2021年于新华中考数学16讲第15讲 尺规作图
尺规作图篇(解析版)--中考数学必考考点总结+题型专训
专题13尺规作图知识回顾1.尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．2.基本要求它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．①直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．②圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度3.基本作图有：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．具体步骤：①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。
如图①②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。
如图②（4）作已知角的角平分线．具体步骤：①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。
如图①。
②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。
如图②。
即为角的平分线。
③连接OP，OP4.复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作。
5.设计作图：应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图。
专题练习1．尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知线段m，n．求作△ABC，使∠A＝90°，AB＝m，BC＝n．【分析】先在直线l上取点A，过A点作AD⊥l，再在直线l上截取AB＝m，然后以B点为圆心，n为半径画弧交AD于C，则△ABC满足条件．【解答】解：如图，△ABC为所作．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．（1）作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：AD＝AE．【分析】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可．（2）证明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE．【解答】（1）解：如图所示．（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ACE≌△ABD（ASA），∴AD＝AE．3．如图，已知线段AC和线段a．（1）用直尺和圆规按下列要求作图．（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）①作线段AC的垂直平分线l，交线段AC于点O；②以线段AC为对角线，作矩形ABCD，使得AB＝a，并且点B在线段AC的上方．（2）当AC＝4，a＝21ABCD的面积．【分析】（1）①按照线段垂直平分线的作图步骤作图即可．②以点O为圆心，OA的长为半径画弧，再以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，两弧在线段AC上方交于点B，同理，以点O为圆心，OC的长为半径画弧，再以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，两弧在线段AC下方交于点D，连接AD，CD，AB，BC，即可得矩形ABCD．（2）利用勾股定理求出BC，再利用矩形的面积公式求解即可．【解答】解：（1）①如图，直线l即为所求．②如图，矩形ABCD即为所求．（2）∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°，∵a＝2，∴AB＝CD＝2，∴BC＝AD＝＝＝，∴矩形ABCD的面积为AB•BC＝2×＝．4．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝BC，AD⊥DC于点D．（1）用尺规作∠ABC的角平分线，交CD于点E；（不写作法，保留作图痕迹）（2）连接AE．求证：四边形ABCE是菱形．【分析】（1）根据角平分线的作图步骤作图即可．（2）由角平分线的定义和平行四边形的判定定理，可得四边形ABCE为平行四边形，再结合AB＝BC，可证得四边形ABCE为菱形．【解答】（1）解：如图所示．（2）证明：∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABE＝∠CBE，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEC，∴∠CBE＝∠BEC，∴BC＝EC，∵AB＝BC，∴AB＝EC，∴四边形ABCE为平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCE为菱形．5．如图，在4×4的方格纸中，点A，B在格点上．请按要求画出格点线段（线段的端点在格点上），并写出结论．（1）在图1中画一条线段垂直AB．（2）在图2中画一条线段平分AB．【分析】（1）利用数形结合的思想作出图形即可；（2【解答】解：（1）如图1中，线段EF即为所求（答案不唯一）；（2）如图2中，线段EF即为所求（答案不唯一）．6．“水城河畔，樱花绽放，凉都宫中，书画成风”的风景，引来市民和游客争相“打卡”留念．已知水城河与南环路之间的某路段平行宽度为200米，为避免交通拥堵，请在水城河与南环路之间设计一条停车带，使得每个停车位到水城河与到凉都宫点F的距离相等．（1）利用尺规作出凉都宫到水城河的距离（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在图中格点处标出三个符合条件的停车位P1，P2，P3；（3）建立平面直角坐标系，设M（0，2），N（2，0），停车位P（x，y），请写出y与x之间的关系式，在图中画出停车带，并判断点P（4，﹣4）是否在停车带上．【分析】（1）利用过直线外一点作垂线的方法作图即可；（2）根据停车位到水城河与到凉都宫点F的距离相等，可得点P1，P2，P3；（3）根据停车位P（x，y）到点F（0，﹣1）和直线y＝1的距离相等，得1﹣y＝，从而解决问题．【解答】解：（1）如图，线段FA的长即为所求；（2）如图，点P1，P2，P3即为所求；（3）∵停车位P（x，y）到点F（0，﹣1）和直线y＝1的距离相等，∴1﹣y＝，化简得y＝﹣，当x＝4时，y＝﹣4，∴点P（4，﹣4）在停车带上．7．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）网格中△ABC的形状是；（2）在图①中确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC全等；（3）在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA；（4）在图③中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比为1：2．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明即可；（2（3）根据相似三角形的判定作出图形即可；（4）作出AB，BC的中点P，Q即可．【解答】解：（1）∵AC＝＝，AB＝＝2，BC＝5，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形；故答案为：直角三角形；（2）如图①中，点D，点D′，点D″即为所求；（3）如图②中，点E即为所求；（4）如图③，点P，点Q即为所求．8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．（1）请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．【分析】（1）过点A作AD⊥AO即可；（2）连接OB，OC．证明∠＝75°，利用三角形内角和定理求出∠CAB，推出∠BOC＝120°，求出CH可得结论．【解答】解：（1）如图，切线AD即为所求；（2）过点O作OH⊥BC于H，连接OB，OC．∵AD是切线，∴OA⊥AD，∴∠OAD ＝90°，∵∠DAB ＝75°，∴∠OAB ＝15°，∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ＝15°，∴∠BOA ＝150°，∴∠BCA ＝∠AOB ＝75°，∵∠ABC ＝45°，∴∠BAC ＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝120°，∵OB ＝OC ＝2，∴∠BCO ＝∠CBO ＝30°，∵OH ⊥BC ，∴CH ＝BH ＝OC •cos30°＝，∴BC ＝2．9．如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，分别以点A ，D 为圆心，大于21AD 的长为半径作弧，两弧交于点M ，N ，作直线MN AB ，AD ，AC 于点E ，O ，F ，连接DE ，DF ．（1）由作图可知，直线MN 是线段AD 的．（2）求证：四边形AEDF 是菱形．【分析】（1）根据作法得到MN 是线段AD 的垂直平分线；（2）根据垂直平分线的性质则AF ＝DF ，AE ＝DE ，进而得出DF ∥AB ，同理DE ∥AF ，于是可判断四边形AEDF 是平行四边形，加上FA ＝FD ，则可判断四边形AEDF 为菱形．【解答】（1）解：根据作法可知：MN 是线段AD 的垂直平分线；故答案为：垂直平分线；（2）证明：∵MN 是AD 的垂直平分线，∴AF＝DF，AE＝DE，∴∠FAD＝∠FDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠FDA＝∠BAD，∴DF∥AB，同理DE∥AF，∴四边形AEDF是平行四边形，∵FA＝FD，∴四边形AEDF为菱形．10．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，BC＝5．（1）作BC的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、H；（2）在（1）的条件下，连接CD，求△BCD的周长．【分析】（1）利用基本作图，作BC的垂直平分线即可；（2）根据线段垂直平分线的性质得到DC＝DB，则利用等角的余角相等得到∠A＝∠DCA，则DC＝DA，然后利用等线段代换得到△BCD的周长＝AB+BC．【解答】解：（1）如图，DH为所作；（2）∵DH垂直平分BC，∴DC＝DB，∴∠B＝∠DCB，∵∠B+∠A＝90°，∠DCB+∠DCA＝90°，∴∠A＝∠DCA，∴DC＝DA，∴△BCD的周长＝DC+DB+BC＝DA+DB+BC＝AB+BC＝8+5＝13．11．已知：△ABC．（1）尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O．（只保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）如果△ABC的周长为14cm，内切圆的半径为1.3cm，求△ABC的面积．【分析】（1）作∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，点O即为所求；（2）△ABC的面积＝（a+b+c）•r计算即可．【解答】解：（1）如图，点O即为所求；（2）由题意，△ABC的面积＝×14×1.3＝9.1（cm2）．12．已知四边形ABCD为矩形，点E是边AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（1）在图1中作出矩形ABCD的对称轴m，使m∥AB；（2）在图2中作出矩形ABCD的对称轴n，使n∥AD．【分析】（1）如图1中，连接，BD交于点O，作直线OE即可；（2）如图2中，同法作出点O，连接BE交AC于点T，连接DT，延长TD交AB于点R，作直线OR即可．【解答】解：（1）如图1中，直线m即为所求；（2）如图2中，直线n即为所求；13．如图，在10×10的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中△ABC为格点三角形．请按要求作图，不需证明．（1）在图1中，作出与△ABC全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与△ABC有一条公共边，且不与△ABC重叠；（2）在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形．【分析】（1）根据全等三角形的判定画出图形即可；（2）根据菱形的定义画出图形即可．【解答】解：（1）如图1中，△ABD1，△ABD2，△ACD3，△ACD4，△CBD5即为所求；（2）如图2中，菱形ABDC，菱形BECF即为所求．14．【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？【初步尝试】如图1，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；【问题联想】如图2，已知线段MN，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形MNP；【问题再解】如图3，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）【分析】【初步尝试】如图1，作∠AOB的角平分线OP即可；【问题联想】如图2，作线段MN的垂直平分线RT，垂足为R，在射线RT上截取RP＝RM，连接MP，NP，三角形MNP即为所求；【问题再解】方法一：构造等腰直角三角形OBE，作BC⊥OE，以O为圆心，OC为半径画弧交OB于点D，交OA于点F，弧DF即为所求．方法二：作OB的中垂线交OB于点C，然后以C为圆心，CB 长为半径画弧交OB中垂线于点D，再以O为圆心，OD长为半径画弧分别交OA、OB于点E、F．则弧EF即为所求．【解答】解：【初步尝试】如图1，直线OP即为所求；【问题联想】如图2，三角形MNP即为所求；【问题再解】如图3中，即为所求．15．如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应格点图形．（1）如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；（2）如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；（3）如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．【分析】（1）把点B、A向右作平移1个单位得到CD；（2）作A点关于BC的对称点D即可；（3）延长CB到D使CD＝2CB，延长CA到E点使CE＝2CA，则△EDC满足条件．【解答】解：（1）如图1，CD为所作；（2）如图2，（3）如图3，△EDC为所作．。
【中考数学】答题技巧与模板构建：专题12尺规作图题型总结(解析版)
专题12 尺规作图题型总结题型解读｜模型构建｜通关试练本专题主要对初中阶段的一般考查学生对基本作图的掌握情况和实践操作能力,并且在作图的基础上进一步推理计算(或证明)。
尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。
尺规作图是中考必考知识点之一，复习该版块时要动手多画图，熟能生巧！本专题主要总结了五个常考的基本作图题型，（1）作相等角；（2）作角平分线；（3）作线段垂直平分线；（4）作垂直（过一点作垂线或圆切线）；（5）用无刻度的直尺作图。
模型01 作相等角①以∠α的顶点O为圆心，以任意长为半径作弧，交∠α的两边于点P，Q；②作射线O'A'；③以O'为圆心，OP长为半径作弧，交O'A'于点M；④以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交③中所作的弧于点N；⑤过点N作射线O'B'，∠A'O'B'即为所求作的角.原理：三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形对应角相等延伸：作平行线模型02 作角平分线①以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③过点O作射线OP，OP即为∠AOB的平分线.原理：三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形对应角相等延伸：②到两边的距离相等的点②作三角形的内切圆模型03 作线段垂直平分线①分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径，在AB两侧作弧，分别交于点M和点N；②过点M，N作直线MN，直线MN即为线段AB的垂直平分线.原理：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上延伸：①到两点的距离相等的点②作三角形的外接圆③找对称轴（旋转中心）④找圆的圆心模型04 作垂直（过一点作垂线或圆切线）（点P在直线上）①以点P为圆心，任意长为半径向点P两侧作弧，分别交直线l于A，B两点；②分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于点M；③过点M，P作直线MP，则直线MP即为所求垂线.原理：等腰三角形的“三线合一”，两点确定一条直线延伸：确定点到直线的距离（内切圆半径）（点P在直线外）①以点P为圆心，大于P到直线l的距离为半径作弧，分别交直线l于A，B两点；②分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧交于点N；③过点P，N作直线PN，则直线PN即为所求垂线.原理：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上模型05 仅用无刻度直尺作图无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键.模型01作相等角考｜向｜预｜测做相等角该题型近年主要以解答题形式出现，一般为解答题型的其中一问，难度系数较小，在各类考试中基本为送分题型。
1尺规作图PPT课件(华师大版)
2．经过已知直线外一点作这条直线的垂线： 如图13.4-12所示，已知直线AB和AB外一点C，作AB的垂 线，使它经过点C.
