量子力学_王学雷_第二章波函数薛定谔方程
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第二章 波函数和薛定谔方程
规律。 2 、建立方程而不是推导方程，正确性由实验验证。薛定谔方程实质 上是一种基本假设，不能从其他更基本原理或方程推导出来，它的正 确性由它解出的结果是否符合实验来检验。 3、薛定谔方程是线性方程。是微观粒子的基本方程，相当于牛顿方 程。 4、自由粒子波函数必须是复数形式，否则不满足自由粒子薛定谔方 程。 5、薛定谔方程是非相对论的方程。 量子力学的中心任务就是求解薛定谔方程。 求解问题的思路：
系数。
势垒的投射
第二章 波函数和薛定谔方程 （小结）
一.波函数统计解释 二.态迭加原理 三.薛定谔方程 四.粒子流密度和粒子数守恒定律 五.定态薛定谔方程 六.一维无限深势阱 七.线性谐振子 八.势垒贯穿 几个概念：波函数，宇称，定态，简并，
束缚态，量子化，零点能，隧道效应， 数学：厄米方程，厄米方程多项式 势垒。P244。 超越方程曾书p34，一维有限深势阱。
量子力学的二个态的迭加原理（P22倒7行）：如果Ψ1与Ψ2是体 系的可能状态，那么它们的 线性迭加态 Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2，（c1 、c2 是复数）
也是这个体系的一个可能状态。 2、例：以双缝衍射实验（见上面图），推广到任意多态的一般态迭加 原理：
衍射图样的产生证实了干涉项的存在。 3、态的迭加原理
如果Ψ1、Ψ2、Ψ3…是体系可能的状态，则它们的线性迭加态 Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2+ c3Ψ3…=∑ciΨi
也是体系的一个可能状态。当体系处在迭加态Ψ时，体系部分处 在Ψ1态、也部分处在Ψ2态，…等，即各有一定几率处在迭加之前的 各个态Ψi。
4、说明：
（1）量子力学使用最多的是把可以实现的态分解
为某一个算符本征态的迭加。 （2）如同经典波的分解和迭加，量子力学的态的 迭加也是波函数的迭加，而不是的迭加。
系数。
势垒的投射
第二章 波函数和薛定谔方程 （小结）
一.波函数统计解释 二.态迭加原理 三.薛定谔方程 四.粒子流密度和粒子数守恒定律 五.定态薛定谔方程 六.一维无限深势阱 七.线性谐振子 八.势垒贯穿 几个概念：波函数，宇称，定态，简并，
束缚态，量子化，零点能，隧道效应， 数学：厄米方程，厄米方程多项式 势垒。P244。 超越方程曾书p34，一维有限深势阱。
量子力学的二个态的迭加原理（P22倒7行）：如果Ψ1与Ψ2是体 系的可能状态，那么它们的 线性迭加态 Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2，（c1 、c2 是复数）
也是这个体系的一个可能状态。 2、例：以双缝衍射实验（见上面图），推广到任意多态的一般态迭加 原理：
衍射图样的产生证实了干涉项的存在。 3、态的迭加原理
如果Ψ1、Ψ2、Ψ3…是体系可能的状态，则它们的线性迭加态 Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2+ c3Ψ3…=∑ciΨi
也是体系的一个可能状态。当体系处在迭加态Ψ时，体系部分处 在Ψ1态、也部分处在Ψ2态，…等，即各有一定几率处在迭加之前的 各个态Ψi。
4、说明：
（1）量子力学使用最多的是把可以实现的态分解
为某一个算符本征态的迭加。 （2）如同经典波的分解和迭加，量子力学的态的 迭加也是波函数的迭加，而不是的迭加。
量子力学-第二章波函数和薛定谔方程
因发现原子理论新的有 效形式与狄拉克
荣获1933年
RETURN
诺贝尔物理学奖
32
二. 方程的讨论
1. 概率流密度和守恒定律 设t时刻，x点周围单位体积内粒子出现的概率
w x,t * x,t x,t
概率随时间的变化规律
w * *
t
t t
因为 i 2 1 U x
t 2m
概率密度：
w x, y, z,t dW C x, y, z,t 2
dV
3.波函数的性质
(1) x, y,是z,t单 值、有界、连续的； (2) x, y,与z,t C描x写, y同, z,一t 状态。
20
(3)波函数的归一性 ① (x, y是, z)平方可积的,则可归一化，
2
dV 1
玻恩（M.Born)：在某一时刻, 空间 x 处粒子出现 的概率正比于该处波函数的模方。粒子在空间出 现的概率具有波动性的分布，它是一种概率波。
19
设波函数 x, y, z,t t 时刻处于 x—x+dx，y—y+dy，z—z+dz内的
概率
dW x, y, x,t C x, y, z,t 2 dxdydz
c
q v B mv 2
q Br v
c
r
mc
与玻尔量子化条件联立,得
r2
n
1 2
2 q
c B
所以,粒子能量可能值为
En
1 2
mv 2
(n
1) 2
qB mc
(n 0,1, 2, )
10
V(x) 3.德布罗意假设的实验V(验x)证
（1）德布罗意—革末（Davison—Germer）
量子力学第二章 波函数与薛定谔方程
c1 1 c 2 2 (c1、c 2 一般为复数）
描写。
(2) 电子在晶体表面衍射的实验中，粒子被晶体表面反射后，
p p 可能以各种不同的动量 运动，以一个确定的动量 运动的粒
子状态用波函数
i ( E t p r ) p ( r , t ) Ae
即 r , p 决定体系的一切性质。
d r F m (3)质点状态的变化 （运动） 遵从牛顿定律： 2 F ， 当 dt
2
已知时，如果初始时刻 r0 , p 0 ( v 0 ) 也已知，则积分得： t t t F v( t ) dt v 0 ； p( t ) Fdt p 0 ； r ( t ) v( t )dt r0 m 0 0 0 即任何时刻的r (t ), p(t ) 完全确定.
可以写作而薛定谔方程这个方程称为哈密顿算是常数其中可以写作于是定态薛定谔方程定义哈密顿算符值方程的解称为哈密顿算符的本征相应的一系列的本征函一系列的本征值求得满足这个方程的是常数其中波函数这样的波函数称为定态程的一系列特解这样我们得到薛定谔方定态波函数与时间t的关系是正弦型的其角频率2eh
一、状态的描述
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（1）坐标平均值 为简单计，剩去时间ｔ变量（或者说，先不考虑随时间 的变化） 设ψ(x) 是归一化波函数，|ψ (x)|2 是粒子出现在x点
的几率密度，则
x x
x | ( x ) | 2 dx
对三维情况，设ψ(r) 是归一化波函数，|ψ(r)|2是 粒子出现在 r 点的几率密度，则x的平均值为 2 x x x | ( r ) | d
两者一一对应 具有类似的物理含义
描写。
(2) 电子在晶体表面衍射的实验中，粒子被晶体表面反射后，
p p 可能以各种不同的动量 运动，以一个确定的动量 运动的粒
子状态用波函数
i ( E t p r ) p ( r , t ) Ae
即 r , p 决定体系的一切性质。
d r F m (3)质点状态的变化 （运动） 遵从牛顿定律： 2 F ， 当 dt
2
已知时，如果初始时刻 r0 , p 0 ( v 0 ) 也已知，则积分得： t t t F v( t ) dt v 0 ； p( t ) Fdt p 0 ； r ( t ) v( t )dt r0 m 0 0 0 即任何时刻的r (t ), p(t ) 完全确定.
