人教版数学九年级下册第二十七章相似导学案

27.1 图形的相似

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1．理解并掌握两个图形相似的概念；了解成比例线段的概念，会确定线段的比 .

2．知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等；会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算．

【重点难点】

1．相似图形的概念与成比例线段的概念；相似多边形的主要特征与识别．

2．成比例线段概念；运用相似多边形的特征进行相关的计算．

知识概览图

相似多边形的特征：对应角相等，对应边的比相等

判断两个多边形相似：对应角相等，对应边的比相等

比例线段：有四条线段，其中两条线段的比与另两条线段的比相等，称这四条线段

是比例线段

新课导引

【生活链接】如下图所示，有用同一张底片洗出的不同尺寸的照片，也有一辆汽车和它的模型，这些都给我们以形状相同的图形的形象．

【问题探究】这种形状相同的图形叫做相似图形，两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．那么相似的图形具有哪些性质呢?

教材精华

知识点1 相似图形

我们把形状相同的图形叫做相似图形．两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．例如：如图27－1所示的几组图形都是形状相同、大小不同的图形，因此这几组图形分别都是相似图形．

图形的相似

当两个图形的形状相同、大小也相同时，这两个图形也是相似图形，

它们是特殊的相似图形：全等形．例如：如图27－2所示，△ABC 与△A ′

B ′

C ′的形状相同，并且大小也相同，因此这两个三角形相似，并且这两

个三角形全等．

拓展 所谓“形状相同”，就是与图形的大小、位置无关，与摆放角度、摆放方向也无关．有些图形之间虽然只有很小的差异，但也不能认为是“形状相同”．

知识点2 比例线段

对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等，如a

c b

d =(即ab ＝bc )，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． (1)式子a

c b

d =

也可以写成a ：b =c ：d ，通常这里的a 叫做第一比例项，b 叫做第二比例项，c 叫做第三比例项，d 叫做第四比例项．

(2)有时在a c b d =

中，b ＝c ，例如：4669=，这时我们把b 叫做a ，d 的比例中项，此时b 2＝ad ． (3)在式子a

c b d

=的两边同时乘以bd ，得ad ＝cb ，在与比例有关的计算中，我们常通过上述变形转化字母之间的关系．

拓展 通常情况下，四条线段a ，b ，c ，d 的单位应该一致，但有时为了计算方便，a ，b 的单位一致，c ，d 的单位一致也可以．

知识点3 相似多边形 对应边成比例，对应角相等的两个多边形叫做相似多边形．

拓展 在多边形中，只有当“对应边成比例”、“对应角相等”这两个条件同时成立时，才能说明两个多边形是相似多边形．

知识点4 相似多边形的性质

相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．

例如：若△ABC 与△A ′B ′C ′相似，则∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，∠C ＝∠C ′，AB AC BC A B A C B C

==''''''. 拓展 如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似．

知识点5 相似比

相似多边形对应边的比称为相似比．

拓展相似多边形面积的比等于相似比的平方．

规律方法小结 (1)相似的两个图形之间大小、方向、位置可以相同，也可以不同，但它们的形状必须相同．如：两张大小不同的世界地图或中国地图；两面大小不同的中国国旗；同一底片、尺寸不同的两张照片．有些图形之间很相像，但不相似，如：哈哈镜中人的形象与本人不相似；农历十五晚上的月亮与十六晚上的月亮虽然很相像，但并不相似．

(2)学习本节知识时要充分运用转化思想，即把求证的线段之间的关系转化为易证、易求的线段间的另一种关系，同时，对于给出两条线段的比而没有指明两条线段的大小关系时，要分类讨论．探究交流当相似比为1时，相似的两个图形之间有什么关系?

点拨相似比为1的两个图形是全等形．

课堂检测

基本概念题

1、下列多边形中，一定相似的是 ( )

A．两个矩形 B．两个菱形

C．两个正方形 D．两个平行四边形

2、下列命题中，正确的是 ( )

A．相似多边形是全等多边形 B．不全等的多边形不是相似多边形

C．全等多边形是相似多边形 D．不相似的多边形可能是全等多边形

3、如果线段a是线段b、线段c的比例中项，b＝3，c＝12，那么线段a的长是多少?

基础知识应用题

4、如果两地的实际距离为750m，图上距离为5 cm,那么这张图的比例尺是多少?

5、已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，且AB：BC：CD：DA＝20：15：9：8，四边形A′B′C′D′的周长为26，求四边形A′B′C′D，的各边长．

综合应用题

6、等腰梯形ABCD与等腰梯形A′B′C′D′，相似，AD＝BC，∠A＝65°，AB＝8 cm，A′B′＝6 cm，AD＝5 cm，求A′D′的长及梯形A′B′C′D′各内角的度数．

7、已知相同时刻的物高与影长成比例，如果高为1.5 m的竹竿的影长为2.5 m，那么影长为30 m的旗杆的高度为 ( )

A．20 m B．16 m

C．18 m D．15 m

探索与创新题

8、已知线段AB＝8，C为线段AB的黄金分割点，求AC:BC的值．