中美大学微积分教材之比较

中美大学微积分教材之比较
摘要:本文以自己在美国麻州大学波士顿分校的访学经历为背景,通过进入本科生和研究生课堂,并实际研读美国大学生用的教材,指出了美国大学常用的微积分教材一些特色,并和中国大学里常用的微积分或高等数学教材做了对比,发现美国大学数学教材有很多方面可供同行借鉴。

关键词:James Steward的calculus教材微积分教材比较
本文作者有幸被北京市高师培训中心和北京工业大学选送到美国麻州大学波士顿分校参加跨学科跨文化的交流合作workshop,走进美国大学课堂,从教师的教学过程,教材的特色, 教学过程中的师生互动,学生学习成绩的评定,学生成绩的反馈等方面亲身感受了中美文化的差异,在此,作者介绍美国大学重要专业基础课之一——微积分课程的课堂特色和教材特色供同行参考。

本人走进美国大学生课堂也研读了美国一般大学里使用的微积分教材,发现美国大学里一般采用James steward的calculus教材比较多,国内采用同济大学数学教研室编写的高等数学上下册的居多;而James steward的calculus编写有以下几个鲜明的特色。

1 该教材的起点低,入门快,淡化了技巧,强化了原理
例如:在讲到级数部分的“绝对收敛级数必然收敛”这个定理的证
明时,就只用到了正项级数的比较判别法。

两个方法思路虽然是相同的,但是同济本更具运算的技巧性,这是精彩的地方,但也是把学生注意力分散到个别技巧而忽略了思想方法的地方。

我觉得,James steward 的calculus更注重思想方法,而非个别技巧。

高等数学区别于初等数学的地方就是思想方法。

这倒让我想起了国内小学奥数里经常讲的鸡兔同笼的问题的解法。

说是鸡兔同笼,有10个头,30只脚,问几只兔子几只鸡。

通常国内的解法就是用假设法。

假设都按鸡算,应该有20只脚,可实际是30只脚,多出来的10只脚是每只兔子少算两只脚的结果,因此,多出10只脚,就应该有5只兔子,因此也就有5只鸡。

而国外的讲法就是二元一次线性方程组,有了方程组的思想,就成批地解决问题了,而国内教材太注重个别技巧了,这些个别技巧有些不具有普遍性,换了问题就得另辟蹊径,所以个别技巧是不能过分强化的,而要把重点放在数学的思想性上,我想这也是国内教育舆论界封杀奥数的原因之一吧。

2 该教材在微积分基本公式的讲解上从运动方程的角度给出了更详实更容易理解的物理意义
James Steward的calculus教材上的这种对牛顿-莱布尼兹公式的物理解释较之同济大学版的高等数学及教材上用曲边梯形面积来解释就更容易接受。

因为当被积函数在区间的取值有正有负时,从几何上很难解释通的。

3 James Steward的calculus教材在细节上更尊重知识产权
多年讲授高等数学,除了牛顿-莱布尼兹公式这样划时代的关系到微积分学的创立的著名结论之外,我已经习惯不追究某些定理的发明人是谁,更多的是注重该定理的数学上的推理证明和该定理的应用。

然而看了James Steward的calculus教材后发现,无论是什么样的定理,几乎所有定理都会把该定理的发明人列在该定理之前。

例如:在讲到多元函数的混合导数时,有这样一个定理:假设二元函数在包含点的一个区域内有定义,且函数的两个混合二阶偏导函数在内连续,则([1]P.763)。

这本书的作者详细给出了上面的定理是法国数学家Alexis Clairaut(1713～1765)给出的。

而像这样的小的细节,国内的教材大都不再追究定理的来源,这就会形成一种思维的定势,学生只接受定理,而忘记了追根溯源,探究发现者当初的发现过程,也就失去了给学习者一种探究的机会。

往往在美国教师的课堂教学中,遇到这种情形,老师会给学生留下无限的想象空间。

教师可能会布置这样的作业:查阅有关文献,探究Alexis Clairaut(1713～1765)是如何发现这个定理,如何证明的？当时的应用背景是什么(时代背景是什么)？我相信,授课的教授也未必知道答案,但是这里的教授怕的是教学中没有思想,没有启发,中国的教授往往怕的是没有学问,怕学生知道自己并不知道答案。

4 James Steward的教材与现代计算机技术紧密联系,与时俱进,在每章教学内容的后面都增加了Laboratory project
例如:在讲授了第九章向量和空间解析几何,就有利用绘图软件在
计算机上研究函数族。

问图像的形状是如何依赖于数值的？([1]P.687)
5 James Steward的教材给学生提供了Focus on problem solving,开发学生探究解决实际问题的能力
例如:一个单位立方体内装入了9个同样大小的球。

其中一个球心在这个立方体的中心,且这9个球彼此相切,除去中心的那个球之外,其余8个球都和该立方体的三个面相切,问球的半径是多少。

6 James Steward的教材虽然门槛低,但是加速度大,腾飞快。

要求学生在掌握了数学原理之后很快地应用原理解决甚至是历史上非常有名的数学问题
例如:在讲授了泰勒级数之后,James Steward的教材给出了非常经典的应用。

让学生应用泰勒级数比较爱因斯坦的相对论和牛顿的经典力学的结论。

在爱因斯坦的相对论中,以速度运动的
这个例子,一方面说明了泰勒级数的应用,更重要的是它把两个著名天才物理学家的思想借助泰勒级数或者说函数的二项式展开式紧
密的结合起来,让后人为两位天才的异曲同工叹为观止,爱因斯坦的结论的极限情形就是牛顿的结论。

从这个例子,我们看到了爱因斯坦对牛顿理论的继承和发展。

本人研读James Steward的calculus教材,认识虽然还相对肤浅,但已能体验出作者的良苦用心。

在这些方面,我们国内的教材值得借鉴。

参考文献
[1] Calculus,concepts &contexts,James Steward,SV single variable,4E(fouthedition):687.
[2] Calculus,concepts &contexts,James Steward,MV multivariable,4E(fouthedition)
[3] 同济大学数学教研室.高等数学(上册)(第6版)[M].高等教育出版社,2007,4.
[4] 同济大学数学教研室.高等数学(下册)(第6版)[M].高等教育出版社,2007,4.。