东北大学数值分析 总复习+习题

2.掌握矩阵的直接三角分解法。 会对矩阵进行Doolittle分解(LU)、LDM分解、Crout 分解(TM)及Cholesky分解(GGT)。 了解它们之间的关系。熟 练掌握用三角分解法求方程组的解。 了解平方根法和追赶 法的思想。 定理 设n阶方阵A的各阶顺序主子式不为零,则存在 唯一单位下三角矩阵L和上三角矩阵U使A=LU .
2 ,所以‖A‖1=5,‖A-1‖1=5/7. 7 2 1 1 a a 2.设矩阵A= a 1 0 ,当a取______值时,A可以唯一分解 a 0 1 1 3 -1 又A =
为GGT,其中G为下三角矩阵.
解
令
1 a a 1 a 1 1 1 a 2 0, a 1 0 1 2a 2 0, 得： a a 1 2 2 a 0 1
(2)讨论这两种迭代法的收敛性.
(3)取初值x(0)=(0,0,0)T,若用Jacobi迭代法计算时,
预估误差x*-x(10) (取三位有效数字).
解
(1)Jacobi法和SOR法的迭代格式分别为
1 (k ) 1 (k ) 1 ( k 1) (k ) (k ) x1 ( x1 x 2 x 3 ) x1 4 2 4 1 ( k 1) 1 (k ) 2 ( k 1) (k ) (k ) x x ( x x x3 ) 2 2 1 2 5 5 5 1 ( k 1) 1 ( k 1) 1 ( k 1) (k ) (k ) x x ( x x x ) 3 3 1 2 3 3 6 2
考试题解析
一、填空题（每空3分,共30分)
1 2 7 25 / 7 1.设矩阵A= ,则(A)=_______,Cond(A) 1=_______. 2 3
解
由于
A E
1 2
2 3
2 4 7 0
得特征值: 1 2 3i, 2 2 3i
容易验证公式对(x)=x5仍精确成立，故其代数精度为5，
是Gauss公式。 六、(12分)设初值问题
y f ( x, y ) y (a) a xb
3 2 x x 7.设S(x)= 3 2 2 x bx cx 1
j 0
0 x 1 1 x 2
是以0,1,2为节
-2 3 点的三次样条函数,则b=________c=_________.
解
由2=b+c+1,5=6+2b+c,8=12+2b,可得
二、(13分)设函数(x)=x2-sinx-1
来自百度文库
(2)因为A是严格对角占优矩阵,但不是正定矩阵,故
Jacobi法收敛,SOR法当0<1时收敛. (3)由(1)可见B=3/4,且取x(0)=(0,0,0)T,经计算可 得x(1)=(1/4,-2/5,1/2)T,于是x(1)-x(0)=1/2,所以有
x * x (10 )
于是 H3(x)=-(x-1)2(x-2)-3x(x-2)+2.5x(x-1)2 –0.5x(x-1)(x-2) =x3-2.5x2 +2.5x+2
由于,R(0)=R(1)=R(2)=R(1)=0, 故可设 R(x)=C(x)x(x-1)2(x-2) 构造函数(t)=(t)-H3(t)-C(x)t(t-1)2(t-2) 于是,存在x,使(4)(x)=0,即(4)(x)-4!C(x)=0
六、插值与逼近
1.了解差商的概念和性质.
2.会建立插值多项式并导出插值余项.
Lagrange、Newton、Hermite插值多项式；基函数法 及待定系数法。 3.了解分段插值及三次样条插值的概念及构造思想。
4. 了解正交多项式的概念，会求简单的正交多项式。 5. 掌握最小二乘法的思想，会求拟合曲线及最佳均方 误差.
x k 1 xk
p
C
(2) 若()0,则迭代法线性收敛. 4.会建立Newton迭代格式；知道Newton迭代法的优缺
点.了解Newton迭代法的变形.
x k 1
f ( xk ) xk f ( x k )
局部平方收敛.
五、矩阵特征值问题
1. 了解Gerschgorin圆盘定理, 会估计特征值. 2. 了解乘幂法、反幂法的思想及加速技巧. 3. 了解Jacobi方法的思想以及平面旋转矩阵的构造.
b
确定求积公式。
3. 了解复化求积公式的思想和Romberg公式的构造。 4. 了解Gauss公式的概念，会建立简单的Gauss公式。 5.了解微分公式建立形式，会求简单的微分公式。
八、常微分方程数值解法
1.了解构造数值解法的基本思想及概念。
2.掌握差分公式局部截断误差和阶的概念，会求差分
公式的局部截断误差。 3.会判断单步方法的收敛性和稳定性，求稳定区间。
3.了解向量和矩阵的范数的定义,会判定范数(三要素 非负性、齐次性、三角不等式);会计算几个常用的向量和 矩阵的范数；了解范数的等价性和向量矩阵极限的概念。 4.了解方程组的性态，会计算简单矩阵的条件数。
三、解线性方程组的迭代法
1.会建立J-法、G-S法、SOR法的迭代格式；会判定迭
代方法的收敛性。
因此方程(x)=0有唯一正根,且在区间(1,2)内. (2)构造迭代格式: x k 1 1 sin x k k 0,1,2,... 由于|(x)|=| cos x / 2 1 sin x |<1,故此迭代法收敛.
取初值x0=1.5, 计算得x1=1.41333, x2=1.40983,由于
(1)试证方程(x)=0有唯一正根; (2)构造一种收敛的迭代格式xk+1=(xk),k=0,1,2,… 计算精度为=10-2的近似根; (3)此迭代法的收敛阶是多少?说明之. 解 (1)因为0<x1时,(x)<0,x2时,(x)>0,所以(x)
仅在(1,2)内有零点,而当1<x<2时,(x)>0,故(x)单调.


