化归方法

化归方法

一、化归方法在小学数学教学中的体现

在小学数学教学中，小数乘法、除法分别化归为整数乘法、除法；异分母加法、减法化归为同分母加法、减法，进而又化归为整数（分子）的加法、减法；平行四边形、三角形、梯形、圆的面积公式及圆柱的体积公式都是通过化归得到的；组合图形的面积计算也是通过化归的方法进行计算的；因此，化归方法在小学数学教学中有相当多的体现。

二、化归方法的基本知识

1、一个未必真实的故事

据说有人给一位数学家和一位物理学家同时提了如下的两个问题：

问题1 假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶（它是空的）和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？

问题2假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶（它盛满了水）和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？

对于问题在1，两人的回答是一致的：在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。而对于问题2，两人的回答却大相径庭，物理学家的回答是：点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。数学家的回答是：倒掉壶中的水，把问题2转化为问题1，由于问题1已经解决，所以问题2也随之解决。

这个故事或许太夸大了，但它却形象地说明了数学家思维方式的重要特征。

2、化归方法的含义

从字面上看，“化归”即转化和归结的意思。“化归方法”一般是指把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者解决比较容易解决的问题中去，最终求获原问题之解答的一种手段和方法。简单地说，化归就是问题的规范化、模式化。

例1平行四边形面积学生不会求，但通过剪拼的方法把平行四边形转化为长方形，而长方形的面积学生是会求的，再通过原平行四边形和转化所得的长方形关系的比较，得到求平行四边形面积的一般方法。

化归是解决数学问题的一种极为重要的思想方法，它甚至被称为是数学家的

思想。从宏观上看，化归思想是解决数学问题形成数学构想的方法论依据。解析几何就是把几何问题化归为代数问题，函数图像是把代数问题化归为几何问题来解决的工具。从微观方面看，数学问题的解决过程就是不断地发现问题、分析问题，直到化归为熟悉问题的过程。

化归方法包括三个要素：化归对象、化归目标和化归途径。化归对象就是把什么东西进行化归；化归目标就是化归到何处去；化归途径，即如何进行化归。例1中化归的对象为平行四边形，化归的目标是长方形，化归的途径是剪拼。实现化归的关键是实现问题的规范化、模式化，化未知为已知是化归的方向。

化归的一般模式：

3、化归方法的原则

（1）简单化原则

所谓简单化原则就是将复杂的问题化归为比较简单的问题，从而使问题更加容易解决。

例2一个圆柱形水桶，底面半径为2分米，桶内水深3分米。把一块不规则形状的铁块放进桶内水中后，水面上升到3.5分米。这块铁块的体积是多少立方分米？

这道题中的铁块是不规则形，题中没有告知铁块的其他已知条件，所以不能直接求出它的体积，而运用化归的方法通过等积变形，把铁块的体积化归为桶内水上升的体积，求得与水上升等高的圆柱体积。本题中，变求不规则形状铁块的体积这个复杂问题，为求桶内水上升的体积即圆柱的体积的简单问题，体现了简单化的原则。

（2）熟悉化原则

所谓熟悉化原则就是将原问题中陌生的形式或内容转化成比较熟悉的形式和内容。

如上例1，就是把求平行四边形面积这个不熟悉的内容转化成学生熟悉的求长方形面积的内容。

4、化归的途径

（1）分解与组合

分解与组合是实现化归的重要途径。所谓分解，就是把一个复杂的问题分成若干个较简单或较熟悉的问题，从而使原问题得以解决。当然，在许多情况下，“分解”并不能单独解决问题，为了使化归过程的完全实现，还要结合“组合”，即把所给出的问题与有关的其他问题作综合的研究，使原问题得以解决。分解与组合是相辅相成的，也是和谐统一的。其模式可用框图表示如下：

小学数学中求组合图形的面积大部分都是用这种分解与组合的化归方法。

（2）恒等变形

恒等变换就是把一个解析式变换成另一个和它恒等的解析式。数学中的配方法、因式分解等恒等变换，都起到将复杂（难、未知）的问题化归为简单（易、已知）的问题的作用。

如上例1，其实也是一种恒等变形，它把平行四边形变成了长方形，但其面积没变。

思考题：

1. 结合小学数学教材中的教学内容，举一个运用化归方法的例子。

2.利用网络资源，对“数形结合”数学思想方法的相关材料进行查找，并以小学数学内容举例

资料来源：

1. 《数学思想方法》顾泠沅朱成杰中央广播电视大学出版社 2004年6月第1版2．《数学思想方法教学研究导论》朱成杰文汇出版社 2001年6月第2版3．《数学思想应用及探究—建构教学》王培德人民教育出版社 2003年8月第1版4．中央电大开放教育小学教育本科《数学思想与方法》课程学习辅导材料