3-4保守力与非保守力

一、 万有引力、重力、弹性力作功的特点

1 万有引力作功

如上图所示，有两个质量为m m ' 和的质点，其中质点m ' 固定不动。取m ' 的位置为坐标原点，A 、B 两点对m ' 的距离分别为m

r r B A , 和经任一路径由点A 运动到点B ，万有引力作的功

为

)1

1(

A B r r m m G W -'= （3-10）

上式表明，当质点的质量m m ' 和均给定时，万有引力作的功只取决于质点m 的起始和终了的

位置，而与所经过的路径无关。这是万有引力作功的一个重要特点。

扩充内容：计算万有引力作的功

设在某一时刻质点m 距质点m '的距离为r ，其位矢为r ，这时质点m 受到质点m '的万有引力为

r

2

e F r m

m G

'-=

r

e 为沿位矢r 的单位矢量，当m 沿路径移动位移元r d 时，万有引力作的功为

r e r F d d d r 2⋅'-=⋅=r m

m G

W

从图可以看出

r

d cos d cos d d r r ===⋅θθr r

e r e

于是，上式为

r r m

m G

W d d 2

'-=

所以，质点m 从点A 沿任一路径到达点B 的过程中，万有引力作的功为

⎰⎰

'-==B

A

r r B

A

r r m m G W W 2d 1d

即

2 重力作功

如右图所示，一个质量为m 的质点，在重力作用下从点A 沿ACB 路径至点B ，点A 和点B 距地面的高度分别为

2

1 y y 和，计算重力作功为

()

12mgy mgy W --= （3-11）

上式表明，重力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与所经过的路径无关，这是重力作功的一个重要特点。

扩充内容： 计算重力作的功

因为质点运动的路径为一曲线，所以重力和质点运动方向之间的夹角是不断变化的。我们把路径ACB 分成许多位移元，在位移元r d 中，重力P 所作的功为

r P d d ⋅=W

若质点在平面内运动，按图所选坐标，并取地面上某一点为坐标原点O ，有

j

i r y x d d d +=

且

j

P mg -=。于是，前式为

y

mg y x mg W d )d d ( d -=+⋅-=j i j

质点由点A 移至点B 的过程中，重力作的总功为

)

(d 12 2

1

y y mg y mg W y y --=-=⎰

即

)

(12mgy mgy W --=

3 弹性力作功

下图所示是一放置在光滑平面上的弹簧，弹簧的一端固定，另一端与一质量为m 的物体相连接。当弹簧在水平方向不受外力作用时，它将不发生形变，此时物体位于点O （即位于0

=x

处），这个位置叫做平衡位置。现以平衡位置O 为坐标原点，向右为Ox 轴正向。弹簧伸长量由1

x 变到

2

x 时，计算弹性力对物体的作的功为

)

2121(2

122kx kx W --= （3-12）

式中k 为弹簧的劲度系数。

从式（3-12）可以看出，对在弹性限度内具有给定劲度系数的弹簧来说，弹性力作的功只由弹簧起始和终了的位置（

1

x 和

2

x ）决定，而与弹性形变的过程无关。

扩充内容： 计算弹性力对物体所作的功

若物体受到沿Ox 轴正向的外力F '作用，弹簧将沿Ox 轴正向被拉长，弹簧的伸长量即其位移为x 。根据胡克定律，在弹性限度内，弹簧的弹性力F 与弹簧的伸长量x 之间的关系为

i F kx -=

式中k 称为弹簧的劲度系数。在弹簧被拉长的过程中，弹性力是变力。但弹簧位移为x d 时的弹性力F 可近似看成是不变的。于是，弹簧位移为x d 时，弹性力作的元功为

i i i i x F ⋅-=⋅-=⋅=x kx x kx W d d d d

有

x kx W d d -=

这样，弹簧的伸长量由21 x x 变到时，弹性力所作的功就等于各个元功之和。由积分计算可得

⎰⎰-==2

1

d d x x x

x k W W

二、 保守力与非保守力 保守力作功的数学表达式

从上述对重力、万有引力和弹性力作功的讨论中可以看出，它们所作的功只与物体（或弹簧）的始、末位置有关，而与路径无关。这是它们作功的一个共同特点。我们把具有这种特点的力叫做保守力。除了上面所讲的重力、万有引力和弹性力是保守力外，电荷间相互作用的库仑力和原子间相互作用的分子力也是保守力（参阅第6-1节和第7-5节）。

保守力作功与路径无关的特性还可以用另一种方式来表示：物体沿任意闭合路径运动一周时，保守力对它作功为零，即

⎰=⋅=0

d r F W （3-13）

式（3-13）是反映保守力作功特点的数学表达式。

然而，在物理学中并非所有的力都具有作功与路径无关这一特点，例如常见的摩擦力，它所作的功就与路径有关，路径越长，摩擦力作的功也越大。显然，摩擦力就不具有保守力作功的特点。我们把这种作功与路径有关的力叫做非保守力。

三、势能

1 从上面关于万有引力、重力和弹性力作功的讨论中，我们知道这些保守力作功均只与物体的始末位置有关，为此，可以引入势能概念。我们把与物体位置有关的能量称作物体的势能，用符号

P

E 表示。于是，三种势能分别为

重力势能

mgy

E =P

引力势能

r m

m G E '-=P （3-14）

弹性势能

2P 21kx E =