第一章 利息理论基础

= 1046.50
利息的度量（四）变利息
什么是变利息？ 常见的变利息情况
连续变化场合：函数利息力 δ (t )
a (t ) = exp{∫ δ ( s )ds}
离散变化场合： i , L , i ( d , L , d ) 1 t 1 t
0
t
a (t ) = ∏ (1 + ik ) = ∏ (1 − d k ) −1
利息的度量（五）利息等价式
初始值 利息 积累值
1
i
d
1+ i
1
v
− v = 1 − d =（ + i）1 = e −δ 1
（ + i）= ( − d ) −1 = e δ 1 1
利息的度量（五）利息等价式
⇒i = d (1.1.7) P 5 1− d i ⇒d = 1+ i ⇒ i − id = d
第N期实质利率
in = I (n) A ( n − 1)
期初计息——贴现率
第N期实质贴现率
d
n
=
I (n ) A (n )
例1.1.1实质利率/贴现率
某人存1000元进入银行，第1年末存款余额 为1020元，第2年存款余额为1050元，求 i1、i2、d1、d 2 分别等于多少？
例1.1.1答案
= 1+ n
2、δ = ln(1 + i ) = ln1.08 = 7.7% 3、A (8) = 500e 8δ
补充:
利息问题求解原则
一、利息问题求解四要素
原始投资本金 投资时期长度 利率及计息方式
期初/期末计息：利率/贴现率 积累方式：单利计息、复利计息 利息转换时期：实质利率、名义利率、利息效 力
k =1 k =1
t
t
如何理解（1.3.7a）和（1.3.7b）（1.3.7c）
a (t ) = e
∫ δ (s )ds
0
t
= e ∫0
1
δ1ds
e ∫1
2
δ 2ds
∫t −1δs ds Le
t
= e δ1e δ 2 Le δt
in = a (n ) − a ( n − 1) = e δn − 1 a (n − 1)
−1 m −m
例1.3.3和1.3.4
1、如果 t = 1 ，试确定1在n年末的积累值。 δ 1+ t 2、已知年度实际利率为8%，求等价的利息 强度。 3、一笔业务按利息强度6%计息，求投资 500元经8年的累积值。
例1.3.3和1.3.4
1、e 0 ∫ 1+t dt
n
1
=e
ln(1+t )
n 0
5
( 1 + 5 × 2 %)
= 5500
= 5520
( 3 ) 2 % 单贴现计息 5000 = 5556 1 − 5 × 2% ( 4 ) 2 % 复贴现计息 5000 = 5531 A (5 ) = （ 1 − 2 % ）5
利息的度量三——利息转换频率不同
实质利率：以一年为一个利息转换期，该利率记 为实质利率，记为 i 。 名义利率：在一年里有m个利息转换期，假如每 (m) 一期的利率为j，记 i 为 这一年的名义利 率，( m ) = mj 。 i 利息力：假如连续计息，那么在任意时刻t的瞬 间利率叫作利息力，记为 δ t。 实质贴现率和名义贴现率的定义与实质利率、名 义利率类似。
in = a (n ) − a ( n − 1) = e δ −1 a (n − 1)
t k =1
a (t ) = ∏ (1 + i k ) =(1 + i ) n = e nδ
如何理解（1.3.9）
a (n ) = (1 + i ) n = e 0
1 2
∫ δ ( s )ds
n
n
∫0 δ (S )ds e ∫1 δ (S )ds Le ∫n −1δ (S )ds =e ≠ e δ1e δ 2 Le δt
例1.1.2
某人存5000元进入银行，若银行分别以2% 的单利计息、复利计息、单贴现计息、复 贴现计息，问此人第5年末分别能得到多少 积累值？
解：
( 1 ) 2 % 单利计息 A ( 5 ) = 5000 ( 2 ) 2 % 复利计息 A ( 5 ) = 5000 A (5 ) = ( 1 + 2 %)
单贴现
a d
−1
复贴现
a d
−1
( t ) = 1 − dt = d 1 − ( n − 1) d
( t ) = (1 − d ) t = d
n
n
单复利计息之间的相关关系
