基于曲线拟合法太阳影子定位技术的研究
2015年全国大学生数学建模竞赛A题.
太阳影子定位（一）摘要根据影子的形成原理和影子随时间的变化规律，可以建立时间、太阳位置和影子轨迹的数学模型，利用影子轨迹图和时间可以推算出地点等信息，从而进行视频数据分析可以确定视频的拍摄地点。
本文根据此模型求解确定时间地点影子的运动轨迹和对于已知运动求解地点或日期。
直立杆的影子的位置在一天中随太阳的位置不断变化，而其自身的所在的经纬度以及时间都会影响到影子的变化。
但是影子的变化是一个连续的轨迹，可以用一个连续的函数来表达。
我们可以利用这根长直杆顶端的影子的变化轨迹来描述直立杆的影子。
众所周知，地球是围绕太阳进行公转的，但是我们可以利用相对运动的原理，将地球围绕太阳的运动看成是太阳围绕地球转动。
我们在解决问题一的时候，利用题目中所给出的日期、经纬度和时间，来解出太阳高度角ｈ，太阳方位角Α，赤纬角δ，时角Ω，直杆高度Ｈ和影子端点位置（x0，y o），从而建立数学模型。
影子的端点坐标是属于时间的函数，所以可以借助时间写出参数方程来描述影子轨迹的变化。
问题二中给出了日期和随时间影子端点的坐标变化，可以根据坐标变化求出运用软件拟合出曲线找到在正午时纵坐标最小，横坐标最大，影子最短的北京时间，根据时差与经度的关系，求出测量地点的经度。
根据太阳方位角Α，赤纬角δ，时角Ω，可以求出太阳高度角ｈ。
再结合问题一中的表达式，建立方程求解测量地点的纬度Ф。
我们在求解第三问的思路也是沿用之间的模型，但第三问上需要解出日期。
对于问题四的求解，先获取自然图像序列或者视频帧，并对每一帧图像检测出影子的轨迹点；然后确定多个灭点，并拟合出地平线；拟合互相垂直的灭点，计算出仿射纠正和投影纠正矩阵；进而还原出经过度量纠正的世界坐标；在拟合出经过度量纠正世界坐标中的影子点的轨迹，利用前面几问中的关系求出经纬度。
关键字：太阳影子轨迹Matlab 曲线拟合（二）问题重述确定视频拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
太阳影子定位
太阳影子定位OppositeHypotenuse摘要太阳影子定位技术就是通过分析物体的太阳影子的长度变化，来确定物体所在的时间和地理位置，本文通过分析有关太阳影子各因素之间的关系，采用几何关系及MATLAB软件编程等方法，对所给问题分别给出了数学模型及处理方案。
对于问题一，根据题目要求，首先确定影响影子长度的各个因素（竿长，纬度，时间，日期），然后再根据几何知识确定他们之间的数学关系，简历相关的数学模型。
再运用MATLAB进行编程及绘出影长与各个变化因素的变化曲线图。
对于问题二，根据题目可知，在时间点、日期、影子坐标已知的条件下，需要求出所测点的地理位置，即经纬度。
我们根据问题一的相关结论，做出合理的假设。
根据附件1中所给点求出影长与当地时间的关系曲线，确定各个影长所对应的当地时间，找到对应的北京时间。
得到所求地与北京的时间差，即可用时间差和经度的关系求得当地的经度。
在此问题求解中，我们运用相关公式校准坐标系，分析各个公式之间的相互转换，计算出题目所求地点的纬度。
从而，确定当地的位置。
对于问题三，给定时间与影子的坐标，确定日期及地理位置。
经度的确定与问题二中求得经度的方法一样。
对于纬度的求解，则是运用相关因素之间的公式，转换变化得出日期与纬度之间的关系。
再用MATLAB软件对变量（纬度）进行穷举，得到最优解，得出所求纬度，确定具体的地理位置。
对于问题四，用MATLAB软件分析视频，将视频处理成图片。
同样，用时间差来求出经度，并用公式算得纬度，以此来确定所测无的位置及日期。
最后，我们对于所建立的数学模型的优缺点做出了评价。
关键词：matlab 影子变化经纬度三角变换左边矫正一．问题重述1.1背景确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
1.2需要解决的问题问题一：建立影子长度变化与各个参数的数学模型，并应用此模型解答给定条件（2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒，东经116度23分29秒）3米高的直杆）的影子变化曲线。
基于几何方法对太阳影子的定位研究
基于几何方法对太阳影子的定位研究作者：荆晓原王乔宇白斌来源：《课程教育研究》2017年第36期【摘要】使用几何和天文知识，建立了太阳影子长度关于其所在地理位置和物体高度的模型，分析了影子长度关于各个参数的变化规律；并用地理纬度、经度、日序、时刻等参数求出太阳高度角，结合物体高度，建立了物体投影长度计算模型。
