重庆市”九校联盟“高2019级联考数学试题含答案
2019届重庆市 九校联盟 高三12月联合考试 数学(理)试卷(PDF版含答案与详细解析)
为
C
上一点，
uuur F1Q
=
uuur QP
，O
为坐标原点，若
|PF1|＝10，则|OQ|＝
A．9 B．10 C．1 D．1 或 9
10．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若(sin B+sin C)2-sin2(B+C)＝3sin Bsin C，且 a＝2，则 △ABC 的面积的最大值是
=
x(ex
−1) + x ex −1
+1
=
x
+
x +1 有解． ex −1
令
g(x)
=
x
+
x +1 ex −1
，则
g ′( x )
=
−xex − 1 (ex − 1)2
+1=
ex(ex − x − (ex − 1)2
2)
．
设函数 h(x)＝ex-x-2，h′(x)＝ex-1＞0，所以 h(x)在(0，+∞)上单调递增．
8．为了得到 y＝-2cos 2x 的图象，只需把函数 y = 3 sin 2x − cos 2x 的图象
A．向左平移 π 个单位长度 B．向右平移 π 个单位长度
3
3
C．向左平移 π 个单位长度 D．向右平移 π 个单位长度
6
6
9．已知双曲线
C：
x2 16
−
y2 48
=
1 的左、右焦点分别为
F1，F2，P
2019 届重庆市九校联盟高三 12 月联合考试 高三数学考试（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
重庆市九校联盟2019届高三12月联合考试数学(文)试题(精品解析)
高三数学考试（文科）第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合A＝{x|3-2x＜-1}，B＝{x|x(2x-5)≤0}，则A∪B＝A. B.C. [0，+∞)D.【答案】C【解析】【分析】解不等式化简集合，利用一元二次不等式的解法化简集合，然后利用并集的定义求解即可.【详解】，，，故选C.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.2.若复数满足，则的虚部为( )A. B. C. 1 D. -1【答案】D【解析】【分析】由复数的除法运算化简即可得解.【详解】由，可得.z的虚部为-1，故选D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，属于基础题.3.函数的图象大致是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用排除法，由排除选项；由排除选项，从而可得结果.【详解】，，排除选项；，排除选项，故选C.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.4.已知平面向量满足，且，则向量的夹角为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，结合可得，利用平面向量的数量积公式可得结果. 【详解】，，所以，可得，即，，设两向量夹角为，则，，，即为，故选A.【点睛】本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.5.已知函数f(x)为R上的奇函数，当x＜0时，，则xf(x)≥0的解集为( )A. [-1，0)∪[1，+∞)B. (-∞，-1]∪[1，+∞)C. [-1，0]∪[1，+∞)D. (-∞，-1]∪{0}∪[1，+∞)【答案】D【解析】【分析】由时，，可得在上递增，利用奇偶性可得在上递增，再求得，分类讨论，将不等式转化为不等式组求解即可.【详解】时，，，且在上递增，又是定义在上的奇函数，，且在上递增，等价于或或，解得或或，即解集为，故选D.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.6.设x，y满足约束条件则z＝4x+y的最小值为( )A. -3B. -5C. -14D. -16【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出表示的可行域，如图，由可得，可得，将变形为，平移直线，由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最小，最小值为，故选C.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7.某几何体的三视图如图所示（其中俯视图中的曲线是圆弧），则该几何体的表面积为A. 4π+6B. 6π+6C. 4π+3D. 6π+3【答案】A【解析】【分析】由三视图可知，该几何体为半个圆柱，圆柱的底面半圆的半径为1，半圆柱高为3，算出各表面的面积即可得结果.【详解】由三视图可知，该几何体为半个圆柱，圆柱的底面半圆的半径为1，半圆柱高为3，其表面积有四部分组成，上、下底面半圆面积为，轴截面矩形面积为，圆柱侧面积的一半为，几何体表面积为，故选A.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.8.为了得到y＝−2cos 2x的图象，只需把函数的图象( )A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】逆用两角和的余弦公式，得=，再分析两个函数图象的变换.【详解】因为，要得到函数，只需将的图象向右平移个单位长度即可．故选D.【点睛】本题考查了三角函数的图象与变换，考查了两角和的余弦公式的应用；解决三角函数图象的变换问题，首先要把变换前后的两个函数化为同名函数.9.已知双曲线的左、右焦点分别为，，为上一点，，为坐标原点，若，则A. 10B. 9C. 1D. 1或9【答案】B【解析】【分析】连接，利用，可得是三角形的中位线,由，结合双曲线的定义可得，从而可求得的大小.【详解】连接，因为，所以是三角形的中位线，，由可得，，或，又因为，所以，，故选B.【点睛】本题主要考查双曲线的定义与简单性质、平面向量的线性运算，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.10.如图，△ABC和△DEF均为等边三角形，AF＝BD＝CE，DF＝2AF＝20 cm，若在△ABC中随机投入260粒芝麻，则落在△DEF外的芝麻粒数约为A. 100B. 130C. 150D. 180【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理求出的值，从而可得两个正三角形的面积比，得到豆粒落在小正三角形内的概率，从而可得豆粒落在小三角形内的个数，再作差即可得结果.【详解】，为正三角形，，，，即芝麻粒落在内的概率为，粒芝麻落在内的有粒，落在外的有（粒），故选D.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型的应用，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.11.的内角的对边分别为，若，且，则的面积的最大值是（）A. B. C. D. 4【答案】B【解析】【分析】由，根据三角形内角和定理，结合诱导公式可得，再由正弦定理可得，从而由余弦定理求得，再利用基本不等式可得，由三角形面积公式可得结果.【详解】，且，，由正弦定理可得，由余弦定理可得，，又，即，，即最大面积为，故选B.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及基本不等式的应用，属于难题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.12.设0＜m ≤2，已知函数，对于任意x 1，x 2∈[m -2，m ]，都有|f (x 1)-f (x 2)|≤1，则实数m 的取值范围为A. B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】 设,函数，对于任意，都有，等价于在上，，利用导数判断函数在为减函数，由，解不等式可得结果.【详解】设,函数，对于任意，都有，等价于在上，，求导时，在为减函数， 因为，，在上为减函数，，，，得或，又，即实数的范围是，故选B.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值，以及转化与划归思想的应用，属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.解答本题的关键是将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题.第Ⅱ卷二、填空题：把答案填在答题卡中的横线上．13.已知函数，则____．【答案】【解析】【分析】利用分段函数的解析式先求出，从而可得的值.【详解】，且，，，故答案为.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰. 当出现的形式时，应从内到外依次求值．14.已知，，则cos 2α＝____．【答案】【解析】【分析】由，，求得，再利用二倍角的余弦公式可得结果.【详解】，①，②①-②得，，故答案为.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．15.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知四边形ABCD是直角梯形，∠BAD＝90°，AB∥CD，AB＝AD＝AA1＝1，CD＝2，E为BB1的中点，则直线AD与直线CE所成角的正切值为____．【答案】【解析】【分析】设为中点，为中点，可得是平行四边形，，又有，由此是和所成角，先证明平面，，利用直角三角形的性质可得结果.【详解】如图，为中点，为中点，连结，则，可得是平行四边形，，又有，是和所成角，由直棱柱的性质可得，由已知可得，所以平面，可得平面，因为平面，所以，，，故答案为.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.16.点在椭圆上，的右焦点为，点在圆上，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】先求得椭圆的值，求得圆的圆心和半径.设左焦点为将所求的最小值，转化为来求解.当四点共线时，取得最小值，利用两点间的距离公式来求得这个最小值.【详解】依题意可知，椭圆的，设左焦点为.圆的方程配方得，故圆心为，半径为.根据椭圆的定义有：，故当时，上式取得最小值，即，即最小值为.【点睛】本小题主要考查椭圆的定义以及几何性质，考查圆的一般方程化为标准方程，考查与椭圆和圆有关的距离的最小值的求法，考查了化归与转化的数学思想方法.属于中档题.根据椭圆的定义，椭圆上的点到两个焦点的距离之和是常数，这个是本题中转化的关键.圆的方程化为标准方程主要是通过配方法.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题17.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝3，a n+1＝2S n+3(n∈N*)．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log3a n，若数列的前n项和为T n，证明：T n＜1．【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）由，可得，两式相减得，即，为从第2项开始的等比数列，求得，验证首项是否适合即可得结果；（2）由（1）知，可得，利用裂项相消法求出，再由放缩法可得结果.【详解】（1）因为a n+1＝2S n+3，①a n＝2S n-1+3．②①-②得a n+1-a n＝2a n，即a n+1＝3a n(n≥2)，所以{a n}为从第2项开始的等比数列，且公比q＝3，又a1＝3，所以a2＝9，所以数列{a n}的通项公式a n＝3n(n≥2)．当n＝1时，a1＝3满足上式，所以数列{a n}的通项公式为a n＝3n．（2）由（1）知b n＝log3a n＝log33n＝n，所以，所以得证．【点睛】本题主要考查等比数列的定义与通项公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.2018年4月全国青少年足球超级联赛火爆开启，这是体育与教育的强强联手，这是培养足球运动员的黄金摇篮，也是全国青少年足球的盛宴．组委会在某场联赛结束后，随机抽取了300名观众进行对足球“喜爱度”的调查评分，将得到的分数分成6段：[64，70)，[70，76)，[76，82)，[82，88)，[88，94)，[94，100]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值并估计这300名观众评分的中位数；（2）若评分在“88分及以上”确定为“足球迷”，现从“足球迷”中按区间[88，94)与[94，100]两部分按分层抽样抽取5人，然后再从中任意选取两人作进一步的访谈，求这两人中至少有1人的评分在区间[94，100]的概率．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据所有小矩形的面积和为1，列方程求解可得，利用直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数；（2）列举出从5人中选取2人作进一步的访谈的所有事件共有10个，以及这两人中至少有1人的评分在区间的基本事件有7个，利用古典概型概率公式可得结果.【详解】（1）因为(a+0.025+0.035+0.050+0.030+0.020)×6＝1，所以．设y为观众评分的中位数，由前三组的概率和为0.40，前四组的概率和为0.70，知82＜y＜88，所以0.4+(y-82)×0.05＝0.5，则y＝84．（2）以样本的频率作为概率，评分在“88分及以上”确定为“足球迷”，现从“足球迷”中按分层抽样抽取5人，则从评分在区间[88，94)的“足球迷”中抽取3人，记为A，B，C，从评分在区间[94，100]的“足球迷”中抽取2人，记为a，b．从5人中选取2人作进一步的访谈的所有事件为AB，AC，BC，Aa，Ba，Ca，Ab，Bb，Cb，ab，共10个基本事件，这两人中至少有1人的评分在区间[94，100]的基本事件有Aa，Ba，Ca，Ab，Bb，Cb，ab，共7个基本事件，则选取的2人中至少有1人的评分在区间[94，100]上的概率．【点睛】本题主要考查直方图与古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有(1) 枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2) 树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.19.如图，在五面体ABCDFE中，底面ABCD为矩形，EF∥AB，BC⊥FD，过BC的平面交棱FD于P，交棱FA于Q．（1）证明：PQ∥平面ABCD；（2）若CD⊥BE，EF＝EC＝1，，求五面体ABCDFE的体积．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得，由线面平行的判定定理可得平面，再由线面平行的性质定理可得，进而可得结果；（2）由，证明平面，可得，由，证明平面，可得，即，两两垂直，利用分割法，根据锥体的体积公式，从而可得结果.【详解】（1）因为底面ABCD为矩形，所以AD∥BC．，，．（2）由CD⊥BE，CD⊥CB，易证CD⊥CE，由BC⊥CD，BC⊥FD，易证BC⊥平面CDFE，所以CB⊥CE，即CD，CE，CB两两垂直．连接FB，FC，则CD＝2，BC＝3，，，．【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，以及几何体体积的求解，属于中档题. 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：（1）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解；(2)求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解；(3)求以三视图为背景的几何体的体积时应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解. 20.已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F且与x轴垂直的直线交该抛物线于A，B两点，|AB|＝4．（1）求抛物线的方程；（2）过点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若△OPQ的面积为4，求直线l的斜率（其中O为坐标原点）．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义以及抛物线通径的性质可得，从而可得结果；（2）设直线的方程为，代入，得，利用弦长公式，结合韦达定理可得的值，由点到直线的距离公式，根据三角形面积公式可得，从而可得结果.【详解】（1）由抛物线的定义得到准线的距离都是p，所以|AB|＝2p＝4，所以抛物线的方程为y2＝4x．（2）设直线l的方程为y＝k(x-1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．因为直线l与抛物线有两个交点，所以k≠0，得，代入y2＝4x，得，且恒成立，则，y1y2＝-4，所以．又点O到直线l的距离，所以，解得，即．【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系的相关问题，意在考查综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．21.设函数.（1）求的单调区间；（2）若对于任意，都有，求的取值范围.【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是 (2)【解析】【分析】（1）对函数求导，由导函数的正负得到原函数的单调区间；（2）由第一问确定出函数在给定区间上的单调性，之后将任意的，恒成立转化为，即，再构造新函数，求导得到其单调性，结合其性质，求得最后的结果.【详解】（1）因为，所以，所以当时，；当时，．所以的单调递减区间是，单调递增区间是．（2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，故在处取得最小值，且．所以对于任意的，的充要条件为，即①设函数，则．当时，；当时，，故在上单调递减，在上单调递增．又，，，所以当时，，即①式成立，综上所述，的取值范围是．【点睛】该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，应用导数研究恒成立问题对应的参数的取值范围，在解题的过程中，需要正确理解题意，对问题正确转化，构造相应的新函数来解决问题.（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．M是曲线上的动点，将线段OM绕O 点顺时针旋转得到线段ON，设点N的轨迹为曲线．以坐标原点O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线的极坐标方程；（2）在（1）的条件下，若射线与曲线分别交于A, B两点（除极点外），且有定点，求的面积．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）将曲线C1的参数方程转化为普通方程，然后由普通方程转化为极坐标方程；再用N表示出M,根据点M在曲线C1上，采用相关点法，求轨迹C2的极坐标方程；（2）根据已知条件，求得，通过求解.【详解】（1）由题设，得的直角坐标方程为，即，故的极坐标方程为，即．设点，则由已知得，代入的极坐标方程得，即．（2）将代入的极坐标方程得，又因为，所以，，所以．【点睛】本题考查了极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查了点的极坐标以及极坐标与直角坐标的关系，涉及了三角函数的诱导公式和三角形的面积公式，考查了推理论证能力、运算求解能力，以及化归与转化思想.23.已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）对于任意的实数，存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围。
2018-2019学年重庆市九校联盟高三(上)12月联考数学试卷(文科)
2018-2019学年重庆市九校联盟高三（上）12月联考数学试卷（文科）一、选择题：(共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若集合A＝{x|3﹣2x＜﹣1}，B＝{x|x（2x﹣5）≤0}，则A∪B＝（）A．B．C．[0，+∞）D．2．（5分）若复数z满足（2+i）z＝3﹣i，则z的虚部为（）A．i B．﹣i C．1D．﹣13．（5分）函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．（5分）已知平面向量，满足||＝2，||＝1，且（4﹣）•（+3）＝2，则向量，的夹角θ为（）A．B．C．D．5．（5分）已知函数f（x）为R上的奇函数，当x＜0时，，则xf（x）≥0的解集为（）A．[﹣1，0）∪[1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．[﹣1，0]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪{0}∪[1，+∞）6．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝4x+y的最小值为（）A．﹣3B．﹣5C．﹣14D．﹣167．（5分）某几何体的三视图如图所示（其中俯视图中的曲线是圆弧），则该几何体的表面积为（）A．4π+6B．6π+6C．4π+3D．6π+38．（5分）为了得到y＝﹣2cos 2x的图象，只需把函数y＝sin 2x﹣cos2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．（5分）已知双曲线C：﹣＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上一点，＝，O为坐标原点，若|PF1|＝10，则|OQ|＝（）A．10B．1或9C．1D．910．（5分）如图，△ABC和△DEF均为等边三角形，AF＝BD＝CE，DF＝2AF＝20cm，若在△ABC中随机投入260粒芝麻，则落在△DEF外的芝麻粒数约为（）A．100B．130C．150D．18011．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若（sin B+sin C）2﹣sin2（B+C）＝3sin B sin C，且a＝2，则△ABC的面积的最大值是（）A．B．C．D．412．（5分）设0＜m≤2，已知函数，对于任意x1，x2∈[m﹣2，m]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：（共4个小题，每小题5分，共20分。
重庆市九校联盟2019届高三12月联合考试 数学(理)(含答案)
A．(1，2] B．
C．[0，1) D．(1，+∞)
【答案】B 【解析】解不等式得集合 A,B，利用集合的交集定义求解即可. 【详解】
由集合
，
所以
.
