人教版九年级数学全册知识点总结

人教版九年级数学知识点总结

第21章一元二次方程

1 一元二次方程

易错点：① a≠0 和a=0 ②方程两个根的取舍

知识点一

一元二次方程的定义:等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

注意一下几点：

①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。

知识点二

一元二次方程的一般形式: 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

知识点三

一元二次方程的根:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。

2 降次——解一元二次方程

2.1 配方法

知识点一直接开平方法解一元二次方程

（1）一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x

1=a,x

2

=a

-.

（2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就

可以利用直接开平方法。可得x=mx n

+=

（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：

①移项；

②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；

③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；

④解一元一次方程，求出原方程的根。

知识点二 配方法解一元二次方程

通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。

（1） 把常数项移到等号的右边； （2） 方程两边都除以二次项系数；

（3） 方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； （4） 若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。

2.2 公式法

知识点一 公式法解一元二次方程

（1）一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠ 当240b ac ->时，方程有实数根

:

1x

2x 当240b ac -= 时,方程有实数根：12

2b x x a

==-； 当240b ac -<时，方程没有实数根。

（2）公式法解一元二次方程的具体步骤：

① 方程化为一般形式：ax 2+bx+c=0(a ≠0)，一般a 化为正值 ② 确定公式中a,b,c 的值，注意符号； ③ 求出b 2-4ac 的值；

④ 若b 2-4ac ≥0，则把a,b,c 和b-4ac 的值代入公式即可求解，若b 2-4ac ＜0，则方程无实数根。

知识点二 一元二次方程根的判别式

式子b 2-4ac 叫做方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它， 即△=b 2-4ac.

△＞0，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有两个不相等的实数根 △=0，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有两个相等的实数根

△＜0，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)无实数根

2.3因式分解法

根的

判别式

知识点一因式分解法解一元二次方程

（1）把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。

（2）因式分解法的详细步骤：

①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；

②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和

十字交叉相乘法；

③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；

④解一元一次方程即可得到原方程的解。

知识点二用合适的方法解一元一次方程

2.4 一元二次方程的根与系数的关系

若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x

1,x

2

,则有x

1

+x

2

=-p,x

1

x

2

=q.

若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x

1,x

2

,则有x

1

+x

2

=，

a

b

,x1x2=

a

c

3 实际问题与一元二次方程

知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤：

（1）审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。

（2）设：是指设元，也就是设出未知数。

（3）列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。

（4）解：就是解方程，求出未知数的值。

（5）验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。

（6）答：写出答案。

知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型

（1） 传播问题

1人患病，平均每轮感染x 人，一轮后共有（1+x ）名患者，两轮后共有（1+x ）2名患者。 （2） 握手问题

一共有n 人，每两人之间握一次手，共需握(1)

2

n n -次手。

（3）增长率问题

设初始量为a ，终止量为b ，平均增长率或平均降低率为x ，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a （1x ±）2=b 。 （4）利润问题

利润问题常用的相等关系式有：

① 总利润=总售价-总成本；②总利润=单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率 （5）图形的面积问题

根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程

第22章 二次函数

一、相关概念及定义

1 二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，

，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二

次函数的x 的取值范围是全体实数．

2 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：

（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．

（2）a b c ，

，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．

二、二次函数各种形式之间的变换

1二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2

的形式，其中

a

b a

c k a b h 4422

-=-=，.

2 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；

③()2

h x a y -=；④()k h x a y +-=2

；⑤c bx ax y ++=2.

三、二次函数解析式的表示方法

1 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；

2 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；

3 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.

4 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法