城市轨道交通非高峰期列车交路方案优化
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大小交路指由2个单一交路嵌套在一起的交路；分段交路是由相互衔接的单一交路组成的；交错交路是指城轨列车在某一个区间的交路交错，共线或不共线运行。
分段交路和交错交路因为线路的不连贯，会给部分乘客带来换乘的问题，使非高峰期乘客增加不必要的等待时间，同时也使研究问题变得更复杂，而大小交路不会存在这样的问题，大小交路是比较合理经济的一种的运行方案，特别是对于区间客流不均衡程度高所造成的运能不满足需求的情况，大小交路尤为适用。对于非高峰期客流在空间分布不均衡的情况，组织开行部分在中间站折返的小交路列车，能缓解客流压力，减少乘客等待时间，同时减少运营成本。
故乘客候车时间总和的期望值为：
假设每小时列车运行了n趟，则，所以有：
这里n指每h列车运行列数。
那么对于一条单向运行的线路，每h所有乘客的平均等候时间为：
所以此时目标函数可写成：
niciຫໍສະໝຸດ Baidu
对非高峰期模型的约束条件进行分析，包括以下几点。
1)满足各区段客流量的需求。所设计的交路方案在各区段的列车开行数量应满足乘客出行需求。设区段辆车定员均为V，满载率为100%，则
【正文语种】中 文
【中图分类】U292.4
随着我国城市化进程的不断加快，城市人口的不断增加，城市交通问题日益凸显。城市轨道交通作为大运量、快速准时的交通运输方式，逐渐成为解决城市拥堵问题的重要途径。城市轨道交通在提供给乘客方便快捷的同时，也承担了沉重的财务压力。在城市轨道交通列车运行成本中，非高峰占据了大部分运营时间，因此如何安排非高峰时期列车的运行对成本控制显得尤为重要。
【期刊名称】《铁道科学与工程学报》
【年(卷),期】2015(000)001
【总页数】6页(P190-195)
【关键词】城市轨道交通;非高峰期;列车交路;开行方案;优化
【作 者】凌俊;胡雄;何红弟;郑培
【作者单位】上海海事大学 物流研究中心，上海 201306;上海海事大学 物流研究中心，上海 201306;上海海事大学 物流研究中心，上海 201306;上海海事大学 物流研究中心，上海 201306
城市轨道交通非高峰期列车交路方案优化
凌俊;胡雄;何红弟;郑培
【摘 要】为降低轨道交通运营成本，同时保证乘客的服务水平，针对城市轨道交通非高峰期客流不均衡情况，对城市轨道交通非高峰期列车交路方案进行研究。考虑列车 OD 客流量、列车运行间隔、列车车底数及线路交路限制等特征，建立运营商成本最小化及乘客等待时间最小化的双目标多约束优化模型。其次设置不同的权重，利用遗传算法对模型进行求解。结果显示偏好程度不同，模型指定的优化方法不同。该模型能够灵活地设计非高峰期列车交路方案，这为城市轨道交通决策者提供决策支持，具有一定的指导意义。%In order to reduce the operation cost of the rail transit,and ensure the service level for passengers, this paper aims to study the train routing schemes according to the unbalanced situation of the off -peak passen-ger flow to the city rail transit.Taken into account of the OD passenger flow,the trains'interval time,the circu-lation of rolling stocks and the number of routings,the multi -constraints'model with multi -objectives was es-tablished to minimize the cost of the operator and the waiting time of passengers.Then different weights of the ob-jective functions were set and the genetic algorithm was utilized to resolve the model.The results show that differ-ent decision preference needs different optimization methods using this model.This model flexibly designs the train routing scheme during the off -peak period,which can support the line planning of the urban rail transit and has certain guiding significance.
