2021年于新华中考数学16讲第15讲 尺规作图

第15讲尺规作图
一、基本作图
引例如图，利用尺规，在∆ABC的AC边上方作∠CAE=∠ACB，在射线AE上截取AD=BC，连接CD，并证明：CD∥AB．(尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法)
C
A
答案：本题考查作一个角等于已知角，可用平行四边形证明，过程略．
归纳现行《课程标准》中对尺规作图的要求如下：
(1)能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线．(5种)
(2)会利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角和斜边作直角三角形．(5种)
(3)会利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形．(5种)
其中(2)和(3)中的各5种尺规作图，需用(1)中5种基本作图来完成．
【同型练】
1. 如图，已知在∆ABC中，D为AB的中点．
(1)请用尺规作图法作AC边的中点E，并连接DE(保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)在(1)的条件下，若DE=4，则BC的长为__________．
B
答案：(1)作AC的垂直平分线，与AC的交点就是点E．(2)8．
2. 如图，在Rt∆ABC中，∠ACB=90︒．
(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：
①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；
②过点D 作AC 的垂线，垂足为E ；
(2)在(1)作出的图形中，若CB =4,CA =6，则DE 的长为__________．
答案：(1)略．(2)2.4．
3．如图，在∆ABC 中，∠ACB >∠ABC ．
(1)用直尺和圆规在∠ACB 的内部作射线CM ，使∠ACM =∠ABC (不要求写作法，保留作图痕迹)； (2)若(1)中的射线CM 交AB 于点D ，AB =9，AC =6，则AD 的长为_______． 答案：(1)略．(2)4． 二、性质作图
引例 已知∆ABC (如图)，请用直尺(没有刻度)和圆规，作一个平行四边形，使它的三个顶点恰好是∆ABC 的三个顶点(只需作一个，不必写作法，但要保留作图痕迹)．
A C
答案：以点C 为圆心，AB 为半径画弧；以点B 为圆心，AC 为半径画弧，与前弧交于点D ，则四边形ACBD 即为所求．
归纳 本题既可以利用“SSS ”作图，也可以利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”作图，所以，此类题思考的切入口是图形的性质或判定，并由此选择相应的基本作图方法来实现目标． 【同型练】
1. 如图，已知在∆ABC 中，AB >AC ．试用直尺(不带刻度)和圆规在图中作一条直线l ，使点C 关于直线l 的对称点E 落在AB 边上(在图上标出点E ，并保留作图痕迹)．
A
答案：在AB上任取一点E，连接CE，作CE的垂直平分线，这条垂直平分线就是所要求的直线l．
2. 如图，用尺规作图作出圆的一条直径EF(不写作法，保留作图痕迹)；
答案：任意作一个90︒的圆周角，角的两边与圆的两个交点连接起来就是直径．
3．若P为AB上一点，把菱形ABCD沿过点P的直线a折叠，使点D落在BC边上，利用无刻度的直尺和圆规作出直线a(保留作图痕迹，不必说明作法和理由)．
A
答案：连接DP，以点P为圆心，DP为半径画弧，交BC于点E．取DE的中点F，连接FP的直线就是所要求的直线a．
4. 如图，扇形AOB的圆心角∠AOB=2α，将此扇形折叠使点O落在AB上的点P处，且折痕恰好经过点B(保留作图痕迹，不必说明作法和理由)．
A B
答案：以点B为圆心，BO为半径画弧，交AB于点P，连接OP，取OP的中点C，连接BC的直线就是所要求的折痕．
5. 如图，矩形A'B'C'D'是由矩形ABCD旋转而成，请作出旋转中心点O(保留作图痕迹，不必说明作法和理由)．
D'
B'
答案：连接AA'，BB'，分别作它们的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是旋转中心O．
6. 如图，已知等边∆ABC，请用直尺(不带刻度)和圆规，按下列要求作图(不要求写作法，但要保留作图痕迹)：
(1)作∆ABC的外心O；
(2)设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F，H分别在BC和AC边上．
B
答案：(1)作AB，AC的垂直平分线交于点O．
(2)以点O为圆心，DO为半径画圆，分别交BC，AC于点F，H．连接DO并延长交圆于点G，连接FO，并延长交圆于点I，六边形DEFGHI，即为所求．
三、条件作图
1.仅用直尺(无刻度)作图
引例如图，A，B，C，D为圆上四点，AB∥CD，AB<CD.
请只用无刻度的直尺，画出圆的一条直径EF(不写画法，保留画图滚迹).
A
B
D
C
答案：
连接DB，CA并分别延长交于点M，连接AD,BC交于点N。