可以写作而薛定谔方程这个方程称为哈密顿算是常数其中可以写作于是定态薛定谔方程定义哈密顿算符值方程的解称为哈密顿算符的本征相应的一系列的本征函一系列的本征值求得满足这个方程的是常数其中波函数这样的波函数称为定态程的一系列特解这样我们得到薛定谔方定态波函数与时间t的关系是正弦型的其角频率2eh
一、状态的描述
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（1）坐标平均值 为简单计，剩去时间ｔ变量（或者说，先不考虑随时间 的变化） 设ψ(x) 是归一化波函数，|ψ (x)|2 是粒子出现在x点
的几率密度，则
x x
x | ( x ) | 2 dx
对三维情况，设ψ(r) 是归一化波函数，|ψ(r)|2是 粒子出现在 r 点的几率密度，则x的平均值为 2 x x x | ( r ) | d
两者一一对应 具有类似的物理含义
量子力学 2 波函数和薛定谔方程
x, t c( p, t ) p dp p, t ( p, t ) x dx
§2.3 Schrodinger 方程
经典力学
物体运动状态用位置、 动量等力学量描述。
运动状态随时间变化 规律由牛顿方程描述。 若知道力学体系的初 始条件，利用牛顿方 程即可求出体系在任 何时刻的运动状态
请问下列波函数中，哪 些与 1描写同一状态？
1 ei 2 x / , 4 e i 2 x / ,
( 2)
已知下列两个波函数：
n A sin ( x a) | x | a 1 ( x) n 1,2,3, 2a | x | a 0 n ( x a) | x | a A sin 2 ( x) n 1,2,3, 2a | x | a 0 请问：I、波函数 1 ( x ) 和 2 ( x ) 是否等价？ II、对 1 ( x )取n 2两种情况，得到的两个 波函数是否等价？
c( p, t )
1 32 2
(r , t )e
i p r
dxdydz
i p r 1 ( r , t ) c ( p , t ) e dp dp dp x y z 3 2 总结： 2 i p r 1 c ( p, t ) ( r , t ) e dxdydz 3 2 2
的状态，则这些态的线性叠加
c1ψ1 c2ψ2 cnψn cnψn
(其中 C1 , C2 ,...,Cn ,...为复常数)。
n
也是体系的一个可能状态。处于Ψ 态的体系，
部分的处于 Ψ 1态，部分的处于Ψ 2态...，部分
量子物理第二章-薛定谔方程ppt课件.ppt
P2 Ψ 2
2 2Ψ
2m
x 2
i Ψ t
E
Ek
P2 2m
一维自由粒子的 含时薛定谔方程
2、一维势场 U (x,t) 中运动粒子薛定谔方程
E
Ek
U
(x,t)
P2 2m
U
(x,t)
Ψ t
i
EΨ
2Ψ x 2
P2 2
Ψ
Ψ t
i
[
P2 2m
U
(x,
t)]Ψ
2
2m
2Ψ x2
P2 Ψ 2m
2 2m
0
波函数本身无直观物理意义，只有模的平方反映粒子出 现的概率，在这一点上不同于机械波，电磁波!
2、玻恩（M..Born)的波函数统计解释:
概率密度： w Ψ (r,t) 2 ΨΨ*
单位体积内粒子出现的概率! 3、波函数满足的条件
1、单值： 在一个地方出现只有一种可能性； 2、连续：概率不会在某处发生突变； 3、有限 4、粒子在整个空间出现的总概率等于 1
(x) Asin(kx ) ( a x a)
（2）确定常数 A、
2
2
由波函数连续性， 边界条件 (-a/2) = 0 (a/2) = 0
Asin( ka 2 ) 0 ka 2 l1
Asin( ka 2 ) 0
2 (l1 l2) l
ka 2 l2 l
2
1）当 l 0 时 o Asin kx ——奇函数。 2）当 l 1 时 e Acos kx ——偶函数。
3. 薛定谔方程是对时间的一阶偏微分方程, 因此波动形式 解要求在方程中必须有虚数因子 i，波函数是复函数。
4. 只有动量确定的自由粒子才能用平面波的描写。
量子力学 第二章 波函数和薛定谔方程
x px
t E J
二.量子力学中的测量过程 1.海森伯观察实验 2.测量过程 被测对象和仪器，测量过程即相互作用过程，其影响 不可控制和预测。
三.一对共轭量不可能同时具有确定的值是微观粒 子具有波动性的必然结果。
并不是测量方法或测量技术的缺陷。而是在本质上 它们就不可能同时具有确定的值
i p
p2 2
对自由粒子：
2 E p
2
∴
2 i 2 t 2
3.力场中运动粒子的波动方程 能量关系：
E p2 U (r , t ) 2
2 i 2 U (r , t ) t 2
4.三个算符
2 H 2 U 2
1。与宏观粒子运动不同。
2。电子位置不确定。
3。几率正比于强度，即 ( r , t )
2
结论：
波函数的统计解释：波函数在空间某一点的 强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒 子的几率成正比。
2 数学表达： (r , t ) | (r , t ) |
归一化：
2 (r , t )d | (r , t ) | d 1
3 2 i ( pr Et )
e
(r ) p
1 (2)
3 2
e
i pr
(r , t )
( r ) dp dp dp x y z c( p, t ) p
其中：
而：
i Et c( p, t ) c( p) e
而在晶体表面反射后的晶电子状态
状态的迭加。
p
为各种值的
量子物理第二章薛定谔方程
量⼦物理第⼆章薛定谔⽅程第2章薛定谔⽅程·德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了⼀个关于物质波的报告，报告后，德拜(P.Debye)评论说：有了波，就应有⼀个波动⽅程。
⼏个⽉后，薛定谔果然提出了⼀个波⽅程，这就是后来在量⼦⼒学中著名的薛定谔⽅程。
·薛定谔⽅程是量⼦⼒学的动⼒学⽅程，象⽜顿⽅程⼀样，不能从更基本的⽅程推导出来；它是否正确，只能由实验检验。
§1 薛定谔⽅程的建⽴(⼀种⽅法)⼀、薛定谔⽅程 1.⼀维薛定谔⽅程 · ⼀维⾃由运动粒⼦⽆势场，不受⼒，动量不变。
· ⼀维⾃由运动粒⼦的波函数(前已讲)由此有· 再利⽤可得此即ψ ? x = ( )P ψi h2ψ ? x 2 P 2h 2= -( ) ψ P 22m E = ? t= i h ( ) ψ (x , t )h 22m - ( ) ψ (x , t ) ?x 22⼀维⾃由运动粒⼦(⽆势场)的薛定谔⽅程·推⼴到若粒⼦在势场U (x , t ) 中运动由有⼀维薛定谔⽅程式中ψ =ψ (x , t )是粒⼦在势场U = U (x , t ) 中运动的波函数·和经典关系相⽐较,只要把P 22mE = +U (x , t ) P 22m E = +U (x , t )再作⽤到波函数ψ(x, t)上，即可得到上述⽅程。
2.三维薛定谔⽅程式由⼀维⽅程推⼴可得三维薛定谔⽅程式·拉普拉斯算符·当 U (r , t ) = 0时，⽅程的解，即三维⾃由运动粒⼦的波函数· 波函数的叠加原理薛定谔⽅程是ψ的线性微分⽅程；若ψ1、ψ2是⽅程的解，则 c 1ψ1 + c 2ψ2也是⽅程的解。
(c 1 、c 2是常数)★ E.Schrodinger & P.A.M.Dirac荣获1933年Nobel Prize (for the discovery of new productive forms of atomic theory)2 x 2 2y 22≡ + + ?2z 2⼆、定态薛定谔⽅程 1.⼀维定态薛定谔⽅程若粒⼦在恒定势场U = U (x ) 中运动(含常数势场U = U 0 )薛定谔⽅程式可⽤分离变量法求解。
量子力学-波函数和薛定谔方程
1. 单电子衍射实验
我们再看一下电子的衍射实验
1. 入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长 时间亦显示衍射图样;