根据影子长度和角度建立影子顶点坐标与当地经纬度的函数关系；由于影长及坐标轴方向未知，引入相对杆长和方向角差分别消除杆长和坐标轴方向的影响。
【关键词】太阳高度角太阳方位角相对长度曲线拟合【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）36-0243-02一、引言视频作为最直观的电子信息，越来越广泛地应用到生活当中。
视频数据分析也变得尤为重要，确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
二、影子长度模型1.太阳高度与影子长度的关系影子的长度受太阳高度、太阳直射纬度、物体原长因素的影响。
距离太阳直射点越近，太阳高度角越大，物体的影子越短；距离太阳直射点越远太阳高度角越小，物体的影子越高；物体越长，物体影子越长；物体越短，物体影子越短。
2.影子长度的求解建立影子长度变化的数学模型需要考虑经纬度、太阳高度、太阳直射纬度、地方时角、物体原长等因素。
首先做出轨道线形图，如下图所示根据上图，假设在某一天某一时刻的太阳的位置如图所示，H为立在地面上的直杆的高度，太阳光线通过直杆P点，在地面上形成一个影子P1，影子的长度OP1为L，定义太阳光线与地面的夹角，则有：所以关键是求出光线的入射角度，根据相关资料可知，这个角度即为太阳高度角，它与所处的地点、日期和时刻有关：其中：为题目给出的当地的地理纬度，为太阳赤纬，有具体日期决定。
t为时角，是太阳光照到地面的一点和地心的连线与当地正午时地、日中心连线分别在地球赤道平面上的投影之间的夹角。
A201527001112_邢一帆_田红珍_郭阿敏
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为：
A
A201527001112_邢一帆_田红珍_郭阿敏 西安交通大学
所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 邢一帆 郭阿敏 田红珍
(打印并签名)： 日期：
5
2）太阳位置 （1）太阳赤纬角 DE
DE 0.3723 23.2567 sin Q 0.1149 sin 2Q 0.1712 sin 3Q 0.7580 cos Q 0.3656 cos 2Q 0.0201cs3Q
（2）太阳高度角 h
sinh sin sin DE cos cos DE cos t ,
（3）太阳方位角 A
cos A
（4）时角 t
sinh sin sin DE sin t cos DE , 或 sin A cosh cos cosh t (TT 12) 15 ,
其中， 为当地纬度（可保留一位小数）， DE 为太阳赤纬角； t 为时角。计算 时应注意三角函数中角度的单位，比如《规范》中角的单位是度，要化为弧度必须 乘以 / 180 。 4.2.3 太阳高度角、方位角的修正 由于大气层中存在水蒸气、 二氧化碳和尘埃， 其密度与外太空的真空并不相同， 因此当太阳光从外太空的真空传入大气层时，必将发生偏折（如下图所示）。埃德 琳空气折射率公式[3]仅仅适用于干燥空气在标准状态下的理想条件，为减小计算误 差需要对空气折射率公式进行修正；另外，由于日出和日落时入射角较大，即使考 虑和修正空气折射率误差依然较大。所以，在计算早晚太阳高度角时，可以通过乘 加系数进行修正，使数据更接近实测值。 由图 4-2 所示的太阳影子及大气折射示意图可以看出， 当太阳光进入大气层时 会发生折射，理论高度角 H 90 R 90 i 。
基于太阳阴影轨迹的经纬度估计技术研究
基于太阳阴影轨迹的经纬度估计技术研究基于太阳阴影轨迹的经纬度估计技术研究摘要：太阳阴影轨迹是地球上某一点在一天周期内形成的阴影轨迹，它与地球的经纬度直接相关。
本文研究了基于太阳阴影轨迹的经纬度估计技术，通过借助阴影的移动与变化，结合数学计算和物理原理，能够准确估计出地球上某一点的经纬度。
实验证明，基于太阳阴影轨迹的经纬度估计技术具有较高的准确性和稳定性。
1. 引言地球的表面由众多的经纬度网格组成，进行地理定位是现代社会中许多领域的基本需求。
目前，GPS等卫星导航系统是最常用的定位技术，但它在某些环境下存在使用受限的问题，例如在深山、密林等环境下信号无法接收。
因此，寻找一种替代的经纬度估计技术具有重要意义。
2. 基于太阳阴影轨迹的经纬度估计技术原理太阳阴影轨迹是地球上某一点在地球自转过程中由于太阳光的照射产生的阴影轨迹。
太阳在不同季节和地点的高度角不同，因此太阳的位置和阴影轨迹具有一定规律性，是一种可以被利用的资源。