连接MN并延长。

与圆的两个交点就是E，F.
归纳由于直尺只能用来画线，这就要求我们需根据试题提供的背景，充分考虑图形中隐藏的信息，多从性质的
角度思考，以找到解决问题的突破口.
【同型练】
1.如图，AB 是半圆的直径，图①中点C 在半圆外，图②中点C 在半圆内，请用无刻度的直尺按照要求画图. (1)在图①中画出△ABC 的三条高线的交点； (2)在图②中画出△ABC 中AB 边上的高.
B
A
C
图②
图①
C
A
B
答案：
(1)连接CA , CB ，分别交半圆于点D ，E ，连接AE ，BD 交于点H ，连接CH 并延长交AB 于点F ，则线段AE ，BD ，CF 的交点即为所求;
(2)连接AC ，BC 并延长，分别交半圆于点D ，E ，连接AE ，BD 并延长交于点H ，连接HC 并延长交AB 于点F ，则线段CF 即为所求.
2.⊙O 为△ABC 的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图①，图②中画出一条弦，使这条弦将△ABC 分成面积相等的两部分(保留作图痕迹，不写作法). (1)如图①，AC =BC ；
(2)如图②，直线l 与⊙O 相切于点P ，且l ∥BC .
答案：
(1)连接CO 并延长，交圆千点D ，则弦CD 即为所求.
(2)连接PO 并延长，交BC 于点D ，连接AD 并延长，交圆于点F ，则弦AF 即为所求.
3.如图，已知正七边形ABCDEFG ，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图。