2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样。
P
P
电子源
O
Q 图
感 光 屏 Q
单电子衍射实验
单电子衍射实验结果分析：
实验所显示的电子的波动性是许多电子地同一次实 验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中 的统计结果。波函数正是为描写粒子的这种行为而引进 的。 (1)“亮纹”处是到达该处的电子数多，或讲电子 到达该处的概率大；“暗纹”处是到达该处的电子数少， 或讲电子到达该处的概率小。 (2)衍射图样由电子波动性引起， “亮纹”处表示 该处波强度|Ψ(r)|2大；“暗纹”处表示该处波强度|Ψ(r)|2 小，所以，电子到达屏上各处的概率与波的强度成正比。
量子力学
Quantum Mechanics 第二章
第二章 波函数 和薛定谔方程
§2.1 波函数的统计解释 §2.2 态叠加原理 §2.3 薛定谔(Schrodinger)方程 (S-方程) §2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律 §2.5 定态薛定谔方程 §2.6 一维无限深势阱 §2.7 线性谐振子 §2.8 势垒贯穿 §2.9 例题
自由粒子的波函数无法正常归一化
自由粒子德布罗意平面波为
Ae
i ( p r Et )
归一化条件为
d =1
2
2
A
d
所以德布罗意平面波无法正常归一化。 （具体如何处理后面将讨论）箱归一化方法
四. 多粒子体系的波函数
(r1 , r2 ,, rN , t ) 描述N个粒子组成的体系的运动状态 玻恩统计解释：
量子力学-薛定谔方程
的方程称为该算符的本征方程，常数称为本 征值，方程的解称为(该算符的属于该本征值 的)本征函数。所以定态Schrodinger方程也就 是能量本征方程。
30
2.3 一维运动的一般分析
31
一、 一维势场中粒子能量本征态的一般性质 1、定态
2、简并 如果系统的能级是分立的，即 E En，若对 同一个能级，有两个及其以上的本征函数与 其对应，则称这个能级是简并的。
5
2 物理意义： 对实物粒子的波动性有两种解释
（1）第一种解释，认为粒子波就是粒子 的某种实际结构，即将粒子看成是三维 空间中连续分布的一种物质波包。波包 的大小即粒子的大小，波包的群速度即 粒子的运动速度。粒子的干涉和衍射等 波动性都源于这种波包结构。
6
能量和动量的关系为， E p2 / 2m
d
dt WV
S
J dS,
WV 是在体积V内发现粒子的总几率，而
S
J dS
穿过封闭曲面S向外的总通量。所以
J 是“几率流密度”，而上式表现了几率守恒。
几率守恒也就是粒子数守恒。 27
三 定态Schrodinger方程
若
U
(r
)
与时间无关，则Schrodinger方程
A
12
说明：
1 即使要求波函数是归一化的，它仍有一个 位相因子的不确定性（相位不确定性）。
例如：常数 c ei ，则 (x, y, z)
和 c (x, y, z) 对粒子在点（x,y,z）附近
出现概率的描述是相同的。
2 有些波函数不能（有限地）归一，如平面 波。
13
五、对波函数的要求
E p
i
30
2.3 一维运动的一般分析
31
一、 一维势场中粒子能量本征态的一般性质 1、定态
2、简并 如果系统的能级是分立的，即 E En，若对 同一个能级，有两个及其以上的本征函数与 其对应，则称这个能级是简并的。
5
2 物理意义： 对实物粒子的波动性有两种解释
（1）第一种解释，认为粒子波就是粒子 的某种实际结构，即将粒子看成是三维 空间中连续分布的一种物质波包。波包 的大小即粒子的大小，波包的群速度即 粒子的运动速度。粒子的干涉和衍射等 波动性都源于这种波包结构。
6
能量和动量的关系为， E p2 / 2m
d
dt WV
S
J dS,
WV 是在体积V内发现粒子的总几率，而
S
J dS
穿过封闭曲面S向外的总通量。所以
J 是“几率流密度”，而上式表现了几率守恒。
几率守恒也就是粒子数守恒。 27
三 定态Schrodinger方程
若
U
(r
)
与时间无关，则Schrodinger方程
A
12
说明：
1 即使要求波函数是归一化的，它仍有一个 位相因子的不确定性（相位不确定性）。
例如：常数 c ei ，则 (x, y, z)
和 c (x, y, z) 对粒子在点（x,y,z）附近
出现概率的描述是相同的。
2 有些波函数不能（有限地）归一，如平面 波。
13
五、对波函数的要求
E p
i
量子力学课件第二章
2 dW ( p, t ) | c( p, t ) | dp t时刻粒子出现在动量 点附近 p dp体积元内的几率。
2.2 态叠加原理
若(r , t )是归一化的，则 p, t 也是归一化的 c
若 ( r , t ) ( r , t )dr 1
率成比例。
量子力学的第一条基本假定（或公设）
强度大 强度小 或为0 粒子出现 的概率大
粒子出现 的概率小
2.1 波函数的统计解释
假设衍射波用 (x) 描述，衍射花样的强度则用振
幅的平方
2 描述。就可以得到粒子在空间任意 ( r ) ( r ) ( r ) *
一点出现的概率。
波函数（概率幅）描写体系的量子状态（态或状态）
动量算符
2 2 i t 2m
2.3 薛定谔方程
三、力场中粒子的波函数方程
P2 力场中E U(r ) 2m P2 E 【 U(r )】 2m
p i，E i t
2 2 i (r , t ) [ U(r , t )] (r , t ) t 2m
波叠加原理称为态叠加原理。
解释电子双缝干涉
S1 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是电子可能状态。
电子源
Ψ1
P
S2
Ψ2
感 光 屏
空间找到电子的几率则是： |Ψ|2 = |C1Ψ1+ C2Ψ2|2
= (C1*Ψ1*+ C2*Ψ2*) (C1Ψ1+ C2Ψ2)
= |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
薛定谔波动方程
2.2 态叠加原理
若(r , t )是归一化的，则 p, t 也是归一化的 c
若 ( r , t ) ( r , t )dr 1
率成比例。
量子力学的第一条基本假定（或公设）
强度大 强度小 或为0 粒子出现 的概率大
粒子出现 的概率小
2.1 波函数的统计解释
假设衍射波用 (x) 描述，衍射花样的强度则用振
幅的平方
2 描述。就可以得到粒子在空间任意 ( r ) ( r ) ( r ) *
一点出现的概率。
波函数（概率幅）描写体系的量子状态（态或状态）
动量算符
2 2 i t 2m
2.3 薛定谔方程
三、力场中粒子的波函数方程
P2 力场中E U(r ) 2m P2 E 【 U(r )】 2m
p i，E i t
2 2 i (r , t ) [ U(r , t )] (r , t ) t 2m
波叠加原理称为态叠加原理。
解释电子双缝干涉
S1 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是电子可能状态。
电子源
Ψ1
P
S2
Ψ2
感 光 屏
空间找到电子的几率则是： |Ψ|2 = |C1Ψ1+ C2Ψ2|2
= (C1*Ψ1*+ C2*Ψ2*) (C1Ψ1+ C2Ψ2)
= |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
薛定谔波动方程
量子力学第二章 波函数和薛定谔方程
平方成比例。
（三）波函数的性质
（1）几率和几率密度
根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质： 在 t 时刻，r 点，dτ=dxdydz体积内，找到由波函数Ψ(r,t)描 写的粒子的几率是：
dW (x, y, z, t) C 2 (x, y, z, t) 2 d 其中C是比例系数。