图13.4-12
图13.4-13
作法：如图13.4-13所示．
第一步：以点C为圆心，作能与AB相交于D、E两点的弧；
第二步：作∠ DCE的平分线CF；
第三步：反向延长射线CF，则直线CF 就是所要 求 作 的
知识点 5 作已知线段的垂直平分线 思考
如图13. 4. 9，已知直线l是线段
的垂直平分线， 则直线l是线段仙的
对称轴，对l上的任意两点C、D，通
过对折可以发现，总有
CA = CB，DA = DB.
图13. 4. 9
由此，你能发现作垂直平分线的方法吗？
1.作已知线段的垂直平分线作法：如图13.4-16所 示，已知线段 AB, 求作线段 AB 的垂直平以本题为例， (3)应说明所画的弧与弧l的交点在OA的同侧还是异侧．
1 任意画出两个角∠1和∠2,其中∠1 >∠2,再作一个角， 使它等于∠1 -∠2.
2 (中考·宁德)如图，用尺规作图：“过点C作CN∥ OA”，其作图根据是( ) A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行
我们在讨论三角形全等的条件时，曾利用上述两 种基本作图，已知两边和夹角、两角和夹边、三边分 别作出 相应的三角形.
（来源于教材）
例3 如图13.4-6所示，已知∠α，∠β，求作∠AOB，使 ∠AOB＝∠α＋∠β .
图13.4-6
图13.4-7
解：作法：(1)分别以点E，P为圆心、以适当长为半径 画弧，交∠α的两边于点F，G，交∠β的两边于 点M，N； (2)作射线OA，以点O为圆心，以EF长为半径画 弧l，交射线OA于点C； (3)以点C为圆心，以GF的长为半径画弧，交弧l 于点H；以点H为圆心、以MN长为半径画弧，在 OA的同侧与弧l交于点Q； (4)过点Q作射线OB，则∠AOB就是所求作的角， 如图13.4-7所示．
2021年于新华中考数学16讲第6讲 让圆不再有隐形的翅膀
第6讲让圆不再有隐形的翅膀方法一：利用“圆的定义”→“找定点、寻定长”→现“圆”形.圆的定义：到定点的距离等于定长的集合叫做圆1.单边定长引例如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动。
点Q从点A出发，沿A→B→C→D→A方向滑动到点A为止；同时点F从点B出发，沿B→C→D→A→B方向滑动到点B为止.那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为______________.D【引例答案】4π-变式1：在矩形ABCD中，已知AB=2cm，BC=3cm，现有一根长为2cm的木棒EF紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），接逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点P在运动过程中所围成的围形的面积为_____________cm2.变式1答案：6π-变式2：如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E，F分别为AD、DC边上的点，且EF=2，G为EF的中点，P为BC边上一动点，则P A+PG的最小值为____________.GEFPDCBA变式2答案：4B变式3：在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（3，0），B 为y 轴正半轴上的点，C 为第一象限内的点，且AC =2.设tan ∠B 0C =m ，则m 的取值范围为__________ 变式3答案：32m变式4：如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =6，E 为AB 边的中点，F 是BC 边上的动点.将△EFB 沿EF 所在的直线折叠得到△'EB F ，连接'B D ，则'B D 的最小值为____________B'A BCDE变式4答案：2102变式5：如图，在Rt △ABC 中∠C =90°，AC =6，BC =8，点F 在AC 边上，并且CF =2．E 为BC 边上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到AB 边距离的最小值是1.2．PAF BC变式5答案：1.2【解答】：如图所示：当PE ∥AB ．由翻折的性质可知：PF=FC=2，∠FPE=∠C=90°．∵PE ∥AB ，∴∠PDB=90°． 由垂线段最短可知此时FD 有最小值．又∵FP 为定值，∴PD 有最小值． 又∵∠A=∠A ，∠ACB=∠ADF ，∴△AFD ∽△ABC ． ∴，即=，解得：DF=3.2．∴PD=DF ﹣FP=3.2﹣2=1.2．变式6：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，P 是AB 边上的动点（不与点B 重合），将△BCP 沿CP 所在的直线翻折，得到△B ’CP ，连接B ’A ，则B ’A 长度的最小值是__1__．B'变式7：如图，在□ABCD 中，∠BCD ＝30°，BC ＝4，CD ＝，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ’MN ，连接A ’C ，则A ’C 长度的最小值是_5__．AC2．共端点两条线段为定长引例 在△ABC 中，AC ＝4， AB ＝5．则△ABC 面积的最大值为_________． 【引例】答案10 提示：当AC ⊥AB 时，ABC S ∆有最大值.BC归纳 若共端点两条线段为定长，可让一定边两个端点固定，另一定边的端点在以公共点为圆心，定长为半径的圆周上运动．变式1：已知在四边形ABCD 中，AD ＋DB ＋BC ＝16，则四边形ABCD 面积的最大值为_________变式1答案:32 提示：=ABD BCD ABCD S S S ∆∆+四边形,那么当∠ADB=∠DBC=90°时，ABD S ∆,BCD S ∆有最大值，也就是四边形ABCD 的面积有最大值；再结合AD+DB+BC=16,可求得21=82ABCD S BD BD -四边形，再利用二次函数求最值的方法，即可求四边形ABCD 的面积.变式2：在△ABC 中，AB ＝3，AC ∠B 最大时，BC 的长是____________ ．变式2 提示：当∠B 最大时，BC 与⊙A相切，即AC ⊥AB 时，B变式3：问题背景 如图①，在△ABC 中，BC ＝4，AB ＝2A C ．问题初探 请写出任意—对满足条件AB 与AC 的值：AB ＝_____．AC ＝________． 变式3：问题初探 设AC=x ，则AB=2x.根据“三角形三边关系”得2424x x x x +>⎧⎨-<⎩，∴443x <<，即443AC <<.当AC=2时，AB=4.问题再探 如图②，在AC 右侧作∠CAD ＝∠B ．交BC 的延长线于点D ，求CD 的长．问题再探 作图略，△DAC ∽△DBA ，且相似比为1:2.设CD=m ，则AD=2m.由“母子型”相似可以得到2DA DC DB =⨯,∴()()224m m m =+，解得：10m =（舍），243m =. ∴43CD =. 问题解决 求△ABC 的面积的最大值．B CBD问题解决 ∵△DAC ∽△DBA,且相似比为1:2，∴4DAB DAC S S ∆∆=，从而3ABC DAC S S ∆∆=，当AD ⊥BD 时，DAC S ∆有最大值169，故△ABC 的最大值为163. 3．共端点三条线段为定长引例 如图，已知AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝2∠BDC ，∠BAC ＝44°，则∠CAD 的度数为_______．A【引例】答案88°D变式1：如图，在四边形 ABCD 中，DC ∥AB ，BC ＝1，AB ＝AC ＝AD ＝2，则 BD ＝_______ 变式1图① 图② 引例图 变式1图 变式2图 变式3图变式2：如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，∠C＝70 °，点P在△ABC的外部，且与点C均在AB的同侧．如果PC＝BC，那么∠APB＝________．变式2答案:35°.（若将P,C在AB同侧这个条件去掉，此答案为35°或145°）变式3：如图，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝15°．在△OCD中，OC＝OD，∠COD＝45°，且点C在OA边上．连接CB，将线段OB绕着点O逆时针旋转一定角度得到线段OE，使得DE＝CB，则∠BOE的度数为_________．变式3答案: 15°或45°提示：以O为圆心，OA长为半径⊙O，以D为圆心，BC长为半径作⊙D，两圆交于点E，E’.①当OE在∠BOD内部时，∠DOE=∠COB=15°，则由OD=OC,∠DOE=∠COB,OB=OE可得△ODE≌△OCB，故DE=CB,此时∠BOE=45°-15°-15°=15°；②当OE在∠BOD外部时，如图中OE’所示，则由OD=OC,∠DOE’=∠COB,OB=OE’可得△ODE’≌△OC B，故DE’=CB，此时∠BOE’=45°-15°+15°=45°.综上所述，∠BOE=15°或45°.知识架构如图，点A(2，0)，B(6，0)，CB丄x轴于点B，连结A C．在y轴正半轴上求作点P，使∠APB＝∠AC B．(尺规作图，保留作图痕迹）归纳 当某条边与该边所对的角是定值时．．．．．．．．．．．．．．．，该角的顶点的轨迹是圆弧 【知识架构】略. 方法二：见．直角→找．斜边(定长)→想．直径→定．外心→现．“圆”形 方法二： 【引例】略. 引例已知A ，B 两点在直线l 的异侧，在l 上求作点P ，使△P AB 为直角三角形．(尺规作图，保留作图痕迹）变式1：如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，D 为线段AC 上一动点，连接BD ，过点C 作CH ⊥BD 于点H ，连接AH ，则AH 的最小值为_________．CBD变式1答案：2变式2：如图，在正方形ABCD 中，AB ＝2，动点E 从点A 出发向点D 运动，同时动点F 从点D 出发向点C 运动，点E ，F 运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF ，BE 相交于点P ，则线段DP 的最小值为_________．F变式21 提示：∵动点F ，E 的速度相同，∴DF=AE ，∴△ABE ≌△DAF ，∴∠APB=90°. ∵点P 在运动中保持∠APB =90°， ∴点P 的路径是一段以AB 为直径的弧.设AB 的中点为G ，连接DG 交弧于点P ，此时DP 的长度最小.F变式2图 变式3图变式3：直线y ＝x ＋4分别与x 轴，y 轴相交于点M ，N ，边长为2的正方形OABC 一个顶点O 在坐标系的原点，直线AN 与MC 相交于点P ．若正方形绕着点O 旋转一周，则点P 到点（0，2)长度的最小值是__________ ．变式3答案：2 提示：∴△MOC ≌△NOA,∴∠CMO=∠ANO,∴∠MPN=90°，∴P 在以MN 为直径的圆上.∵M （-4,0），N （0,4）∴圆心G 为（-2,2），半径为G ，点P ，C （0,2）三点共线时，PC 最小.方法三：见．定角→找．对边（定长）→想．周角→转．心角→现．“圆”形．AB方法三：自主探索1：(0,2或(02，-自主探索2：0,1⎛+ ⎝⎭或01⎛- ⎝⎭，自主探索3：0,1⎛- ⎝⎭或01⎛-⎝⎭， 自主探索4：(0,2或(02-+，问题提出：如图，已知线段AB ，试在平面内找到符合所有条件的点C ，使∠ACB ＝30°．(利用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）尝试解决：先作出等边△AOB ，然后以点O 为圆心，OA 为半径作⊙O ，则优弧AB 上的点即为所要求作的点（点A ，B 除外），根据对称性，在AB 的另一侧符合条件的点C 易得． 请根据提示，完成作图．自主探索1：在平面直角坐标系中，已知点A (3，0)，B (－1，0)，C 是y 轴上一动点．当∠BCA ＝45°时，点C 的坐标为__________．自主探索1图 自主探索2图 自主探索3图 自主探索4图自主探索2：在平面直角坐标系中，已知点A (3，0)，B(－1，0)，C 是y 轴上一动点，当∠BCA ＝60°时，点C 的坐标为__________． 【答案】(0，1)或(0，－1)．自主探索3：在平面直角坐标系中，已知点A (3，0)，B (－1，0)，C 是y 轴上一动点，当∠BCA ＝120°时，点C 的坐标为__________．【答案】(0，1)或(0，－1)．自主探索4：在平面直角坐标系中，已知点A (3，0)，B (－1，0)，C 是y 轴上一动点，当∠BCA ＝135°时，点C 的坐标为__________．【答案】(0，2或(0，－2．变式1：如图，B 是线段AC 的中点，过点C 的直线l 与AC 成60°角，在直线l 上取一点P ，使∠APB ＝30°，则满足条件的点P 的个数是__________．【答案】2P变式2图A BCD E变式1图变式2：如图，在边长为的等边△ABC 中，动点D ，E 分别在BC ，AC 边上，且保持AE ＝CD ，连接BE ，AD ，相交于点P ，则CP 的最小值为__________．【答案】2变式3：如图，点A 与点B 的坐标分别是A (1，0)，B (5，0)，P 是该平面直角坐标系内的一个动点．（1）使∠APB ＝30°的点P 有__________个；（2）若点P 在y 轴上，且∠APB ＝30°，求满足条件的点P 的坐标； （3）当点P 在y 轴上移动时，∠APB 是否存在最大值？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）无数．（2）(0，或(0，－．（3）存在，P (0)．变式4：（1）请利用以上操作所获得的经验，在图①的矩形ABCD 内部用直尺与圆规作出一点P ，使点P 满足：∠BPC ＝∠BEC ，且PB ＝PC ．（要求：用直尺与圆规作出点P ，保留作图痕迹）（2）如图②，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B ，坐标为(2，m )．过点B 作AB ⊥y 轴，BC ⊥x轴，垂足分别为A ，C ．若点P 在线段AB 上滑动(点P 可以与点A ，B 重合)，发现使得∠OPC ＝45°的位置有两个，则m 的取值范围为__________．图②图①ED CBA【答案】（1）略．（2）2≤m ＜1变式5：如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于A (1，0)，B (4，0)两点，与y 轴交于点C (0，2)，连接AC ，BC ．（1）求抛物线的解析式；（2）若BC 的垂直平分线交抛物线于D ，E 两点，求直线DE 的解析式；（3）若点P 在抛物线的对称轴上，且∠CPB ＝∠CAB ，求出所有满足条件的点P 的坐标．【答案】（1）y ＝12x 2－52x ＋2．（2）y ＝2x －3．（3）(52，12-)或(52)．。
