人教版高中数学课件 高中数学必修五课件111 2正弦定理课件人教A版必修5
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B
1000
A
20?
65? E
D C
解：过点D作DE//AC交BC于E,
? ? DAC ? 20 ?,? ? ADE ? 160 ?
1000
于是，? ADB ? 360 ?? 160 ?? 65?? 135 ? 20? A
又? BAD ? 35?? 20?? 15 ?? ? ABD ? 30?
解：由正弦定理
a
b
sinA ? sinB
得 sinB ?
bsinA
16 ?
3sin30 ? ?
3
a
16
2
C
16 3 16
16
A 300
所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°
B
B
当Ｂ＝60°时 C=90° c ? 32.
当Ｂ＝120°时 C=30°
c
?
asinC sinA
? 16 .
变式: a=30, b=26, A=30°求角B，C和边c
A
C B
集体探究学习活动一：
正弦定理是什么？有哪些证明方法？
RTX讨论一：
直角三角形中边角关系有 哪些？你能总结出一个式子 吗？这个式子对所有三角形 都适用吗？
数学建构
在Rt△ABC中,各角与其对边的关系:
sin A ? a c
sin
C
?
1
?
c c
sin B ? b c
不难得到:
A
c b
abc ??
过点A作AD⊥BC于D,
B
此时有
sin B ?
AD c
, sin
C
?
AD b
b
c
所以AD=csinB=bsinC, 即
?
,
sin B sin C
c
b
图1 D
C
同理可得 a ? c ,
sin A sin C
即： a ? b ? c sin A sin B sin C
(3) 若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 过点A作AD⊥BC，交BC延长线于D,
高中数学 必修5
导入：
1.上网活动： “美丽的山河”图片搜索，感受 到自然界的美。
2.教师导语：自然界神奇美丽，要揭开其神秘 的面纱，需要借助于很多数学知识。
设点B在珠江岸边，点A在对岸那边，为了测量A、B两 点间的距离，你有何好办法呢？（给定你米尺和量器）
A C
B
设问 若将点C移到如下图所示的位置，你还能求出 A、B两点间的距离吗？
课堂练习
课本第 9页练习第 2、3题
RTX讨论六：
已知两边及夹角，怎样求 三角形面积？
数学建构 三角形面积公式：
A
SΔABC ?
1 2
absinC
?
1 bcsinA 2
?
1 acsinB 2
c ha
b
证明：∵ SΔ ABC ?
1 2
ah
a
而 ha ? AD ? c ?sinB? bsinC
B
Da
RTX讨论四：
什么叫解三角形？利用正 弦定理可以解决哪两类三角 形的问题？
数学建构
已知三角形的的某些边和角，求其他边和角的过程叫做
解三角形。
提醒：三角形是由3条边和3个角组成的，那么我们在运用 “正弦定理”解三角形时，只需知道其中几个量，就可 求出余下的几个量？有没有前提条件？
结论 正弦定理的运用条件 ：
C
∴
SΔABC
?
1 2
acsinB
?
1 2
ab sinC
同理
SΔABC ?
1 bcsinA 2
∴
SΔABC ?
1 absinC 2
?
1 bcsinA 2
?
1 acsinB 2
RTX讨论七：
正弦定理有哪些方面的应 用？
数学应用：
例3.某登山队在山脚 下A处测得山顶B的仰 角为 35?,沿倾斜角为20 0的斜坡前进1000m 后到达D处, 又测得山顶的仰角为6 5?,求山的高度BC(精确 到 1m)
A
30?
Q
a sinA
?
b sinB
?
c, sinC
B
?
b?
asinB sinA
10sin50 0 ? sin30 0
? 15.32
c
100? b
10 C
c
?
asinC sinA
?
10sin100 0 sin30 0
? 19.70
因此b, c的长分别为15.3 2和19.70
例 2 已知a=16， b= 16 3， A=30° 解三角形。
即 b ? c ,同理得 a ? c ,所以 a ? b ? c .
sinB sinC
sinA sinC sinA sinB sinC
CBiblioteka Baidu
RTX讨论三：
以上证明方法体现了一种 什么样的数学思维规律？
答 体现了由特殊到一般的 数学思维规律。
集体探究学习活动二：
1.利用正弦定理可以解决哪两类解 斜三角形的问题？ 2.在“已知两边及其中一边对角” 解三角形问题中解的情况有几种？
解：由正弦定理
a
b
sinA ? sinB
C
26
30
得 sinB ?
bsinA
?