在 t 时刻 r 点，单位体积内找到粒子的几率是：
§2 态叠加原理
（一）态叠加原理 （二）动量空间（表象）的波函数
（一）态叠加原理
微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍 射的本质在于波的叠加性，即可相加性，两个相加波的干 涉的结果产生衍射。因此，同光学中波的叠加原理一样， 量子力学中也存在波叠加原理。因为量子力学中的波，即 波函数决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所以量 子力学的波叠加原理称为态叠加原理。
（简称状态或态） （2）波函数一般用复函数表示。
称为波函数的 标准化条件
（3）波函数满足连续性、有限性、单值性
（5）应用 例： 设一粒子作一维运动，波函数为：
(x)
0
Asin x
a
x 0, x a
0 xa
A为任意常数，求： （1）归一化波函数； （2）几率密度w(x)和w(x)最大的位置； （3）在[0，a/2]内发现粒子的几率；
0
x 0, x a
w(x) (x) 2
令 dw(x) 0 ，有 dx
2 sin2 x
aa
0 xa
d (2 sin2 dx a
a
x)
2
a2
2sin
a
x cos
a
x
2
a2
sin
2
a
x
（三）波函数的性质
（1）几率和几率密度
根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质： 在 t 时刻，r 点，dτ=dxdydz体积内，找到由波函数Ψ(r,t)描 写的粒子的几率是：
dW (x, y, z, t) C 2 (x, y, z, t) 2 d 其中C是比例系数。
在 t 时刻 r 点，单位体积内找到粒子的几率是：
§2 态叠加原理
（一）态叠加原理 （二）动量空间（表象）的波函数
（一）态叠加原理
微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍 射的本质在于波的叠加性，即可相加性，两个相加波的干 涉的结果产生衍射。因此，同光学中波的叠加原理一样， 量子力学中也存在波叠加原理。因为量子力学中的波，即 波函数决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所以量 子力学的波叠加原理称为态叠加原理。
（简称状态或态） （2）波函数一般用复函数表示。
称为波函数的 标准化条件
（3）波函数满足连续性、有限性、单值性
（5）应用 例： 设一粒子作一维运动，波函数为：
(x)
0
Asin x
a
x 0, x a
0 xa
A为任意常数，求： （1）归一化波函数； （2）几率密度w(x)和w(x)最大的位置； （3）在[0，a/2]内发现粒子的几率；
0
x 0, x a
w(x) (x) 2
令 dw(x) 0 ，有 dx
2 sin2 x
aa
0 xa
d (2 sin2 dx a
a
x)
2
a2
2sin
a
x cos
a
x
2
a2
sin
2
a
x
量子力学 第二章
第二章 波函数和薛定谔方程微观粒子波性 如何描述 波函数 薛定谔方程光子 E hv ω== h p n k λ==粒子 由E 、P Evh =h p λ==平面波的频率和波矢都是不随时间或位置改变自由粒子的能量和动量 对应∴自由粒子用平面波表示 ()()i p r E i k rAe Ae ωπψ--==如粒子受到随时间或位置而变化的力场的作用，它的能量和动量不再是常量，这时粒子就不能用平面波描写而必须用较复杂的波函数来描写。
波函数是一个复数如何理解波函数的意义。
不同看法以电子为例1．波是由粒子组成的。
粒子是基本的波只是大量粒子分布密度的变化有点象纵波，密、疏、密、疏集体行为干涉衍射是由因密度波的叠加实验 电子束强度减弱，弱到一个一个地发射长时间后有干涉象 单粒子就有波动性夸大了粒子性2． 认为粒子是由波所组成。
即粒子是de-Broglie 波在空间有限区域中的物质波包。
粒子的实质是波，波包真空色散特性决定包波必然扩散 估算10-8cm 1Å经过10-6S 会扩散到103cm 夸大了波动性 到底电子是什么？波函数是什么？上两种看法现在波认为不对的是对粒子波函数的不正确理解，人们所普通接受的观点为：电子 即不是粒子也不是波确切地说不是经典粒子，也不是经典的波，但人我们说，即是粒子，又是波，它是粒子和波动两重性的矛盾统一，这个波不是经典概念下的波。
经典物理中 粒子 有质量 坐标 轨道仔细分析粒子有确切的轨道是牛顿力学的概念从来没有无限精确地为实验证实过，所以很可能坐标和轨道地概念是宏观情况下的近视。
同时电荷、质量、体现出的粒子性与确切坐标和轨道无必然联系。
波 在经典物理中总是意味着某种实际的物理量在空间分布作周期性的变化，而更重要的是呈现出干涉与衍射现象。
干涉衍射的本质在于波的相干叠加性并不一定要求与某种实际的物理量在空间分布联系在一起。
Born （1926年提出几率波的概念） 基本原理不是经典物理波那样代表秆么实在的物理量的波动只不过是刻画粒子在空间的几率分布的几率波而已，为了阐明这个概念，分析一个比较简单的电子双缝衍射实验。
量子力学第二章波函数
第二章波函数和薛定谔方程2.1 波函数的统计解释与态叠加原理1、波函数的统计解释上一章已说到，为了表示粒子的波粒二象性，可以用复数形式的平面波束描写自由粒子。
自由粒子是不受力场作用的，它的能量与动量都是常量。
如果粒子受到随时间及位置等变化的力场的作用，它的能量和动量就不再是常量，或者不再都是常量。
这时，粒子就不能用平面波来描写，设这时描写粒子的波是某一个函数，这个函数就称为波函数。
它描写粒子所处的状态，所以也称为态函数，它通常是一个复数。
究竟怎样理解波函数和它所描写的粒子之间的关系呢？对于这个问题，曾经有过各种不同的看法。
例如，将波看作是由它所描写的粒子构成的，这种看法是不对的。
我们知道，衍射现象是由波的干涉而产生的，如果波果真是由它所描写的粒子构成，则粒子流的衍射现象应当是由于构成波的这些粒子相互作用而形成的。
但事实证明，在粒子流的衍射实验中，照片上所显示出来的衍射图形与入射粒子流的强度无关，如果减少入射粒子流强度，即使粒子是一个一个地被衍射，虽然一开始照片上的点子看起来是毫无规则的，但当足够长的时间后，如果落在照片上的粒子数基本上保持不变，则所得到的衍射图形是相同的。
这说明每一个粒子被衍射的现象与其他粒子无关，衍射图形不是由粒子之间的相互作用而产生的。
除了上面的看法外，还有其他一些企图解释波函数的尝试，但都因与实验事实不符而被否定。
为人们所普遍接受的对波函数的解释，是由玻恩（Born）首先提出的统计解释：波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例。
按照这种解释，描写粒子的波及是几率波。
按照波函数的几率解释，很容易理解衍射实验：每一个粒子都具有波性，所以每一个粒子都被衍射。
但如果粒子数很少，则统计性质显示不出来，所以在照片上的点子看起来好象是毫无规则的；如果粒子数目足够大，则在波的强度最大的地方，粒子投射在这里的几率也最大，便出现衍射极大，在波的强度最小的地方，粒子投射在这里的几率也最小，便出现衍射极小。
量子力学第二章波函数和薛定谔方程PPT课件
知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒子 在空间各点处出现的几率，以后的讨论进一步知道， 波函数给出体系的一切性质，因此说波函数描写体系 的量子状态（简称状态或态） ②波函数一般用复函数表示。
③波函数一般满足连续性、有限性、单值性。
10
3．波函数的归一化条件
令
(r,t)C (r,t)
t 时刻，在空间任意两点 r 和1
对几率是：
处r 2 找到粒子的相
((rr1 2,,tt))2 2C C((rr1 2,,tt))2 2((rr1 2,,tt))2 2