因此本文选择使用大小交路的情况进行研究，目的是要确定小交路数、小交路的起始站和终点站，以及大、小交路列车各自的开行列数。
城市轨道交通运输组织的目标是，从系统优化的角度，试图寻求最佳列车开行方案，使其确定的运输能力与实际客流需求量相匹配，因此我们考虑OD客流分布，准确地反映客流情况。非高峰期列车大小交路方案优化的主要目标在于满足非高峰期乘客的出行需求减少候车时间，同时结合非高峰期客流的特点适当调整班次密度，提高上座率，降低运营商的成本。该模型是基于全线统一编组、站站停的情况下构建出来的。
上述研究对本文有重要的启示，但均没有考虑非高峰期的OD客流情况、线路交路限制情况等问题。基于此，本文关注城市轨道交通系统中非高峰期OD客流在空间分布不均衡情况，充分考虑列车客流量、非高峰期列车间隔、车底数及线路交路的设置情况，研究城市轨道交通非高峰期列车交路的优化方案。
列车交路的基本交路形式包括单一交路、大小交路、分段交路和交错交路[12](如图1)。单一交路适用于全线客流比较均匀、断面客流量基本相同的轨道交通线路，对于非高峰期客流不均衡的情况，需要考虑其他的交路形式。
城市轨道交通线路的特点不尽相同，客流变化不定，导致许多可变因素，在建模之前需要对实际运营情况进行预先设定，做出如下假设：
(1)本文只针对非高峰期的时段进行研究分析；
(2)列车实行全线统一编组、站站停的方案；
(3)线路非高峰期双向客流特点类似，单向最优即是全线最优；
(4)同一时段内列车发车间隔相同；
(5)在能直达的情况下，乘客会选择直达的车辆，不考虑换乘问题。
乘客乘坐列车的平均时间间隔取决于乘客每小时能乘坐列车数量，其能乘坐列车数量为该区段运行的各交路列车运行的趟数之和，即
因此，每h内每个乘客乘坐列车的时间间隔为：
从运营商的效益方面考虑，收入取决于运营成本及乘客票价收入，但是OD客流确定时，其相应票价也是定值，所以，我们只需考虑运营成本，其目标在于实现运营成本最小化。
tsd：由s站至d站的乘客所能乘坐的列车的平均间隔时间，单位为min；
： 0/1变量，表示从s站至d站的乘客能否乘坐第i种交路，若能，则该值为1，否则为0；
tpeak：高峰期列车运行间隔时间，单位为min；
mi：第i条交路车底数限制；
：第i条交路列车单向运行时间，单位为min；
：非高峰小时单向最大断面客流量，单位为人。
2)满足列车运行间隔限制要求。一般情况下，非高峰时期客流量较小，列车间隔时间会增大，因此，列车运行时间间隔应大于等于高峰期间隔，此外，列车运行间隔不能过大，一般不能超过10 min[14]，即
3)满足车底数限制要求。因为各区段客流不平衡有可能造成部分交路列车开行比较密集，故需要考虑每条交路上车底数是否满足限制，故有
nici
因为多目标规划问题，求解时所有目标函数一般不可能同时取得最优解。考虑到城市决策者的实际需要，2目标并非一定同等重要，所以，本文选择使用权重系数变换法求借所建立模型的Pareto最优解，给定两个目标函数的权重系数w1和w2分别表示决策者对运营商利益和乘客利益的重视程度[10]。于是，上述问题就转化为求解两目标的线性加权之后的单目标最优化问题：
4)线路开行交路限制。各区段应至少有一个交路运行，某些区段可能会有2条甚至3条交路同时运行，但是一般情况下，城市轨道交通很少采取3条以上的交路，所以，对于任意4条不同交路，其乘积都为0，即有
5)列车每小时运行趟数为整数。
城市轨道非高峰期列车交路方案优化模型为双目标非线性混合整数规划模型，并且需要考虑列车交路及列车开行频率的相互影响，直接求解比较困难。考虑到目标函数Z1以运营成本最小化为中心，目标函数Z2以乘客等待列车时间最小化为中心，两目标之间没有共同的量纲，为了统一量纲，引入乘客平均时间价值β，单位为元/min，将乘客的等候时间转化为货币支出，优化目标统一用“元来衡量。则所得目标函数如下：
为了研究方便，本文记号列举如下：
ni：第i种交路每小时列车运行列数，单位为列/h；当ni>0时，表示开行第i种交路，当ni=0时，表示不开行第i种交路；
nsd：由s站至d站的乘客每h所能乘坐的总列车数，单位为列；
k：交路总数；
Ci：在第i条交路上，每列车运行单趟的平均运营成本，单位为元/列；
qsd：由s站至d站的客流量，单位为人/h；
目标函数1可以表示为
从乘客服务水平的角度考虑，乘客在站台的等待时间越短，则乘客能越快乘上列车，其服务水平越高，反之则越低。所以，最小化乘客在站台等待时间是其指标之一。
目标函数2可以表示为
设列车的发车间隔为t，在[0，t]内，从A站出发到B站的乘客人数为q，其中第i个乘客到达车站的时刻为ti。在[0，t]内发生了q次事件的前提下，各事件发生的时刻(t1，t2，…，tq)可看作相互独立的随机变量，且服从[0，t]上均匀分布[13]，所以有：
列车开行方案设计是指依据客流量和客运设备配置条件，确定列车运行区段、停站、列车种类、编组内容、开行数量等的计划。一个合理的列车开行方案不仅能够最大限度地满足乘客出行需求，给乘客提供较高的服务水平，同时能够提高运营商的收益。