故选 B. 【点睛】 本题考查了集合的交集运算，属于基础题. 2．若复数 z 满足(2+i)z＝3-i，则 z 的虚部为( ) A．i B．-i C．1 D．-1 【答案】D 【解析】由复数的除法运算化简即可得解. 【详解】
重庆市九校联盟 2019 届高三 12 月联合考试
数学（理）试题
一、单选题 1．若集合 A＝{x|3-2x＜1}，B＝{x|4x-3x2≥0}，则 A∩B＝( )
A．(1，2]
B．
C．[0，1)
2．若复数 z 满足(2+i)z＝3-i，则 z 的虚部为( )
A．i
B．-i
C．1
3．已知
，
，则 cos 2α＝( )
B．(-∞，-1]∪[1，+∞) D．(-∞，-1]∪{0}∪[1，+∞)
·1·
7．设 x，y 满足约束条件
则 z＝4x+y 的最小值为( )
A．-3
B．-5
8．为了得到 y＝-2cos 2x 的图象，只需把函数
C．-14
D．-16 的图象( )
A．向左平移 个单位长度
B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度
（2）在（1）的条件下，若射线 求 的面积.
与曲线 ， 分别交于 两点（除极点外），且有定点 ，
23．已知函数
.
（1）当 时，求不等式
的解集；
（2）对于任意的实数 ，存在实数 ，使得不等式
重庆市九校联盟2019年12月高三数学考试(文科)试题
重庆市九校联盟 高三数学考试（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若集合{|03}A x x =<<，{|1}B x x =≤，则AB =A.(,1]-∞B.(,3)-∞C.(0,1]D.(1,3)2.1312ii-+的实部为 A.-1B.1C.-2D.23.设函数3,0()2(),0x x f x g x x -<⎧=⎨>⎩，若()f x 是奇函数，则(1)g =A.-4B.-2C.2D.44.某地有两个国家AAAA 级旅游景区——甲景区和乙景区.相关部门统计了这两个景区2019年1月至6月的月客流量（单位：百人），得到如图所示的茎叶图.关于2019年1月至6月这两个景区的月客流量，以下结论错误．．的是A.甲景区月客流量的中位数为12950人B.乙景区月客流量的中位数为12450人C.甲景区月客流量的极差为3200人D.乙景区月客流量的极差为3100人 5.若tan 4α=，sin 2cos ββ=，则tan()a β+=A.92-B.6C.67-D.236.某人午觉醒来，发现手机没电自动关机了，他打开收音机，想听电台准点报时，则他等待的时间不少于20分钟的概率为A.13B.12C.23D.347.执行右边的程序框图，若输入的x 的值为5，则输出的n 的值为A.2B.3C.4D.58.已知M 是抛物线2:2C y px =(0)p >上一点，F 是C 的焦点，过M 作C 的准线的垂线，垂足为N ，若120MFO ︒∠=（O 为坐标原点），MNF 的周长为12，则||NF =A.4C.D.59.最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，我国的《九章算术》也有记载。
所以，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理。
现有ABC 满足“勾3股4弦5”，如图所示，其中4AB =，D 为弦BC 上一点（不含端点），且ABD 满足勾股定理，则()CB CA AD -⋅=A.25144B.14425C.16925D.2516910.已知命题p ：在ABC 中，若A B >，则cos cos 0A B +>，命题q ：在等比数列{}n a 中，若2616a a =，则44a =.下列命题是真命题的是 A.()p q ∧⌝B.()p q ⌝∨C.()()p q ⌝∧⌝D.p q ∧11.已知函数27()2sin 4126f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的图象的对称中心为A.,0424k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭()k ∈ZB.,048k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭()k ∈ZC.424k ππ⎛+⎝()k ∈ZD.48k ππ⎛+⎝()k ∈Z 12.若函数()22()log 24a f x x ax a =-++（0a >，且1a ≠）有最大值，且最大值不小于-1，则a 的取值范围为A.10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C.11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.10,(1,)4⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.不等式组020220y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，表示的可行域的面积为________.14.若等差数列{}n a 的前10项和为100，且35a =，则12a =________. 15.若函数()xf x e mx =-在[2,0]-上为减函数，则m 的取值范围为________.16.过双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且有0FA FB +=，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.（12分）在等比数列{}n a 中，125a a +=，且2320a a +=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{3n a 的前n 项和n S .18.（12分）设a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C的对边。
重庆市九校联盟2019年12月高三数学考试(文科)试题( word版含解析)
重庆市九校联盟高三数学考试（文科）考生注意：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容（除立体几何）。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{|03}A x x =<<，{|1}B x x =≤，则AB = A.(,1]-∞B.(,3)-∞C.(0,1]D.(1,3) 2.1312i i-+的实部为 A.-1 B.1 C.-2 D.23.设函数3,0()2(),0x x f x g x x -<⎧=⎨>⎩，若()f x 是奇函数，则(1)g = A.-4 B.-2 C.2 D.44.某地有两个国家AAAA 级旅游景区——甲景区和乙景区.相关部门统计了这两个景区2019年1月至6月的月客流量（单位：百人），得到如图所示的茎叶图.关于2019年1月至6月这两个景区的月客流量，以下结论错误．．的是A.甲景区月客流量的中位数为12950人B.乙景区月客流量的中位数为12450人C.甲景区月客流量的极差为3200人D.乙景区月客流量的极差为3100人5.若tan 4α=，sin 2cos ββ=，则tan()a β+= A.92- B.6 C.67- D.236.某人午觉醒来，发现手机没电自动关机了，他打开收音机，想听电台准点报时，则他等待的时间不少于20分钟的概率为A.13B.12C.23D.347.执行右边的程序框图，若输入的x 的值为5，则输出的n 的值为A.2B.3C.4D.5 8.已知M 是抛物线2:2C y px =(0)p >上一点，F 是C 的焦点，过M 作C 的准线的垂线，垂足为N ，若120MFO ︒∠=（O 为坐标原点），MNF 的周长为12，则||NF =A.4 C. D.59.最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，我国的《九章算术》也有记载。
2019-2020学年重庆市九校联盟高三(上)12月联考数学试卷(理科)
2019-2020学年重庆市九校联盟高三（上）12月联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 1−3i1+2i的实部为（）A.−2B.−1C.1D.2【答案】B【考点】复数的运算【解析】利用复数的运算法则和性质直接求解．【解答】∵1−3i1+2i =(1−3i)(1−2i)5=−5−5i5=−1−i．∴1−3i1+2i的实部为−1．2. 设集合A＝{x|(x+3)(x−2)<0}，B＝{x|−2<2x<8}，则A∪B＝（）A.{x|−1<x<2}B.{x|−3<x<8}C.{x|−3<x<2}D.{x|−3<x<4}【答案】D【考点】并集及其运算【解析】可以求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．【解答】∵A＝{x|−3<x<2}，B＝{x|−1<x<4}，∴A∪B＝{x|−3<x<4}．3. 函数f(x)=√1−lg x+lg(x−4)的定义域为（）A.(4, 10]B.(4, 10)C.(0, 4)D.[10, +∞)【答案】A【考点】函数的定义域及其求法【解析】由函数f(x)的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】由函数f(x)=√1−lg x+lg(x−4)，得{1−lg x ≥0x −4>0x >0，解得4<x ≤10；所以函数f(x)的定义域为(4, 10]．4. 某地有两个国家AAAA 级旅游景区--甲景区和乙景区．相关部门统计了这两个景区2019年1月至6月的月客流量（单位：百人），得到如图所示的茎叶图．关于2019年1月至6月这两个景区的月客流量，以下结论错误的是（ ）A.甲景区月客流量的中位数为12950人B.乙景区月客流量的中位数为12450人C.甲景区月客流量的极差为3200人D.乙景区月客流量的极差为3100人【答案】 D【考点】 茎叶图 【解析】利用茎叶图的性质直接求解． 【解答】甲景区月客流量的中位数为12950人， 乙景区月客流量的中位数为12450人．根据茎叶图的数据，可知甲景区月客流量的极差为3200人， 乙景区月客流量的极差为3000人，5. 若tan α＝4，sin β＝2cos β，则tan (a +β)＝（ ） A.−92B.6C.−67D.23【答案】 C【考点】两角和与差的三角函数 【解析】由题意先求得tan β的值，再利用两角和的正切公式，求得tan (a +β)的值． 【解答】∵ ∵ sin β＝2cos β，∴ tan β＝2， ∴ tan (α+β)=tan α+tan β1−tan α⋅tan β=2+41−2⋅4=−67，6. 执行如图的程序框图，若输入的x 的值为5，则输出的n 的值为（ ）A.2B.3C.4D.5【答案】 C【考点】 程序框图 【解析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的x ，n 的值，当x ＝13时，满足条件跳出循环，即可得解n 的值． 【解答】执行程序框图，可得(x, n)依次为：(5, 0)，(7, 1)，(9, 2)，(11, 13)，(13, 4)， ∵ 132+13>132， ∴ 输出的n 的值为4．7. 函数f(x)＝3x +4x −8的零点所在的区间为（ ） A.(0, 1) B.(1, 32)C.(32, 2)D.(2, 52)【答案】 B【考点】函数零点的判定定理 【解析】由零点存在性定理直接判断即可． 【解答】∵ f(1)=−1<0,f(32)=332+4×32−8=3√3−2>0，且f(x)为增函数， ∴ 函数f(x)的零点所在的区间为(1,32)，8. 最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，我国的《九章算术》也有记载．所以，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理．现有△ABC 满足“勾3股4弦5”，如图所示，其中AB ＝4，D 为弦BC 上一点（不含端点），且△ABD 满足勾股定理，则(CB →−CA →)⋅AD →=( )A.14425 B.25144C.16925D.25169A【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】求出AD ，然后通过向量的数量积的运算法则化简求解即可． 【解答】由等面积法可得AD =3×45=125，依题意可得，AD ⊥BC ，所以(CB →−CA →)⋅AD →=AB →⋅AD →=|AD →|2=14425．9. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝4，S 10＝10，则S 15＝（ ） A.16 B.19 C.20 D.25【答案】 B【考点】等比数列的前n 项和 【解析】由等比数列{a n }的前n 项和为S n ，得S 5，S 10−S 5，S 15−S 10成等比数列，即可得到S 15−S 10，进而得到S 15． 【解答】∵ 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，∴ S 5，S 10−S 5，S 15−S 10成等比数列， ∵ S 5＝4，S 10−S 5＝10−4＝6， ∴ S 15−S 10＝6×64=9，所以S 15＝S 10+S 15−S 10＝19，10. 已知函数f(x)=2√3cos 2(2x +7π12)−sin (4x +π6)，则f(x)的图象的对称中心为（ ） A.(kπ4+π24,0)(k ∈Z) B.(kπ4+π8,0)(k ∈Z)C.(kπ4+π24,√3)(k ∈Z) D.(kπ4+π8,√3)(k ∈Z)【答案】 D【考点】两角和与差的三角函数 余弦函数的对称性 【解析】利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据余弦函数的图象的对称性，得出结论． 【解答】因为 f(x)=√3[1+cos (4x +7π6)]−sin (4x +π6)=√3−√3cos (4x +π6)−sin (4x +π6)=ππ令4x=kπ+π2(k∈Z)，得x=kπ4+π8(k∈Z)，f(x)=√3，则f(x)的图象的对称中心为(kπ4+π8,√3)(k∈Z)，11. 已知函数f(x)＝e2x+1−e−2x−mx在R上为增函数，则m的取值范围为（）A.(−∞,4√e]B.[4√e,+∞)C.(−∞,2√e]D.[2√e,+∞)【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】由函数f(x)＝e2x+1−e−2x−mx在R上为增函数，可知f′(x)≥0在R上恒成立，然后利用分离参数法求出m的范围．【解答】∵函数f(x)＝e2x+1−e−2x−mx在R上为增函数，∴f′(x)＝2e2x+1+2e−2x−m≥0在R上恒成立，即m≤2e2x+1+2e−2x对x∈R恒成立，∵2e2x+1+2e−2x≥2√2e2x+1×2e−2x=4√e，当且仅当x=−14时取等号，∴m≤4√e．12. 函数f(x)在[0, +∞)上单调递增，且f(x)为奇函数．当x>0时，f(2x)＝2f(x)−1，且f(2)＝3，则满足−5<f(2x−7)<2的x的取值范围是（）A.(log23, 3)B.(1, log23)C.(log23, log27)D.(1, 3)【答案】A【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据题意，由特殊值法分析可得f(1)＝2和f(−4)＝−5，进而分析可得f(x)在(−∞, +∞)上单调递增，据此可得原不等式等价于−4<2x−7<1，解可得x的范围，即可得答案．【解答】根据题意，因为f(2)＝2f(1)−1＝3，所以f(1)＝2．又f(4)＝2f(2)−1＝5，所以f(−4)＝−f(4)＝−5，−5<f(2x−7)<2⇔f(−4)<f(2x−7)<f(1)．因为f(x)在[0, +∞)上单调递增，且f(x)为奇函数，所以f(x)在(−∞, +∞)上单调递增．所以f(−4)<f(2x−7)<f(1)⇔−4<2x−7<1⇔3<2x<8⇔log23<x<3．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. (√x−3)5的展开式中x2的系数为________．−15【考点】二项式定理及相关概念 【解析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于2，求出r 的值，即可求得展开式中x 2的系数． 【解答】(√x −3)5的展开式的通项公式为 T r+1=C 5r⋅(−3)r ⋅(√x)5−r ，令5−r ＝4，求得r ＝1，可得展开式中x 2的系数为C 51×(−3)=−15，某人午觉醒来，发现手机没电自动关机了，他打开收音机，想听电台准点报时，则他等待的时间不少于20分钟的概率为________． 【答案】23【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】由几何概型的求概率公式即可得出． 【解答】由几何概型的求概率公式，得他等待的时间不少于20分钟的概率为60−2060=23．现有下列四个结论，其中所有正确结论的编号是________． ①若0<x <1，则lg x +log x 10的最大值为−2；②若a ，3a −1，a −1是等差数列{a n }的前3项，则a 4＝−1； ③“2x >3”的一个必要不充分条件是“x >log 23”；④“∃x 0∈Z ，tan x 0∈Z ”的否定为“∀x ∈Z ，tan x ∉Z ”． 【答案】 ①④ 【考点】命题的真假判断与应用 【解析】利用基本不等式求最值判断①；由等差数列的性质及通项公式求解a 4判定②；由充分必要条件的判定判断③；写出特称命题的否定判断④． 【解答】若0<x <1，则lg x <0，lg x +log x 10=lg x +1lg x =−(−lg x +1−lg x )≤−2，当且仅当x =110时，等号成立，故①正确；若a ，3a −1，a −1是等差数列{a n }的前3项，则a +a −1=2(3a −1)⇒a =14，a 4=2(a −1)−(3a −1)=−54，故②不正确；∵ log 23=log 49>log 48=32，∴ x >log 23是2x >3的一个充分不必要条件，故③由特称命题的否定是全称命题，得“∃x 0∈Z ，tan x 0∈Z ”的否定为“∀x ∈Z ，tan x ∉Z ”，故④正确．