r , t 和 r ,所t 描写状态的相对几率是相同的，
这里的 是常数C 。
11
非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子不会产 生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全空间出现的 几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率具有相对 性，只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不 取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数 后，所描写的粒子状态不变，即:
➢ 2.3 薛定谔方程
The Schrödinger equation
➢ 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
The current density of particles and conservation
laws
➢ 2.5 定态薛定谔方程
Time independent Schrödinger equation
8
设粒子状态由波函数 (r ,描t)述，波的强度是
(r,t)2*(r,t)(r,t)
按Born提出的波函数的统计解释,粒子在空间中
某一点 r 处出现的概率与粒子的波函数在该点模的
平方成比例
则微观粒子在t 时刻出现在 r 处体积元dτ内的几
③波函数一般满足连续性、有限性、单值性。
10
3．波函数的归一化条件
令
(r,t)C (r,t)
t 时刻，在空间任意两点 r 和1
对几率是：
处r 2 找到粒子的相
((rr1 2,,tt))2 2C C((rr1 2,,tt))2 2((rr1 2,,tt))2 2
r , t 和 r ,所t 描写状态的相对几率是相同的，
这里的 是常数C 。
11
非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子不会产 生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全空间出现的 几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率具有相对 性，只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不 取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数 后，所描写的粒子状态不变，即:
➢ 2.3 薛定谔方程
The Schrödinger equation
➢ 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
The current density of particles and conservation
laws
➢ 2.5 定态薛定谔方程
Time independent Schrödinger equation
8
设粒子状态由波函数 (r ,描t)述，波的强度是
(r,t)2*(r,t)(r,t)
按Born提出的波函数的统计解释,粒子在空间中
某一点 r 处出现的概率与粒子的波函数在该点模的
平方成比例
则微观粒子在t 时刻出现在 r 处体积元dτ内的几
量子力学薛定谔方程及理论(2)
，m是整数
2
x
2m 1 =Bcos 2
a
x
把以上两种情况合并得
n n x =C sin 2a x+a ,C n 2 2 2 E n = 2 8 a
1 , n 0, 1, ,....., x a a
为了确定常系数C，引入归一化条件
态叠加原理
微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍射的本 质在于波的叠加性，即可相加性，两个相加波的干涉的结果 产生衍射。 因此，同光学中波的叠加原理一样，量子力学 中也存在波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数决定 体系的状态，称波函数为状态波函数，所以量子力学的波叠 加原理称为态叠加原理。
在量子力学中，不可能同时用粒子坐标和动量的 确定值来描述粒子的量子状态，因为粒子具有波 粒二象性，粒子的坐标和动量不可能具有确定值。 波函数描述粒子的状态，波函数的模的平方表示粒 子在空间一点出现的概率。 并且粒子在空间中个点出现的概率总和等于1，另外 要注意要是把波函数乘上一个常数后，所描写的粒 子的状态并不改变
量子力学第二章
• • • • • • • • 波函数的统计解释 态叠加原理 薛定谔方程 粒子流密度和粒子守恒定律 定态薛定谔方程 一维无限深势阱 线性谐振子 势垒贯穿
1、波函数的指数形式：E =E0 e 2
正余弦形式：E =E0 cos t-k r k=
d2 则薛定谔方程可写为 2 ( )+ - 2 ( )=0 d
d2 当 时，有 2 ( )- 2 ( )=0 d 2 2 2 其解的形式为 ( )=Ae +Be 2 ， 因为函数有界，所以A 0， ( )=Be 2 ， 2 令 ( )=e 2 H ，对 求二阶导数并化简为 d2 d H( ) H( )-2 + -1 H( )=0 2 d d
3第二章 波函数和薛定谔方程
( x, t ) ( x, t ) 0
2
( x b / 2), x b / 2) (b / 2 x b / 2)
( x, t )
2
2 2 x ( x, t ) ( x, t ) cos ( ) b b
2
如图所示，在区间（b/2,b/2) 以外找不到粒子。在x=0处找 到粒子的几率最大。
一、 Born解释(1926年)
电子双 缝衍射 实验
实验结果：
感光时间较短
感光时间足够长
最终
分析及讨论： 底板接收的电 子是一个一个 的完整体 条纹由大量电 子密集与稀疏 有规律交替出 现形成
粒子性表现 衍射波的强度分布对应于 电子数的密度分布 波动性表现
电子聚集密度的分布决定 于单个电子在底板上出现 概率的分布
子是一个一个的完整体粒子性表现条纹由大量电子密集与稀疏有规律交替出现形成波动性表现微观粒子保持完整的颗粒结构在空间以概率波的形式运动的性质波粒二象性waveparticleduality微观粒子的波动性乃是粒子统计运动规律的一种特殊表现电子双缝衍射二波函数的物理意义衍射条纹极大值衍射条纹极小值波动观点粒子观点波的强度最大波函数振幅绝对值的平方即最大感光点的密度最大电子到达的数目多电子出现的概率大波的强度为零波函数振幅绝对值的平方感光点的密度为零到达的电子数目为零电子出现的概率为零感光强度的分布电子出现的概率分布感光强度的分布电子波函数振幅绝对值的平方结论某时刻t在空间某点r处粒子出现的几率正比于该时刻该点处的波函数的模的平方总结
x, t
-b/2
o
b/2
x
第二节
态叠加原理 (State Superposition Principle)
量子力学第二章波函数及薛定谔方程 ppt课件
例.1 已知一维粒子状态波函数为
(rv,t)Aexp 1 2a2x22 it
求归一化的波函数，粒子的几率分布，粒子在何处 出现的几率最大。
解:
(1).求归一化的波函数
(r ,t)2d xA2 e d a2x2 x A 2
归一化常数 Aa/ 1/2
1
a2
归一化的波函数
(rv,t)a/
则微观粒子在t 时刻出现在 rv 处体积元dτ内的
几率
d W (r v ,t) C (r v ,t)2d
观客这体表运明动描的写一粒种子统的计波规是律几性率，波波(函概数率波 )rr,,反t 有映时微
也称为几率幅。
某一点按Brov r处n提出出现的的波概函率数与的粒统子计的解波释函,数粒在子该在点空模间的中
3 3 e i(2 x h )/h , 6 (4 2 i)e i2 x /h .