客流的空间分布不均衡会影响列车开行情况，传统单一交路的方案会造成部分段路运能不足而部分段路运能过剩。为了减少运营商的运营成本，同时提高乘客的服务水平，对列车开行交路进行优化是可行且必要的。但由于运营简单且管理便利，目前大部分城市轨道交通仍实行简单的单一交路的运行方式，对于客流不均衡的现实情况未做相应的调整，导致部分运力的浪费，不利于节约运营成本。吕晓东[1]主要针对高峰期单条线路和网络化后的线路列车运行交路优化方法加以阐释，并建立优化模型；武卫国等[2]以全日断面客流量为主要依据的基础上，分析轨道交通线路上各站点客流分布的不均匀程度及其判别标准，建立以运营成本最小化为目标的模型分析交路的设置问题；田福生等[3]在高峰期的客流背景下，提出以车底数最优作为目标，实现了以车底数最优作为标准的多种地铁列车交路方案的比选。王彦栋[4]以高峰期客流为背景，提出以列车实载乘客量与标准载客量方差之和最小及使用车底数最少的多目标规划模型，分析列车开行方案。ZHOU等[5]运用分支定界的方法，研究了单线铁路的乘客列车开行方案的编制问题；CHANG等[6]采用模糊数学规划来研究台湾高速铁路列车的开行方案，建立了单条铁路线上城际高速铁路乘客列车开行方案的多目标模型。Bussieck等[7]以德国铁路为背景，研究了铁路乘客列车开行方案的编制问题。Liebchen[8]建立了基于均衡调度模式下乘客等待时间最小的列车调度目标优化模型，并用遗传算法进行求解。程婕等[9]基于高峰小时断面客流情况，以快速周转和换乘客流最少为目标，考虑站线运输能力、运输组织需求及乘客便利性建立了多目标规划模型。Odijk等[10]构造了城市轨道交通周期化列车时刻表的整数规划模型，并提出了求解该模型的特殊启发式算法。现有文献针对非高峰期列车开行方案的客流特征研究不多，在目前文献中，孙鹏等[11]针对城市轨道非高峰期客流结构特点，借鉴物理心理学理论提出了初步的非基本出行候车心理时间模型,考虑保本运营限制，建立了以企业利益和出行者效益最大化的城市轨道交通非高峰期的多目标辅助决策模型。
分段交路和交错交路因为线路的不连贯，会给部分乘客带来换乘的问题，使非高峰期乘客增加不必要的等待时间，同时也使研究问题变得更复杂，而大小交路不会存在这样的问题，大小交路是比较合理经济的一种的运行方案，特别是对于区间客流不均衡程度高所造成的运能不满足需求的情况，大小交路尤为适用。对于非高峰期客流在空间分布不均衡的情况，组织开行部分在中间站折返的小交路列车，能缓解客流压力，减少乘客等待时间，同时减少运营成本。
故乘客候车时间总和的期望值为：
假设每小时列车运行了n趟，则，所以有：
这里n指每h列车运行列数。
那么对于一条单向运行的线路，每h所有乘客的平均等候时间为：
所以此时目标函数可写成：
niciຫໍສະໝຸດ Baidu
对非高峰期模型的约束条件进行分析，包括以下几点。
1)满足各区段客流量的需求。所设计的交路方案在各区段的列车开行数量应满足乘客出行需求。设区段辆车定员均为V，满载率为100%，则
【正文语种】中 文
【中图分类】U292.4
随着我国城市化进程的不断加快，城市人口的不断增加，城市交通问题日益凸显。城市轨道交通作为大运量、快速准时的交通运输方式，逐渐成为解决城市拥堵问题的重要途径。城市轨道交通在提供给乘客方便快捷的同时，也承担了沉重的财务压力。在城市轨道交通列车运行成本中，非高峰占据了大部分运营时间，因此如何安排非高峰时期列车的运行对成本控制显得尤为重要。
【期刊名称】《铁道科学与工程学报》
【年(卷),期】2015(000)001
【总页数】6页(P190-195)
【关键词】城市轨道交通;非高峰期;列车交路;开行方案;优化
【作 者】凌俊;胡雄;何红弟;郑培
【作者单位】上海海事大学 物流研究中心，上海 201306;上海海事大学 物流研究中心，上海 201306;上海海事大学 物流研究中心，上海 201306;上海海事大学 物流研究中心，上海 201306
城市轨道交通非高峰期列车交路方案优化
凌俊;胡雄;何红弟;郑培
【摘 要】为降低轨道交通运营成本，同时保证乘客的服务水平，针对城市轨道交通非高峰期客流不均衡情况，对城市轨道交通非高峰期列车交路方案进行研究。考虑列车 OD 客流量、列车运行间隔、列车车底数及线路交路限制等特征，建立运营商成本最小化及乘客等待时间最小化的双目标多约束优化模型。其次设置不同的权重，利用遗传算法对模型进行求解。结果显示偏好程度不同，模型指定的优化方法不同。该模型能够灵活地设计非高峰期列车交路方案，这为城市轨道交通决策者提供决策支持，具有一定的指导意义。%In order to reduce the operation cost of the rail transit,and ensure the service level for passengers, this paper aims to study the train routing schemes according to the unbalanced situation of the off -peak passen-ger flow to the city rail transit.Taken into account of the OD passenger flow,the trains'interval time,the circu-lation of rolling stocks and the number of routings,the multi -constraints'model with multi -objectives was es-tablished to minimize the cost of the operator and the waiting time of passengers.Then different weights of the ob-jective functions were set and the genetic algorithm was utilized to resolve the model.The results show that differ-ent decision preference needs different optimization methods using this model.This model flexibly designs the train routing scheme during the off -peak period,which can support the line planning of the urban rail transit and has certain guiding significance.
