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圆锥曲线与平面向量的综合

（ 1）

解析几何是研究方程与曲线的一门学科，是用代数的方法研究曲线的性质，而平面向量既具有代数形式又具有几何形式，因此平面向量与解析几何的结合是顺理成章的事情，在解决解析几何问题时，平面向量的出现不仅可以很明确地反映几何特征，而且又方便计算，把解析几何与平面向量综合在一起命制考题，可以有效地考查考生的数形结合思想，解析几何的基本思想以及数学联结能力等数学思想和数学能力。

在 2004 年的试卷中 , 向量与解析几何综合的解答题有：全国卷Ⅰ（文，理），全国卷Ⅱ（理），天津卷（文，理），湖南卷（文，理），江苏卷，辽宁卷等.

在 2005 年的试卷中 , 向量与解析几何综合的解答题有：全国卷Ⅰ（文，理），全国卷Ⅱ（文，理），天津卷（文，理），福建卷（文，理），

重庆卷（文，理），湖南卷（文，理），辽宁卷等 .

这表明在全国2004 年的 25 套试卷中有9 套占36%，在 2005 年的 29 套试卷中 , 就有

13 套 , 占45% .

(一 )解析几何与向量综合的题目，可能出现的向量内容：

1. 给出直线的方向向量u1, k或 u m, n，等于已知直线的斜率k 或n

；m

2. 给出OA OB 与

3. 给出PM PN

4. 给出AP AQ AB 相交,等于已知OA

0 ,等于已知P是MN

BP BQ ,等于已知

OB 过

的中点 ;

P,Q 与

AB 的中点;

AB 的中点三点共线;

5.给出以下情形之一

①AB // AC ,

②存在实数, 使 AB AC ,

③若存在实数

, ,且1, 使O C O A O B 等于已知

A, B, C

三点共线

.

,

6.

OA OB

为定比，即 AP PB 给出 OP，等于已知 P 是AB的定比分点，

1

7.给出 MA MB0 ,等于已知MA MB ,即AMB 是直角,给出MA MB m0 ,等于已知AMB 是钝角,给出MA MB m0 ,等于已知AMB 是锐角,

8.给出MA MB

MP ,等于已知 MP 是 AMB 的平分线/ MA MB

9.在平行四边形 ABCD 中，给出 ( AB AD) ( AB AD)0 ，等于已知 ABCD 是菱形;

10.在平行四边形ABCD 中，给出AB AD AB AD ，等于已知ABCD是矩形;

2

OB 22

ABC 的外心；

11.在ABC 中，给出 OA OC ，等于已知 O 是

12.在ABC 中，给出OA OB OC0 ，等于已知O是ABC 的重心；

13.在ABC 中，给出OA OB OB OC OC OA ，等于已知O是ABC 的垂心；

14.在ABC 中，给出OP OA( AB AC )(R) 等于已知AP 通过ABC 的

AB AC

内心；

15. 在 ABC 中，给出 a OA b OB c OC 0, 等于已知 O 是 ABC 的内心；

16. 在

ABC 中，给出 AD

1

AB

AC ,等于已知 AD 是

ABC 中 BC 边的中线 ;

2

17. 给出 MA MB m cot AMB ,等于已知

AMB 的面积 (三 ) 综合题举例 【例 1】 (2005 年·辽宁卷 21)

已知椭圆 x 2

y 2 1( a b

0) 的左、右焦点分别是 F 1 （－ c ， 0）、 F 2（ ， 0），

Q

a

2

b

2

c

是椭圆外的动点， 满足 | F 1Q | 2a. 点 P 是线段 F 1Q 与该椭圆的交点， 点 T 在线段 F 2Q 上，

并且满足 PT

TF 2 0,| TF 2 | 0.

（Ⅰ）设 x 为点 P 的横坐标，证明 | F 1 P | a c

x ；

（Ⅱ）求点 T 的轨迹 C 的方程；

a

的面积 S=b 2 .若存在，

（Ⅲ）试问：在点

T 的轨迹 C 上，是否存在点

M 使△ F 1 MF 2 求∠ F 1MF 2 的正切值；若不存在，请说明理由 .

解 ： （Ⅰ）证法一：设点

P 的坐标为 ( x, y).

由 P (x, y) 在椭圆上，得

| F 1P |

2

2

2

2

b 2

2

( x c)

y

(x c)

b 2

x

a

(a

c

x) 2 .

a

由 x a,知 a

c x c a

，所以 | F 1 P | a

c

x.

a

a

证法二：设点 P 的坐标为 ( x, y). 记 | F 1 P | r 1 ,| F 2 P | r 2 ,

则 r 1 ( x c) 2

y 2 , r 2

(x c)2 y 2 .

由

r 1 r 2

2 , 2 2

4 , 得 | F 1P |

r 1

a c .

a r 1

r 2

cx

a x

c x

证法三：设点 P 的坐标为 ( x, y). 椭圆的左准线方程为

a

0.

2

a

c

，即 | F 1P | c

| x

c

x | .

由椭圆第二定义得

| F 1 P |

a

| | a

a 2

a a

c

a

| x c |

c

c

由 x

a, 知 a

x

c

a

0 ，所以 | F 1P |

a

a x.

a

（Ⅱ）解法一：设点

T 的坐标为 ( x, y).

当 | PT | 0 时，点（ a ， 0）和点（－ a ， 0）在轨迹上 .

当 | PT |

0且 | TF 2 | 0 时，由 | PT | |TF 2 | 0 ，得 PT

TF 2 .

又 | PQ | | PF 2 | ，所以 T 为线段 F 2Q 的中点 .

在△ QF 1

2

1

，所以有 x 2

y 2

a

2 .

F 中， | OT |

| F 1Q | a

2

综上所述，点 T 的轨迹 C 的方程是 x 2

y 2 a 2 .