2.已知下列两个波函数
1(x)
Asin
n
2a
(xa)
0
| x|a | x|a
n1,2,3,L
2(x)
Asin
n
2a
(xa)
| x|a
n1,2,3,L
0
| x|a
试判断: (1)波函数 1 ( x ) 和 2 ( x ) 是否描述同一状态?
440 Hz + 439 Hz + 438 Hz + 437 Hz + 436 Hz
实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。 例如一个原子内的电子，其广延不会超过原子大小 ≈1A0 。
电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？
“ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不是经典的粒 子也不是经典的波，但是我们也可以说，“ 电子既 是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。”
量子力学2波函数和薛定谔方程
第二章 波函数和薛定谔方程
【教学目的】 正确了解波粒二象性的本质及波函数的统计解 释，了解薛定谔的建立过程，了解态迭加原理，掌握几种 典型一维定态问题的求解方法（一维无限深势阱、一维线 性谐振子）。
§2.1 波函数的统计解释 §2.6 一维无限深势阱
§2.2 态迭加原理
§2.3 薛定谔方程
§2.4 粒子流密度和粒子 数守恒定律
t
称为定态波函数
3、定态下几率流不随时间变化。
J
i ( )
i ( (r) (r) (r) (r) )
2
2
4、任何力学量的平均值不随时间变化。
三、哈密顿（Hamilton）算符
i (r, t ) E(r, t ) t
i E t
2 2 (r, t) U (r)(r, t) E(r, t)
dW 应正比于体积 d dxdydz 和强度 2
dW(x, y, z,t) C (x, y, z,t) 2 d
2.1 归一化条件：在整个空间找到粒子的几率为1。
2
dW (x, y, z,t) C (x, y, z,t) d 1
2.2 归一化常数
C
1
2
可由归一化条件确定
(x, y, z,t) d
一．连续性方程
设描写粒子的状态波函数为：(r, t)，
则几率密度为：
w(r, t) (r, t)(r, t)
几率密度随时间的变化率是 w
t
t t
由薛定谔方程和其共轭复数方程得
i 2 2 U (r)
t 2
i 2 2 U (r)
t
2
将上两式代入得
w i (2 2 ) i • ( )
也是一个可能的波动过程。
【教学目的】 正确了解波粒二象性的本质及波函数的统计解 释，了解薛定谔的建立过程，了解态迭加原理，掌握几种 典型一维定态问题的求解方法（一维无限深势阱、一维线 性谐振子）。
§2.1 波函数的统计解释 §2.6 一维无限深势阱
§2.2 态迭加原理
§2.3 薛定谔方程
§2.4 粒子流密度和粒子 数守恒定律
t
称为定态波函数
3、定态下几率流不随时间变化。
J
i ( )
i ( (r) (r) (r) (r) )
2
2
4、任何力学量的平均值不随时间变化。
三、哈密顿（Hamilton）算符
i (r, t ) E(r, t ) t
i E t
2 2 (r, t) U (r)(r, t) E(r, t)
dW 应正比于体积 d dxdydz 和强度 2
dW(x, y, z,t) C (x, y, z,t) 2 d
2.1 归一化条件：在整个空间找到粒子的几率为1。
2
dW (x, y, z,t) C (x, y, z,t) d 1
2.2 归一化常数
C
1
2
可由归一化条件确定
(x, y, z,t) d
一．连续性方程
设描写粒子的状态波函数为：(r, t)，
则几率密度为：
w(r, t) (r, t)(r, t)
几率密度随时间的变化率是 w
t
t t
由薛定谔方程和其共轭复数方程得
i 2 2 U (r)
t 2
i 2 2 U (r)
t
2
将上两式代入得
w i (2 2 ) i • ( )
也是一个可能的波动过程。
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求束缚态的能级所满足的方程
[解]束缚态下粒子能量的取值范围为
当 时
当 时
薛定谔方程为
令
解为
当 时
令
解为
当 时
薛定谔方程为
令
薛定谔方程为
解为
由
波函数满足的连续性要求,有
要使 有非零解 不能同时为零
则其系数组成的行列式必须为零
计算行列式,得方程
描述经典粒子：坐标、动量，其他力学量随之确定；
描述微观粒子：波函数，各力学的可能值以一定几率出现。
设波函数 描写粒子的状态，波的强度 ，则在时刻t、在坐标x到x+dx、y到y+dy、z到z+dz的无穷小区域内找到粒子的几率表示为 ， 应正比于体积 和强度
归一化条件：在整个空间找到粒子的几率为1。
归一化常数可由归一化条件确定
几率密度随时间的变化率是
由薛定谔方程和其共轭复数方程得
， ，
将上两式代入得
则： ，连续性方程。
上式两边对空间任意一体积V积分
，
利用高斯定理得：
，
应解释为几率流密度矢量。单位时间内体积V中增加的几率，等于从体积V外部穿过V边界面S而流进V内的几率。如果波函数在无穷远处为零，将积分区域V扩展到整个空间，则
第二章小结
一．波函数的统计解释. (量子力学―基本假设)
为几率波。 几率密度
满足连续性，有限性，单值性。
二．态叠加原理：
态叠加原理是微观例子具有波动性的体现。经典粒子的态是具有正交性。
三．薛定谔方程(量子力学――基本假设)
（1）.薛定谔方程是基本假定，是建立的不是推导的
（2）.薛定谔方程是线性方程
四．定态薛定谔方程
重新定义波函数 ，
叫归一化的波函数。
在时刻t、在坐标 (x,y,z)点附近单位体积内找到粒子的几率称为几率密度，用 表示，则
归一化的波函数还有一不确定的相因子 ；
只有 有限时才能归一化为1。
经典波和微观粒子几率波的区别：
（1） 经典波描述某物理量在空间分布的周期变化，而几率波描述微观粒子某力学量的几率分布；
多粒子体系的薛定谔方程，设体系有N个粒子， 分别表示这N个粒子的坐标，体系的状态波函数为： ，体系的势能为 ，则体系的能量可写成
，
上式两边乘以波函数 ，并作代换： ，
其中： ，
就得到多粒子体系的薛定谔方程： 。
§2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
一．连续性方程
设描写粒子的状态波函数为： ，则几率密度为
定理三：当 时，如无简并，方程的解有确定的宇称。即偶宇称： ，或奇宇称： 。
证明：因为 和 都是能量E的解，二者应表示同样的状态。因此应只差一常数。 ，则
所以， ， ， 。
二．一维无限深势阱
，
，
，
，
令 ，
方程的解为： ，
利用边界条件： 得： ，
即： ， ， （ 时， ，无物理意义）
, 对应的波函数为： 。
定态：能量有确定的值
定态波函数
定态薛定谔方程
定态波函数实际是能量本征函数
定态薛定谔方程存在定态解
五．一维定态问题
（1）.一维无限深势井
本征值
本征函数
（2）.一维线性谐振子
本征值
本征函数
六．连续性方程
几率密度
几率流密度
第二章例题
一．求解一位定态薛定谔方程
1．试求在不对称势井中的粒子能级和波函数
[解]薛定谔方程:
对波函数所满足的方程的要求：
(1) 线性方程，迭加原理的要求；
(2) 方程系数不含状态参量（动量、能量），各种可能的状态都要满足方程。
建立过程：自由粒子波函数所满足的方程 推广到一般。
自由粒子的波函数为平面波：
对时间求偏微商：
对坐标求二次偏微商：
同理得： ， ，
将以上三式相加： ，
利用自由粒子的能量和动量的关系，我们可得到自由粒子波函数所满足的微分方程：
上式中劈形算符： ，
如存在势能 ，能量和动量的关系是： ，
波函数应满足的微分方程是;
这个方程称为薛定谔方程。
由建立过程可以看出，只需对能量动量关系进行如下代换：
，
就可得到薛定谔方程。
注意：薛定谔方程是建立起来的，而不是推导出来的，它是量子力学中的一个基本假设，地位同牛顿力学中的牛顿方程。它的正确性由方程得出的结论与实验比较来验证。
带入原方程
将H按 展成幂级数， 时， 有限,要求幂级数只有有限项。级数只有有限项的条件是： ，
线性谐振子的能级为： ，线性谐振子的能量为分离值，相邻能级的间距为 。
零点能： ， 。
厄密多项式：
递推公式: (1)
（2）
（3）
（4）
对应的波函数为： ，
归一化常数：
四．势垒贯穿
；
薛定谔方程为 ，
，
(a) 时
量子力学的态迭加原理：如果 和 是体系的可能状态，那么它们的线性迭加： （ 是复数）也是这个体系的一个可能状态。
电子双缝衍射：设 表示电子穿过上面窄缝到达屏的状态，设 表示电子穿过下面窄缝到达屏的状态。 表示电子穿过两个窄缝到达屏的状态，则有 ，电子在屏上某点出现的几率可表示为
正是干涉项的存在，才有了衍射条纹。
一．定态薛定谔方程
当势能与时间无关时，我们可用分离变量法将方程简化
，
带入： ， 并把方程两边用 去除
，两边都等于常数E
,
可解出： ，则 ，定态波函数。
叫定态薛定谔方程。
表示能量， 为哈密顿函数。
二．定态下的一些特点
定态：能量具有确定值；定态波函数所表示的状态。
在定态中，几率密度和几率流密度都与时间无关。
当 , 故有
利用波函数在 处的连续条件
由 处连续条件:
由 处连续条件:
给定一个n值,可解一个 , 为分离能级.