初中尺规作图详细讲解(含图)
初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两已知点可以画一条直线；⑵已知圆心和半径可以作一圆；⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴三等分角问题：三等分一个任意角；⑵倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径1r=时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个著名问题：⑴正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形.·只使用直尺和圆规，作正六边形.·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的.·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题.⑵四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.尺规作图的相关延伸：用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图1.只用直尺及生锈圆规作正五边形2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA==.3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点.4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图.1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点 ，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！. 五种基本作图：初中数学的五种基本尺规作图为：1.做一线段等于已知线段 2.做一角等于已知角 3.做一角的角平分线 4.过一点做一已知线段的垂线5.做一线段的中垂线下面介绍几种常见的尺规作图方法：⑴ 轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.【例1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A 、B 的距离必须相等，到两条高速公路m 、n 的距离也必须相等，发射塔P 应修建在什么位置？【分析】 这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P 应满足两个条件，一是在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P 应是它们的交点.【解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线OD 或OE ；⑵ 作线段AB 的垂直平分线FG ；则射线OD ，OE 与直线FG 的交点1C ，2C 就是发射塔的位置.【例2】 在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(4，0)，O 是坐标原点，在直线3y x =+上求一点P ，使AOP∆是等腰三角形，这样的P 点有几个？【解析】 首先要清楚点P 需满足两个条件，一是点P 在3y x =+上；二是AOP ∆必须是等腰三角形.其次，寻找P 点要分情况讨论，也就是当OA OP =时，以O 点为圆心，OA 为半径画圆，与直线有两个点1P 、2P ；当OA AP =时，以A 点为圆心，OA 为半径画圆，与直线无交点；当PO PA =时，作OA 的垂直平分线，与直线有一交点3P ，所以总计这样的P 点有3个.【例3】 设O ⊙与'O ⊙相离，半径分别为R 与'R ，求作半径为r 的圆，使其与O ⊙及'O ⊙外切.rr【分析】 设M ⊙是符合条件的圆，即其半径为r ，并与O ⊙及'O ⊙外切，显然，点M 是由两个轨迹确定的，即M 点既在以O 为圆心以R r +为半径的圆上，又在以'O 为圆心以'R r +为半径的圆上，因此所求圆的圆心的位置可确定.若O ⊙与'O ⊙相距为b ，当2r b <时，该题无解，当2r b =有唯一解；当2r b >时，有两解.【解析】 以当O ⊙与'O ⊙相距为b ，2r b >时为例：⑴ 作线段OA R r =+，''O B R r =+.⑵ 分别以O ，'O 为圆心，以R r +，'R r +为半径作圆，两圆交于12,M M 两点. ⑶ 连接1OM ，2OM ，分别交以R 为半径的O ⊙于D 、C 两点. ⑷ 分别以12M M ，为圆心，以r 为半径作圆. ∴12,M M ⊙⊙即为所求.【思考】若将例3改为：“设O ⊙与'O ⊙相离，半径分别为R 与'R ，求作半径为r ()r R >的圆，使其与O ⊙ 内切，与'O ⊙外切.”又该怎么作图？⑵ 代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.【例4】 只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.【分析】设半径为1..我们的任务就是做出这个长度..1的长度自然就出来了. 【解析】 具体做法：⑴ 随便画一个圆.设半径为1.⑵ 先六等分圆周.⑶ 以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.（“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的等分点”形成的是一个底为2，角形..） ⑷【例5】 求作一正方形，使其面积等于已知ABC ∆的面积.【分析】 设ABC ∆的底边长为a ，高为h ，关键是在于求出正方形的边长x ，使得212x ah =，所以x 是12a 与h 的比例中项.【解析】 已知：在ABC ∆中，底边长为a ，这个底边上的高为h ，求作：正方形DEFG ，使得：ABC DEFG S S ∆=正方形haDCBANM作法：⑴ 作线段12MD a =；⑵ 在MD 的延长线上取一点N ，使得DN h =；⑶ 取MN 中点O ，以O 为圆心，OM 为半径作O ⊙； ⑷ 过D 作DE MN ⊥，交O ⊙于E ， ⑸ 以DE 为一边作正方形DEFG . 正方形DEFG 即为所求.【例6】 在已知直线l 上求作一点M ，使得过M 作已知半径为r 的O ⊙的切线，其切线长为a .al【分析】 先利用代数方法求出点M 与圆心O 的距离d ，再以O 为圆心，d 为半径作圆，此圆与直线l 的交点即为所求.【解析】 ⑴ 作Rt OAB ∆，使得：90A ∠=︒，OA r =，AB a =.⑵ 以O 为圆心，OB 为半径作圆.若此圆与直线l 相交，此时有两个交点1M ，2M . 1M ，2M 即为所求.若此圆与直线l 相切，此时只有一个交点M .M 即为所求.若此圆与直线l 相离，此时无交点.即不存在这样的M 点使得过M 作已知半径为r 的O ⊙的切线，其切线长为a .⑶ 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.【例7】 已知：直线a 、b 、c ，且a b c ∥∥.求作：正ABC ∆，使得A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.c ba D'DCB Acba【分析】 假设ABC ∆是正三角形，且顶点A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.作AD b ⊥于D ，将ABD ∆绕A 点逆时针旋转60︒后，置于'ACD ∆的位置，此时点'D 的位置可以确定.从而点C 也可以确定.再作60BAC ∠=︒，B 点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作出.【解析】 作法：⑴ 在直线a 上取一点A ，过A 作AD b ⊥于点D ； ⑵ 以AD 为一边作正三角形'ADD ； ⑶ 过'D 作''D C AD ⊥，交直线c 于C ；⑷ 以A 为圆心，AC 为半径作弧，交b 于B (使B 与'D 在AC 异侧). ⑸ 连接AB 、AC 、BC 得ABC ∆. ABC ∆即为所求.【例8】 已知：如图，P 为AOB ∠角平分线OM 上一点.求作：PCD ∆，使得90P ∠=︒，PC PD =，且C 在OA 上，D 在OB 上.OD'O【解析】 ⑴ 过P 作PE OB ⊥于E .⑵ 过P 作直线l OB ∥;⑶ 在直线l 上取一点M ，使得PM PE =(或'PM PE =)； ⑷ 过M (或'M )作MC l ⊥（或'M C l ⊥），交OA 于C (或'C )点；⑸ 连接PC (或'PC )，过P 作PD PC ⊥(或''PD PC ⊥)交OB 于D （或'D ）点. 连接,PD CD (或',''PD C D ).则PCD ∆(或''PC D ∆)即为所求.⑷ 位似法作图：利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，作出与其位似的图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作出满足全部的条件.【例9】 已知：一锐角ABC ∆.求作:一正方形DEFG ，使得D 、E 在BC 边上，F 在AC 边上，G 在AB 边上.C BAG'F'E'D'G FED CBA【分析】 先放弃一个顶点F 在AC 边上的条件，作出与正方形DEFG 位似的正方形''''D E F G ，然后利用位似变换将正方形''''D E F G 放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形DEFG .【解析】 作法：⑴ 在AB 边上任取一点'G ，过'G 作''G D BC ⊥于'D⑵ 以''G D 为一边作正方形''''D E F G ，且使'E 在'BD 的延长线上. ⑶ 作直线'BF 交AC 于F .⑷ 过F 分别作''FG F G ∥交AB 于G ；作''FE F E ∥交BC 于E . ⑸ 过G 作''GD G D ∥交BC 于D . 则四边形DEFG 即为所求.⑸ 面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形.【例10】 如图，过ABC ∆的底边BC 上一定点，P ，求作一直线l ，使其平分ABC ∆的面积.【分析】 因为中线AM 平分ABC ∆的面积，所以首先作中线AM ，假设PQ 平分ABC ∆的面积，在AMC ∆中先割去AMP ∆，再补上ANP ∆.只要NM AP ∥，则AMP ∆和AMP ∆就同底等高，此时它们的面积就相等了.所以PN 就平分了ABC ∆的面积.【解析】 作法：⑴ 取BC 中点M ，连接,AM AP ; ⑵ 过M 作MN AP ∥交AB 于N ； ⑶ 过P 、N 作直线l . 直线l 即为所求.【例11】 如图：五边形ABCDE 可以看成是由一个直角梯形和一个矩形构成.⑴ 请你作一条直线l ，使直线l 平分五边形ABCDE 的面积； ⑵ 这样的直线有多少条？请你用语言描述出这样的直线.FED CBAMFDCBFD CB【解析】 ⑴ 取梯形AFDE 的中位线MN 的中点O ，再取矩形BCDF 对角线的交点'O ，则经过点O ，'O 的直线l 即为所求；⑵ 这样的直线有无数条.设⑴中的直线l 交AE 于Q ，交BC 于R ，过线段RQ 中点P ，且与线段AE 、BC 均有交点的直线均可平分五边形ABCDE 的面积.【例12】 (07江苏连云港)如图1，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC BCAB AC=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S ，2S ，如果121S SS S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．⑴ 研究小组猜想：在ABC △中，若点D 为AB 边上的黄金分割点(如图2)，则直线CD 是ABC △的黄NM P CB Al金分割线．你认为对吗？为什么？⑵ 请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？⑶ 研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线DF CE ∥，交AC 于点F ，连接EF (如图3)，则直线EF 也是ABC △的黄金分割线．请你说明理由． ⑷ 如图4，点E 是ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF AD ∥，交DC 于点F ，显然直线EF 是ABCD 的黄金分割线．请你画一条ABCD 的黄金分割线，使它不经过ABCD 各边黄金分割点．【解析】 ⑴ 直线CD 是ABC △的黄金分割线．理由如下：设ABC △的边AB 上的高为h ．12ADC S AD h =△，12BDC S BD h =△，12ABC S AB h =△，∴ADC ABC S AD S AB =△△，BDC ADC S BDS AD=△△．又∵点D 为边AB 的黄金分割点，∴AD BD AB AD=．∴ADC BDCABC ADCS S S S =△△△△．∴直线CD 是ABC △的黄金分割线．⑵ ∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时1212S S S ==，即121S S S S ≠，∴三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．⑶ ∵DF CE ∥，∴DEC △和FCE △的公共边CE 上的高也相等，∴DECFCE S S =△△．设直线EF 与CD 交于点G ，∴DGE FGC S S =△△．∴ADCFGC AFGD S S S =+△△四边形DGE AEF AFGD S S S =+=△△四边形，BDC BEFC S S =△四边形．又∵ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△，∴BEFC AEF ABC AEF S S S S =四边形△△△． ∴直线EF 也是ABC △的黄金分割线．⑷ 画法不惟一，现提供两种画法；M （答案图1）M （答案图2）A CB 图1 A D B 图2CAD B图3C F E 图4画法一：如答图1，取EF中点G，再过点G作一直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是ABCD的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM NE∥交AB于点M，连接MN，则直线MN就是ABCD的黄金分割线．。