单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒 定。 单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保 持恒定。 t ≤ 1 时，相同单复利场合，单利计息比复利计息 产生更大的积累值。所以短期业务一般单利计息。 t ≥ 1 时，相同单复利场合，复利计息比单利计息 产生更大的积累值。所以长期业务一般复利计息。
第一章汉英名词对照
积累值 现实值 实质利率 单利 复利 名义利率 贴现率 利息效力 Accumulated value Present value Effective annual rate Simple interest Compound interest Nominal interest Discount rate Force of interest
d (4) 1− 4
4
(m )
d (4) 1− 4
3
d (4) 1− 4
2
1−
d
(4)
4
1 1
1− d
d
例1.2.1
求与实际利率8%等价的每年计息2次的年名 义利率以及每年计息4次的年名义贴现率。
例1.2.1答案
(2) 1、 1 + i = 1 + i = 1 + 8% ⇒ i (2) = 7.85% 2
答案
（1） 4000（1 + j ) 3 × 4 = 5700 ⇒ j = 3 %
i ( 4 ) = 4 j = 12 %
（2）
3000 (1 + i ) 4 + 6000 (1 + i ) 2 = 15000 ⇒ (1 + i ) 2 = − 1 ± 由 (1 + i ) 2 = − 1 + 6 ( 舍去负根 ) 6
答案
以第7年末为时间参照点，有
1.066 + 4 ×1.06 4 + x 1.06 = 10 ⇒ x = 3.7435千元
以第8年末为时间参照点，有
1.067 + 4 ×1.065 + x = 10 ×1.06 ⇒ x = 3.7435千元
以其他时刻为时间参照点（同学们自己练 习）
求利率
（1）某人现在投资4000元，3年后积累到 5700元，问季度计息的名义利率等于多少？ （2）某人现在投资3000元，2年后再投资 6000元，这两笔钱在4年末积累到15000元， 问实质利率=？
a (t )
a−1(t)
0
K------------------------------ A(t ) -----------------------------1
贴现函数 第N期利息
a−1(t)
t
I ( n ) = A ( n ) − A ( n − 1)
I ( n)
利息度量一——计息时刻不同
期末计息——利率
名义利率
(m ) 名义利率 i (m ) m i 1+ = 1+ i m
1 1
i (4) 1+ 4
i (4) 1+ 4
2
i (4) 1+ 4
3
i (4) 1+ 4
4
i
1+ i
名义贴现率
名义贴现率 d (m) m d 1− = 1− d m
=
i1 = d i2 d
2 1
I1 A (0 ) I1 = A (1 ) I 2 = A (1 ) I 2 = A (2 )
利息度量二——积累方式不同
线形积累
单利
in a ( t ) = 1 + it i = 1 + ( n − 1)i
指数积累
复利
a ( t ) = (1 + i ) t in = i
保险精算学
寿险精算的课程结构
基础
利息理论基础 生命表基础
核心
保费计算 责任准备金计算 多重损失模型 保单的现金价值与红利
拓展
特殊年金与保险 寿险定价与负债评估 偿付能力与监管
第一章 利息的基本概念
1.1 实际利率和实际贴现率 1.2 名义利率和名义贴现率 1.3 利息强度
利息度量要点
利息的度量(一)计息时刻不同 利息的度量(二)利息累积方式不同 利息的度量(三)计息频率不同 利息的度量(四)变利率 利息的度量(五)利率等价式
⇒ d (1 + i ) = i ⇒ i − d = id
利息的度量（五）利息等价式
d (m ) i (m ) −1 δ ⇒ 1 + = 1 + i = e = (1 − d ) = 1 − m m (1.2.7) P 8, (1.3.13) i (m ) d (m ) ⇒ 1 + = 1 − m m i (m ) d (m ) i (m ) d (m ) * ⇒ − = m m m m
t k =1
a (t ) = ∏ (1 + i k ) =(1 + i 1 )(1 + i 2 )L (1 + i t )