2．粒子在一维 势井中的运动
求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数
[解]体系的定态薛定谔方程为
当 时
对束缚态
解为
在 处连续性要求
将 代入得
又
相应归一化波函数为:
归一化波函数为:
3分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为
令 ，
方程变为： ，
，
在 区域，波函数：
在 区域，波函数：
在 区域，波函数：
对投射波，不应有向左传播的波，即： 。
利用波函数及微商在 和 的连续条件，我们有
:
:
:
得出入射波 、透射波 、反射波 的几率流密度
入射波几率流密度：
透射波几率流密度：
反射波几率流密度：
投射系数：
（2） 经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来四倍，就变成另一状态了；而微观粒子在空间出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度，将几率波的波幅增大 一倍并不影响粒子在空间各点出现的几率，即将波函数乘上一个常数，所描述的粒子的状态并不改变；
（3） 对经典波，加一相因子 ，状态会改变，而对几率波，加一相因子 不会引起状态改变。
1926年玻恩提出了几率波的概念: 在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个函数叫波函数。波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。既描写粒子的波叫几率波。
描写粒子波动性的几率波是一种统计结果，即许多电子同一实验或一个电子在多次相同实验中的统计结果。
几率波的概念将微观粒子的波动性和粒子性统一起来。微观客体的粒子性反映微观客体具有质量，电荷等属性。而微观客体的波动性，也只反映了波动性最本质的东西：波的叠加性（相干性）。
利用归一化条件： , 得： ，
归一化后的波函数为： 。
束缚态：无穷远处为零的波函数所描述的状态。
基态：体系能量最低的态。
三．一维线性谐振子
一维线性谐振子的势能为 ，
体系的薛定谔方程为 ，
进行如下变量代换： ， ，
薛定谔方程变为： ，变系数二级常微分方程。
，方程变为 ， 解为 ，
时， 有限，将 写成如下形式： ，
（2）大量电子分布于空间形成的疏密波。 电子双缝衍射表明，单个粒子也有波动性。疏密波说夸大了粒子性一面。
对波粒二象性的辨正认识：微观粒子既是粒子，也是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一，这个波不再是经典概念下的波，粒子也不再是经典概念下的粒子。在经典概念下，粒子和波很难统一到一个客体上。
二． 波函数的统计解释
经典的态具有正交性，而量子态具有相干性。
薛定谔猫佯谬。
推广到更一般情况：当 是体系的可能状态，他们的线性迭加：
（ 是复数）
也是这个体系的一个可能状态。
§2.3 薛定谔方程
经典力学质点运动：初始状态（位置、速度） 任意时刻质点的状态
量子力学波函数： 初始状态波函数 任意时刻波函数的状态
薛定谔在1926年建立了薛定谔方程
，
即在整个空间内找到粒子的几率与时间无关，这反映了粒子数守恒。如波函数是归一的，则它将保持归一性，而不随时间改变。
质量密度： ，质量流密度：
则： ，量子力学中的质量守恒定律。
同理，定义电荷密度： ，电流密度： ，可得量子力学中的电荷守恒定律。
二．波函数的标准条件
有限性、连续性、单值性
§2.5 定态薛定谔方程
反射系数：
(b) 时
令 ， 方程变为： ，
方程的解形式为：
利用边界条件得：
其中 双曲正弦函数 ，双曲余弦函数
投射系数：
隧道效应：粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象。
按经典力学： ，如 ，则动能为负。是无意义的。但在微观世界，由于粒子的波粒二象性，动能和势能是无法同时确定的，上述等式是不成立的。因此可以可出，隧道效应是微观粒子所特有的量子效应。
[解]束缚态下粒子能量的取值范围为
当 时
当 时
薛定谔方程为
令
解为
当 时
令
解为
当 时
薛定谔方程为
令
薛定谔方程为
解为
由
波函数满足的连续性要求,有
要使 有非零解 不能同时为零
则其系数组成的行列式必须为零
计算行列式,得方程
描述经典粒子：坐标、动量，其他力学量随之确定；
描述微观粒子：波函数，各力学的可能值以一定几率出现。
设波函数 描写粒子的状态，波的强度 ，则在时刻t、在坐标x到x+dx、y到y+dy、z到z+dz的无穷小区域内找到粒子的几率表示为 ， 应正比于体积 和强度
归一化条件：在整个空间找到粒子的几率为1。
归一化常数可由归一化条件确定
几率密度随时间的变化率是
由薛定谔方程和其共轭复数方程得
， ，
将上两式代入得
则： ，连续性方程。
上式两边对空间任意一体积V积分
，
利用高斯定理得：
，
应解释为几率流密度矢量。单位时间内体积V中增加的几率，等于从体积V外部穿过V边界面S而流进V内的几率。如果波函数在无穷远处为零，将积分区域V扩展到整个空间，则
第二章小结
一．波函数的统计解释. (量子力学―基本假设)
为几率波。 几率密度
满足连续性，有限性，单值性。
二．态叠加原理：
态叠加原理是微观例子具有波动性的体现。经典粒子的态是具有正交性。
三．薛定谔方程(量子力学――基本假设)
（1）.薛定谔方程是基本假定，是建立的不是推导的
（2）.薛定谔方程是线性方程
四．定态薛定谔方程
重新定义波函数 ，
叫归一化的波函数。
在时刻t、在坐标 (x,y,z)点附近单位体积内找到粒子的几率称为几率密度，用 表示，则
归一化的波函数还有一不确定的相因子 ；
只有 有限时才能归一化为1。
经典波和微观粒子几率波的区别：
（1） 经典波描述某物理量在空间分布的周期变化，而几率波描述微观粒子某力学量的几率分布；
多粒子体系的薛定谔方程，设体系有N个粒子， 分别表示这N个粒子的坐标，体系的状态波函数为： ，体系的势能为 ，则体系的能量可写成
，
上式两边乘以波函数 ，并作代换： ，
其中： ，
就得到多粒子体系的薛定谔方程： 。
§2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
一．连续性方程
设描写粒子的状态波函数为： ，则几率密度为
定理三：当 时，如无简并，方程的解有确定的宇称。即偶宇称： ，或奇宇称： 。
证明：因为 和 都是能量E的解，二者应表示同样的状态。因此应只差一常数。 ，则
所以， ， ， 。
二．一维无限深势阱
，
，
，
，
令 ，
方程的解为： ，
利用边界条件： 得： ，