2021年于新华中考数学16讲第3讲 直线中“k”的颜值
第3讲直线中“k”的颜值知识架构图①图②已知直线l的解析式为y＝kx，在l上任意取点P，则PHOH＝k＝tan∠POH .由直线平移时，k的值不变这一特性，我们得到直线中的∣k∣＝tanα(α是直线与x轴夹成的锐角．．)在图②中，若l的解析式为y＝2x－1，我们除了能得到它与坐标轴的交点之外，还能得到tan∠P AH＝2. 结论应用速求出下列直线的解析式．AB的解析式为：y＝2x＋2；AB的解析式为：y＝12x＋32；CD的解析式为：y＝2x＋6；AB的解析式为：y＝－12x＋1；一、一次函数解析式中的k1．y＝x＋4的图象与x轴的夹角是45°；y－2的图象与x轴的夹角是120°；y x＋1的图象与x轴的夹角是30° .若∣k1直线与x轴的夹角分别是30°（或150°），45°（或135°），60°（或120°）. 2．如图，直线AP的解析式为bxy+=32，且点P坐标为（4，2），PA=PB，则点B的坐标为_________。
解：（7，0）提示：作PD ⊥AB ，因直线AP 中k=23，则AD ＝3，OA ＝1，由PA ＝PB ，则BD ＝3，∴B （7，0）3．如图，点B ，C 分别在直线y=2x 和y=kx 上，A ，D 是x 轴上两点，若四边形ABCD 为矩形，且21AD AB ，则k=__________。
解：25，提示：因直线OB 中k ＝2，故设B （m ，2m ），则OA ＝m ，AD=4m ，∴C （5m ，2m ）∴k ＝254．如图，已知点A （5，0），直线y=x+b （b>0）与x 轴，y 轴分别交于点B ，C ，连接AC ，ɑ=75º，则点B 的坐标为_________。
解：（-533，0）提示：因直线CB 中k ＝1，故∠CBA ＝45°，已知α＝75°，∴∠CAB ＝30°，由此求得B （-533，0）5．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是（2，a ）（a>2），半径为2，函数y=x 的图象被⊙P 截得的弦AB 的长为32，则a=________。
九年级中考数学一轮复习考点过关课件：尺规作图
作图根据：三边分别相等
步骤
图示
应用
（1） 以点O为圆心，任意长为
在△ABC内部找一
半径作弧，分别交OA，OB于点
点P，使P到三角形
M，N
三边距离都相等
（2） 分别以点M，N为圆心，
的两个三角形全等；全等 以大于 MN的长为半径作弧，
三角形的对应角相等；两
两弧相交于点P
点确定一条直线
点 确 定 一 条 直 点M，作直线MO，则直线MO即为
线
所求垂线
已 知 直 角 边 AB
作等腰直角三
角形ABC
续表
基本尺规作图
已知点在线外
过一点作
已知直线
的垂线
步骤
应用
（1）以点P为圆心，大于点P到直线l
过直线外一
的距离为半径作弧，分别交直线l于
点A作与直
作 图 根 据 ： 到 线 段 A，B两点
（1）作线段AB ＝ m
（ 2 ） 在 AB 的 同 侧 作 ∠ A ＝ ∠ α ，
∠ABC ＝ ∠β
（3）∠A与∠ABC的另一边相交于点
C，则△ABC即为所ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ作的三角形
续表
尺规作三角形
已知
作图
步骤
已知：线段a， 求作：等腰△ABC，使底边BC （1）作线段BC ＝ a
h
＝ a，底边上的高AH ＝ h
（2）作BC的垂直平分线MN，交
BC于点H
已知底边及底边上
的高作等腰三角形
（3）在MN上截取HA ＝ h，得A
点，连接AB，AC，则△ABC即为所
求作的等腰三角形
续表
尺规作三角形
2021年中考数学复习专题25：尺规作图(含中考真题解析)2
专题25 尺规作图☞解读考点知识点名师点晴尺规作图尺规作图概念了解什么是尺规作图五种根本作图1．画一条线段等于线段会用尺规作图法完成五种根本作图，了解五种根本作图的理由，会使用精练、准确的作图语言表达画图过程．2．画一个角等于角3．画线段的垂直平分线4．过点画直线的垂线5．画角平分线会利用根本作图画较简单的图形．1．画三角形会利用根本作图画三角形较简单的图形．2．画圆会利用根本作图画圆．☞2年中考【2021年题组】1．〔2021深圳〕如图，△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC，那么以下选项正确的选项是〔〕A．B．C．D．【答案】D．考点：作图—复杂作图．2．〔2021三明〕如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长〔大于12AB〕为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，以下结论错误的选项是〔〕A．AD=BD B．BD=CD C．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC【答案】D．【解析】试题分析：∵MN为AB的垂直平分线，∴AD=BD，∠BDE=90°；∵∠ACB=90°，∴CD=BD；∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，∴∠A=∠BED；∵∠A≠60°，AC≠AD，∴EC≠ED，∴∠ECD≠∠EDC．应选D．考点：1．作图—根本作图；2．线段垂直平分线的性质；3．直角三角形斜边上的中线．3．〔2021福州〕如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为〔〕A．80°B．90°C．100°D．105°【答案】B．【解析】试题分析：如图，AB是以点C为圆心，BC长为半径的圆的直径，因为直径对的圆周角是90°，所以∠AMB=90°，所以测量∠AMB的度数，结果为90°．应选B．考点：1．等腰三角形的性质；2．作图—根本作图．4．〔2021潍坊〕如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于12AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF．假设BD=6，AF=4，CD=3，那么BE的长是〔〕A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D．考点：1．平行线分线段成比例；2．菱形的判定与性质；3．作图—根本作图．5．〔2021嘉兴〕数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．〞分别作出了以下四个图形．其中作法错误的选项是〔〕A．B．C．D．【答案】A．考点：作图—根本作图． 6．〔2021衢州〕数学课上，老师让学生尺规作图画Rt △ABC ，使其斜边AB=c ，一条直角边BC=a ．小明的作法如下图，你认为这种作法中判断∠ACB 是直角的依据是〔 〕A ．勾股定理B ．直径所对的圆心角是直角C ．勾股定理的逆定理D ．90°的圆周角所对的弦是直径 【答案】B ． 【解析】试题分析：由作图痕迹可以看出O 为AB 的中点，以O 为圆心，AB 为半径作圆，然后以B 为圆心BC=a 为半径花弧与圆O 交于一点C ，故∠ACB 是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断∠ACB 是直角的依据是：直径所对的圆心角是直角．应选B ． 考点：1．作图—复杂作图；2．勾股定理的逆定理；3．圆周 角定理． 7．〔2021自贡〕如图，将线段AB 放在边长为1的小正方形网格，点A 点B 均落在格点上，请用无刻度直尺在线段AB 上画出点P ，使AP=3172，并保存作图痕迹．〔备注：此题只是找点不是证明，∴只需连接一对角线就行〕【答案】作图见试题解析．考点：作图—应用与设计作图．8．〔2021北京市〕阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小芸的作法如下：老师说：“小芸的作法正确．〞请答复：小芸的作图依据是．【答案】到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．考点：1．作图—根本作图；2．作图题．9．〔2021百色〕⊙O为△ABC的外接圆，圆心O在AB上．〔1〕在图1中，用尺规作图作∠BAC的平分线AD交⊙O于D〔保存作图痕迹，不写作法与证明〕；〔2〕如图2，设∠BAC的平分线AD交BC于E，⊙O半径为5，AC=4，连接OD交BC 于F．①求证：OD⊥BC；②求EF的长．【答案】〔1〕作图见试题解析；〔2〕①证明见试题解析；②321 7．【解析】试题分析：〔1〕按照作角平分线的方法作出即可；〔2〕①由AD是∠BAC的平分线，得到CD BD=，再由垂径定理推论可得到结论；②由勾股定理求得CF的长，然后根据平行线分线段成比例定理求得34EF FDCE AC==，即可求得37EFCF=，继而求得EF的长．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．圆周角定理；5．作图—复杂作图；6．压轴题．10．〔2021南京〕如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．〔要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3〕【答案】答案见试题解析．【解析】试题分析：①以A为圆心，以3为半径作弧，交AD、AB两点，连接即可；②连接AC，在AC上，以A为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交AD、AB两点，连接即可；③以A为端点在AB上截取试题解析：满足条件的所有图形如下图：考点：1．作图—应用与设计作图；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理；4．正方形的性质；5．综合题；6．压轴题．11．〔2021镇江〕图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．〔1〕如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH〔不写作法，保存作图痕迹〕；〔2〕在〔1〕的前提下，连接OD ，OA=5，假设扇形OAD 〔∠AOD ＜180°〕是一个圆锥的侧面，那么这个圆锥底面圆的半径等于 ．【答案】〔1〕作图见试题解析；〔2〕158．【解析】 试题分析：〔1〕作AE 的垂直平分线交⊙O 于C ，G ，作∠AOG ，∠EOG 的角平分线，分别交⊙O 于H ，F ，反向延长 FO ，HO ，分别交⊙O 于D ，B 顺次连接A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，八边形ABCDEFGH 即为所求；〔2〕由八边形ABCDEFGH 是正八边形，求得∠AOD 的度数，得到AD 的长，设这个圆锥底面圆的半径为R ，根据圆的周长的公式即可求得结论． 试题解析：〔1〕如下图，八边形ABCDEFGH 即为所求；〔2〕∵八边形ABCDEFGH 是正八边形，∴∠AOD=3608×3=135°，∵OA=5，∴AD 的长=1355180π⨯=154π，设这个圆锥底面圆的半径为R ，∴2πR=154π，∴R=158，即这个圆锥底面圆的半径为158．故答案为：158．考点：1．正多边形和圆；2．圆锥的计算；3．作图—复杂作图． 12．〔2021广安〕手工课上，老师要求同学们将边长为4cm 的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形，聪明的你请在以下四个正方形中画出不同的剪裁线，并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形面积〔注：不同的分法，面积可以相等〕【答案】答案见试题解析．〔2〕正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，O是AC、BD的交点，连接OE、OF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可；〔3〕正方形ABCD中，F、H分别是BC、DA的中点，O是AC、BD的交点，连接HF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可；〔4〕正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，O是AC的中点，I是AO的中点，连接OE、OB、OF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．试题解析：根据分析，可得：．考点：1．作图—应用与设计作图；2．操作型．13．〔2021孝感〕如图，一条公路的转弯处是一段圆弧〔AB〕．〔1〕用直尺和圆规作出AB所在圆的圆心O；〔要求保存作图痕迹，不写作法〕〔2〕假设AB的中点C到弦AB的距离为20m，AB=80m，求AB所在圆的半径．