因此本文选择使用大小交路的情况进行研究，目的是要确定小交路数、小交路的起始站和终点站，以及大、小交路列车各自的开行列数。
城市轨道交通运输组织的目标是，从系统优化的角度，试图寻求最佳列车开行方案，使其确定的运输能力与实际客流需求量相匹配，因此我们考虑OD客流分布，准确地反映客流情况。非高峰期列车大小交路方案优化的主要目标在于满足非高峰期乘客的出行需求减少候车时间，同时结合非高峰期客流的特点适当调整班次密度，提高上座率，降低运营商的成本。该模型是基于全线统一编组、站站停的情况下构建出来的。
上述研究对本文有重要的启示，但均没有考虑非高峰期的OD客流情况、线路交路限制情况等问题。基于此，本文关注城市轨道交通系统中非高峰期OD客流在空间分布不均衡情况，充分考虑列车客流量、非高峰期列车间隔、车底数及线路交路的设置情况，研究城市轨道交通非高峰期列车交路的优化方案。
列车交路的基本交路形式包括单一交路、大小交路、分段交路和交错交路[12](如图1)。单一交路适用于全线客流比较均匀、断面客流量基本相同的轨道交通线路，对于非高峰期客流不均衡的情况，需要考虑其他的交路形式。
城市轨道交通线路的特点不尽相同，客流变化不定，导致许多可变因素，在建模之前需要对实际运营情况进行预先设定，做出如下假设：
(1)本文只针对非高峰期的时段进行研究分析；
(2)列车实行全线统一编组、站站停的方案；
(3)线路非高峰期双向客流特点类似，单向最优即是全线最优；
(4)同一时段内列车发车间隔相同；
(5)在能直达的情况下，乘客会选择直达的车辆，不考虑换乘问题。
乘客乘坐列车的平均时间间隔取决于乘客每小时能乘坐列车数量，其能乘坐列车数量为该区段运行的各交路列车运行的趟数之和，即
因此，每h内每个乘客乘坐列车的时间间隔为：
从运营商的效益方面考虑，收入取决于运营成本及乘客票价收入，但是OD客流确定时，其相应票价也是定值，所以，我们只需考虑运营成本，其目标在于实现运营成本最小化。
tsd：由s站至d站的乘客所能乘坐的列车的平均间隔时间，单位为min；
： 0/1变量，表示从s站至d站的乘客能否乘坐第i种交路，若能，则该值为1，否则为0；
tpeak：高峰期列车运行间隔时间，单位为min；
mi：第i条交路车底数限制；
：第i条交路列车单向运行时间，单位为min；
：非高峰小时单向最大断面客流量，单位为人。
2)满足列车运行间隔限制要求。一般情况下，非高峰时期客流量较小，列车间隔时间会增大，因此，列车运行时间间隔应大于等于高峰期间隔，此外，列车运行间隔不能过大，一般不能超过10 min[14]，即
3)满足车底数限制要求。因为各区段客流不平衡有可能造成部分交路列车开行比较密集，故需要考虑每条交路上车底数是否满足限制，故有
nici
因为多目标规划问题，求解时所有目标函数一般不可能同时取得最优解。考虑到城市决策者的实际需要，2目标并非一定同等重要，所以，本文选择使用权重系数变换法求借所建立模型的Pareto最优解，给定两个目标函数的权重系数w1和w2分别表示决策者对运营商利益和乘客利益的重视程度[10]。于是，上述问题就转化为求解两目标的线性加权之后的单目标最优化问题：
4)线路开行交路限制。各区段应至少有一个交路运行，某些区段可能会有2条甚至3条交路同时运行，但是一般情况下，城市轨道交通很少采取3条以上的交路，所以，对于任意4条不同交路，其乘积都为0，即有
5)列车每小时运行趟数为整数。
