a -=+在(0,)+∞上是增函数（这里0a >且1)a ≠

【名师指导】

判断函数单调性常用方法

(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论.

(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性. (3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间.

(4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f (x )±g (x )增减性质进行判断；

②对于复合函数，先将函数y ＝f (g (x ))分解成y ＝f (t )和t ＝g (x )，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断. 题型2 函数单调性的应用

【例2-1】（2020•绵阳模拟）已知()f x 在(,)-∞+∞上是减函数，

若1

(3),(2),2a f ln b f ln c f ===，则a ，

b ，

c 的大小关系为( )

A ．a c b <<

B ．c a b <<

C ．b a c <<

D ．c b a <<

【例2-2】（2020•济南二模）已知函数221,1

()|1|,1

x x x f x x x ⎧-+-=⎨->⎩，若2(4)(3)f a f a ->，则实数a 的取值范围

是( ) A ．(4,1)- B ．(-∞，4)(1-⋃，)+∞

C ．(1,4)-

D ．(-∞，1)(4-⋃，)+∞

【例2-3】（2020•郑州三模）若函数2,0

()(1)32,0x e x a x f x a x a x ⎧-+>=⎨-+-⎩

在(,)-∞+∞上是单调函数，则a 的取值范围

是( ) A ．[1，)+∞

B ．(1，3]

C ．1

[2

，1)

D ．(1，2]

【跟踪训练2-1】（2020春•静海区校级期中）已知函数22,0()1

,02x x x f x x x ⎧--⎪

=⎨-+<⎪⎩，11

3

212111(()),(log ),(())23

3a f b c f ===，则a ，b ，c 的大小关系是( )

A ．a b c <<

B ．c a b <<

C ．b a c <<

D ．b c a <<

【跟踪训练2-2】（2019秋•金华期末）已知函数21,0()1()1,02

x x x f x x ⎧-⎪

=⎨-+<⎪⎩，若2()(23)f a f a >+，则实数a 的

取值范围是 ．

【跟踪训练2-3】（2019秋•黄山期末）已知函数22,1

()(21)24,1x ax x f x a x a x ⎧-+=⎨--+>⎩

，若()f x 在R 上是增函数，

则实数a 的取值范围是 ． 【名师指导】

解函数不等式的理论依据是函数单调性的定义，具体步骤是：(1)将函数不等式转化成f (x 1)＞f (x 2)的形式；(2)考查函数f (x )的单调性；(3)据函数f (x )的单调性去掉法则“f ”，转化为形如“x 1＞x 2”或“x 1＜x 2”的常规不等式，从而得解．

题型3 函数的值域（最值）

【例3-1】（2019秋•历城区校级期末）若函数(0,1)x y a a a =>≠在[1，2]上的最大值与最小值的差为2

a ，则a 的值为( ) A ．

1

2

B ．

32

C ．

2

3

或2 D ．

12或32

【例3-2】（2020•辽宁模拟）已知函数228,1

()4

,1x ax x f x x a x x ⎧-+⎪

=⎨++>⎪

⎩

，若()f x 的最小值为f （1），则实数a 的值不可能是( ) A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【跟踪训练3-1】（2020•江苏模拟）已知函数21,2

()(04,2a x x f x a log x x -⎧=>⎨+>⎩

且1)a ≠的最大值为3，则实数a 的

取值范围是 ．

【跟踪训练3-2】（2020春•浙江期中）用{min a ，}b 表示a ，b 两个数中的最小值．设(){4f x min x =--，6}x -，则()f x 的最大值为( )

A ．4-

B ．5-

C ．6-

D ．10-

【名师指导】

求函数最值的五种常用方法及其思路