【答案】〔1〕作图见试题解析；〔2〕50m ．试题解析：〔1〕如图1，点O 为所求；〔2〕连接OA ，OC ，OC 交AB 于D ，如图2，∵C 为AB 的中点，∴OC ⊥AB ，∴AD=BD=12AB=40，设⊙O 的半径为r ，那么OA=r ，OD=OD ﹣CD=r ﹣20，在Rt △OAD 中，∵222OA OD BD =+，∴222(20)40r r =-+，解得r=50，即AB 所在圆的半径是50m ．考点：1．作图—复杂作图；2．勾股定理；3．垂径定理的应用；4．作图题．14．〔2021宜昌〕如图，一块余料ABCD ，AD ∥BC ，现进行如下操作：以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA ，BC 于点G ，H ；再分别以点G ，H 为圆心，大于12GH 的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．〔1〕求证：AB=AE；〔2〕假设∠A=100°，求∠EBC的度数．【答案】〔1〕证明见试题解析；〔2〕40°．考点：1．作图—根本作图；2．等腰三角形的判定与性质．15．〔2021随州〕如图，射线PA切⊙O于点A，连接PO．〔1〕在PO的上方作射线PC，使∠OPC=∠OPA〔用尺规在原图中作，保存痕迹，不写作法〕，并证明PC是⊙O的切线；〔2〕在〔1〕的条件下，假设PC切⊙O于点B，AB=AP=4，求AB的长．【答案】〔1〕作图见试题解析，证明见试题解析；〔2839．【解析】试题分析：〔1〕按照作一个角等于角的作图方法作图即可，连接OA，作OB⊥PC，由角平分线的性质证明OA=OB即可证明PC是⊙O的切线；〔2〕先证明△PAB是等边三角形，那么∠APB=60°，进而∠POA=60°，在Rt△AOP中求出OA，用弧长公式计算即可．试题解析：〔1〕作图如右图，连接OA，过O作OB⊥PC，∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，又∵∠OPC=∠OPA ，OB ⊥PC ，∴OA=OB ，即d=r ，∴PC 是⊙O 的切线；〔2〕∵PA 、PC 是⊙O 的切线，∴PA=PB ，又∵AB=AP=4，∴△PAB 是等边三角形，∴∠APB=60°，∴∠AOB=120°，∠POA=60°，在Rt △AOP 中，tan60°=4OA ，∴OA=433，∴431203180AB l π⨯⨯==839π．考点：1．切线的判定与性质；2．弧长的计算；3．作图—根本作图．16．〔2021广州〕如图，AC 是⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，∠ACB=30°．〔1〕利用尺规作∠ABC 的平分线BD ，交AC 于点E ，交⊙O 于点D ，连接CD 〔保存作图痕迹，不写作法〕；〔2〕在〔1〕所作的图形中，求△ABE 与△CDE 的面积之比．【答案】〔1〕作图见试题解析；〔2〕12．试题解析：〔1〕如下图；考点：1．作图—复杂作图；2．圆周角定理．17．〔2021吉林省〕图①，图②，图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①，图②中已画出线段AB，在图③中已画出点A．按以下要求画图：〔1〕在图①中，以格点为顶点，AB为一边画一个等腰三角形；〔2〕在图②中，以格点为顶点，AB为一边画一个正方形；〔3〕在图③中，以点A为一个顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．【答案】〔1〕作图见试题解析；〔2〕作图见试题解析；〔3〕作图见试题解析．【解析】试题分析：〔1〕根据勾股定理，结合网格结构，作出两边分别为5的等腰三角形即可；〔2〕根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出边长为5的正方形；〔3〕根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出最长的线段作为正方形的边长即可．试题解析：〔1〕如图①，符合条件的C点有5个：；〔3〕如图③，边长为10的正方形ABCD的面积最大．．考点：作图—应用与设计作图．18．〔2021哈尔滨〕图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．〔1〕在图1中画出等腰直角三角形MON，使点N在格点上，且∠MON=90°；〔2〕在图2中以格点为顶点画一个正方形ABCD，使正方形ABCD面积等于〔1〕中等腰直角三角形MON面积的4倍，并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD面积没有剩余〔画出一种即可〕．【答案】〔1〕答案见试题解析；〔2〕答案见试题解析．试题解析：〔1〕如图1所示；〔2〕如图2、3所示；考点：作图—应用与设计作图．19．〔2021六盘水〕如图，Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝45°．〔1〕〔4分〕用尺规作图，在CA 的延长线上截取AD ＝AB ，并连接BD 〔不写作法，保存作图痕迹〕；〔2〕〔4分〕求∠BDC 的度数；〔3〕〔4分〕定义：在直角三角形中，一个锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即的对边的邻边A A A ∠∠=cot ，根据定义，利用图形求cot22.5°的值．【答案】〔1〕答案见试题解析；〔2〕22.5°；〔321+．试题解析：〔1〕如图，〔2〕∵AD=AB ，∴∠ADB=∠ABD ，而∠BAC=∠ADB+∠ABD ，∴∠ADB=12∠BAC=12×45°=22.5°，即∠BDC 的度数为22.5°；〔3〕设AC=x ，∵∠C=90°，∠BAC=45°，∴△ACB 为等腰直角三角形，∴BC=AC=x ，AB=2AC=2x ，∴AD=AB=2x ，∴CD=2x x +=(21)x +，在Rt △BCD 中，cot∠BDC=DC BC =(21)xx +=21+，即cot22.5°=21+．考点：1．作图—复杂作图；2．解直角三角形；3．新定义；4．综合题．20．〔2021山西省〕如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°．〔1〕尺规作图：作⊙C ，使它与AB 相切于点D ，与AC 相交于点E ，保存作图痕迹，不写作法，请标明字母；〔2〕在你按〔1〕中要求所作的图中，假设BC=3，∠A=30°，求DE 的长．【答案】〔1〕作图见试题解析；〔232．试题解析：〔1〕如图，⊙C为所求；〔2〕∵⊙C切AB于D，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴∠DCE=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，∴∠BCD=90°﹣∠ACD=30°，在Rt△BCD中，∵cos∠BCD=CDBC ，∴CD=3cos30°=332，∴DE的长=33602180π⋅=32π．考点：1．作图—复杂作图；2．切线的性质；3．弧长的计算；4．作图题．21．〔2021济宁〕如图，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的一个外角．实验与操作：根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母〔保存作图痕迹，不写作法〕〔1〕作∠DAC的平分线AM；〔2〕作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE，CF．猜测并判断四边形AECF的形状并加以证明．【答案】〔1〕作图见试题解析；〔2〕作图见试题解析，四边形AECF的形状为菱形．【解析】考点：1．作图—复杂作图；2．角平分线的性质；3．线段垂直平分线的性质；4．作图题；5．探究型；6．菱形的判定．22．〔2021宁波〕在边长为1的小正方形组成的方格纸中，假设多边形的各顶点都在方格纸的格点〔横竖格子线的交错点〕上，这样的多边形称为格点多边形．记格点多边形内的格点数为a ，边界上的格点数为b ，那么格点多边形的面积可表示为1-+=nb ma S ，其中m ，n 为常数．〔1〕在下面的方格中各画出一个面积为6的格点多边形，依次为三角形、平行四边形〔非菱形〕、菱形；〔2〕利用〔1〕中的格点多边形确定m ，n 的值．【答案】〔1〕答案见试题解析；〔2〕112m n =⎧⎪⎨=⎪⎩．〔2〕∵格点多边形内的格点数为a ，边界上的格点数为b ，那么格点多边形的面积可表示为：1-+=nb ma S ，其中m ， n 为常数，∴三角形：3816S m n =+-=，平行四边形：3816S m n =+-=，菱形：5416S m n =+-=，那么38165416m n m n +-=⎧⎨+-=⎩，解得：112m n =⎧⎪⎨=⎪⎩．考点：作图—应用与设计作图．23．〔2021杭州〕“综合与实践〞学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a ，b ，c ，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度．〔1〕用记号〔a ，b ，c 〕〔a≤b≤c 〕表示一个满足条件的三角形，如〔2，3，3〕表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形．请列举出所有满足条件的三角形．〔2〕用直尺和圆规作出三边满足a ＜b ＜c 的三角形〔用给定的单位长度，不写作法，保存作图痕迹〕．【答案】〔1〕共9种：〔2，2，2〕，〔2，2，3〕，〔2，3，3〕，〔2，3，4〕，〔2，4，4〕，〔3，3，3〕，〔3，3，4〕，〔3，4，4〕，〔4，4，4〕；〔2〕答案见试题解析．【解析】试题分析：〔1〕应用列举法，根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形；〔2〕首先判断满足条件的三角形只有一个：a=2，b=3，c=4，再作图：①作射线AB ，且取AB=4；②以点A 为圆心，3为半径画弧；以点B 为圆心，2为半径画弧，两弧交于点C ； ③连接AC 、BC ．那么△ABC 即为满足条件的三角形．考点：1．作图—应用与设计作图；2．三角形三边关系．24．〔2021温州〕各顶点都在方格纸格点〔横竖格子线的交错点〕上的多边形称为格点多边形．如何计算它的面积？奥地利数学家皮克〔G•Pick ，1859～1942年〕证明了格点多边形的面积公式121-+=b a S ，其中a 表示多边形内部的格点数，b 表示多边形边界上的格点数，S 表示多边形的面积．如图，4=a ，6=b ，616214=-⨯+=S ． 〔1〕请在图中画一个格点正方形，使它的内部只含有4个格点，并写出它的面积．〔2〕请在图乙中画一个格点三角形，使它的面积为27，且每条边上除顶点外无其它格点．〔注：图甲、图乙在答题纸上〕【答案】．【解析】试题分析：〔1〕根据皮克公式画图计算即可；〔2〕根据题意可知a=3，b=3，画出满足题意的图形即可．试题解析：〔1〕方法不唯一，如图①或图②所示：〔2〕方法不唯一，如图③或图④所示：考点：作图—应用与设计作图．25．〔2021青岛〕【问题提出】用n根相同的木棒搭一个三角形〔木棒无剩余〕，能搭成多少种不同的等腰三角形？【问题探究】不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论．【探究一】〔1〕用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？此时，显然能搭成一种等腰三角形．所以，当n=3时，m=1．〔2〕用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形．所以，当n=4时，m=0．〔3〕用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？假设分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，那么不能搭成三角形．假设分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，那么能搭成一种等腰三角形．所以，当n=5时，m=1．〔4〕用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？假设分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，那么不能搭成三角形．假设分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，那么能搭成一种等腰三角形．所以，当n=6时，m=1．综上所述，可得：表①n 3 4 5 6m 1 0 1 1【探究二】〔1〕用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？〔仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在表②中〕〔2〕用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？〔只需把结果填在表②中〕表②n 7 8 9 10m你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，…【问题解决】：用n根相同的木棒搭一个三角形〔木棒无剩余〕，能搭成多少种不同的等腰三角形？〔设n 分别等于4k﹣1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中〕表③n 4k﹣1 4k 4k+1 4k+2m【问题应用】：用2021根相同的木棒搭一个三角形〔木棒无剩余〕，能搭成多少种不同的等腰三角形？〔写出解答过程〕，其中面积最大的等腰三角形每腰用了根木棒．〔只填结果〕【答案】【探究二】：2；1；2；2；【问题解决】：k；k﹣1；k；k；【问题应用】：672．试题解析：〔1〕用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？