∴ 所有正确结论的编号是①④．在△ABC 中，BC ＝4，sin C ＝2sin B ，则当△ABC 的面积取得最大值时，BC 边上的高为________． 【答案】83【考点】直线和圆的方程的应用 【解析】建立坐标系，求出点A 的运动轨迹，结合图象即可求得结论． 【解答】以线段BC 所在的直线为x 轴，以线段BC 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系， 则B(−2, 0)，C(2, 0)，因为sin C ＝2sin B ，所以AB ＝2AC ， 设A(x, y)，则√(x +2)2+y 2=2√(x −2)2+y 2，整理得(x −103)2+y 2=649，即A 在以E(103, 0)为圆心，半径为83的圆上；则当△ABC 面积取得最大值时，高最大，即A 到X 轴的距离最远； 此时A 的坐标为(103,±83)， 则BC 边上的高为83．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.设a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边．已知tan A =√3，b ＝2． （1）若a =2√3，求B ；（2）若a ＝2c ，求△ABC 的面积． 【答案】 因为tan A =√3，所以由A ∈(0, π)，可得A =π3．因为asin A=b sin B， 所以sin B =b sin A a =12，所以B =π6或5π6， 又b <a ， 所以B =π6；即3c2+2c−4＝0，解得c=−1+√133（负根舍去），故△ABC的面积为是12bc sin A=12×2×−1+√133×sinπ3=√39−√36．【考点】余弦定理正弦定理【解析】（1）因为由已知结合A的范围可求A的值，利用正弦定理可求sin B，进而可求B的值．（2）由余弦定理，可得3c2+2c−4＝0，解得c的值，利用三角形的面积公式即可求解．【解答】因为tan A=√3，所以由A∈(0, π)，可得A=π3．因为asin A =bsin B，所以sin B=b sin Aa =12，所以B=π6或5π6，又b<a，所以B=π6；由余弦定理，可得(2c)2=22+c2−2×c×2cosπ3，即3c2+2c−4＝0，解得c=−1+√133（负根舍去），故△ABC的面积为是12bc sin A=12×2×−1+√133×sinπ3=√39−√36．某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三（1）班到高三（5）班随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图．（1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率；（2）已知该省甲市2020届高考考生人数为4万，假设以（1）中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率．①若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率（结果精确到0.01）；②已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为可能用到的参考数据：取0.364＝0.0168，0.164＝0.0007．【答案】根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率为1×(4+6+7+8+5)＝60%；50①记“恰有8名学生达到本科线”为事件A，由题意可知，甲市每个考生本科上线的概率为0.6；则P(A)=C108×0.68×(1−0.6)2=C102×0.364×0.42＝45×0.0168×0.16≈0.12，即恰有8名学生达到本科线的概率为0.12；②甲、乙两市2020届高考本科上线人数分别记为X、Y，依题意可得，X∼B(40000, 0.6)，Y∼B(3600, p)；因为2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，所以EY≥EX，即3600p≥40000×0.6，解得p≥2；3, 1)．又0<p<1，所以p的取值范围是[23【考点】频率分布直方图【解析】（1）根据条形统计图计算本届高三学生本科上线率即可；（2）①根据n次独立重复实验恰有k次发生的概率公式，计算恰有8名学生达到本科线的概率值；②由甲、乙两市2020届高考本科上线人数分别记为X、Y，由EY≥EX列方程求出p的取值范围，从而得出结论．【解答】根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率为1×(4+6+7+8+5)＝60%；50①记“恰有8名学生达到本科线”为事件A，由题意可知，甲市每个考生本科上线的概率为0.6；则P(A)=C108×0.68×(1−0.6)2=C102×0.364×0.42＝45×0.0168×0.16≈0.12，即恰有8名学生达到本科线的概率为0.12；②甲、乙两市2020届高考本科上线人数分别记为X、Y，依题意可得，X∼B(40000, 0.6)，Y∼B(3600, p)；因为2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，所以EY≥EX，即3600p≥40000×0.6，解得p≥2；3, 1)．又0<p<1，所以p的取值范围是[23直线l1:y＝kx−2(k≠0)与坐标轴的交点为A，B，以线段AB为直径的圆C经过点D(3, 1)．（1）求圆C的标准方程；（2）若直线l2:3x+4y+3＝0与圆C交于M，N两点，求|MN|．【答案】∵ 以线段AB 为直径的圆C 经过点D(3, 1)， ∴ AD ⊥BD ，∴ AD →⋅BD →=(3, 3)⋅(3−2k, 1)＝12−6k=0，∴ k =12，∵ 圆C 的圆心为AB 的中点，其坐标为(2, −1)， 半径R =√12+22=√5，∵ 圆心C 到直线3x +4y +3＝0的距离d =|6−4+3|5=1，∴ |MN|=2√R 2−d 2=4． 【考点】直线与圆的位置关系 【解析】（1）由题意可知，AD ⊥BD ，从而可知AD →⋅BD →=0，结合向量数量积的坐标表示即可求解k ，根据直线与圆相交的性质即可求解，（2）先求圆心C 到直线3x +4y +3＝0的距离d ，然后根据|MN|=2√R 2−d 2可求． 【解答】∵ y ＝kx −2(k ≠0)与坐标轴的交点为A(0, −2)，B(2k , 0)， ∵ 以线段AB 为直径的圆C 经过点D(3, 1)， ∴ AD ⊥BD ，∴ AD →⋅BD →=(3, 3)⋅(3−2k , 1)＝12−6k =0， ∴ k =12，∵ 圆C 的圆心为AB 的中点，其坐标为(2, −1)， 半径R =√12+22=√5，∵ 圆心C 到直线3x +4y +3＝0的距离d =|6−4+3|5=1，∴ |MN|=2√R 2−d 2=4．在数列{a n }，{b n }中，a 1＝b 1＝1，a n+1＝3a n −b n −3n −1，b n+1＝3b n −a n +3n +1．等差数列{c n }的前两项依次为a 2，b 2． （1）求{c n }的通项公式；（2）求数列{(a n +b n )c n }的前n 项和S n ． 【答案】a 1＝b 1＝1，a n+1＝3a n −b n −3n −1，b n+1＝3b n −a n +3n +1，可得a 2＝3a 1−b 1−3−1＝3−1−3−1＝−2，b 2＝3b 1−a 1+3+1＝3−1+3+1＝6，则c 1＝−2，c 2＝6，等差数列{c n }的公差为6−(−2)＝8， 则c n ＝−2+8(n −1)＝8n −10；a n+1＝3a n −b n −3n −1，b n+1＝3b n −a n +3n +1， 两式相加可得a n+1+b n+1＝2(a n +b n )，则a n +b n ＝2n ，可得(a n +b n )c n ＝(8n −10)⋅2n ，则前n 项和S n ＝(−2)⋅2+6⋅4+14⋅8+...+(8n −10)⋅2n ， 2S n ＝(−2)⋅4+6⋅8+14⋅16+...+(8n −10)⋅2n+1，两式相加可得−S n ＝−4+8(4+8+...+2n )−(8n −10)⋅2n+1 ＝−4+8⋅4(1−2n−1)1−2−(8n −10)⋅2n+1，化简可得S n ＝36+(4n −9)⋅2n+2． 【考点】 数列的求和 数列递推式 【解析】（1）由已知递推式可得a 2，b 2，即有c 1，c 2，由等差数列的通项公式可得公差，进而得到所求通项公式；（2）由a n+1＝3a n −b n −3n −1，b n+1＝3b n −a n +3n +1，两式相加，结合等比数列的定义和通项公式求得a n +b n ＝2n ，可得(a n +b n )c n ＝(8n −10)⋅2n ，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和． 【解答】a 1＝b 1＝1，a n+1＝3a n −b n −3n −1，b n+1＝3b n −a n +3n +1，可得a 2＝3a 1−b 1−3−1＝3−1−3−1＝−2，b 2＝3b 1−a 1+3+1＝3−1+3+1＝6，则c 1＝−2，c 2＝6，等差数列{c n }的公差为6−(−2)＝8， 则c n ＝−2+8(n −1)＝8n −10；a n+1＝3a n −b n −3n −1，b n+1＝3b n −a n +3n +1， 两式相加可得a n+1+b n+1＝2(a n +b n )，可得{a n +b n }为首项和公比均为2的等比数列， 则a n +b n ＝2n ，可得(a n +b n )c n ＝(8n −10)⋅2n ，则前n 项和S n ＝(−2)⋅2+6⋅4+14⋅8+...+(8n −10)⋅2n ， 2S n ＝(−2)⋅4+6⋅8+14⋅16+...+(8n −10)⋅2n+1，两式相加可得−S n ＝−4+8(4+8+...+2n )−(8n −10)⋅2n+1 ＝−4+8⋅4(1−2n−1)1−2−(8n −10)⋅2n+1，化简可得S n ＝36+(4n −9)⋅2n+2．已知函数f(x)＝(x +1)[ln (x +1)+m]+n ，曲线y ＝f(x)在点（0, f(0)）处的切线方程为y ＝2x +1．（1）求m ，n 的值和f(x)的单调区间；（2）若对任意的x ∈[0, +∞)，f(x)>kx 恒成立，求整数k 的最大值． 【答案】f ′(x)＝ln (x +1)+m +1，由切线方程，知f(0)＝m +n ＝1，f ′(0)＝m +1＝2， 解得m ＝1，n ＝0．故f(x)＝(x +1)ln (x +1)+x +1，f ′(x)＝ln (x +1)+2(x >−1)， 由f ′(x)>0，得x >1e 2−1；由f ′(x)<0，得−1<x <1e 2−1．所以f(x)的单调递增区间为(1e2−1,+∞)，单调递减区间为(−1,1e2−1)．①当x＝0时，f(0)＝1>k×0＝0恒成立，则k∈R．②当x>0时，f(x)>kx恒成立等价于k<(1+1x )ln(x+1)+1x+1对(0, +∞)恒成立．令ℎ(x)=(1+1x )ln(x+1)+1x+1，ℎ(x)=x−ln(x+1)−1x2，x∈(0, +∞)．令u(x)＝x−ln(x+1)−1，x∈(0, +∞)，则u′(x)=1−1x+1=xx+1>0对x∈(0, +∞)恒成立，所以u(x)在(0, +∞)上单调递增．又u(2)＝1−ln3<0，u(3)＝2−ln4>0，所以∃x0∈(2, 3)，u(x0)＝0．当x∈(0, x0)时，ℎ′(x)<0；当x∈(x0, +∞)时，ℎ′(x)>0．所以ℎ(x)min=ℎ(x0)=(1+1x0)ln(x0+1)+1x0+1，又u(x0)＝x0−ln(x0+1)−1＝0，则ℎ(x)min=ℎ(x0)=(1+1x0)ln(x0+1)+1x0+1=(1+1x0)(x0−1)+1x0+1=x0+1∈(3,4)，故k<x0+1，整数k的最大值为3．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】（1）利用导数的几何意义，建立关于m，n的方程，即可求得m，n的值，进一步求得单调区间；（2）x＝0时显然成立，x>0时可转化为k<(1+1x )ln(x+1)+1x+1对(0, +∞)恒成立，构造新函数即可求解．【解答】f′(x)＝ln(x+1)+m+1，由切线方程，知f(0)＝m+n＝1，f′(0)＝m+1＝2，解得m＝1，n＝0．故f(x)＝(x+1)ln(x+1)+x+1，f′(x)＝ln(x+1)+2(x>−1)，由f′(x)>0，得x>1e −1；由f′(x)<0，得−1<x<1e−1．所以f(x)的单调递增区间为(1e2−1,+∞)，单调递减区间为(−1,1e2−1)．①当x＝0时，f(0)＝1>k×0＝0恒成立，则k∈R．②当x>0时，f(x)>kx恒成立等价于k<(1+1x )ln(x+1)+1x+1对(0, +∞)恒成立．令ℎ(x)=(1+1x )ln(x+1)+1x+1，ℎ(x)=x−ln(x+1)−1x2，x∈(0, +∞)．令u(x)＝x−ln(x+1)−1，x∈(0, +∞)，则u′(x)=1−1x+1=xx+1>0对x∈(0, +∞)恒成立，所以u(x)在(0, +∞)上单调递增．又u(2)＝1−ln3<0，u(3)＝2−ln4>0，所以∃x0∈(2, 3)，u(x0)＝0．当x∈(0, x0)时，ℎ′(x)<0；当x∈(x0, +∞)时，ℎ′(x)>0．所以ℎ(x)min=ℎ(x0)=(1+1x0)ln(x0+1)+1x0+1，又u(x0)＝x0−ln(x0+1)−1＝0，则ℎ(x)min=ℎ(x0)=(1+1x0)ln(x0+1)+1x0+1=(1+1x0)(x0−1)+1x0+1=x0+1∈(3,4)，故k<x0+1，整数k的最大值为3．（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=−√22ty=1+√22t（t为参数），曲线C的参数方程为{x=m cosαy=a+n sinα（m>0，n>0，α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C的极坐标方程为ρ＝8sinθ．（1）求a，m，n的值；（2）已知点P的直角坐标为(0, 1)，l与曲线C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【答案】曲线C的极坐标方程为ρ＝8sinθ．转换为ρ2＝8ρsinθ，则x2+y2＝8y，即x2+(y−4)2＝16．因为m>0，n>0，所以a＝m＝n＝4．将直线l的参数方程为{x=−√22ty=1+√22t（t为参数），代入x2+(y−4)2＝16，得t2−3√2t−7=0．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=3√2>0，t1t2＝−7<0．所以|PA|+|PB|=|t1−t2|=√(t1+t2)−4t1t2=√46．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】（1）直接利用转换关系式的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．【解答】曲线C的极坐标方程为ρ＝8sinθ．转换为ρ2＝8ρsinθ，则x2+y2＝8y，即x2+(y−4)2＝16．因为m>0，n>0，所以a＝m＝n＝4．将直线l的参数方程为{x=−√22ty=1+√22t（t为参数），代入x2+(y−4)2＝16，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=3√2>0，t1t2＝−7<0．所以|PA|+|PB|=|t1−t2|=√(t1+t2)−4t1t2=√46．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝3|x+1|−|2x−4|．（1）求不等式f(x)>3的解集；（2）若对任意x∈R，不等式f(x)−|x−2|≤t2−8t恒成立，求t的取值范围．【答案】当x<−1时，f(x)＝−3(x+1)+(2x−4)>3，解得x<−10；当−1≤x≤2时，f(x)＝3(x+1)+(2x−4)>3，解得x>45，则45<x≤2；当x>2时，f(x)＝3(x+1)−(2x−4)>3，解得x>−4，则x>2；综上知，不等式f(x)>3的解集为(−∞, −10)∪(45, +∞)；由f(x)−|x−2|＝3|x+1|−|2x−4|−|x−2|＝3|x+1|−3|x−2|＝|3x+3|−|3x−6|≤|3x+3−(3x−6)|＝9，若对任意x∈R，不等式f(x)−|x−2|≤t2−8t恒成立，则t2−8t≥9，解得t≤−1或t≥9；则t的取值范围是(−∞, −1]∪[9, +∞)．【考点】绝对值不等式的解法与证明不等式恒成立的问题【解析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式f(x)>3的解集；（2）利用绝对值三角不等式求出f(x)−|x−2|的最大值，得出关于t的不等式，求出解集即可．【解答】当x<−1时，f(x)＝−3(x+1)+(2x−4)>3，解得x<−10；当−1≤x≤2时，f(x)＝3(x+1)+(2x−4)>3，解得x>45，则45<x≤2；当x>2时，f(x)＝3(x+1)−(2x−4)>3，解得x>−4，则x>2；综上知，不等式f(x)>3的解集为(−∞, −10)∪(45, +∞)；由f(x)−|x−2|＝3|x+1|−|2x−4|−|x−2|＝3|x+1|−3|x−2|＝|3x+3|−|3x−6|≤|3x+3−(3x−6)|＝9，若对任意x∈R，不等式f(x)−|x−2|≤t2−8t恒成立，则t2−8t≥9，则t的取值范围是(−∞, −1]∪[9, +∞)．。
重庆市九校联盟2019届高三12月联合考试数学(理)试题+Word版含解析
第Ⅰ卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若集合A＝{x|3-2x＜1}，B＝{x|4x-3x2≥0}，则A∩B＝( )
A.(1，2]B. C.[0，1)D.(1，+∞)
【答案】B
【解析】
【分析】
解不等式得集合A,B，利用集合的交集定义求解即可.