26sin30 ? 13 ?
a
30
30
A 30 0
B
三角形中大边对大角
∵a > b ∴ A > B ,
所以Ｂ＝25.70, C=1800-A-B=124.30,
c?
asinC sinA
?
49.57
RTX讨论五：
为什么在 “已知两边及 其中一边对角”解三角形问 题中有一解、两解和无解三 种情况？
此时也有
sin B ?
AD c
且 sin（?
? C）?
AD b
?
sinC
仿(2)可得 a ? b ? c
sin A sin B sin C
B 由(1)(2)(3)知，结论成立．
A c
b
图2 C D
利用向量的数量积，产生边的长 与内角的三角函数的关系来证明.
A
c
b
B
a DC
证法 2 在? ABC中,有BC ? BA ? AC.不妨设? C
为最大角,过点A作AD ? BC于D,如图,于是
A
? ? BC ?AD ? BA ? AC ?AD ? BA?AD ? AC ?AD,
α
? ? 即0 ?| BA || AD | cos 900 ? B ? | AC || AD | cos? ,
c
B
b aD
? C为钝角时,? ? C ? 900.故可得 c sin B ? b sin C ? 0,
1.已知三角形的两角及任一边； 2.已知三角形的两边及其一边所对的角。
集体探究学习活动三：
正弦定理有哪些方面的应用？
数学应用：
例1.在ΔABC中, A ? 30?,C ? 100?, a ? 10,
求b, c(精确到0.01)
解 :Q A ? 30 0, C ? 100 0, ? B ? 50 0
sin A sinB sinC C a B
在非直角三角形ABC中有这样的关系吗? C
b
A c
a B
正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等.
a
b
c
即
?
?
sin A sin B sin C
RTX讨论二：
正弦定理有哪些推导方法？
证法1
(1) 若直角三角形,已证得结论成立.
A
(2)若三角形是锐角三角形, 如图1,
1000
A
20?
65? E
D C
解：过点D作DE//AC交BC于E,
? ? DAC ? 20 ?,? ? ADE ? 160 ?
1000
于是，? ADB ? 360 ?? 160 ?? 65?? 135 ? 20? A
又? BAD ? 35?? 20?? 15 ?? ? ABD ? 30?
解：由正弦定理
a
b
sinA ? sinB
得 sinB ?
bsinA
16 ?
3sin30 ? ?
3
a
16
2
C
16 3 16
16
A 300
所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°
B
B
当Ｂ＝60°时 C=90° c ? 32.
当Ｂ＝120°时 C=30°
c
?
asinC sinA
? 16 .
变式: a=30, b=26, A=30°求角B，C和边c
A
C B
集体探究学习活动一：
正弦定理是什么？有哪些证明方法？
RTX讨论一：
直角三角形中边角关系有 哪些？你能总结出一个式子 吗？这个式子对所有三角形 都适用吗？
数学建构
在Rt△ABC中,各角与其对边的关系:
sin A ? a c
sin
C
?
1
?
c c
sin B ? b c
不难得到:
A
c b
abc ??
过点A作AD⊥BC于D,
B
此时有
sin B ?
AD c
, sin
C
?
AD b
b
c
所以AD=csinB=bsinC, 即
?
,
sin B sin C
c
b
图1 D
C
同理可得 a ? c ,
sin A sin C
即： a ? b ? c sin A sin B sin C
(3) 若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 过点A作AD⊥BC，交BC延长线于D,
高中数学 必修5
导入：
1.上网活动： “美丽的山河”图片搜索，感受 到自然界的美。
2.教师导语：自然界神奇美丽，要揭开其神秘 的面纱，需要借助于很多数学知识。
设点B在珠江岸边，点A在对岸那边，为了测量A、B两 点间的距离，你有何好办法呢？（给定你米尺和量器）
A C
B
设问 若将点C移到如下图所示的位置，你还能求出 A、B两点间的距离吗？
课堂练习
课本第 9页练习第 2、3题
RTX讨论六：
已知两边及夹角，怎样求 三角形面积？
数学建构 三角形面积公式：
A
SΔABC ?