此时，能搭成二种等腰三角形，即分成2根木棒、2根木棒和3根木棒，那么能搭成一种等腰三角形用10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？分成3根木棒、3根木棒和4根木棒，那么能搭成一种等腰三角形分成4根木棒、4根木棒和2根木棒，那么能搭成一种等腰三角形所以，当n=10时，m=2．故答案为：2；1；2；2．问题解决：由规律可知，答案为：k；k﹣1；k；k．问题应用：2021÷4=504，504﹣1=503，当三角形是等边三角形时，面积最大，2021÷3=672，∴用2021根相同的木棒搭一个三角形，能搭成503种不同的等腰三角形，其中面积最大的等腰三角形每腰用672根木棒．考点：1．作图—应用与设计作图；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的判定与性质；4．探究型；5．综合题；6．压轴题．【2021年题组】1．〔2021·安顺〕用直尺和圆规作一个角等于角，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是〔〕A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS【答案】B．考点：作图—根本作图；全等三角形的判定与性质．2．〔2021涉县一模〕如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：甲：①作OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点．②连接AB，AC．△ABC即为所求作的三角形．乙：①以D为圆心，OD的长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点．②连接AB，BC，CA．△ABC即为所求作的三角形．对于甲、乙两人的作法，可判断〔〕A．甲、乙均正确B．甲、乙均错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确【答案】A．【解析】试题分析：根据甲的思路，作出图形如下：连接OB，BD,∵OD=BD，OD=OB,∴OD=BD=OB,∴△BOD为等边三角形,∴∠OBD=∠BOD=60°,又BC垂直平分OD，∴OM=DM,∴BM为∠OBD的平分线,∴∠OBM=∠DBM=30°,又OA=OB，且∠BOD为△AOB的外角,∴∠BAO=∠ABO=30°,∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°,同理∠ACB=60°,∴∠BAC=60°,∴∠ABC=∠ACB=∠BAC,∴△ABC 为等边三角形,故乙作法正确,应选A考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．3．〔2021·玉林〕如图，BC与CD重合，∠ABC＝∠CDE＝90°，△ABC≌△CDE，并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O〔保存作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑〕，并直接写出旋转角度是．【答案】90°．【解析】试题分析：如下图：旋转角度是90°．考点：作图-旋转变换．4．〔2021•河南〕如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C 为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD，假设CD=AC，∠B=25°，那么∠ACB的度数为【答案】105°．考点：作图—根本作图；线段垂直平分线的性质．5．〔2021•梅州〕如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以A、C为圆心，大于12AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连结MN，与AC、BC分别交于点D、E，连结AE，那么：〔1〕∠ADE= ；〔2〕AE EC；〔填“=〞“＞〞或“＜〞〕〔3〕当AB=3，AC=5时，△ABE的周长=【答案】〔1〕90°；〔2〕=；〔3〕7．考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用．☞考点归纳归纳1：作三角形根底知识归纳：利用根本作图作三角形〔1〕三边作三角形；〔2〕两边及其夹角作三角形；〔3〕两角及其夹边作三角形；〔4〕底边及底边上的高作等腰三角形；〔5〕一直角边和斜边作直角三角形．注意问题归纳：用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．【例1】：线段a、c和∠β〔如图〕，利用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠β．〔不写作法，保存作图痕迹〕．【答案】作图见解析．考点：作图—根本作图．归纳2：用角平分线、线段的垂直平分线性质画图根底知识归纳：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．线段垂直平分线的性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．根本做图如图：【例2】两个城镇A，B与两条公路ME，MF位置如下图，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部．【答案】作图见解析．考点：作图—应用与设计作图．归纳3：与圆有关的尺规作图根底知识归纳：〔1〕过不在同一直线上的三点作圆〔即三角形的外接圆〕；〔2〕作三角形的内切圆；〔3〕作圆的内接正方形和正六边形．注意问题归纳：关键是找准圆周心作出圆．【例3】如图，在△ABC中，先作∠BAC的角平分线AD交BC于点D，再以AC边上的一点O为圆心，过A，D两点作⊙O〔用尺规作图，不写作法，保存作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑〕【答案】考点：作图—复杂作图．☞1年模拟1．〔2021届山东省胶南市校级模拟〕：用直尺和圆规作图，〔不写作法，保存作图痕迹，〕如图，在∠AOB内，求作点P，使P点到OA，OB的距离相等，并且P点到M，N的距离也相等．【答案】作图见解析．【解析】试题分析：点P到M、N两点的距离相等即作MN的垂直平分线；点P到OA、OB的距离也相等．即作角平分线，两线的交点就是点P的位置．试题解析：如下图：考点：1．作图—复杂作图；2．角平分线的性质；3．线段垂直平分线的性质．2．〔2021届广东省黄冈中学校级模拟〕△ABC中，∠C=90°，请利用尺规作出△ABC的内切圆O〔不写作法，请保存作图痕迹〕【答案】作图见解析．考点：1．三角形的内切圆与内心；2．作图—复杂作图．3．〔2021届湖北省宜昌市兴山县模拟考试〕如图：在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D．〔1〕作△ABC的外接圆O，作直径AE〔尺规作图〕；〔2〕假设AB=8，AC=6，AD=5，求△ABC的外接圆直径AE的长．【答案】〔1〕作图见解析；〔2〕9.6．试题解析：〔1〕如图：〔2〕证明：由作图可知AE为⊙O的直径,∴∠ABE=90°，〔直径所对的圆周角是直角〕∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∴∠ABE=∠ADC,∵AB AB=∴∠E=∠C,∴△ABE∽△ADC,∴AC ADAE AB=,即658AB=,∴AE=9.6．考点：1．三角形的外接圆与外心；2．作图—复杂作图．4．〔2021届江苏省盐城模拟考试〕实践操作：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，利用直尺和圆规按以下要求作图，并在图中标明相应的字母〔保存作图痕迹，不写作法〕〔1〕作∠BCA的角平分线，交AB于点O；〔2〕以O为圆心，OB为半径作圆．综合运用：在你所作的图中,〔1〕AC与⊙O的位置关系是〔直接写出答案〕〔2〕假设BC=6，AB=8，求⊙O的半径．【答案】实践操作：画图见解析；综合运用：〔1〕相切；〔2〕3．试题解析：实践操作：〔1〕如下图：CO即为所求；〔2〕如下图：⊙O即为所求；综合运用：〔1〕AC与⊙O的位置关系是：相切；考点：1．作图—复杂作图；2．直线与圆的位置关系．。
【中考数学考点复习】第一节 尺规作图 课件(23张PPT)
直平分
线(已 知线段 结论：AB⊥l
， AB)
AO＝OB
到线段两
1.分别以点A，B为圆心，大于
个端点距
1
__2_A__B___的长为半径，在AB两侧 离相等的
作弧，两弧交于两点；
点在这条
2.连接两弧交点所成直线l即为所求 线段的垂
作的垂直平分线
直平分线
上
第一节 尺规作图
类型
步骤
五种基本 尺规作图
第一节 尺规作图
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成都10年真题及拓展
尺规作图的相关计算
1. 如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点 B 和点 C 为圆心，
以大于 12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点 M 和 N；②作直线 MN 交
AC 于点 D，连接 BD.若 AC＝6，AD＝2，则 BD 的长为( C )
A．2
的两侧；
到线段两 2.以点P为圆心，PM的长为半径作弧
个端点距 ，交直线l于点A和点B，可得到PA＝
PB；
离相等的
1
3大.分于别2以AB点A、点B为圆心，以
点在这条 线段的垂
________长为半径作弧，交点M的
直平分线
同侧于点N，可得到AN＝BN；
上
4连接PN，则直线PN即为所求作的垂
线
第一节 尺规作图
长为( C )
A．252 3 C．20
B．12 3 D．15
第9题图
第一节 尺规作图
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10．人教版初中数学教科书八年级上册第 35－36 页告诉我们作一个三角 形与已知三角形全等的方法： 已知：△ABC. 求作：△A′B′C′，使得△A′B′C′≌△ABC. 作法：如图．
中考复习专题：尺规作图课件(共38张PPT)
优秀ppt公开课ppt免费课件下载免费 课件20 20年 中考复 习专题 ：尺规 作图课 件(共38 张PPT)
下列结论中错误的是( C )
A．∠CEO＝∠DEO
C．∠OCD＝∠ECD
B．CM＝MD D．S 四边形 OCED＝12CD·OE
优秀ppt公开课ppt免费课件下载免费 课件20 20年 中考复 习专题 ：尺规 作图课 件(成：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内 切圆；作圆的内接正方形和正六边形．
4．在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法.
考情分析：尺规作图是中考的高频考点，但是很少单独考查，具有鲜明的特点：
一是利用尺规作图作三角形、作已知角的平分线、作已知线段的垂直平分线以及过 一点作已知直线的垂线等，同时给出作图语言让学生补全图形，并结合图形条件进 行推理和计算；二是利用尺规作图结合图形变化进行图案设计，均为解答题．考查 的难度、操作与开放的力度或会增加，建议复习时要特别关注作图要求的训练落 实．
1.分别以点A，B为圆心，以 大大于于12AABB的的长长 为 半径，两弧交于M，N两点；2.作直线MN，则 直直线线MMNN 即为线段AB的垂直平分线
过一点作已
知直线的垂 线(已知点P 和直线l)
点P在直线l上
大于 1AB 的长 1.以点P为圆心，以适当长2 为半径 作弧，分别交 直线l于A，B两点；2.分别以点A，B为圆心，以 大于适当长A为B半的径长 为半径作弧，交于M，N两点； 3.过点M，N作直线，则直线MN即为所求垂线
人教版九年级数学
中考复习专题
尺规作图
课标解读：1．能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个
角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的 垂线.
2023年中考复习大串讲初中数学之 尺规作图 课件
(图2)
连接DG交BC于点H，连接CG.
∵GE是AB的垂直平分线，∴∠EGB＝90°.
(答图3)
又∵∠ABD＝90°，∴∠EGB＝∠ABD，∴DB∥EG.
∵∠ACB＝90°，G是AB的中点，∴CG＝
1 2
AB＝BG.
∵BC是等腰三角形BCD的底，∴DB＝DC，
∴点D，G在线段BC的垂直平分线上，
即DG垂直平分BC，∴∠DHB＝90°.
∴SS△△HDEEFC＝EECF2＝19. ∴S△HEC＝19S△DEF. ∴S 四边形 DHCF＝S△DEF－S△HEC＝89S△DEF＝89·32 2＝43 2.
例4 如图4，已知△ABC和点A′. (1)以点A′为顶点求作△A′B′C′，使△A′B′C′∽△ABC，
S△A′B′C′＝4S△ABC; (尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) 解：如答图5，△A′B′C′即为所求．
又∵∠CBM＝∠DBF，∴△BCM∽△BDF.∴ BBDC＝CDMF . ∵BC＝CD，∴BC＝BD.∴ BBDC＝CDMF＝12.
∵AC∥DE，∴∠MCN＝∠FEN.
又∵∠CNM＝∠ENF，∴△CMN∽△EFN.∴ MFNN＝CEMF .
∵点F为DE的中点，∴EF＝DF.
∴MFNN＝CEMF ＝CDMF＝12.
(图4)
如图4，已知△ABC和点A′. (2)设点D，E，F分别是△ABC三边AB，AC，BC的中点，
点D′，E′，F′分别是(1)中所作的△A′B′C′三边A′B′， A′C′，B′C′的中点，求证：△DEF∽△D′E′F′.
(图4)
证明：如答图6， ∵点D，E，F分别是△ABC三边AB，AC，BC的中点， ∴DE＝12BC，DF＝12AC，EF＝12AB. 同理可得 D′E′＝12B′C′，D′F′＝12A′C′，E′F′＝12A′B′. 由(1)可知△ABC∽△A′B′C′， ∴AA′CC′＝AA′BB′＝BB′CC′.