即： ， ， （ 时， ，无物理意义）
, 对应的波函数为： 。
定态：能量有确定的值
定态波函数
定态薛定谔方程
定态波函数实际是能量本征函数
定态薛定谔方程存在定态解
五．一维定态问题
（1）.一维无限深势井
本征值
本征函数
（2）.一维线性谐振子
本征值
本征函数
六．连续性方程
几率密度
几率流密度
第二章例题
一．求解一位定态薛定谔方程
1．试求在不对称势井中的粒子能级和波函数
[解]薛定谔方程:
对波函数所满足的方程的要求：
(1) 线性方程，迭加原理的要求；
(2) 方程系数不含状态参量（动量、能量），各种可能的状态都要满足方程。
建立过程：自由粒子波函数所满足的方程 推广到一般。
自由粒子的波函数为平面波：
对时间求偏微商：
对坐标求二次偏微商：
同理得： ， ，
将以上三式相加： ，
利用自由粒子的能量和动量的关系，我们可得到自由粒子波函数所满足的微分方程：
上式中劈形算符： ，
如存在势能 ，能量和动量的关系是： ，
波函数应满足的微分方程是;
这个方程称为薛定谔方程。
由建立过程可以看出，只需对能量动量关系进行如下代换：
，
就可得到薛定谔方程。
注意：薛定谔方程是建立起来的，而不是推导出来的，它是量子力学中的一个基本假设，地位同牛顿力学中的牛顿方程。它的正确性由方程得出的结论与实验比较来验证。
带入原方程
将H按 展成幂级数， 时， 有限,要求幂级数只有有限项。级数只有有限项的条件是： ，
线性谐振子的能级为： ，线性谐振子的能量为分离值，相邻能级的间距为 。
零点能： ， 。
厄密多项式：
递推公式: (1)
（2）
（3）
（4）
对应的波函数为： ，
归一化常数：
四．势垒贯穿
；
薛定谔方程为 ，
，
(a) 时
量子力学的态迭加原理：如果 和 是体系的可能状态，那么它们的线性迭加： （ 是复数）也是这个体系的一个可能状态。
电子双缝衍射：设 表示电子穿过上面窄缝到达屏的状态，设 表示电子穿过下面窄缝到达屏的状态。 表示电子穿过两个窄缝到达屏的状态，则有 ，电子在屏上某点出现的几率可表示为
正是干涉项的存在，才有了衍射条纹。
一．定态薛定谔方程
当势能与时间无关时，我们可用分离变量法将方程简化
，
带入： ， 并把方程两边用 去除
，两边都等于常数E
,
可解出： ，则 ，定态波函数。
叫定态薛定谔方程。
表示能量， 为哈密顿函数。
二．定态下的一些特点
定态：能量具有确定值；定态波函数所表示的状态。
在定态中，几率密度和几率流密度都与时间无关。
当 , 故有
利用波函数在 处的连续条件
由 处连续条件:
由 处连续条件:
给定一个n值,可解一个 , 为分离能级.
2．粒子在一维 势井中的运动
求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数
[解]体系的定态薛定谔方程为
当 时
对束缚态
解为
在 处连续性要求
将 代入得
又
相应归一化波函数为:
归一化波函数为:
3分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为
令 ，
方程变为： ，
，
在 区域，波函数：
在 区域，波函数：
在 区域，波函数：
对投射波，不应有向左传播的波，即： 。
利用波函数及微商在 和 的连续条件，我们有
:
:
:
得出入射波 、透射波 、反射波 的几率流密度
入射波几率流密度：
透射波几率流密度：
反射波几率流密度：
投射系数：
（2） 经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来四倍，就变成另一状态了；而微观粒子在空间出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度，将几率波的波幅增大 一倍并不影响粒子在空间各点出现的几率，即将波函数乘上一个常数，所描述的粒子的状态并不改变；
（3） 对经典波，加一相因子 ，状态会改变，而对几率波，加一相因子 不会引起状态改变。
1926年玻恩提出了几率波的概念: 在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个函数叫波函数。波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。既描写粒子的波叫几率波。
描写粒子波动性的几率波是一种统计结果，即许多电子同一实验或一个电子在多次相同实验中的统计结果。
几率波的概念将微观粒子的波动性和粒子性统一起来。微观客体的粒子性反映微观客体具有质量，电荷等属性。而微观客体的波动性，也只反映了波动性最本质的东西：波的叠加性（相干性）。
利用归一化条件： , 得： ，
归一化后的波函数为： 。
束缚态：无穷远处为零的波函数所描述的状态。
基态：体系能量最低的态。
三．一维线性谐振子
一维线性谐振子的势能为 ，
体系的薛定谔方程为 ，
进行如下变量代换： ， ，
薛定谔方程变为： ，变系数二级常微分方程。
，方程变为 ， 解为 ，
时， 有限，将 写成如下形式： ，
（2）大量电子分布于空间形成的疏密波。 电子双缝衍射表明，单个粒子也有波动性。疏密波说夸大了粒子性一面。
对波粒二象性的辨正认识：微观粒子既是粒子，也是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一，这个波不再是经典概念下的波，粒子也不再是经典概念下的粒子。在经典概念下，粒子和波很难统一到一个客体上。
二． 波函数的统计解释
经典的态具有正交性，而量子态具有相干性。
薛定谔猫佯谬。
推广到更一般情况：当 是体系的可能状态，他们的线性迭加：
（ 是复数）
也是这个体系的一个可能状态。
§2.3 薛定谔方程
经典力学质点运动：初始状态（位置、速度） 任意时刻质点的状态
量子力学波函数： 初始状态波函数 任意时刻波函数的状态
薛定谔在1926年建立了薛定谔方程
，
即在整个空间内找到粒子的几率与时间无关，这反映了粒子数守恒。如波函数是归一的，则它将保持归一性，而不随时间改变。
质量密度： ，质量流密度：
则： ，量子力学中的质量守恒定律。
同理，定义电荷密度： ，电流密度： ，可得量子力学中的电荷守恒定律。
二．波函数的标准条件
有限性、连续性、单值性
§2.5 定态薛定谔方程
反射系数：
(b) 时
令 ， 方程变为： ，
方程的解形式为：
利用边界条件得：
其中 双曲正弦函数 ，双曲余弦函数
投射系数：
隧道效应：粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象。
按经典力学： ，如 ，则动能为负。是无意义的。但在微观世界，由于粒子的波粒二象性，动能和势能是无法同时确定的，上述等式是不成立的。因此可以可出，隧道效应是微观粒子所特有的量子效应。