概率论期末复习重点

概率论期末总复习

第一章 随机事件

1、

事件的关系与运算 2、

古典概率 3、

条件概率的概念与性质，乘法公式 4、

事件的独立性 5、 主要公式

（1）()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-

（2）)()()(AB P A P B A P -=-

（3）()()1P A P A =-

（4）()()()

|P AB P B A P A = （5）()()()()()||P AB P A P B A P B P A B ==

（6）n 重贝努利试验中，事件A 发生k 次的概率为

6、

主要例题：P10例1.3.3、例1.3.4； 7、 主要习题：P23习题1.10、1.14、1.16、1.23

例1、已知8.0)(,5.0)(,3.0)(===B A P B P A P Y ，

求（1）P(AB)；（2）P （A －B ）；（3）)(__

__B A P

解：（1）由)()()()(AB P B P A P B A P -+=Y

得()()()()P AB P A P B P A B =+-⋃

（2）3.003.0)()()(=-=-=-AB P A P B A P

（3）2.08.01)(1)()(___________=-=-==B A P B A P B A P Y Y

第二章随机变量

1、离散型分布列

()i i P X x P ==，i ＝1，2，……

（1）0≥i P （2）11

=∑∞=i i P

2、分布函数)()(x X P x F ≤=

3、连续型概率密度函数)(x f

（1）0)(≥x f （2）()1f x dx ∞

-∞=⎰

（3）⎰-==≤

4、常用离散型

（1）两点（0－1）分布

E （x ）＝P ，D （x ）＝P （1－P ）

（2）二项分布X ～B （n ，p ）

E （x ）＝np ，D （x ）＝np （1－p ）

（3）泊松分布X ～)(λP

!)(K e K X P K λ

λ-==，K ＝0，1，2，……0>λ

E （x ）=D （x ）＝λ

5、常用连续型

（1）均匀分布],[~b a U X

（2）指数分布][~λE X

（3）正态分布),(~2σu N X

（4）标准正态分布X ～N （0，1）

6、重要例题：P39例2.3.3、2.3.4；

7、重要习题：P48习题2.2、2.4、2.13、2.14、2.19

例1、设随机变量X 的密度函数为

求：（1）常数K ；（2）分布函数F （x ）（3）P （0.5

（4）E （x ），D （x ）

解：（1）⎰⎰∞∞-====101022|2)(1K

x K

Kxdx dx x f ，K ＝2

（2）⎰⎰∞-===≤x x

dt dt t f x F x 000)()(0时，

（3）43|2)()25.0(15.021

5.025.0====<<⎰⎰x xdx dx x f X P

（4）32

|32

2)()(10310====⎰⎰∞∞-x xdx x dx x xf x E

第三章 多维随机变量

一、二维离散型随机变量（x,y ）

1、联合分布律()i i ij P X x y P ===，Y

性质：（1）0≥ij P （2）111

=∑∑∞-∞

=j i ij P

2、边缘分布

11

() ()i i ij j j ij j i P P X x P P P Y y P ∞∞

⋅⋅========∑∑、

()(),X f x f x y dy +∞

-∞=⎰，()(),Y f x f x y dx +∞

-∞=⎰

3、独立性X 与Y 独立j i ij P P P ⋅⋅=⇔

4、条件分布()()

(),|i j ij i j j j P X x Y y P P X x Y y P P Y y ⋅=======

二、重要例题：P53例3.2.1

三、重要习题：P79习题3.7、3.8、3.9、3.15、3.16、3.26 例1、设随机变量X 和Y 的分布律为

问（1）βα,为何值时，X 与Y 独立？（2）()()

,E X E Y （3）()1|1P X Y == 解：（x ，y ）的边缘分布如上表，由独立特性得

第四章随机变量的数字特征

一、数学期望

（1）1 ()() i i i x P E X xf x dx ∞=∞

∞⎧

⎪=⎨⎪⎩∑⎰－离散

连续

（2）设Y ＝g （x ），则1()()()()i i

i g x P E Y g x f x dx

∞

=∞

-∞⎧⎪=⎨⎪⎩∑⎰ （3）性质：E （C ）＝C ，E （ax+b ）＝aE （x ）＋b

二、方差

（1）2()[()]D X E X E X =-

（2）简化公式：22()()(())D X E X E X =-

（3）性质：D （C ）＝0，2()()D aX b a D X +=

三、重要例题：P89例4.1.7；P94例4.2.2；