中考数学尺规作图专题
中考数学尺规作图初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两已知点可以画一条直线；⑵已知圆心和半径可以作一圆；⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴三等分角问题：三等分一个任意角；⑵倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.还有另外两个著名问题：⑴正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形.·只使用直尺和圆规，作正六边形.·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的.·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题.⑵四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.五种基本作图：初中数学的五种基本尺规作图为：1.做一线段等于已知线段 2.做一角等于已知角 3.做一角的角平分线4.过一点做一已知线段的垂线5.做一线段的中垂线几种常见的尺规作图方法：⑴轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.【例1】电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m、n的距离也必须相等，发射塔P应修建在什么位置？【例2】在平面直角坐标系中，点A的坐标是(4，0)，O是坐标原点，在直线3∆y x=+上求一点P，使AOP 是等腰三角形，这样的P点有几个？【例3】设OO⊙外切.⊙及'⊙与'O⊙相离，半径分别为R与'R，求作半径为r的圆，使其与Or⑵代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.【例4】只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.【例5】求作一正方形，使其面积等于已知ABC∆的面积.【例6】 在已知直线l 上求作一点M ，使得过M 作已知半径为r 的O ⊙的切线，其切线长为a .arO l⑶ 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.【例7】 已知：直线a 、b 、c ，且a b c ∥∥.求作：正ABC ∆，使得A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.cba变式：如图，在△A B C 中，∠B AC ＝60°，∠A B C ＝90°，直线l 1∥l 2∥l 3，l 1与l 2之间距离是1，l 2与l 3之间距离是2．且l 1，l 2，l 3分别经过点A ，B ，C ，则边AC 的长为________．【例8】 已知：如图，P 为AOB ∠角平分线OM 上一点.求作：PCD ∆，使得90P ∠=︒，PC PD =，且C 在OA 上，D 在OB 上.O⑷ 位似法作图：利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，作出与其位似的图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作出满足全部的条件.【例9】 已知：一锐角ABC ∆.求作:一正方形DEFG ，使得D 、E 在BC 边上，F 在AC 边上，G 在AB 边上.CBA⑸ 面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形.【例10】 如图，过ABC ∆的底边BC 上一定点，P ，求作一直线l ，使其平分ABC ∆的面积.【例11】 如图：五边形ABCDE 可以看成是由一个直角梯形和一个矩形构成.⑴ 请你作一条直线l ，使直线l 平分五边形ABCDE 的面积； ⑵ 这样的直线有多少条？请你用语言描述出这样的直线.FED CBA【例12】 如图1，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC BCAB AC=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点． 某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S ，2S ，如果121S SS S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．⑴ 研究小组猜想：在ABC △中，若点D 为AB 边上的黄金分割点(如图2)，则直线CD 是ABC △的黄金分割线．你认为对吗？为什么？⑵ 请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？⑶ 研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线DF CE ∥，交AC 于点F ，连接EF (如图3)，则直线EF 也是ABC △的黄金分割线．请你说明理由． ⑷ 如图4，点E 是ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF AD ∥，交DC 于点F ，显然直线EF 是ABCD 的黄金分割线．请你画一条ABCD 的黄金分割线，使它不经过ABCD 各边黄金分割点．历年考题：1、如图，已知矩形ABCD ，AB=4，BC=5，请用尺规作图画出符合要求的图形，并标注必要的字母及结论（保留痕迹）（1）在图1的矩形中画出面积最大的菱形。
2021年中考数学专题突破30 尺规作图问题
专题30 尺规作图问题1.尺规作图的定义：只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法．尺规作图可以要求写作图步骤，也可以要求不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹。
2.尺规作图的五种基本情况（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作已知线段的垂直平分线；（4）作已知角的角平分线；（5）过一点作已知直线的垂线。
3.对尺规作图题解法写出已知，求作，作法（不要求写出证明过程）并能给出合情推理。
4.中考要求（1）能完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线.（2）能利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形.（3）能过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.（4）了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）.AB同样长为半【例题1】（2020•台州）如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于12径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（）A．AB平分∠CAD B．CD平分∠ACB C．AB⊥CD D．AB＝CD【对点练习】（2019•丽水模拟题）如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰梯形【例题2】（2020•辽阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，分别以点AAB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于和B为圆心，以大于12点E，连接BE，若CE＝3，则BE的长为．【对点练习】（2019武汉）如图，BD是矩形ABCD的对角线，在BA和BD上分别截取BE，BF，使BE＝BF；分别以E，F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧在∠ABD内交于点G，作射线BG交AD于点P，若AP＝3，则点P到BD的距离为．【例题3】（2020•武威）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BD＝BA．（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作∠ABC的角平分线交AD于点E；②作线段DC的垂直平分线交DC于点F．（2）连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系．【对点练习】（2019•广东模拟题）如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．一、选择题1．（2020•河北）如图1，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；第三步：画射线BP．射线BP即为所求．下列正确的是（）A．a，b均无限制B．a＞0，b＞1DE的长2DE的长C．a有最小限制，b无限制D．a≥0，b＜122．（2020•襄阳）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（）A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C 3．（2020•贵阳）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于1DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交2于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（）A．无法确定B．1C．1D．224.（2019•河北模拟题）如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．5.(2019•湖南益阳)已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形6.（2019•湖南长沙）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（）A．20°B．30°C．45°D．60°7.(2019年贵州安顺模拟题)用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．（SAS）B．（SSS）C．（ASA）D．（AAS）二、填空题8．（2020•苏州）如图，已知∠MON是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分AB长为半径画弧，两弧交于点别交OM、ON于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于12C，画射线OC．过点A作AD∥ON，交射线OC于点D，过点D作DE⊥OC，交ON于点E．设OA＝10，DE＝12，则sin∠MON＝．9．（2019济南）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP 交AC 于点D ．若∠A ＝30°，则＝ ．10. ( 2019甘肃省兰州市) 如图， 矩形ABCD ， ∠BAC ＝600. 以点A 为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB.AC 于点M 、N 两点，再分别以点M 、N 为圆心，以大于21MN 的长为半径作弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，若BE ＝1，则矩形ABCD 的面积等于___________.三、解答题（一）11．（2020•陕西）如图，已知△ABC ，AC ＞AB ，∠C ＝45°．请用尺规作图法，在AC 边上求作一点P ，使∠PBC ＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）12．（2020•长沙）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点（2）分别以点M，N为圆心，大于12C．（3）画射线OC，射线OC即为所求（如图）．请你根据提供的材料完成下面问题．（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是．（填序号）①SSS②SAS③AAS④ASA（2）请你证明OC为∠AOB的平分线．13．（2020•福建）如图，C为线段AB外一点．（1）求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD＝2AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上．14．（2020•北京）已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC，CD∥AB．∠BAC．求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP=12作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵CD∥AB，∴∠ABP＝．∵AB＝AC，∴点B在⊙A上．又∵点C，P都在⊙A上，∠BAC（）（填推理的依据）．∴∠BPC=12∴∠ABP=1∠BAC．215．（2020•达州）如图，点O在∠ABC的边BC上，以OB为半径作⊙O，∠ABC的平分线BM交⊙O于点D，过点D作DE⊥BA于点E．（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；（2）判断⊙O与DE交点的个数，并说明理由．16．（2019•六盘水模拟题）如图，在△ABC中，利用尺规作图，画出△ABC的外接圆或内切圆（任选一个．不写作法，必须保留作图痕迹）17.（2020大连模拟）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．（1）如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，画出四边形ABCD的对称轴m；（2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D，画出BC边的垂直平分线n．18.（2019•四川省达州市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3．（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作BC的垂线，垂足为点E．（2）在（1）作出的图形中，求DE的长．19.（2019•广东）如图，在△ABC 中，点D 是AB 边上的一点．（1）请用尺规作图法，在△ABC 内，求作∠ADE ．使∠ADE=∠B ，DE 交AC 于E ；（不要 求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若DB AD =2，求EC AE的值．20.（2019•广西贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知△ABC ，请根据“SAS ”基本事实作出△DEF ，使△DEF ≌△ABC ．21.（2019山东枣庄）如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，∠CBD ＝75°，（1）请用尺规作图法，作AB 的垂直平分线EF ，垂足为E ，交AD 于F ；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接BF ，求∠DBF 的度数．22.（2019•湖北孝感）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：①以点C为圆心，以CB为半径画弧，交AB于点G；分别以点G、B为圆心，以大于GB 的长为半径画弧，两弧交点K，作射线CK；②以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N；分别以点M、N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E．请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；（1）线段CD与CE的大小关系是；（2）过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，若AC＝12，BC＝5，求tan∠DBF的值．23.（2019平谷二模）下面是小元设计的“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l和l外一点P．求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图2，（1）在直线l上任取一点A；（2）连接AP，以点P为圆心，AP长为半径作弧，交直线l于点B（点A，B不重合）；（3）连接BP，作∠APB的角平分线，交AB于点H；（4）作直线PH，交直线l于点H．所以直线PH就是所求作的垂线．根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明.证明：∵PH平分∠APB，∴∠APH= ．∵PA= ，∴PH⊥直线l于H．( )(填推理的依据)24.（2019•甘肃庆阳）已知：在△ABC中，AB＝AC．（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC 的外接圆的圆心O 到BC 边的距离为4，BC ＝6，则S ⊙O ＝ ．25.（2019•广东广州）如图，⊙O 的直径AB ＝10，弦AC ＝8，连接BC ．（1）尺规作图：作弦CD ，使CD ＝BC （点D 不与B 重合），连接AD ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD 的周长．四、解答题（二）26.已知线段a 、b ，画一条线段，使其等于b a 2 ．27.如下图，已知线段a 和b ，求作一条线段AD 使它的长度等于2a －b ．28.求作一个角等于已知角∠MON （如图1）．图（1）图（2）29.如下图，已知∠α及线段a，求作等腰三角形，使它的底角为α，底边为a．30.如图（1），已知直线AB及直线AB外一点C，过点C作CD∥AB（写出作法，画出图形）图（1）图（2）31.正在修建的中山北路有一形状如下图所示的三角形空地需要绿化．拟从点A出发，将△ABC分成面积相等的三个三角形，以便种上三种不同的花草，请你帮助规划出图案（保留作图痕迹，不写作法）．32.已知∠AOB，求作∠AOB的平分线OC．图（1）图（2）33.如图（1）所示，已知线段a、b、h（h＜b）．求作△ABC，使BC=a，AB=b，BC边上的高AD=h．图（1）34.如图，已知线段a，b，求作Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a，AC=b（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）．35.如图，已知钝角△ABC，∠B是钝角．求作：（1）BC边上的高；（2）BC边上的中线（写出作法，画出图形）．专题30 尺规作图问题1.尺规作图的定义：只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法．尺规作图可以要求写作图步骤，也可以要求不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹。
2021年九年级中考数学二轮复习 第8讲-尺规作图课件
的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；
（2）在图2中，若BA＝BD，画出△ABD的AD边上的高．
真题演练
14．在6×6的方格纸中，点A、B、C都在格点上，按要求画图：
（1）在图1中找一个格点D，使以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四
边形．
（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB三等分（保留画图痕迹，不写
画法）．
真题演练
15．（2019·无锡）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．
（1）如图1，A为⊙O上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出⊙O的内接
正方形；
真题演练
（2）我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条
①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为
圆心，大于 的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；②分别以点A，B为圆心，大于
的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O；③以点O为圆心，线
段OA长为半径作圆．则圆O的半径为（ ）
A．2 5
答案不唯一）
真题演练
8．（2018·陕西）如图，已知：在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连
接AM．请用尺规作图法，在AM上作一点P，使△DPA∽△ABM．（不写作
法，保留作图痕迹）
真题演练
9．（2019·宿迁）在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）如图1，点O在斜边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆交AB于点D，
内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中作弦EF使EF∥BC；
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(3)连接OM，MN.
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是D( )
A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN，则∠AOB＝20°
C．MN∥CD
D．MN＝3CD
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∴∠BCO＝∠BOC． ∴∠OBA＝∠BOC＋∠BCO＝2∠BOC．
∴∠BOC＝30°. ∴∠COA＝∠AOB＋∠BOC＝90°. ∴OP⊥MN.
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(4)请仿照小颖的方法，再设计一种不同的方法探究OP与MN是否
解：如解图 1，射线 OE 即为所求．
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解图 1
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(3)请说明小颖的探究方法的合理性． 解：∵△AOB 为等边三角形， ∴∠BOA＝∠BAO＝∠OBA＝60°. ∵BC＝BO，
③连接OE交CD于点M.
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下列结论中错误的是( C )
A．∠CEO＝∠DEO
C．∠OCD＝∠ECD
B．CM＝MD D．S 四边形 OCED＝12CD·OE
小颖的方法：如图3，在ON上任取一点A，以OA为边在∠PON内部作等边
△AOB，延长AB交OP于点C．若BC＝BO，则∠AOC＝90°，即OP⊥MN.