【详解】由集合 ，
A.¬p为真命题B.p∧(¬q)为真命题
C.(¬p)∨q为假命题D.(¬p)∨(¬q)为假命题
【答案】D
【解析】
【析】
利用逆否命题的真假与原命题真假可判断p命题的真假，由直线过定点，且点在圆内，可知命题q为真，再一一检验选项即可.
10. 的内角 的对边分别为 ，若 ，且 ，则 的面积的最大值是（ ）
A. B. C. D.4
【答案】B
【解析】
【分析】
由 ，根据三角形内角和定理，结合诱导公式可得 ，再由正弦定理可得 ，从而由余弦定理求得 ，再利用基本不等式可得 ，由三角形面积公式可得结果.
【详解】 ，且 ，
，
由正弦定理可得 ，
由余弦定理可得 ，
【详解】 ，
，排除选项 ；
，排除选项 ，故选C.
【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
5.已知单位向量 的夹角为 ，且 ，若向量m＝2 -3 ，则|m|＝( )
A.9B.10C.3D.
【答案】C
【解析】
2019-2020学年重庆市九校联盟高考数学一模试卷(文科)
祝7．（5 分）将函数
的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐
标不变），再向右平移 个单位，则所得函数图象的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：把函数
经伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），
可得 故选：B．
，再向右平移
=
的图象，
个单位，得
8．（5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的 s=6，则 N 的所有可能取之和等
！
功 6．（5 分）某几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图是全等的正三角形，
其俯视图中，半圆的直径是等腰直角三角形的斜边，若半圆的直径为 2，则该几
何体的体积等于（ ）
成
到
马
A．
B．
考C．
D．
高 【解答】解：解：由已知中的三视图可得该几何体是一个半圆锥和三棱锥的组合
体，
您 其体积为
故选 D．
，
考 C 的渐近线的垂线，垂足为 A，且交 y 轴于 B，若 A 为 BF 的中点，则双曲线的离
心率为（ ）
高 A． B． C．2 D．
6．（5 分）某几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图是全等的正三角形，
您 其俯视图中，半圆的直径是等腰直角三角形的斜边，若半圆的直径为 2，则该几
何体的体积等于（ ）
【解答】解：由
或 x＜0，
功
即 B={x|x＞1 或 x＜0}， ∵A={﹣1，0，1，2}， ∴A∩B={﹣1，2}， 故选 D．
成 到
马 2．（5 分）已知 i 为虚数单位，且（1+i）z=﹣1，则复数 z 对应的点位于（
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2019-2020学年人教A版重庆市九校联盟高三上学期联考数学试卷(文科) 含解析
2019-2020学年高三第一学期联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|x≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，3）C．（0，1] D．（1，3）2．的实部为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．23．设函数f（x）＝，若f（x）是奇函数，则g（1）＝（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．44．某地有两个国家AAAA级旅游景区﹣﹣甲景区和乙景区．相关部门统计了这两个景区2019年1月至6月的月客流量（单位：百人），得到如图所示的茎叶图．关于2019年1月至6月这两个景区的月客流量，以下结论错误的是（）A．甲景区月客流量的中位数为12950人B．乙景区月客流量的中位数为12450人C．甲景区月客流量的极差为3200人D．乙景区月客流量的极差为3100人5．若tanα＝4，sinβ＝2cosβ，则tan（a+β）＝（）A．B．6 C．D．6．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待时间不少于20分钟的概率为（）A．B．C．D．7．执行如图的程序框图，若输入的x的值为5，则输出的n的值为（）A．2 B．3 C．4 D．58．已知M是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，F是C的焦点，过M作C的准线的垂线，垂足为N，若∠MFO＝120°（O为坐标原点），△MNF的周长为12，则|NF|＝（）A．4 B．C．D．59．最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，我国的《九章算术》也有记载．所以，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理．现有△ABC满足“勾3股4弦5”，如图所示，其中AB＝4，D为弦BC上一点（不含端点），且△ABD满足勾股定理，则＝（）A．B．C．D．10．已知命题p：在△ABC中，若A＞B，则cos A+cos B＞0，命题q：在等比数列{a n}中，若a2a6＝16，则a4＝4．下列命题是真命题的是（）A．p∧（￢q）B．（￢p）∨q C．（￢p）∧（￢q）D．p∧q11．已知函数，则f（x）的图象的对称中心为（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）12．若函数f（x）＝log a（x2﹣2ax+a2+4）（a＞0，且a≠1）有最大值，且最大值不小于﹣1，则a的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．不等式组，表示的可行域的面积为．14．若等差数列{a n}的前10项和为100，且a3＝5，则a12＝．15．若函数f（x）＝e x﹣mx在[﹣2，0]上为减函数，则m的取值范围为．16．过双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F作双曲线C的一条弦AB，且有＝，若以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点，则双曲线C的离心率为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．在等比数列{a n}中，a1+a2＝5，且a2+a3＝20．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和S n．18．设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知，b＝2．（1）若，求B；（2）若a＝2c，求△ABC的面积．19．某公司为确定下一年度投入某种产品的宜传费，需了解年宣传费对年销售量（单位：t）的影响．该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费x（万元）和年销售量y（单位：t）具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值．（1）根据表中数据建立年销售量y关于年宣传费x的回归方程．（2）已知这种产品的年利润x（万元）与x，y的关系为z＝y﹣0.05x2﹣1.85根据（1）中的结果回答下列问题：①当年宣传费为10万元时，预测该产品的年销售量及年利润；②估计该产品的年利润与年宣传费的比值的最大值．附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝＝，＝．参考数据：，．20．已知函数的图象在点（1，f（1））处的切线方程为10x+y+b ＝0．（1）求a，b的值；（2）若对x∈（0，+∞）恒成立，求m的取值范围．21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，且圆x2+y2＝1经过椭圆C的上、下顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C相切，且与椭圆C1：＝1相交于M，N两点，证明：△OMN的面积为定值（O为坐标原点）．（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（m＞0，n＞0，α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C的极坐标方程为ρ＝8sinθ．（1）求a，m，n的值；（2）已知点P的直角坐标为（0，1），l与曲线C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝3|x+1|﹣|2x﹣4|．（1）求不等式f（x）＞3的解集；（2）若对任意x∈R，不等式f（x）﹣|x﹣2|≤t2﹣8t恒成立，求t的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|x≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，3）C．（0，1] D．（1，3）解：∵A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|x≤1}，∴A∪B＝（﹣∞，3）．故选：B．2．的实部为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2解：∵．∴的实部为﹣1．故选：B．3．设函数f（x）＝，若f（x）是奇函数，则g（1）＝（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4解：根据题意，函数f（x）＝，则f（﹣1）＝3﹣（﹣1）＝4，又由g（x）为奇函数，则f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣4，则有2g（1）＝﹣4，则有g（1）＝﹣2；故选：B．4．某地有两个国家AAAA级旅游景区﹣﹣甲景区和乙景区．相关部门统计了这两个景区2019年1月至6月的月客流量（单位：百人），得到如图所示的茎叶图．关于2019年1月至6月这两个景区的月客流量，以下结论错误的是（）A．甲景区月客流量的中位数为12950人B．乙景区月客流量的中位数为12450人C．甲景区月客流量的极差为3200人D．乙景区月客流量的极差为3100人解：甲景区月客流量的中位数为12950人，乙景区月客流量的中位数为12450人．根据茎叶图的数据，可知甲景区月客流量的极差为3200人，乙景区月客流量的极差为3000人，故选：D．5．若tanα＝4，sinβ＝2cosβ，则tan（a+β）＝（）A．B．6 C．D．解：∵∵sinβ＝2cosβ，∴tanβ＝2，∴tan（α+β）＝＝＝﹣，故选：C．6．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待时间不少于20分钟的概率为（）A．B．C．D．解：由题意知这是一个几何概型，∵电台整点报时，∴事件总数包含的时间长度是60，∵满足他等待的时间少于20分钟的事件包含的时间长度是20，故所求的概率值为P＝1﹣＝．故选：C．7．执行如图的程序框图，若输入的x的值为5，则输出的n的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5解：执行程序框图，可得（x，n）依次为：（5，0），（7，1），（9，2），（11，13），（13，4），∵132+13＞132，∴输出的n的值为4．故选：C．8．已知M是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，F是C的焦点，过M作C的准线的垂线，垂足为N，若∠MFO＝120°（O为坐标原点），△MNF的周长为12，则|NF|＝（）A．4 B．C．D．5解：因为∠MFO＝120°，所以∠FMN＝60°．又M是抛物线C上一点，所以|FM|＝|MN|，则△FMN是等边三角形，则．故选：A．9．最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，我国的《九章算术》也有记载．所以，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理．现有△ABC满足“勾3股4弦5”，如图所示，其中AB＝4，D为弦BC上一点（不含端点），且△ABD满足勾股定理，则＝（）A．B．C．D．解：由等面积法可得，依题意可得，AD⊥BC，所以．故选：A．10．已知命题p：在△ABC中，若A＞B，则cos A+cos B＞0，命题q：在等比数列{a n}中，若a2a6＝16，则a4＝4．下列命题是真命题的是（）A．p∧（￢q）B．（￢p）∨q C．（￢p）∧（￢q）D．p∧q解：设A+B'＝π，则cos A＝﹣cos B'，因为A+B＜π，所以0＜B＜B'＜π，所以cos B＞cos B'，则cos B＞﹣cos A，即cos A+cos B＞0，故命题p是真命题．因为a2a6＝16，所以，所以a4＝±4，则命题q是假命题．∴p∧（￢q）是真命题．故选：A．11．已知函数，则f（x）的图象的对称中心为（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）解：因为＝＝＝，令（k∈Z），得（k∈Z），f（x）＝，则f（x）的图象的对称中心为（k∈Z），故选：D．12．若函数f（x）＝log a（x2﹣2ax+a2+4）（a＞0，且a≠1）有最大值，且最大值不小于﹣1，则a的取值范围为（）A．B．C．D．解：因为g（x）＝x2﹣2ax+a2+4＝（x﹣a）2+4有最小值，函数f（x）＝log a（x2﹣2ax+a2+4）＝log a g（x）（a＞0，且a≠1）有最大值，且最大值不小于﹣1所以，0＜a＜1，所以，f（x）max＝log a4≥﹣1，∴．因为a＞0，所以，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．不等式组，表示的可行域的面积为 3 ．解：作出可行域，如图所示，可行域的面积为．故答案为：314．若等差数列{a n}的前10项和为100，且a3＝5，则a12＝23 ．解：根据题意，等差数列{a n}的前10项和为100，则S10＝，变形可得a1+a10＝2a1+9d＝20，又a3＝a1+2d＝5，则有d＝2，故a12＝a3+9d＝23；故答案为：23．15．若函数f（x）＝e x﹣mx在[﹣2，0]上为减函数，则m的取值范围为[1，+∞）．解：∵函数f（x）＝e x﹣mx在[﹣2，0]上为减函数，∴f'（x）＝e x﹣m≤0在[﹣2，0]上恒成立，即m≥e x对x∈[﹣2，0]恒成立，∴m≥e0＝1．∴m的取值范围为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．16．过双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F作双曲线C的一条弦AB，且有＝，若以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点，则双曲线C的离心率为 2 ．解：因为＝，所以F是弦AB的中点，且AB垂直于x轴．因为以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点，所以，即，则c﹣a＝a，故．故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．在等比数列{a n}中，a1+a2＝5，且a2+a3＝20．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和S n．【解答】解．（1）因为公比，所以a1+a2＝5a1＝5，即a1＝1，故．（2）因为，所以＝4n+2n﹣2．18．设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知，b＝2．（1）若，求B；（2）若a＝2c，求△ABC的面积．【解答】解．（1）因为，所以由A∈（0，π），可得．因为，所以＝，所以或，又b＜a，所以；（2）由余弦定理，可得，即3c2+2c﹣4＝0，解得（负根舍去），故△ABC的面积为是＝．19．某公司为确定下一年度投入某种产品的宜传费，需了解年宣传费对年销售量（单位：t）的影响．该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费x（万元）和年销售量y（单位：t）具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值．（1）根据表中数据建立年销售量y关于年宣传费x的回归方程．（2）已知这种产品的年利润x（万元）与x，y的关系为z＝y﹣0.05x2﹣1.85根据（1）中的结果回答下列问题：①当年宣传费为10万元时，预测该产品的年销售量及年利润；②估计该产品的年利润与年宣传费的比值的最大值．附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝＝，＝．参考数据：，．解：（1），．设y关于x的线性回归方程为，则，，故y关于x的线性回归方程为；（2）①由（1）知，当x＝10时，，则该产品的年销售量约为9.1t，z＝9.1﹣0.05×100﹣1.85＝2.25，则该产品的年利润约为22.5万元；②z＝0.85x+0.6﹣0.05x2﹣1.85＝﹣0.05x2+0.85x﹣1.25，∴．∵＝0.5，当且仅当，即x＝5时取等号，∴，∴该产品的年利润与年宣传费的比值的最大值为0.35．20．已知函数的图象在点（1，f（1））处的切线方程为10x+y+b ＝0．（1）求a，b的值；（2）若对x∈（0，+∞）恒成立，求m的取值范围．解：（1），则，解得．所以，解得．（2）由（1）知，，设函数g（x）＝x3+3x﹣14（x＞0），g'（x）＝3x2+3＞0，所以g（x）为增函数，而g（2）＝0，令g'（x）＜0，得0＜x＜2；令g'（x）＞0，得x＞2．所以当0＜x＜2时，f'（x）＜0；当x＞2时，f'（x）＞0．所以，从而，即m＜26﹣42ln2．21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，且圆x2+y2＝1经过椭圆C的上、下顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C相切，且与椭圆C1：＝1相交于M，N两点，证明：△OMN的面积为定值（O为坐标原点）．解：（1）因为圆x2+y2＝1过椭圆C的上、下顶点，所以b＝1．又离心率，所以，则a2＝4．故椭圆C的方程为．（2）证明：椭圆，当直线l的斜率不存在时，这时直线l的方程为x＝±2，联立，得，即，则．当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx+m，联立，得（4k2+1）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，由△＝0，可得m2＝4k2+1．联立，得（4k2+1）x2+8kmx+4（m2﹣4）＝0．设M（x1，y1），N（x2，y2），所以，，则＝．因为原点到直线l的距离，所以．综上所述，△OMN的面积为定值．（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（m＞0，n＞0，α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C的极坐标方程为ρ＝8sinθ．（1）求a，m，n的值；（2）已知点P的直角坐标为（0，1），l与曲线C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ＝8sinθ．转换为ρ2＝8ρsinθ，则x2+y2＝8y，即x2+（y﹣4）2＝16．因为m＞0，n＞0，所以a＝m＝n＝4．（2）将直线l的参数方程为（t为参数），代入x2+（y﹣4）2＝16，得．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，t1t2＝﹣7＜0．所以．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝3|x+1|﹣|2x﹣4|．（1）求不等式f（x）＞3的解集；（2）若对任意x∈R，不等式f（x）﹣|x﹣2|≤t2﹣8t恒成立，求t的取值范围．解：（1）当x＜﹣1时，f（x）＝﹣3（x+1）+（2x﹣4）＞3，解得x＜﹣10；当﹣1≤x≤2时，f（x）＝3（x+1）+（2x﹣4）＞3，解得，则；当x＞2时，f（x）＝3（x+1）﹣（2x﹣4）＞3，解得x＞﹣4，则x＞2；综上知，不等式f（x）＞3的解集为（﹣∞，﹣10）∪（，+∞）；（2）由f（x）﹣|x﹣2|＝3|x+1|﹣|2x﹣4|﹣|x﹣2|＝3|x+1|﹣3|x﹣2|＝|3x+3|﹣|3x ﹣6|≤|3x+3﹣（3x﹣6）|＝9，若对任意x∈一、选择题，不等式f（x）﹣|x﹣2|≤t2﹣8t恒成立，则t2﹣8t≥9，解得t≤﹣1或t≥9；则t的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[9，+∞）．。