B
k
1 B
x (1) x ( 0 )

0.7510 0.5 0.113 1 0.75
四、(13分)已知(0)=2,(1)=3,(2)=5,(1)=0.5, (1)试建立一个三次插值多项式H3(x),使满足插值条件: H3(0)=2,H3(1)=3,H3(2)=5,H3(1)=0.5; (2)设y=(x)在[0,2]上四次连续可微,试确定插值余项 R(x)=(x)-H3(x). 解 (1)由y0=2,y1=3,y2=5,y1=0.5,得
R( x) f
( 4)
五、(12分)试确定参数A,B,C及,使数值积分公式
( x ) x( x 1) 2 ( x 2) 4!
2 f ( x)dx Af ( ) Bf (0) Cf ( ) 有尽可能高的代数精度,并问代数精度是多少?它是否是
2
Gauss公式?
解 令公式对(x)=1,x,x2,x3,x4都精确成立,则有 4=A+B+C, 0=A-C, 16/3=A2+C2, 0=A3-C3 64/5=A4+C4 ,解得:A=C=10/9,B=16/9,=(12/5)1/2
（1）迭代法收敛迭代矩阵谱半径小于1.
（2）迭代法收敛的充分条件是迭代矩阵的范数小于1. （3）A严格对角占优,则J法,GS法,SOR法(0<1)收敛.
（4）A对称正定,则GS法,SOR法(0<<2)收敛.
2.掌握并会应用迭代法的误差估计式。
x
(k )
x
*
M
k
1 M
x x
(1)
(0)
总 复 习
一、绪论
1.掌握绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差 会计算误差限和有效数字。 一般地,凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值,其 绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。 定义1 设数x是数x*的近似值，如果x的绝对误差限
限及有效数字的概念。掌握误差限和有效数字之间的关系。
是它的某一数位的半个单位，并且从x左起第一个非零数
1.了解二分法的思想,误差估计式|xk-|2-(k+1)(b-a).
推论 若(x)在附近具有一阶连续导数,且 |()|<1, 则对充分接近的初值x0,迭代法xk+1=(xk)收 敛. 3. 了解迭代法收敛阶的概念,会求迭代法收敛的阶.
了解Aitken加速技巧.
(1) xkp阶收敛于是指: lim k
四、解非线性方程的迭代法
2.会建立简单迭代法迭代格式；会判定迭代方法的收
敛性。 定理 若(x)为I上的压缩映射, 则对任何x0I,迭代 格式xk+1=(xk)均收敛于(x)在I上的唯一不动点. 推论 若1.a(x)b; 2.|(x)| L<1, x[a,b]. 则xk+1=(xk),x0[a,b]都收敛于方程的唯一根.
( k 1) 1 ( k ) 1 ( k ) 1 x 2 x3 x1 4 2 4 1 (k ) 1 (k ) 2 ( k 1) x x1 x 3 2 5 5 5 1 (k ) 1 (k ) 1 ( k 1) x x1 x 2 3 3 6 2
|x2-x1|=0.0035<10-2 , 故可取根的近似值x2=1.40983. (3)因为0<</2,所以() cos / 2 1 sin 0 故,此迭代法线性收敛(收敛阶为1).
三、(14分)设线性方程组 4 x1 x 2 2 x3 1 x1 5 x 2 x3 2 2 x x 6 x 3 1 2 3 (1)写出Jacobi法和SOR法的迭代格式(分量形式);
3
3 xk a 2 a 2 x k 1 x k 或x k 1 x k x k 2 3 3 3x k 的Newton迭代格式为_______________________.
6.设l0(x),l1(x),l2(x),l3(x)是以x0,x1,x2,x3为互异节点
(x-2)3 的三次插值基函数,则 l j ( x)( x j 2) 3=____________.
字到该数位共有n位，则称这n个数字为x的有效数字，也 称用x近似x*时具有n位有效数字。 2.了解数值计算中应注意的一些问题.
二、解线性方程组的直接法
1.了解Gauss消元法的基本思想,知道适用范围 顺序Gauss消元法:矩阵A的各阶顺序主子式都不为零.
主元Gauss消元法:矩阵A的行列式不为零.
3.向量x=(x1,x2,x3)T,试问|x1|+|2x2|+|x3|是不是一种向
是 量范数______, 而|x1|+|2x2+x3|是不是一种向量范数不是 _____.
4.求 3 a 解 只要取(x)=x3-a ,或(x)=1-x3/a. 1 5.设(x)=x3+x2-3,则差商[3,32,33,34]=_______.
七、数值积分
掌握梯形公式和Simpson公式及其误差。
1.了解求积公式的一般形式及插值型求积公式的构造.
ba (b a)3 a f ( x)dx 2 [ f (a) f (b)] 12 f ( ) b ba ab (b a ) 5 ( 4 ) a f ( x)dx 6 [ f (a) 4 f ( 2 ) f (b)] 2880 f ( ) 2.掌握求积公式的代数精度的概念，会用待定系数法
H3(x)=20(x)+31(x)+52(x)+0.51(x)
令0(x)=c(x-1)2(x-2),可得0(x)=-0.5(x-1)2(x-2), 令1(x)=x(x-2)(ax+b),可得1(x)=-x(x-2), 令2(x)=cx(x-1)2,可得2(x)=0.5x(x-1)2; 令1(x)=cx(x-1)(x-2),可得1(x)=-x(x-1)(x-2),