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第15讲尺规作图一、基本作图引例如图，利用尺规，在∆ABC的AC边上方作∠CAE=∠ACB，在射线AE上截取AD=BC，连接CD，并证明：CD∥AB．(尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法)CA答案：本题考查作一个角等于已知角，可用平行四边形证明，过程略．归纳现行《课程标准》中对尺规作图的要求如下：(1)能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线．(5种)(2)会利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角和斜边作直角三角形．(5种)(3)会利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形．(5种)其中(2)和(3)中的各5种尺规作图，需用(1)中5种基本作图来完成．【同型练】1. 如图，已知在∆ABC中，D为AB的中点．(1)请用尺规作图法作AC边的中点E，并连接DE(保留作图痕迹，不要求写作法)；(2)在(1)的条件下，若DE=4，则BC的长为__________．B答案：(1)作AC的垂直平分线，与AC的交点就是点E．(2)8．2. 如图，在Rt∆ABC中，∠ACB=90︒．(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D 作AC 的垂线，垂足为E ；(2)在(1)作出的图形中，若CB =4,CA =6，则DE 的长为__________．答案：(1)略．(2)2.4．3．如图，在∆ABC 中，∠ACB >∠ABC ．(1)用直尺和圆规在∠ACB 的内部作射线CM ，使∠ACM =∠ABC (不要求写作法，保留作图痕迹)； (2)若(1)中的射线CM 交AB 于点D ，AB =9，AC =6，则AD 的长为_______． 答案：(1)略．(2)4． 二、性质作图引例 已知∆ABC (如图)，请用直尺(没有刻度)和圆规，作一个平行四边形，使它的三个顶点恰好是∆ABC 的三个顶点(只需作一个，不必写作法，但要保留作图痕迹)．A C答案：以点C 为圆心，AB 为半径画弧；以点B 为圆心，AC 为半径画弧，与前弧交于点D ，则四边形ACBD 即为所求．归纳 本题既可以利用“SSS ”作图，也可以利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”作图，所以，此类题思考的切入口是图形的性质或判定，并由此选择相应的基本作图方法来实现目标． 【同型练】1. 如图，已知在∆ABC 中，AB >AC ．试用直尺(不带刻度)和圆规在图中作一条直线l ，使点C 关于直线l 的对称点E 落在AB 边上(在图上标出点E ，并保留作图痕迹)．A答案：在AB上任取一点E，连接CE，作CE的垂直平分线，这条垂直平分线就是所要求的直线l．2. 如图，用尺规作图作出圆的一条直径EF(不写作法，保留作图痕迹)；答案：任意作一个90︒的圆周角，角的两边与圆的两个交点连接起来就是直径．3．若P为AB上一点，把菱形ABCD沿过点P的直线a折叠，使点D落在BC边上，利用无刻度的直尺和圆规作出直线a(保留作图痕迹，不必说明作法和理由)．A答案：连接DP，以点P为圆心，DP为半径画弧，交BC于点E．取DE的中点F，连接FP的直线就是所要求的直线a．4. 如图，扇形AOB的圆心角∠AOB=2α，将此扇形折叠使点O落在AB上的点P处，且折痕恰好经过点B(保留作图痕迹，不必说明作法和理由)．A B答案：以点B为圆心，BO为半径画弧，交AB于点P，连接OP，取OP的中点C，连接BC的直线就是所要求的折痕．5. 如图，矩形A'B'C'D'是由矩形ABCD旋转而成，请作出旋转中心点O(保留作图痕迹，不必说明作法和理由)．D'B'答案：连接AA'，BB'，分别作它们的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是旋转中心O．6. 如图，已知等边∆ABC，请用直尺(不带刻度)和圆规，按下列要求作图(不要求写作法，但要保留作图痕迹)：(1)作∆ABC的外心O；(2)设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F，H分别在BC和AC边上．B答案：(1)作AB，AC的垂直平分线交于点O．(2)以点O为圆心，DO为半径画圆，分别交BC，AC于点F，H．连接DO并延长交圆于点G，连接FO，并延长交圆于点I，六边形DEFGHI，即为所求．三、条件作图1.仅用直尺(无刻度)作图引例如图，A，B，C，D为圆上四点，AB∥CD，AB<CD.请只用无刻度的直尺，画出圆的一条直径EF(不写画法，保留画图滚迹).ABDC答案：连接DB，CA并分别延长交于点M，连接AD,BC交于点N。
连接MN并延长。
与圆的两个交点就是E，F.归纳由于直尺只能用来画线，这就要求我们需根据试题提供的背景，充分考虑图形中隐藏的信息，多从性质的角度思考，以找到解决问题的突破口.【同型练】1.如图，AB 是半圆的直径，图①中点C 在半圆外，图②中点C 在半圆内，请用无刻度的直尺按照要求画图. (1)在图①中画出△ABC 的三条高线的交点； (2)在图②中画出△ABC 中AB 边上的高.BAC图②图①CAB答案：(1)连接CA , CB ，分别交半圆于点D ，E ，连接AE ，BD 交于点H ，连接CH 并延长交AB 于点F ，则线段AE ，BD ，CF 的交点即为所求;(2)连接AC ，BC 并延长，分别交半圆于点D ，E ，连接AE ，BD 并延长交于点H ，连接HC 并延长交AB 于点F ，则线段CF 即为所求.2.⊙O 为△ABC 的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图①，图②中画出一条弦，使这条弦将△ABC 分成面积相等的两部分(保留作图痕迹，不写作法). (1)如图①，AC =BC ；(2)如图②，直线l 与⊙O 相切于点P ，且l ∥BC .答案：(1)连接CO 并延长，交圆千点D ，则弦CD 即为所求.(2)连接PO 并延长，交BC 于点D ，连接AD 并延长，交圆于点F ，则弦AF 即为所求.3.如图，已知正七边形ABCDEFG ，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图。
(1)在图①中，画出一个以AB 为边的平行四边形； (2)在图②中，画出一个以AF 为边的菱形.答案：(1)连接AF ，GC 交于点M ，连接BE 交GC 于点N ，则四边形AMNB 即为所求. (2)延长AB ，DC 交于点M ，连接AF ，FD ，则四边形AFDM 即为所求.4. 如图，已知直线a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h 是等距的一组平行线，正方形ABCD 四个顶点都在平行线上，P 是直线d 与CD 的交点，请你用无刻度的直尺利用现有平行线在直线d 上找出所有满足条件PQ =PC 的点Q ，并作简要的画图说明.备用图g hCBD A PPA DB Chg答案：连接AC ，与直线d 的交点为Q 1，连接AP 并延长.交直线f 于点M ，连接DM 交直线d 于点Q 2，则Q 1，Q 2即为所求.2.网格作图引例 如图，将线段AB 放在边长为1的小正方形网格中，点A ，B 均落在格点上.请用无刻度直尺在线段AB 上画出点P ，使AP =2173，并保留作图痕迹. B(备注：本题只是找点，不是证明，所以只需连接一对角线就行)答案：如图所示PBA归纳由于网格的特殊性，故网格作图既有计算手段，也有几何推理手段可用.【同型练】1.如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,3)，B(-2,-2)，C(4,-2)，则△ABC的外接圆半径的长度为.答案：如图，作出△ABC外接圆的圆心D，显然点D(1,0)，则半径为132.如图，A点的坐标为(-1,5)，B点的坐标为(3,3)，C点的坐标为(5,3)，D点的坐标为(3,-1).小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一线段.你认为这个旋转中心的坐标是.DCAB答案：连接AD,BC分别作它们的垂直平分线，交于点F(4 ,4)(如图①)，或者连接AC , BD，分别作它们的垂直平分线，交于点E(1,1)(如图②)，故旋转中心为(1,1)或(4,4).FABCDEDCBA3.如图是某商品的商标,由七个形状、大小完全相同的正六边形组成.我们称正六边形的顶点为格点,已知△ABC的顶点都在格点上,且AB边位置如图所示,则△ABC是直角三角形的格点个数有个.答案：如图，符合条件的格点共有10.4. 在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，ABCD都在格点处，AB与CD相交于O，则tan ∠BOD的值等于.答案：如图，将AB向上平移得EF，交CD于点G，连接OF，显然，tan∠BOD=tan∠FGO=3.5. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：(1) 作AD∥BC（D为格点），连接CD，则线段CD的长为；(2) 请你在△ACD的三个内角中任选一个锐角，若你所选的锐角是，则它所对应的正弦函数值是；(3) 若E为BC中点，则tan∠CAE的值是.答案：(1)5(2)显然，∠ACD为直角.故若选∠A DC，则其正弦值为25；若选∠CAD，则其正弦值为5(3) 1 2四、复杂作图1.奠基作图引例已知∠BAC，在角的内部有一点P，请作出⊙M，使得⊙M经过点P，且与AB , AC都相切．BP解：如图①，作∠BAC的平分线，在角平分线上任取一点D，以D为圆心作圆使其与角的两边相切，连接AP交圆D于点E，连接DE，作PF∥DE交角平分线于点F．以点F为圆心，FP为半径画圆，则圆F即为所求．类似地还可以作出圆M(如图②)．图①图②归纳 首先作出不过点P 而仅仅满足与角的两边相切的圆，这个圆我们称之为奠基圆， 然后利用位似作出过点P 且与角的两边都相切的圆． 【同型练】1.如图，在△ABC 中，作矩形DEFG ，使其满足：点D 在AB 上，点E 在AC 上，点F ，G 在BC 上，且DE：EF =2∶1．解：在AB 上任意取一点M ，作矩形MNPQ ，使得MN=2MQ.连接AN 并延长，交AC 于点E ，作DE ∥ BC ，DG ⊥BC ，EF ⊥BC ，则矩形DEFG 即为所求．2．计算作图引例 (1)如图①，已知D ，E 分别是△ABC 的AB ，AC 边上一点，DE ∥BC ，连接CD ，BE ，交于点F ，连接AF 并延长，分别交DE ，BC 于点H ，G. 求证：①BG DH =GCHE； ②G 是BC 的中点； (2)如图②，只用一把•••度刻无的直尺作出矩形ABCD 的一条对称轴（不写作法，保留作图痕迹）．图①图②C解： (1)证明：①如图①，∵DE ∥BC ，∴△ADH ∽△ABG ，∴BG DH =AG AH . 同理，GC HE =AG AH ,∴BG DH =GCHE. ②∵DE ∥BC ，∴△FDH ∽△FCG ，∴GC DH =FG FH ，同理，BG EH =FG FH ,∴CG DH =BG EH ,∴EH DH =BGGC由①得EH DH =GC BG ,BG GC =GCBG，∴BG=CG ，即G 是BC 的中点． (2)如图②，连接AC ，BD ，交于点0，在形外任意取一点E ，连接EA ，EB ，分别交（1D 于点G ，F ．连接AF ，BG 交于点H ，连接EH 并延长交AB 于点M ，则直线OM 即为所求．图①C归纳 此类问题，由于直接作图难度较高，一般试题都会在前面设置一些“台阶”，循着这 些“台阶”作图是解决此类题的关键所在．【同型练】L 已知在 Rt △ABC 中，∠C=90°.⑴如图①，若AC=4，BC=3，DE 丄AC.且DE = DB ，求AD 的长；(2 >如图②，请利用没有刻度的直尺和圆规，在AB 边上找一点F ，使得点F 到A C 边的距离等于FB(注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及的点用字母进行标注）.图①A D图②B解：(1)258． (2)如图，作∠ABC 的平分线BG ，过点G 作GF ∥BC，则点F 即为所求． 图①AF2.如图，已知线段AB ，利用无刻度的直尺和圆规，作一个满足下列条件的△ABC: ①△A BC 为直角三角形；②tan ∠A=31，（注:不要求写作法.但保留作图痕迹） A B 备用图A B解：作射线AM ，取AG=GE=ED ，连接DB ，作FE//BD ，作BC ⊥AB ，并且BC=BF ，连接AC ，则△ABC 即为所求.3.⑴如图①，在Rt △ABC 中，∠B=90°, AB=2BC.现以点C 为圆心.CB 为半径画弧，交AC 边于点D ，再以点A 为圆心，AD 为半径画弧，交AB 边于点E.求证：AB AE =215-.(这个比值215-叫做AE 与AB 的“黄金比”.） (2)如果一个等腰三角形的底边与其腰的比等于“黄金比”，那么这个等腰三角形叫做“黄金 三角形，请你以图②中的线段AB 为腰，用直尺和圆规作一个“黄金三角形”，（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要保留作图痕迹，并对作围中涉及的点用字母进行标注）.图①B解：(1)略． (2)作BC ⊥AB ，截取BC=12AB ；连接AC ，以点B 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ；以点A 为圆心，AD 为半径画弧，交AB 于点E.以点A 为圆心，AB 为半径画弧，以点B 为圆心，AE 为半径画弧交前弧于点G ，则△ABG 即为所求. A4．在△ABC 中，D 为BC 边上一点．(1)如图①，在Rt △ABC 中，∠C=90°，将△ABC 沿着AD 折叠，点C 落在AB 边上．请用直尺和圆规作出点D(不写作法，保留作图痕迹)；(2)如图②，将△ABC 沿着过点D 的直线折叠，点C 落在AB 边上的点E 处，①若DE ⊥AB ，垂足为E ，请用直尺和圆规作出点D(不写作法，保留作图痕迹)；②若AB=42，BC=6，∠B=45°，则CD 的取值范围是．图①C B图②C解：(1)如图①．(2)①如图②；②如图②，设CD=DE=x，则DE=EB=x，∠DEB=90°，．∵BC=6，∴，∴，如图③，当点E与点A重合时，作AH⊥CB于点H，设CD=DE=x，在Rt△AHB中，易知AH=HB=4，∠AHB=90°，HD=r-2，DE=x，∴x2=42+(x-2)2,∴x=5．综上可知，CD的最大值为5，最小值为6，∴≤CD≤5．图①DC B图②图③HC D5．如图，OA＝2，以点A为圆心，1为半径作⊙A，与OA的延长线交于点C，过点A作OA的垂线，垂线与⊙A 的一个交点为B，连接BC．(1)线段BC＝(2)请在图中按下列要求逐一操作，并回答问题：①以点为圆心，以线段的长为半径作弧，与射线BA交于点D，使线段OD②连接OD，在OD上作出点P，使OP，请写出作法，并说明理由。