重庆市九校联盟2019届高三数学12月联考试题理
重庆市九校联盟2019届高三数学12月联考试题 理第I 卷、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2若集合 A = {x |3-2 x v 1}, B = {x |4x -3x 》0}，则 (1 , 2] B . (1,4] C . [0 , 1) D . (1 , +R )36.已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x v 0时，f(x) =2x ，则xf (x ) > 0的解集为2A. -3 B . -5 C . -14 D . -16 & 为了得到 y = -2cos 2 x 的图象，只需把函数 y=.3si n2x 「cos2x 的图象 A.向左平移n个单位长度 B .向右平移n个单位长度3 3 C.向左平移n个单位长度 D .向右平移n个单位长度 6 69. 已知双曲线 C ： — _I 1的左、右焦点分别为 F i , F 2, P 为C 上一点，R Q ^QP , 0为坐1. A. A.i B .-i C . 1 D .-13 . 已知 sin :：£ 亠 cos 、£ =-7 2sin : -cos 、z = 2:——55A. 7 B .C . 16D . _1625 25 25 254. 函数 2 f(x)」og2(x -1) 的图象大致是COS 2 a5. A. 9 B . 10 C .3 D .、.币A. [-1 0) U [1 , +8) B .(-m, -1]c.[-10] U [1 , +8) D.(-m, -1]U {0} U [1 , +8)7.x , y 满足约束条件、1 .2 y >——x 十一3 3y - -2x -1, ”1 y 空一 x 十4, • 2则z = 4x +y 的最小值为若复数z 满足(2+i) z = 3-i ，贝U z 的虚部为 2.，则 已知单位向量 e 1, e 2 的夹角为 B,且 tan - 2 2，若向量 m= 2e 「3e 2,则 |m =16 48标原点，若| PF| = 10,则|OQ =A. 9 B . 10 C . 1 D . 1 或92 210. A ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c.若(sin 申sin C) -sin (申C) = 3sin B sin C,且a= 2,则厶ABC的面积的最大值是A.乜B . 3 C . 2 3 D . 422 2 2 211. 已知命题p：若x +y >2,则| x| > 1 或| y| > 1;命题q：直线mx2y-m2 = 0 与圆x +y -3x+3y+2 =0必有两个不同交点，则下列说法正确的是A.?p为真命题 B . P A (? q)为真命题C. (? p) V q为假命题D . (? p) V (? q)为假命题12. 已知函数f (x) = e2x+e x+2-2e4, g(x) = x2-3 a e x，集合A={x|f(x) = 0}, B= {x| g(x) = 0},若存在X1 € A, X2€ B,使得| X1-X2I v 1，则实数a的取值范围为A 1 4 o 14^ 1 8 1 8A・(一，2] B. (—,2] C. [—,2) D. [—,2)e e 3e 3e 3e 3e 3e e第n卷二、填空题：把答案填在答题卡中的横线上.13. 设命题p：v x^(—n,n) , tan x>0，则？p 为▲.2 2I x +2 X 兰0 32 315. 已知正数a, b满足3a+2b= 1,则2-的最小值为▲.a b16. 已知F是抛物线y2= -16x的焦点，O为坐标原点，点P是抛物线准线上的一动点，点A在抛物线上，且|AF| = 8,则|PA+| P0的最小值为▲.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题17. 已知数列{a n}的前n 项和为S, a = 3, a n+1 = 2S+3(n€ N).(1)求数列{a n}的通项公式；14•已知函数f(x)二 '-，贝V f(f (_—))= ▲.Jog2X,xn0 2(2)设b n= log 3a n,若数列｛—1—｝的前n项和为T n,证明：T n V 1.b n b甘2 218. 已知p：x-(3+a)x+3a v 0,其中a v 3; q：x+4x-5 > 0.(1)若p是？q的必要不充分条件，求实数a的取值范围；(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.19. 在△ ABC中，内角A, B, C的对边分别是a, b, c,且^in A 亟巴£二—p .sin B +si nC a(1)求角B的大小；(2)求.2 cos A cosC的取值范围.2 220. 已知椭圆C: — =1(a b 0)的离心率为—，且经过点Q(2, .2).a b 2(1)求椭圆C的方程；(2)直线l : y = kx+m( k>0, m^ 4)与椭圆C相交于A, B两点，若|AB = 4,试用m表示k.21 .设函数f (x) = x e x+a(1-e x)+1 .(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f (x)在(0 , +s)上存在零点，证明：a>2.(二)选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. ［选修4-4 :坐标系与参数方程］x——5cos仃在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为f ' ( a为参数).M是曲线C上的动y = 5 + 5sin a点，将线段OM绕O点顺时针旋转90°得到线段ON设点N的轨迹为曲线G.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C, C2的极坐标方程；n(2)在(1)的条件下，若射线日=—(PX0)与曲线0, O分别交于A, B两点(除极点外)，3且有定点T(4 , 0)，求△ TAB的面积.23. ［选修4-5 :不等式选讲］已知函数f (x) = | x+n>|2 x-2 m|( m>0).1 1(1)当m二一时，求不等式f(x) 一一的解集；2 2(2)对于任意的实数x,存在实数t，使得不等式f (x)+| t-3| v |t+4|成立，求实数m的取值范围.高三数学考试参考答案(理科)13 . 夹岂 _n , J , tan x o < 0 14 . -1 15 . 24 16 . 4屈2 2 17 . ( 1 )解：因为 a n+1= 2S+3,①a n = 2S n-1 +3，②①-②，a n +1-a n = 2a n ,即卩 a n +1 = 3a n (n 》2), 所以｛◎｝为从第2项开始的等比数列，且公比q = 3 .又a 1= 3，所以a 2= 9,所以数列｛a n ｝的通项公式a n = 3n (n 》2). 当n = 1时，a 1= 3满足上式，所以数列｛a n ｝的通项公式为 a n = 3n . (2)证明：由(1) 知 b n = log 3a n = log 3^ = n , 1 _ 1 _ 丄 1 b n b n 1 n(n 1) n n 1 所以T n =(1£ (〉3)…=1 一丄胡得证.n 118 .解：(1)因为 x 2-(3+ a )x +3a < 0, a < 3, 所以 a <x <3,记 A = (a , 3),又因为 x +4x -5 > 0,所以 x < -5 或 x > 1,记 B= (- a, -5) U (1 , +^), 又p 是？ q 的必要不充分条件，所以有？ q ? p ,且p 推不出？ q , 所以E R B? A ,即[-5 , 1]? (a , 3)，所以实数a 的取值范围是a € (- a, -5). (2)因为p 是q 的充分不必要条件，则有p ? q ,且q 推不出p,所以 A ? B ,所以有(a , 3)? (- a, -5) U (1 , +a )，即 a 》1, 所以实数a 的取值范围是a € [1 , 3).19 .解：(1)由已知 泌 2sinC =口，结合正弦定理，得 匸£ =口sin B+sinC a b+c a即 b 2 =a 2 • c 2 - • 2ac .而由余弦定理 b 2= a 2+c 2-2 ac cos B, 所以cos B —,2因为B € (0 , n )，所以B= n.41. B 2 . D 3 . A 4 . C 5 . C 6 . D 7 .C 8 .D 9 . A 10 . B 11 . D 12 . B所以(2) 2cosA cosC = 2 cos A cos( n A_B),由（1 ）知B =二4 所以2cos A cosC - . 2cosA cos(3^ - A)4m一2（2 辽 m 2 ：：：4）. mcosA si nA2 n= sin(A). 4因为 0 ：：: A ：. 3n，所以 n ::: A 亠 n ■■■：. n4 4 4所以 sin(A n)(0,1],所以2 cosA cosC 的取值范围为（0 , 1].c =V 2 a _ 2， 4 220.解：(1)由题意,芝=1, a b2 2 2a =b +c,f a ^ —8 解得[， |b 2 =4.2 2故椭圆C 的方程为—y 1 . 8 4(2)设 A (X 1, y 1), B (x 2, y 2), y 二 kx m222由《X 2 y 2，得(2 k +1)x +4kmx +2m -8 = 0, 1842m 2 —8 X 1X 2 二一— 2k +1所以x 1 x 2 =4km 厂2k 1因为 | AB|= 4|，所以.1 • k 2 |洛-x 2 |= 1 k 2 (x 1 x 2)2 -4%2 = 4 ,丿 2 2 2所以mm 4，整理得k 2（4- n i ） = m -2，显然4，所以k 22cm —2 2_0 .4 - m21. (1 )解：函数f(x)的定义域为(-g, +8),因为f (x) = x e+a(1-e x)+1，所以f' (x) = (x+1- a)e x.所以当x>a-1时，f' (x) >0, f(x)在(a-1 , +8)上是增函数；当x v a-1 时，f' (x) v 0, f(x)在(-g, a-1)上是减函数.所以f(x)在(a-1 , +8)上是增函数，在(-g, a-1)上是减函数.(2)证明：由题意可得，当x> 0时，f (x) = 0有解,x x即a二笃Jx(e宾□，•字有解.e -1 e -1 e -1X . X z Xx 1 xe —1 , e (e -X -2)令g(x)，则g (x) x 21 x 2e x-1 (e x-1)2(e x-1)2设函数h(x) = e x-x-2 , h' (x) = e x-1 >0,所以h(x)在(0 , +g)上单调递增.又h(1) = e-3 v 0, h(2) = e2-4 >0,所以h(x)在(0 , +g)上存在唯一的零点.故g' (x)在(0 , +g)上存在唯一的零点.设此零点为k,贝U k€ (1 , 2).当x € (0 , k)时，g' (x) v0；当x € ( k, +g)时，g' (x) > 0.所以g(x)在(0 , +g)的最小值为g(k).又由g' (k) = 0，可得e k= k+2,所以g(k)二k 字1二k 1 (2,3),e -1因为a=g(x)在(0 , +g)上有解，所以a>g(k) >2，即a>2.22 .解：(1)由题设，得C的直角坐标方程为x2+( y-5) 2= 25，即x2+y2-10y = 0, 故C的极坐标方程为p 2-10 p sin 0 = 0, 即卩p = 10sin 0 .设点N( p , 0 )( p丰0)，则由已知得M(P,B +n)，代入G的极坐标方程得P =10sin(日+-),2 2即p = 10cos 0 ( p 工0).(2)将e=n代入C, C2的极坐标方程得A(W3, n , B(5,J ,3 3 3又因为T(4 , 0)，所以S A TOA =丄|OA | |OT | sin n = 15 ,2 3S^TOB = - |OB | |OT | sin n = 5 3 ,2 3x - 3m, x _ -m23.解：因为m>0,所以f(x)=|x m|-|2x-2m|= 3x-m,-m ：： x ：： m.-x 3m, x _ m所以S A TAB=S A TOA—S A TOB=15 -5.3 .3 1 x — —, x 兰一一2 2r 1 1 1 f (x) = 3x , x , 2 2 2丄3 J-x ,x _2 2解得3*弓或2*1， 故原不等式的解集为{x £乞x 乞1} •(2)因为 f (x ) +| t -3| v |t +4|? f (x ) v |t +4|-| t -3| , 令 g (t ) = | t +4|-| t -3|，则由题设可得f (x ) max <g (t )max .x _3m,x _ -m由 f (x)=《3x -m, -m ex cm,得 f (x ) max = f (m ) = 2m-x 3m,x _m因为-|( t +4)-( t -3)| W |t +4|-| t -3| W |( t +4)-( t -3)|，所以-7 < g ( t ) < 7, 故g (t )max = 7,从而2m< 7,即卩m ,2又已知m> 0，故实数m 的取值范围是(0,7).2( 3 1 「 1 1 3 1 x , 3x, 1 -X >- 2 2 或 2 2 或 2 _21 11 1 x ＜一 j — :::x :::-x I 2 .22 1 .2所以由f(x)冷，可得 ⑴当心时，。
2019-2020学年重庆市九校联盟高一上学期数学试题及答案解析版
2019-2020学年重庆市九校联盟高一上学期数学试题及答案解析版一、单选题1．已知集合{}|6A x x =>,{}2,5,6,8,10B =,则()R C A B =( )A ．{}8,10B ．{}2,5C ．{}6,8,10D ．{}2,5,6【答案】D 【解析】先求得{}|6RA x x =≤,再由交集的定义求解即可【详解】 由题,{}|6RA x x =≤,所以(){}2,5,6R AB ⋂=,故选：D 【点睛】本题考查集合的补集、交集运算,属于基础题 2．3log 23=( )A ．14B ．2C ．12D ．-2【答案】B【解析】利用对数的运算性质求解即可 【详解】 由题,3log 232=,故选：B 【点睛】本题考查对数的运算,属于基础题3．下列各角中,与1386-︒终边相同的角是( )A ．36︒B ．44︒C ．54︒D ．64︒【答案】C【解析】将1386-︒整理为360n α⋅︒+()n Z ∈的形式,即可判断选项 【详解】由题,因为1386436054-︒=-⨯︒+︒, 所以与1386-︒终边相同的角是54︒, 故选：C 【点睛】本题考查终边相同的角,属于基础题4．函数()()l 3n f x x x =-的定义域为( )A ．()0,3B ．[)0,3C ．[)1,3D ．()1,3【答案】B【解析】若函数有意义,则21030x x ⎧-≥⎨->⎩,求解即可【详解】由题,21030x x ⎧-≥⎨->⎩,解得03x ≤<,即()f x 的定义域为[)0,3,故选：B 【点睛】本题考查具体函数的定义域,考查指数运算 5．已知334απ=-,则角α的终边与单位圆的交点坐标是( )A ．22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．22⎛-- ⎝⎭D ．122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】可分析角α的终边与4π-的终边重合,利用三角函数的定义求解即可 【详解】 由题,33844πππ-=--,所以角α的终边与4π-的终边重合,因为单位圆的半径为1,则cos 42y π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,sin 42x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭, 故选：A 【点睛】本题考查终边相同的角的应用,考查三角函数的定义的应用6．函数()312f x x x =+-的零点所在的大致区间为( ) A ．()1,0- B ．()0,1 C ．()1,2 D ．()2,3【答案】D【解析】显然函数()312f x x x =+-连续,利用零点存在性定理判断即可 【详解】由题,()312f x x x =+-在R 上连续,因为()11112140f -=---=-<,()0120f =-<,()11112100f =+-=-<,()2821320f =+-=-<,()327312180f =+-=>,所以()()230f f <,所以()f x 的零点所在的大致区间为()2,3故选：D 【点睛】本题考查零点所在区间问题,考查零点存在性定理的应用 7．