城市轨道非高峰期列车交路方案优化模型为双目标非线性混合整数规划模型，并且需要考虑列车交路及列车开行频率的相互影响，直接求解比较困难。考虑到目标函数Z1以运营成本最小化为中心，目标函数Z2以乘客等待列车时间最小化为中心，两目标之间没有共同的量纲，为了统一量纲，引入乘客平均时间价值β，单位为元/min，将乘客的等候时间转化为货币支出，优化目标统一用“元来衡量。则所得目标函数如下：
为了研究方便，本文记号列举如下：
ni：第i种交路每小时列车运行列数，单位为列/h；当ni>0时，表示开行第i种交路，当ni=0时，表示不开行第i种交路；
nsd：由s站至d站的乘客每h所能乘坐的总列车数，单位为列；
k：交路总数；
Ci：在第i条交路上，每列车运行单趟的平均运营成本，单位为元/列；
qsd：由s站至d站的客流量，单位为人/h；
目标函数1可以表示为
从乘客服务水平的角度考虑，乘客在站台的等待时间越短，则乘客能越快乘上列车，其服务水平越高，反之则越低。所以，最小化乘客在站台等待时间是其指标之一。
目标函数2可以表示为
设列车的发车间隔为t，在[0，t]内，从A站出发到B站的乘客人数为q，其中第i个乘客到达车站的时刻为ti。在[0，t]内发生了q次事件的前提下，各事件发生的时刻(t1，t2，…，tq)可看作相互独立的随机变量，且服从[0，t]上均匀分布[13]，所以有：
列车开行方案设计是指依据客流量和客运设备配置条件，确定列车运行区段、停站、列车种类、编组内容、开行数量等的计划。一个合理的列车开行方案不仅能够最大限度地满足乘客出行需求，给乘客提供较高的服务水平，同时能够提高运营商的收益。
客流的空间分布不均衡会影响列车开行情况，传统单一交路的方案会造成部分段路运能不足而部分段路运能过剩。为了减少运营商的运营成本，同时提高乘客的服务水平，对列车开行交路进行优化是可行且必要的。但由于运营简单且管理便利，目前大部分城市轨道交通仍实行简单的单一交路的运行方式，对于客流不均衡的现实情况未做相应的调整，导致部分运力的浪费，不利于节约运营成本。吕晓东[1]主要针对高峰期单条线路和网络化后的线路列车运行交路优化方法加以阐释，并建立优化模型；武卫国等[2]以全日断面客流量为主要依据的基础上，分析轨道交通线路上各站点客流分布的不均匀程度及其判别标准，建立以运营成本最小化为目标的模型分析交路的设置问题；田福生等[3]在高峰期的客流背景下，提出以车底数最优作为目标，实现了以车底数最优作为标准的多种地铁列车交路方案的比选。王彦栋[4]以高峰期客流为背景，提出以列车实载乘客量与标准载客量方差之和最小及使用车底数最少的多目标规划模型，分析列车开行方案。ZHOU等[5]运用分支定界的方法，研究了单线铁路的乘客列车开行方案的编制问题；CHANG等[6]采用模糊数学规划来研究台湾高速铁路列车的开行方案，建立了单条铁路线上城际高速铁路乘客列车开行方案的多目标模型。Bussieck等[7]以德国铁路为背景，研究了铁路乘客列车开行方案的编制问题。Liebchen[8]建立了基于均衡调度模式下乘客等待时间最小的列车调度目标优化模型，并用遗传算法进行求解。程婕等[9]基于高峰小时断面客流情况，以快速周转和换乘客流最少为目标，考虑站线运输能力、运输组织需求及乘客便利性建立了多目标规划模型。Odijk等[10]构造了城市轨道交通周期化列车时刻表的整数规划模型，并提出了求解该模型的特殊启发式算法。现有文献针对非高峰期列车开行方案的客流特征研究不多，在目前文献中，孙鹏等[11]针对城市轨道非高峰期客流结构特点，借鉴物理心理学理论提出了初步的非基本出行候车心理时间模型,考虑保本运营限制，建立了以企业利益和出行者效益最大化的城市轨道交通非高峰期的多目标辅助决策模型。