1 2
absinC
?
1 bcsinA 2
?
1 acsinB 2
c ha
b
证明：∵ SΔ ABC ?
1 2
ah
a
而 ha ? AD ? c ?sinB? bsinC
B
Da
RTX讨论四：
什么叫解三角形？利用正 弦定理可以解决哪两类三角 形的问题？
数学建构
已知三角形的的某些边和角，求其他边和角的过程叫做
解三角形。
提醒：三角形是由3条边和3个角组成的，那么我们在运用 “正弦定理”解三角形时，只需知道其中几个量，就可 求出余下的几个量？有没有前提条件？
结论 正弦定理的运用条件 ：
C
∴
SΔABC
?
1 2
acsinB
?
1 2
ab sinC
同理
SΔABC ?
1 bcsinA 2
∴
SΔABC ?
1 absinC 2
?
1 bcsinA 2
?
1 acsinB 2
RTX讨论七：
正弦定理有哪些方面的应 用？
数学应用：
例3.某登山队在山脚 下A处测得山顶B的仰 角为 35?,沿倾斜角为20 0的斜坡前进1000m 后到达D处, 又测得山顶的仰角为6 5?,求山的高度BC(精确 到 1m)
A
30?
Q
a sinA
?
b sinB
?
c, sinC
B
?
b?
asinB sinA
10sin50 0 ? sin30 0
? 15.32
c
100? b
10 C
c
?
asinC sinA
?
10sin100 0 sin30 0
? 19.70
因此b, c的长分别为15.3 2和19.70
例 2 已知a=16， b= 16 3， A=30° 解三角形。
即 b ? c ,同理得 a ? c ,所以 a ? b ? c .
sinB sinC
sinA sinC sinA sinB sinC
CBiblioteka Baidu
RTX讨论三：
以上证明方法体现了一种 什么样的数学思维规律？
答 体现了由特殊到一般的 数学思维规律。
集体探究学习活动二：
1.利用正弦定理可以解决哪两类解 斜三角形的问题？ 2.在“已知两边及其中一边对角” 解三角形问题中解的情况有几种？
解：由正弦定理
a
b
sinA ? sinB
C
26
30
得 sinB ?
bsinA
?
26sin30 ? 13 ?
a
30
30
A 30 0
B
三角形中大边对大角
∵a > b ∴ A > B ,
所以Ｂ＝25.70, C=1800-A-B=124.30,
c?
asinC sinA
?
49.57
RTX讨论五：
为什么在 “已知两边及 其中一边对角”解三角形问 题中有一解、两解和无解三 种情况？
此时也有
sin B ?
AD c
且 sin（?
? C）?
AD b
?
sinC
仿(2)可得 a ? b ? c
sin A sin B sin C
B 由(1)(2)(3)知，结论成立．
A c
b
图2 C D
利用向量的数量积，产生边的长 与内角的三角函数的关系来证明.
A
c
b
B
a DC
证法 2 在? ABC中,有BC ? BA ? AC.不妨设? C
为最大角,过点A作AD ? BC于D,如图,于是
A
? ? BC ?AD ? BA ? AC ?AD ? BA?AD ? AC ?AD,
α
? ? 即0 ?| BA || AD | cos 900 ? B ? | AC || AD | cos? ,
c
B
b aD
? C为钝角时,? ? C ? 900.故可得 c sin B ? b sin C ? 0,
1.已知三角形的两角及任一边； 2.已知三角形的两边及其一边所对的角。
集体探究学习活动三：
正弦定理有哪些方面的应用？
数学应用：
例1.在ΔABC中, A ? 30?,C ? 100?, a ? 10,
求b, c(精确到0.01)
解 :Q A ? 30 0, C ? 100 0, ? B ? 50 0
sin A sinB sinC C a B
在非直角三角形ABC中有这样的关系吗? C
b
A c
a B
正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等.
a
b
c
即
?
?
sin A sin B sin C
RTX讨论二：
正弦定理有哪些推导方法？
证法1
(1) 若直角三角形,已证得结论成立.
A
(2)若三角形是锐角三角形, 如图1,