若α为钝角,则()k k Z απ+∈是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角 C ．第二或第四象限角 D ．第一或第三象限角【答案】C【解析】若α为钝角,则终边落在第二象限,对k 赋值,即可判断()k k Z απ+∈终边所在象限 【详解】由题,若α为钝角,则终边落在第二象限, 当0k =时,()k k Z απ+∈为第二象限角； 当1k =时,()k k Z απ+∈为第四象限角, 故选：C 【点睛】本题考查象限角的判断,属于基础题8．设 1.71.2a =, 1.20.3b =, 1.3log 0.5c =,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b a c <<【答案】B【解析】借助0,1与,,a b c 比较大小,即可得到,,a b c 的大小关系 【详解】由题,因为 1.71.21a =>, 1.2000.30.31b <=<=, 1.3log 0.50c =<, 所以01c b a <<<<,故答案为：B 【点睛】本题考查指数、对数间比较大小,考查指数函数的应用,考查对数函数的应用9．将曲线2sin 45y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线的对称中心为( )A ．(),0210k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭B ．(),0210k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭C ．(),010k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭ D ．(),010k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭【答案】A【解析】由图像变换原则可得新曲线为2sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令()25k x k Z ππ=∈+求解即可【详解】将曲线2sin 45y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍后得到曲线2sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 令()25k x k Z ππ=∈+,得()102k x k Z ππ=-+∈ 故选：A 【点睛】本题考查三角函数的图像变换,考查正弦型函数的对称中心10．在平面坐标系中,AB ,CD ,EF ,GH 是单位圆上的四段弧(如图),点P 在其中一段上,角α以x 轴的非负半轴为始边,OP 为终边,若sin cos 0αα+<,且cos sin tan ααα<<,则P 所在的圆弧是( )A ．AB B ．CDC ．EFD ．GH【答案】D【解析】假设点P 在指定象限,得到sin ,cos ,tan ααα的符号,验证sin cos 0αα+<,cos sin tan ααα<<是否成立即可 【详解】若点P 在第一象限,则sin 0α>,cos 0α>,则sin cos 0αα+>,与题意不符,故排除A,B ；若点P 在第二象限,则sin 0α>,tan 0α<,则sin tan αα>,与题意不符,故排除C ； 故选：D 【点睛】本题考查象限角的三角函数值的符号的应用,考查排除法处理选择题 11．已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的一个零点是6π-,并且()y f x =的图象的一条对称轴是3x π=,则当ω取最小值时,函数()f x 的单调递减区间是( )A ．()42,233k k Z k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎦∈⎣B ．(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦ZD ．()22,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 【答案】A【解析】若ω取最小值,因为2T πω=,则T 取最大值,即对称点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭与对称轴3x π=是相邻的,进而可求得1ω=,利用对称轴求得ϕ,则()cos 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,由余弦型函数的性质求得单调区间即可 【详解】 由题意,6π-是函数()f x 的零点,即,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 的对称点；当ω取最小值时,由于2T πω=,所以此时T 取最大值,则对称点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭与对称轴3x π=是相邻的, 所以364Tππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭,即2T π=,所以1ω=,因为3x π=是对称轴,所以()3k k Z πϕπ+=∈,即()3k k Z πϕπ=-+∈,因为2πϕ<,所以当1k =-时,3πϕ=-, 所以()cos 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,令()223k x k k Z ππππ≤-≤+∈, 解得()42233k x k k Z ππππ+≤≤+∈,∴单减区间为4[2,2]()33k k k Z ππππ++∈故选：A 【点睛】本题考查余弦型函数的单调区间,考查已知函数性质求解析式,考查运算能力12．设1x ,2x ,3x 分别是方程3log 3x x +=,()3log 2x x +=-,ln 4x e x =+的实根,则( ) A ．123x x x <+ B ．213x x x <<C ．231x x x <<D ．321x x x <<【答案】C【解析】将方程有实根转化为两函数有交点,利用图像判断交点的位置,进而判断选项 【详解】由题,对于3log 3x x +=,由3log y x =与3y x =-的图像,如图所示,可得123x <<； 对于()3log 2x x +=-,由()3log 2y x =+与y x =-的图像,如图所示,可得210x -<<；对于ln 4x e x =+,由4x y e =-与ln y x =的图像,如图所示,可得()30,1x ∈或()31,2x ∈ 故231x x x << 【点睛】本题考查零点的分布,考查转化思想与数形结合思想二、填空题13．函数tan 43y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为______. 【答案】4π【解析】由T πω=求解即可 【详解】由题,因为4ω=,所以tan 43y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期4T π= 故答案为：4π【点睛】本题考查正切型函数的周期,属于基础题 14．已知函数()212,034log ,0xx x f x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+>⎩,则()()8f f =______.【答案】5【解析】先将8x =代入解析式可得()81f =-,再求()1f -即可 【详解】由题,()24log 88431f =-+=-+=-, 所以()()()1125381f f f -⎛⎫+= ⎪⎝⎭=-=故答案为：5 【点睛】本题考查分段函数求值,考查指数、对数的运算 15．圆心角为60︒,弧长为2的扇形的面积为______.【答案】6π【解析】先用弧度制表示圆心角,再利用弧长公式求得半径,进而利用面积公式求解即可 【详解】由题,60601803ππ︒==，由弧长公式l r θ=,即23r π=,得半径6r π=,故扇形的面积公式1166222S lr ππ==⨯⨯=故答案为：6π【点睛】本题考查扇形面积,考查角度制与弧度制的转化,考查运算能力16．已知α为第三象限角,则4442241sin cos cos sin 3sin cos 3sin cos αααααα--=+______. 【答案】43-【解析】利用同角的三角函数关系进行化简即可【详解】因为α为第三象限角,所以sin0α<,cos0α<,所以cos sin cos sin=cos sin=11cos sin112cos sinαααα=⋅+⋅=--=-,而4442241sin cos3sin cos3sin cosαααααα--+()()2224422222222sin cos sin cos2sin cos23sin cos33sin cos sin cosαααααααααααα+--===+,所以原式24233=-+=-故答案为：43-【点睛】本题考查利用同角的三角函数关系化简,熟练掌握同角的三角函数商数关系和平方关系是解题关键三、解答题17．(1)求值1690.34⎛⎫⎪⎝⎭;(2)求值0.5321log4log9lg20lg40.252-⋅+-+.【答案】(1)5(2)7【解析】（1）利用指数幂的运算性质求解即可；（2）利用对数的运算性质求解即可 【详解】解;(1)原式116369121314⨯⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭15==； (2)原式322log 22log 3lg 20lg 224lg1027=⋅+-+=++= 【点睛】本题考查指数幂、对数的运算,考查运算能力 18．已知角θ的终边经过点()2,3P -,求下列各式的值.(1)2sin 3cos sin θθθ-;(2)()2223cos sin sin 222πθπθθπ⎛⎫⎛⎫-+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】(1)23-(2)413-【解析】（1）由三角函数定义可得3tan 2θ=-,对于原式分子分母同除cos θ,进而求解即可； （2）由三角函数定义可得sin 13θ==-利用诱导公式化简,进而代入求解即可 【详解】解:(1)由角θ的终边经过点()2,3P -,可知3tan 2θ=-,则322sin 2tan 2233cos sin 3tan 332θθθθθ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭===---⎛⎫-- ⎪⎝⎭(2)因为sin 13θ==-,所以()2223cos sin sin 222πθπθθπ⎛⎫⎛⎫-+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222sin cos sin 2θθθ=++-2sin 12θ=+-9411313=-=- 【点睛】本题考查利用诱导公式化简,考查分式齐次式化简求值,考查已知终边上一点求三角函数值19．某同学用“五点法”画函数()()sin f x A x =+ωϕ在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:(1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并求出函数()f x 的解析式;(2)把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移3π个单位长度,得到函数()y g x =的图象,求236g π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值. 【答案】(1)见解析,()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(2)-1【解析】（1）由表格中数据,可得5122113122ππωϕππωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,即可求得23ωπϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩,由sin 22A π=可得2A =,则()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,进而补全表格即可；（2）由图像变换原则可得()2sin g x x =,进而将236x π=代入求解即可 【详解】解:(1)根据表中已知数据,可得5122113122ππωϕππωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得23ωπϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩,又sin 22A π=,所以2A =, 所以()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.数据补全如下表:(2)由(1)知()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,把()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像, 再把得到的图像向左平移3π个单位长度,得到2sin sin 33y x x ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭的图像,即()2sin g x x =,所以23232sin 2sin 1666g πππ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查由三角函数性质求解析式,考查三角函数的图像变换,考查运算能力20．已知一次函数()f x 是定义在R 上的增函数,且()()191f f x x +=-.(1)求()f x 的解析式;(2)设函数()()()0.2log g x x f x =-,求()g x 的单调区间.【答案】(1)()31f x x =-(2)()g x 的单增区间为1,2⎛⎫-∞⎪⎝⎭,无减区间. 【解析】（1）设()()0f x ax b a =+>,代入解析式中,利用待定系数法求解即可；（2）由（1）()()0.2log 12g x x =-,设12u x =-,根据复合函数“同增异减”的原则求解即可,注意定义域 【详解】解:(1)由题意,因为一次函数()f x 是定义在R 上的增函数,则设()()0f x ax b a =+>,所以()()()()21191f f x a ax b b a x ab a b x +=+++=+++=-,则2910a ab a b a ⎧=⎪++=-⎨⎪>⎩, 解得31a b =⎧⎨=-⎩,所以()31f x x =-(2)由(1)得()()()0.20.2log 31log 12g x x x x =-+=-, 设12u x =-,且120x ->,即12x <, 因为12u x =-为减函数,()0.2log 0y u u =>也为减函数,且()()0.2log 12g x x =-的定义域为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭, 所以由复合函数的单调性可知,()g x 在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增,即()g x 的单调递增为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,无减区间. 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式,考查求复合函数单调区间,考查运算能力. 21．已知函数()sin 24a a x x b f π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭,当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,函数()f x的值域是⎡⎤⎣⎦.(1)求常数a ,b 的值; (2)当0a <时,设()2g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,判断函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.【答案】(1)2a =,2b =-或2a =-,4b =函数()g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.函数()g x 在,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.【解析】（1）先求得sin 242x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,再讨论0a >和0a <的情况,进而求解即可；（2）由（1）()2sin 224f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭则()2sin 224g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,进而判断单调性即可【详解】解:(1)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,所以sin 24x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦, ①当0a >时,由题意可得212a a b a a b ⎧⎛⨯-++=⎪ ⎨⎝⎭⎪⨯++=⎩即22a a b a b ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩,解得2a =,2b =-； ②当0a <时,由题意可得221a a b a a b ⎧⎛⨯-++=⎪ ⎨⎝⎭⎪⨯++=⎩,即22a b a b ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩,解得2a =-,4b =-(2)由（1）当0a <时,2a =-,4b =所以()2sin 224f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭所以()2sin 22224f x x g x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin 224x π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭令222242k x k πππππ-+≤+≤+,k Z ∈,解得388k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈, 当0k =时,388x ππ-≤≤,则3,0,0,8828ππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⋂=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 所以函数()g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增, 同理,函数()g x 在,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 【点睛】本题考查由三角函数性质求解析式,考查正弦型函数的单调区间,考查运算能力22．