(1)在图①中，画出一个以AB 为边的平行四边形； (2)在图②中，画出一个以AF 为边的菱形.
答案：
(1)连接AF ，GC 交于点M ，连接BE 交GC 于点N ，则四边形AMNB 即为所求. (2)延长AB ，DC 交于点M ，连接AF ，FD ，则四边形AFDM 即为所求.
4. 如图，已知直线a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h 是等距的一组平行线，正方形ABCD 四个顶点都在平行线上，P 是直线d 与CD 的交点，请你用无刻度的直尺利用现有平行线在直线d 上找出所有满足条件PQ =PC 的点Q ，并作简要的画图说明.
备用图
g h
C
B
D A P
P
A D
B C
h
g
答案：
连接AC ，与直线d 的交点为Q 1，连接AP 并延长.交直线f 于点M ，连接DM 交直线d 于点Q 2，则Q 1，Q 2即为所求.
2.网格作图
引例 如图，将线段AB 放在边长为1的小正方形网格中，点A ，B 均落在格点上.请用无刻度直尺在线段AB 上画出点P ，使AP =
217
3
，并保留作图痕迹. B
(备注：本题只是找点，不是证明，所以只需连接一对角线就行)
答案：如图所示
P
B
A
归纳由于网格的特殊性，故网格作图既有计算手段，也有几何推理手段可用.
【同型练】
1.如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,3)，B(-2,-2)，C(4,-2)，则△ABC的外接圆半径的长度为.
答案：如图，作出△ABC外接圆的圆心D，显然点D(1,0)，则半径为13
2.如图，A点的坐标为(-1,5)，B点的坐标为(3,3)，C点的坐标为(5,3)，D点的坐标为(3,-1).小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一线段.你认为这个旋转中心的坐标是.
D
C
A
B
答案：连接AD,BC分别作它们的垂直平分线，交于点F(4 ,4)(如图①)，或者连接AC , BD，分别作它们的垂直平分线，交于点E(1,1)(如图②)，故旋转中心为(1,1)或(4,4).
F
A
B
C
D
E
D
C
B
A
3.如图是某商品的商标,由七个形状、大小完全相同的正六边形组成.我们称正六边形的顶点为格点,已知△ABC的顶点都在格点上,且AB边位置如图所示,则△ABC是直角三角形的格点个数有个.
答案：如图，符合条件的格点共有10.
4. 在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，ABCD都在格点处，AB与CD相交于O，则tan ∠BOD的值等于.
答案：如图，将AB向上平移得EF，交CD于点G，连接OF，显然，tan∠BOD=tan∠FGO=3.
5. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
(1) 作AD∥BC（D为格点），连接CD，则线段CD
的长为
；
(2) 请你在△ACD的三个内角中任选一个锐角，若你所选的锐角是，则它所对应的正弦函数值是；
(3) 若E为BC中点，则tan∠CAE的值是.
答案：
(1)5
(2)显然，∠ACD为直角.故若选∠A DC，则其正弦值为25
；若选∠CAD，则其正弦值为
5
(3) 1 2
四、复杂作图
1.奠基作图
引例已知∠BAC，在角的内部有一点P，请作出⊙M，使得⊙M经过点P，且与AB , AC都相切．
B
P
解：如图①，作∠BAC的平分线，在角平分线上任取一点D，以D为圆心作圆使其与角的两边相切，连接AP交圆D于点E，连接DE，作PF∥DE交角平分线于点F．以点F为圆心，FP为半径画圆，则圆F即为所求．类似地还可以作出圆M(如图②)．
图①
图②
归纳 首先作出不过点P 而仅仅满足与角的两边相切的圆，这个圆我们称之为奠基圆， 然后利用位似作出过点P 且与角的两边都相切的圆． 【同型练】
1.如图，在△ABC 中，作矩形DEFG ，使其满足：点D 在AB 上，点E 在AC 上，点F ，G 在BC 上，且DE
：EF =2∶1．
解：在AB 上任意取一点M ，作矩形MNPQ ，使得MN=2MQ.连接AN 并延长，交AC 于点E ，作DE ∥ BC ，DG ⊥BC ，EF ⊥BC ，则矩形DEFG 即为所求．
2．计算作图
引例 (1)如图①，已知D ，E 分别是△ABC 的AB ，AC 边上一点，DE ∥BC ，连接CD ，BE ，交于点F ，连接AF 并延长，分别交DE ，BC 于点H ，G. 求证：①
BG DH =GC
HE
； ②G 是BC 的中点； (2)如图②，只用一把•
••度刻无的直尺作出矩形ABCD 的一条对称轴（不写作法，保留作图痕迹）．
图①
图②
C
解： (1)证明：①如图①，∵DE ∥BC ，∴△ADH ∽△ABG ，∴BG DH =AG AH . 同理，GC HE =AG AH ,∴BG DH =GC
HE
. ②∵DE ∥BC ，∴△FDH ∽△FCG ，∴GC DH =FG FH ，同理，BG EH =FG FH ,∴CG DH =BG EH ,∴EH DH =BG
GC
由①得
EH DH =GC BG ,BG GC =GC
BG
，∴BG=CG ，即G 是BC 的中点． (2)如图②，连接AC ，BD ，交于点0，在形外任意取一点E ，连接EA ，EB ，分别交（1D 于点G ，F ．连接AF ，BG 交
于点H ，连接EH 并延长交AB 于点M ，则直线OM 即为所求．
图①
C
归纳 此类问题，由于直接作图难度较高，一般试题都会在前面设置一些“台阶”，循着这 些“台阶”作图是解决此类题的关键所在．
【同型练】
L 已知在 Rt △ABC 中，∠C=90°.
⑴如图①，若AC=4，BC=3，DE 丄AC.且DE = DB ，求AD 的长；
(2 >如图②，请利用没有刻度的直尺和圆规，在AB 边上找一点F ，使得点F 到
A C 边的距离等于FB(注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及的点用字母进行标注）.
图①
A D
图②B
解：(1)
258
． (2)如图，作∠ABC 的平分线BG ，过点G 作GF ∥BC
，则点F 即为所求． 图①A
F
2.如图，已知线段AB ，利用无刻度的直尺和圆规，作一个满足下列条件的△ABC: ①△A BC 为直角三角形；②tan ∠A=31
，（注:不要求写作法.但保留作图痕迹） A B 备用图A B
解：作射线AM ，取AG=GE=ED ，连接DB ，作FE//BD ，作BC ⊥AB ，并且BC=BF ，连接AC ，则△ABC 即为所求.
3.⑴如图①，在Rt △ABC 中，∠B=90°, AB=2BC.现以点C 为圆心.CB 为半径画弧，交AC 边于点D ，再以点A 为圆心，AD 为半径画弧，交AB 边于点E.求证：AB AE =215-.(这个比值2
15-叫做AE 与AB 的“黄金比”.） (2)如果一个等腰三角形的底边与其腰的比等于“黄金比”，那么这个等腰三角形叫做“黄金 三角形，请你以图②中的线段AB 为腰，用直尺和圆规作一个“黄金三角形”，（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要保留作图痕迹，并对作围中涉及的点用字母进行标注）
.
图①B
解：(1)略． (2)作BC ⊥AB ，截取BC=
12
AB ；连接AC ，以点B 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ；以点A 为圆心，AD 为半径画弧，交AB 于点E.以点A 为圆心，AB 为半径画弧，以点B 为圆心，AE 为半径画弧交前弧于点G ，则△ABG 即为所求
. A
4．在△ABC 中，D 为BC 边上一点．
(1)如图①，在Rt △ABC 中，∠C=90°，将△ABC 沿着AD 折叠，点C 落在AB 边上．请用直尺和圆规作出点D(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)如图②，将△ABC 沿着过点D 的直线折叠，点C 落在AB 边上的点E 处，
①若DE ⊥AB ，垂足为E ，请用直尺和圆规作出点D(不写作法，保留作图痕迹)；
②若AB=42，BC=6，∠B=45°，则CD 的取值范围是
．
图①
C B
图②C
解：(1)如图①．
(2)①如图②；
②如图②，设CD=DE=x，则DE=EB=x，∠DEB=90°，
．
∵BC=6，∴
，∴
，如图③，当点E与点A重合时，作AH⊥CB于点H，设CD=DE=x，在Rt△AHB
中，易知AH=HB=4，∠AHB=90°，HD=r-2，DE=x，∴x2=42+(x-2)2,∴x=5．
综上可知，CD的最大值为5，最小值为
6，
∴
≤CD≤5．
图①
D
C B
图②
图③
H
C D
5．如图，OA＝2，以点A为圆心，1为半径作⊙A，与OA的延长线交于点C，过点A作OA的垂线，垂线与⊙A 的一个交点为B，连接BC．
(1)线段BC＝
(2)请在图中按下列要求逐一操作，并回答问题：
①以点
为圆心，以线段的长为半径作弧，与射线BA交于点D，使线段OD
②连接OD，在OD上作出点P
，使OP
，请写出作法，并说明理由。

答案：(1) (2)①A；BC；②如图所示．。