已知二次函数()2441f x kx kx k =-++.(1)若12,x x 是()f x 的两个不同零点,是否存在实数k ,使()()121211224x x x x ++=成立?若存在,求k 的值;若不存在,请说明理由.(2)设1k =-,函数()()28,048,0f x x t xg x x x t x ⎧--<=⎨--≥⎩,存在3个零点. (i)求t 的取值范围;(ii)设,m n 分别是这3个零点中的最小值与最大值,求n m -的最大值.【答案】(1) 不存在.理由见解析；(2) (i)41t <<-(ii)【解析】(1) .假设存在实数k 满足题意，由韦达定理可得：()()()21212121212 2224k x x x x x x x x k +++=++=+911144k k +==，解得12k =,又()216 161 160kk k k ∆=-+=->，即k 0<，综合可得假设不成立；(2) (i)作出函数()h x 的图象，观察图像即可求出t 的取值范围;(ii)设直线()41y t t =-<<与此图象的最左边和最右边的交点分别为,A B .即 B A n m x x -=-=，因为25=+510≤+=，代入运算可得解. 【详解】解:(1)依题意可知,0k ≠.假设存在实数k ,使()()121211224x x x x ++=成立. 因为()f x 有两个不同零点，. 所以()216 161 160kk k k ∆=-+=->,解得k 0<.由韦达定理得121211,4k x x x x k++==所以()()()21212121212 2224k x x x x x x x x k +++=++=+911144k k +== 解得12k =,而k 0<,故不存在. (2)因为1k =-,设()()h x g x t =+,则()2244,0,48,0x x x h x x x x ⎧--<=⎨-≥⎩,当0x <时,()214112()h x x =-++≤;当0x ≥时,()()24144h x x =--≥-. (i)作出函数()h x 的图象，如图所示,所以41t <<-. (ii)设直线()41y t t =-<<与此图象的最左边和最右边的交点分别为,A B . 由244x x t --=,得11A tm x ---==由248x x t -=,得24B tn x ++== 所以314 B A t tn m x x +-++-=-=因为223251452)(24()t t t -++=+-++2552104≤+=， 所以当32t =-时，1 4t t -++取得最大值10. 故n m -的最大值为310+.【点睛】本题考查了函数的零点与函数图像的交点之间的关系，重点考查了重要不等式及数形结合的数学思想方法，属中档题.。
2019-2020学年重庆市九校联盟高二(上)联考数学试卷试题及答案(解析版)(理科)
2019-2020学年重庆市九校联盟高二（上）11月联考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分；每小题都只有一个正确答案）1．有如下三段论推理：所有的偶数都不是质数，因为2是偶数，所以2不是质数．这个结论显然是错误的，导致这一错误的原因是（）A．大前提错误B．小前提错误C．大前提和小前提都错误D．推理形式错误2．已知z＝（m﹣3）+（m+1）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，1）B．（﹣1，3）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）3．在用反证法证明命题：“若a+b+c＞0，则a，b，c三个数中至少有一个大于0”时，正确的反设为：设a，b，c三个数（）A．都小于0B．都小于等于0C．最多1个小于0D．最多1个小于等于04．的值是（）A．e2B．e2﹣1C．e2﹣2D．e2﹣35．近几年来，山东师范大学与荣昌永荣中学建立了良好的合作关系，每年山东师大都会派出部分优秀的研究生到永荣中学支教．现有2名到永荣中学支教的山东师大研究生在支教工作结束时与4名学生站一排合影留念，则2名研究生恰好不相邻的概率为（）A．B．C．D．6．函数y＝f（x）在R上可导，且f（x）＝2x2﹣f'（1）•x﹣3，则f（1）+f'（1）＝（）A．0B．1C．﹣1D．不确定7．在的展开式中，x2的系数为（）A．﹣12B．12C．﹣60D．608．设三次函数f（x）的导函数为f′（x），函数y＝x•f′（x）的图象的一部分如图所示，则正确的是（）A．f（x）的极大值为，极小值为B．f（x）的极大值为，极小值为C．f（x）的极大值为f（﹣3），极小值为f（3）D．f（x）的极大值为f（3），极小值为f（﹣3）9．重庆气象局的空气质量监测资料表明，重庆主城区一天的空气质量为优良的概率是，连续两天为优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．B．C．D．10．若直线l：x＝a与函数f（x）＝x2+1，的图象分别交于点P、Q，当P、Q 两点距离最近时，a＝（）A．B．C．1D．11．某学校高三有四个优秀的同学甲、乙、丙、丁获得了保送到重庆大学、西南大学和重庆邮电大学3所大学的机会，若每所大学至少保送1人，且甲同学要求不去重庆邮电大学，则不同的保送方案共有（）种A．24B．36C．48D．6412．若实数x，y，m，n满足＝且n+2m＝2（其中y≠0，n≠0，e是自然对数底数），则（x﹣m）2+（y﹣n）2最小值为（）A．B．5C．D．10二、填空题（每小题5分，共20分）13．若a，b∈R，i为虚数单位，且（a﹣i）•i＝b+i，则a+b＝；14．随机变量X的分布列如下：若数学期望，则c＝；15．小张今年刚好年满18岁，决定去参军．临走时，他去买了同样的手机吊坠3个，同样的手链3个，从中任意取出4个分别赠送给他的4位好朋友，每位朋友1个，则不同的赠送方法共有种；16．已知函数，实数a＜b＜0，若∃x1∈（0，+∞）使得对∀x2∈[a，b]，都有f（x1）＝g（x2）成立，则b﹣a的最大值为；三、解答题（共70分，解答题应写出解题过程）17．已知复数z满足（z﹣2）•（1+i）＝1﹣i（i为虚数单位）；（1）求复数z；（2）求|（3+i）•z|．18．函数f（x）＝e x﹣x+1（x∈R）；（1）求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求f（x）的极值．19．近些年来，我国电子商务行业得到高速发展．2009年，阿里巴巴集团开始推出双11打折促销活动，2014年阿里巴巴宣布取得双11注册商标，双11正式成为购物狂欢节．2016年双11当天，阿里巴巴旗下的购物平台24小时的销售业绩就高达1207亿多人民币．与此同时，国家监管部门推出了针对电商的商品质量和服务质量的评价系统，由在购物平台进行了交易的的购物者对电商的商品质量和服务质量作出评价．现从评价系统中任意选出1000次成功交易，并对其评价进行统计发现，对商品质量做出好评的交易有750次，对服务质量做出好评的交易有800次（假设顾客对商品质量和服务质量的评价互不影响），现将频率视为概率．（1）从评价系统中任意选出一次成功交易，求其评价对商品质量和服务质量都是好评的概率；（2）已知某人在该购物平台购物4次，每次都对商品质量和服务质量做出了评价．设此人对商品质量和服务质量都是好评的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．20．设S n为数列{a n}的前n项和，且对于n∈N*，都有成立；（1）求a1，a2，a3；（2）猜测数列{a n}的通项公式并用数学归纳法证明．21．学校在高二年级开设了A，BCD共4门不同的选修课，每个学生必须从中任选一门．已知高二的3名学生甲、乙、丙对这4门选修课的兴趣相同（即选这四门课是等可能的）；（1）求甲、乙、丙三人选择的选修课都不相同的概率；（2）求恰有2门选修课甲、乙、丙都没有选择的概率；（3）设随机变量ξ为甲、乙、丙三人中选修A这门课的人数，求ξ的分布列和数学期望．22．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+（2﹣a）x；（1）讨论f（x）的单调性；（2）已知（a＞0）时，不等式恒成立；若函数y＝f（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，线段AB中点的横坐标为x0，求证：f'（x0）＜0．2019-2020学年重庆市九校联盟高二（上）11月联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分；每小题都只有一个正确答案）1．有如下三段论推理：所有的偶数都不是质数，因为2是偶数，所以2不是质数．这个结论显然是错误的，导致这一错误的原因是（）A．大前提错误B．小前提错误C．大前提和小前提都错误D．推理形式错误【解答】解：大前提错误，2是偶数也是质数．故选：A．2．已知z＝（m﹣3）+（m+1）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，1）B．（﹣1，3）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）【解答】解：z＝（m﹣3）+（m+1）i在复平面内对应的点在第二象限，∴m﹣3＜0，m+1＞0，解得﹣1＜m＜3．则实数m的取值范围是（﹣1，3）．故选：B．3．在用反证法证明命题：“若a+b+c＞0，则a，b，c三个数中至少有一个大于0”时，正确的反设为：设a，b，c三个数（）A．都小于0B．都小于等于0C．最多1个小于0D．最多1个小于等于0【解答】解：：“若a+b+c＞0，则a，b，c三个数中至少有一个大于0”时，正确的反设为：设a，b，c三个数都小于等于0．故选：B．4．的值是（）A．e2B．e2﹣1C．e2﹣2D．e2﹣3【解答】解：＝（x2﹣lnx）|1e＝e2﹣2故选：C．5．近几年来，山东师范大学与荣昌永荣中学建立了良好的合作关系，每年山东师大都会派出部分优秀的研究生到永荣中学支教．现有2名到永荣中学支教的山东师大研究生在支教工作结束时与4名学生站一排合影留念，则2名研究生恰好不相邻的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：6人站成一排的所有站法共有种，2名研究生恰好不相邻的站法有，概率为P＝＝．故选：D．6．函数y＝f（x）在R上可导，且f（x）＝2x2﹣f'（1）•x﹣3，则f（1）+f'（1）＝（）A．0B．1C．﹣1D．不确定【解答】解：f′（x）＝4x﹣f′（1），∴f′（1）＝4﹣f′（1），∴f′（1）＝2，∴f（x）＝2x2﹣2x﹣3，f（1）＝﹣3，∴f（1）+f′（1）＝﹣1．故选：C．7．在的展开式中，x2的系数为（）A．﹣12B．12C．﹣60D．60【解答】解：根据二项式的展开式，当r＝2时，所以的展开式中，x2的系数为60．故选：D．8．设三次函数f（x）的导函数为f′（x），函数y＝x•f′（x）的图象的一部分如图所示，则正确的是（）A．f（x）的极大值为，极小值为B．f（x）的极大值为，极小值为C．f（x）的极大值为f（﹣3），极小值为f（3）D．f（x）的极大值为f（3），极小值为f（﹣3）【解答】解：观察图象知，x＜﹣3时，y＝x•f′（x）＞0，∴f′（x）＜0．﹣3＜x＜0时，y＝x•f′（x）＜0，∴f′（x）＞0．由此知极小值为f（﹣3）．0＜x＜3时，y＝x•f′（x）＞0，∴f′（x）＞0．x＞3时，y＝x•f′（x）＜0，∴f′（x）＜0．由此知极大值为f（3）．故选：D．9．重庆气象局的空气质量监测资料表明，重庆主城区一天的空气质量为优良的概率是，连续两天为优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得p＝0.6，解得p＝0.75，故选：C．10．若直线l：x＝a与函数f（x）＝x2+1，的图象分别交于点P、Q，当P、Q两点距离最近时，a＝（）A．B．C．1D．【解答】解：设函数y＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣lnx+1，函数的定义域（0，+∞），求导数得y′＝2x﹣＝＝，当0＜x＜时，y′＜0，函数在（0，）上为单调减函数，当x＞时，y′＞0，函数在（，+∞）上为单调增函数，所以当x＝时，函数的最小值，所以a＝，故选：D．11．某学校高三有四个优秀的同学甲、乙、丙、丁获得了保送到重庆大学、西南大学和重庆邮电大学3所大学的机会，若每所大学至少保送1人，且甲同学要求不去重庆邮电大学，则不同的保送方案共有（）种A．24B．36C．48D．64【解答】解：将四个同学分为三组，这样有两位同学一起，其他两位单独一起，情况共有，将三组同学分到三个学校，由于甲同学要求不去重庆邮电大学，含有甲的只有2种选择，不含甲的剩下两组分到另外两组，共有2种选择．故有×2×2＝24种，故选：A．12．若实数x，y，m，n满足＝且n+2m＝2（其中y≠0，n≠0，e是自然对数底数），则（x﹣m）2+（y﹣n）2最小值为（）A．B．5C．D．10【解答】由n+2m＝2得n＝2（1﹣m），故，即y＝x﹣3 e x，n＝2（1﹣m），设M（x，y），N（m，n），则M、N分别是f（x）＝x﹣3 e x与g（x）＝2（1﹣x）上的点，所以（x﹣m）2+（y﹣n）2＝|MN|2，则（x＝m）2+（y﹣n）2的最小值即为|MN|2求的最小值，设l是与y＝2（1﹣x）平行的直线，与f（x）相切于点P（x0，y0），则由f'（x）＝1﹣3 e x得1﹣3e x0＝﹣2，x0＝0，y0＝﹣3，所以P（0，﹣3），由P到y＝2（1﹣x）的距离d＝，所以|MN|的最小值为，|MN|2求的最小值为5．故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分）13．若a，b∈R，i为虚数单位，且（a﹣i）•i＝b+i，则a+b＝2；【解答】解：由（a﹣i）•i＝b+i，得ai+1＝b+i，∴a＝b＝1，则a+b＝2．故答案为：2．14．随机变量X的分布列如下：若数学期望，则c＝；【解答】解：由题意可得：a++c＝1，﹣2a+2c＝，解得a＝，c＝．故答案为：．15．小张今年刚好年满18岁，决定去参军．临走时，他去买了同样的手机吊坠3个，同样的手链3个，从中任意取出4个分别赠送给他的4位好朋友，每位朋友1个，则不同的赠送方法共有14种；【解答】解：小张从中任意取出4个分别赠送给他的4位好朋友，则选的可能是3个手机吊坠，1个手链，则不同的赠送方法有＝4种，选的可能是2个手机吊坠，2个手链，则不同的赠送方法有＝6种，选的可能是1个手机吊坠，3个手链，则不同的赠送方法有＝4种，综上可得不同的赠送方法共有4+6+4＝14种，故答案为：14．16．已知函数，实数a＜b＜0，若∃x1∈（0，+∞）使得对∀x2∈[a，b]，都有f（x1）＝g（x2）成立，则b﹣a的最大值为6；【解答】解：g（x）＝﹣x2﹣8x﹣5＝﹣（x+4）2+11，（x＞0），又（x＞0），故f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，f（x）min＝f（1）＝2，因为对任意x2∈（a，b）存在x1∈（0，+∞），使得f（x1）＝g（x2），则g（x2）∈[2，11]，令g（x）＝2，得﹣x2﹣8x﹣5＝2，x＝﹣7或x＝﹣1，由a＜b，可得﹣7≤a≤﹣4，﹣4≤b≤﹣1；所以（b﹣a）max＝6，故答案为6．三、解答题（共70分，解答题应写出解题过程）17．已知复数z满足（z﹣2）•（1+i）＝1﹣i（i为虚数单位）；（1）求复数z；（2）求|（3+i）•z|．【解答】解：（1）由（z﹣2）•（1+i）＝1﹣i，得z＝＝；（2）由z＝2﹣i，得|（3+i）•z|＝|（3+i）（2﹣i）|＝|7﹣i|＝．18．函数f（x）＝e x﹣x+1（x∈R）；（1）求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求f（x）的极值．【解答】解：（1）f′（x）＝e x﹣1设所求切线方程的斜率为k，则k＝f’（1）＝e﹣1又f（1）＝e，故所求切线方程为：y﹣e＝（e﹣1）•（x﹣1），y＝（e﹣1）x+1（2）因为f′（x）＝e x﹣1令f′（x）＝0⇒x＝0，x＞0，f（x）＞0；x＜0，f’（x）＜0故函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增x＝0时，函数f（x）有极小值f（0）＝2，无极大值．19．近些年来，我国电子商务行业得到高速发展．2009年，阿里巴巴集团开始推出双11打折促销活动，2014年阿里巴巴宣布取得双11注册商标，双11正式成为购物狂欢节．2016年双11当天，阿里巴巴旗下的购物平台24小时的销售业绩就高达1207亿多人民币．与此同时，国家监管部门推出了针对电商的商品质量和服务质量的评价系统，由在购物平台进行了交易的的购物者对电商的商品质量和服务质量作出评价．现从评价系统中任意选出1000次成功交易，并对其评价进行统计发现，对商品质量做出好评的交易有750次，对服务质量做出好评的交易有800次（假设顾客对商品质量和服务质量的评价互不影响），现将频率视为概率．（1）从评价系统中任意选出一次成功交易，求其评价对商品质量和服务质量都是好评的概率；（2）已知某人在该购物平台购物4次，每次都对商品质量和服务质量做出了评价．设此人对商品质量和服务质量都是好评的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由题意：对商品作出好评的概率：，对服务作出好评的概率：，对商品和服务都作出好评的概率：p＝×＝，（2）随机变量X服从二项分布，X～B（4，），EX＝＝2.4．20．设S n为数列{a n}的前n项和，且对于n∈N*，都有成立；（1）求a1，a2，a3；（2）猜测数列{a n}的通项公式并用数学归纳法证明．【解答】解：（1）∵对于n∈N*，都有成立，∴，a1＝S1＝1，，，a2＝2，，a3＝3；（2）由（1）猜想a n＝n．证明：①当n＝1，a1＝1，显然成立；②假设n＝k时，a k＝k成立，则当n＝k+1时，a k+1＝S k+1﹣S k＝＝，∴a k+1＝k+1，即n＝k+1时，等式也成立，由①②可知，a n＝n对一切n∈N*都成立．21．学校在高二年级开设了A，BCD共4门不同的选修课，每个学生必须从中任选一门．已知高二的3名学生甲、乙、丙对这4门选修课的兴趣相同（即选这四门课是等可能的）；（1）求甲、乙、丙三人选择的选修课都不相同的概率；（2）求恰有2门选修课甲、乙、丙都没有选择的概率；（3）设随机变量ξ为甲、乙、丙三人中选修A这门课的人数，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）根据分步计数原理总事件数是：43，满足条件的事件数是．所以3个学生选择了3门不同的选修课的概率：．（2）恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率：．（3）由题意，ξ＝0，1，2，3，4．P（ξ＝0）＝．P（ξ＝1）＝．P（ξ＝2）＝．P（ξ＝3）＝＝．所以ξ的分布列为：Eξ＝．22．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+（2﹣a）x；（1）讨论f（x）的单调性；（2）已知（a＞0）时，不等式恒成立；若函数y＝f（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，线段AB中点的横坐标为x0，求证：f'（x0）＜0．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），；（i）若a≤0，则f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）单调增加，（ii）若a＞0，则由f′（x）＝0得，且当时，f′（x）＞0，当时，f′（x）＜0；即f（x）在单调增加，在单调减少；（2）证明：由（1）可知当时，f（x）在单调增加，在单调减少．f（x）与x轴有2个交点，则，且x1，x2中一个大于，一个小于，设，，则，因为，恒成立，所以，即， 又f （ x 1）＝f （ x 2）＝0，所以，因为，，又f （x ）在单调递减，可知即，，则，f ′（x 0）＜0．故f ′（x 0）＜0成立．。
重庆市”九校联盟“高2019级联考数学试题含答案
重庆市“九校联盟”高2019级联考数学试题命题学校：荣昌永荣中学 命题人：彭文彪 审题人：陈时明一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，仅有一个选项符合题目要求，请将正确选项填涂在答题卡上）1．（原创）已知a ，b 为非零实数，且b a >，则下列命题成立的是（ ）A. 22->-b aB. b a 22->-C. 22a b >D.b a 11>2．（原创）在等差数列{}n a 中，235a a +=，14a =，则5S 等于（ ）A ．30B ．20C ．15D ．103．（原创）为了了解某中学教职工的身体情况，拟采用分层抽样的方法从老、中、青年教师中抽取60名教师进行调查．已知该校老、中、青年教师分别有90，270，180名教师，则从青年教师中应抽取的人数为（ ）A ．10B ．20C ．24D ．304．（改编）在△ABC 中，已知︒===45,220,40A b a ，则角B 等于（ ） A ．︒60B ．︒︒12060或C ．︒30D ．︒︒15030或5．（原创）设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≤-3010y y x y x ，则y x Z 2+=的最小值为（ ）A ． 1B ．23 C ． 2 D ． 25 6．在明朝程大位《算法统宗》中有这样一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称为浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？ （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．57．（改编）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且ab b c 222=-，3π=C ，则BAsin sin 的值为（ ） A ．3 B ．13 C ．21D ．2 8.（改编）右图为某校高一（1）班全体学生参加一次数学测试成绩的频率分布直方图，数据的分组依次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,80,100.若低于60分的人数是18人，则高于60分的学生人数是（ ）A ．36B ．40C ．42D ．489．已知△ABC 中，︒=∠30A ，AB ，BC 分别是23,23+-的等差中项与等比中项，则△ABC 的面积等于( ) A ．23 B ．43 C ．323或 D ．4323或 10．（改编）将数列{}12-n 按“第n 组有n 个数”的规律分组如下：⋅⋅⋅⋅⋅⋅),32,16,8(),4,2(),1(， 则第100组中的第一个数是（ ）A ． 49502B ．50002C ．50102D ．5050211．（改编）若关于x 的不等式01)1()1(22≥----x a x a 的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ）A ．153<<-aB ．153≤<-aC ．153>-<a a 或D ．153≥-<a a 或12．（改编）若数列{}{}n n b a ,的通项公式分别为a a n n ⋅-=+2016)1(，nb n n 2017)1(2+-+=，且n n b a <对任意*N n ∈恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡-21,1B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-21,2C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-23,2D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-23,1二、填空题:（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
重庆市“九校联盟”高2019级联考数学试题命题学校：荣昌永荣中学 命题人：彭文彪 审题人：陈时明一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，仅有一个选项符合题目要求，请将正确选项填涂在答题卡上）1．（原创）已知a ，b 为非零实数，且b a >，则下列命题成立的是（ ）A. 22->-b aB. b a 22->-C. 22a b >D.b a 11>2．（原创）在等差数列{}n a 中，235a a +=，14a =，则5S 等于（ ） A ．30 B ．20 C ．15 D ．103．（原创）为了了解某中学教职工的身体情况，拟采用分层抽样的方法从老、中、青年教师中抽取60名教师进行调查．已知该校老、中、青年教师分别有90，270，180名教师，则从青年教师中应抽取的人数为（ ）A ．10B ．20C ．24D ．304．（改编）在△ABC 中，已知︒===45,220,40A b a ，则角B 等于（ ） A ．︒60B ．︒︒12060或C ．︒30D ．︒︒15030或5．（原创）设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≤-3010y y x y x ，则y x Z 2+=的最小值为（ ）A ． 1B ．23 C ． 2 D ． 25 6．在明朝程大位《算法统宗》中有这样一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称为浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？ （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．57．（改编）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且ab b c 222=-，3π=C ，则BAsin sin 的值为（ ） A ．3 B ．13 C ．21D ．2 8.（改编）右图为某校高一（1）班全体学生参加一次数学测试成绩的频率分布直方图，数据的分组依次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,80,100.若低于60分的人数是18人，则高于60分的学生人数是（ ）A ．36B ．40C ．42D ．489．已知△ABC 中，︒=∠30A ，AB ，BC 分别是23,23+-的等差中项与等比中项，则△ABC 的面积等于( ) A ．23 B ．43 C ．323或 D ．4323或10．（改编）将数列{}12-n 按“第n 组有n 个数”的规律分组如下：⋅⋅⋅⋅⋅⋅),32,16,8(),4,2(),1(， 则第100组中的第一个数是（ ）A ． 49502B ．50002C ．50102D ．5050211．（改编）若关于x 的不等式01)1()1(22≥----x a x a 的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ）A ．153<<-a B ．153≤<-a C ．153>-<a a 或 D ．153≥-<a a 或 12．（改编）若数列{}{}n n b a ,的通项公式分别为a a n n ⋅-=+2016)1(，nb n n 2017)1(2+-+=，且n n b a <对任意*N n ∈恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡-21,1B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-21,2C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-23,2D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-23,1二、填空题:（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
请将答案填写在答题卡上） 13．（改编）不等式21≥-xx 的解集是___________． 14．（原创）为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩(满分100分)进行统计，作出的茎叶图如图所示，则该同学数学成绩的中位数为_____.15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，且满足41cos ,2-==-A c b ，△ABC 的面积为153，则a 的值为___________．16．（改编）已知正项等比数列{}n a 满足：4562a a a +=，若存在两项n m a a ,，使得14a a a n m =，则nm 19+的最小值为 ___________． .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（原创）（本小题满分12分）在等差数列}{n a 中，已知10,4531=+-=a a a（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若53,a a 分别为正项等比数列{}n b 的第1项和第3项，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．（原创）（本小题满分12分）设ABC ∆的内角C B A ,,所对应的边长分别是c b a ,,,且A b a sin 23=. （1）求角B 的大小；（2）若△ABC 为锐角三角形，且7,5==b a ，求c ．19．（原创）（本小题满分12分）某中学高一年级某班主任李老师近期对班上每位同学的成绩作相关分析时，得到该班王萍同学的某些成绩数据如下：（1）求总分年级排名对数学成绩的线性回归方程a x b y+=ˆˆ; （2）若王萍同学想在下次测试时，总分年级排名考入前100名，预测她下次测试的数学成 绩至少应考多少分（按四舍五入取整数）。
附:线性回归方程a x b y+=ˆˆ中,x by a x x y yx x b ni ini iiˆ,)())((ˆ121-=---=∑∑== 20．（原创）(本小题12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，且满足Ac C a B b cos cos cos 2+=.（1）求角B 的大小；（2）若1=b ，求△ABC 的周长l 的取值范围．21．（改编）(本小题12分) 已知nS 为数列{}n a 的前n 项和，142,02-=+>n n n n S a a a（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b满足()12+=n a nn a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T .（1）若1=b ，求不等式0)1(<-x f 的解集；重庆市“九校联盟”高2019级联考数学试题参考答案ADBCB BACDA BC12题提示：当n 为奇数时，nb a a n n 12,+=-=，由n n b a <恒成立可得： n a 12+<-，即)12(na +->对n 取一切奇数恒成立 2-≥∴a 当n 为偶数时，nb a a nn 12,-==，由n n b a <恒成立可得： n a 12-<对n 取一切偶数恒成立23<∴a ,综上： 232<≤-a 选C13. {}01<≤-x x 14. 84 15. 8 16. 3817.（本小题满分12分）解:(1)∵{}n a 是等差数列，且10,4531=+-=a a a ∴10621=+d a ……2分 将41-=a 代入上式，得：3=d …………………………………………4分∴73)1(34)1(1-=-+-=-+=n n d n a a n 。
………………………………6分 （2） 73-=n a n ∴8,253==a a ∴8,231==b b ……8分 又{}n b 是等级比数列，且0>n b 213q b b =∴ ∴228q = 42=q∴2±=q ，舍不符合题意，q 2-=∴2=q ……10分 ∴22)12(2212111-=-=⋅=⋅=+--n n qn nnb S ………………………12分 18. （本小题满分12分）解:(1)∵2s i n b A =∴由正弦定理有：A B A sin sin 2sin 3⋅⋅=⋅……3分因为s i n 0A ≠,所以s in B……………………………………4分 又0B π<<,所以233B ππ=或。
………………………………………6分 （2） ∆ABC 为锐角三角形，由第（1）问知：∴=B 3π……8分由余弦定理,有：2222c o s ba c a c B =+-. ∴c c 525492-+=因为即：02452=--c c ………10分∴38-=或c （-3不符合题意，舍去）∴8=c …… 12分19.（本小题满分12分）（1）由题意可得：100)1021019998(41=+++=x ……………………1分 150)144146152158(41=+++=y ……………………2分 34)6(2)4(12)1(8)2())((1-=-⨯+-⨯+⨯-+⨯-=--∑=y y x x in i i………4分 1021)1()2()(222221=++-+-=-∑=x x ni i……………………6分 4.31034)())((ˆ121-=-=---=∑∑==ni ini iix x y y x x b……………………7分 490100)4.3(150ˆ=⨯--=-=x by a 494.3ˆ+-=∴x y ………8分 （2））由由题意可得：100ˆ≤y 104904.3≤+-∴x ………10分 1154.3390≈≥∴x ∴下次测试的数学成绩至少应考115分.……12分 20.（本小题满分12分）(1)由A c C a B b cos cos cos 2+=可得A C C A B B cos sin cos sin cos sin 2+=……2分 )sin(cos sin 2C A B B +=∴ ………………………………………… 3分 B C A -=+π BB B B sin )sin(cos sin 2=-=∴π0sin ≠B …4分 21cos =∴B ………………………………………… 5分 3π=B ………………………………………… 6分 (2)解法一：由余弦定理可得：3cos 2222πac c a b -+= ac c a b -+=∴222 ………8分ac c a 3)(12-+=∴ acc a 31)(2+=+即： …………………… 9分 4)(2c a ac +≤ 4)(31)(22c a c a ++≤+∴ ……10分4)(2≤+∴c a ，即2≤+c a ……………………………………11分 又1=>+∆b c a ABC 中，在 32≤++<∴c b a 即32≤<l ……12分7,5==b a解法二：1,3==b B π∴由正弦定理可知：R B b C c A a 23323sin 1sin sin sin =====π …………7分 1)sin (sin 2++=++=C A R c b a l ……………………………………8分1)]32sin([sin 332+-+=A A π1)cos 23sin 23(332++=A A 1)6sin(2++=πA ……10分3π=B 320π<<∴A 6566πππ<+<∴A 1)6sin(21≤+<∴πA 31)6sin(22≤++<∴πA32≤<l 即： ……………………………………12分（1）、当14211121-=+=a a a n 时，, 解得：11=a ………2分 当2≥n 时，由1422-=+n n n S a a 可知 1421121-=+---n n n S a a n n n n n a a a a a 4221212=-+-∴-- …………………………………3分 )(2))((111---+=-+∴n n n n n n a a a a a a ………………………………4分 0>n a 21=-∴-n n a a ……………………………………5分 ∴数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列12-=∴n a n …………………………………………………6分 （2）由（1）可得 nn nn n b 2)12()2)(12(2-=-= ……………………………7分 nnn T 2)12(252321321⨯-+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=∴ 14322)12(2523212+⨯-+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n T …………………………8分 14322)12()2222(22+⨯--+⋅⋅⋅++++=-∴n nnn T ………………………9分 112)12(21)21(422+-⨯----⨯⨯+=n n n 62)12(212-⨯--=++n n n …………… 11分62)32(1+⨯-=∴+n nn T ………………………………………… 12分 22．（本小题满分10分）即0)1(<+-a x x ………………………………………… 2分②当01=-a 即1=a 时，不等式的解集为：Φ5分 （26分 当1-=x ，显然不等式)(*恒成立； ……………………………7分8分 9分 1->∴b ………………………………………… 10分。