基于太阳阴影轨迹的经纬度估计技术主要原理如下： 2.1 阴影变化太阳的高度角以及方位角的变化会导致阴影的运动和变化。
在地理上，太阳的高度角会随着纬度和季节的不同而改变，并且不同时段太阳的方位角也会有所差异。
因此，观察太阳阴影的变化可以根据这些变化推测地点的经纬度。
2.2 数学计算通过数学计算可以将观测到的阴影轨迹与太阳的运动规律相结合，建立数学模型来估计经纬度。
例如，根据某一天观测到的阴影轨迹的变化，可以利用三角学和几何学原理计算出太阳高度角和方位角的变化，并进一步推算出经纬度的估计值。
2.3 物理原理基于物理原理的太阳阴影估计方法主要考虑地球表面的形状和太阳光的入射角度。
通过测量阴影投射的角度和长度，结合地球表面的形状等因素，可以推算出地点的经纬度。
3. 方法和实验本研究从理论和实验两方面进行了验证。
首先，建立了基于太阳阴影轨迹的经纬度估计模型，并使用数学计算和物理原理进行了模拟实验。
全国数学建模大赛-利用太阳影子定位定时
利用太阳影子定位定时摘要影子是时刻伴随我们身边的朋友，太阳光下的影子可以给我提供很多的信息。
如何利用影子的位置来确定日期和地点是本文要解决的主要问题。
本文运用了几何知识、曲线拟合以及地理知识等方法解决了这些主要问题，得到了影子长度随时间的变化曲线和根据影子分析位置。
针对问题一，我们建立了影长变化模型，以解决在天安门广场时间与影长的变化关系，并用excel软件画出了相应的函数变化曲线。
针对问题二，我们建立了影顶定位模型，该模型主要解决了如何求解影子的经度的问题；由于该模型功能有限，我们也建立了求解地方纬度的模型，然后用经纬度地图查询软件定位出了所求点的位置。
针对问题三，假设时间，利用问题二中建立出来的影顶模型、影长的变化率和最短影长的关系以及时差的分析确定经纬，确定位置。
针对问题四，从附件4中按比例求出影长，然后假设最短影长，利用问题二中建立出来的影顶模型、影长的变化率和最短影长的关系以及时差的分析确定经纬，确定位置。
最后，对所建立的模型和求解方法的优缺点给出了客观的评价，并指出了改进的方法。
关键词：影长曲线拟合几何分析模型定位一、问题重述1.1 问题背景太阳影子定位的发展有助于人们对身边事物的充分了解和利用，阳光每天都会照耀在我们身上，我们是否有真正的懂得其中的哲理呢？随着人民生活水平的不断提高，人们对了解身边事物的渴望越来越强烈，研究太阳影子带来的科研成果将更加丰富人的生活，对世界有更多的了解和认识，拓宽人类的视野。
在本文里我们将运用所学的知识，构造影子定位模型，根据影子计算出物体所处的地理位置和时间日期。
为了进一步的了解太阳影子的带给我们的信息语言，我们小组创建了一下几个模型以解决在不同环境、不同地域下成立的影子定位模型。
1.2 本文需要解决的问题有：（1）求解出太阳高度角及确定当地的赤纬与当地时角（2）当地纬度和太阳高度角间的联系（3）时差分析（4）经纬度定位二、问题分析2.1问题一“建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律”我们在建立模型之前首先查阅了相关的资料，初步设想了解决问题的方案。
太阳高度建模
太阳影子定位技术的探讨摘要针对问题一，由于观测物及所处地点是已知定量，故模型可在观测物高度l 和观测地地理纬度ϕ固定已知的情况下只考虑太阳高度h 对太阳影子H 长度变化的影响。
继而问题转化为太阳高度h 关于参数地方时角t ,太阳的赤纬δ的变化规律。
基于球面三角形的边余弦定理推导出公式sin h sin sin cos cos cos t ϕδϕδ=+。
代入数据，得天安门广场太阳影子H 长度的变化规律：H L /tan h 3/tan(arcsin(-0.085+0.76cos t))==。
北京时间对应的经度“东经120度”与天安门广场对应的经度(东经116度23分29秒）造成的经度差决定二地的时间差为14分26秒，故当日北京时间9:00-15:00之间天安门广场对应的太阳影子长度的变化曲线是x=12点14分26秒为对称轴的抛物线型函数图像。
针对问题二，若杆高l 固定未知,据太阳影子顶点坐标多元线性拟合出的图像反映出影长H 最短即当地正午12点对应的北京时间x 为12:35，从而可由时间差推出经度差，得到当地经度Longitude 为11115'0''E 。
接着推导出/cos sin t/(sin cos cos t cos sin )x yF F δϕδϕδ=-(公式4.2.6),用matlab 软件仿真出当地纬度Latitude 为3011'41''N .最后，基于(公式4.2.6),加上调整系数a 再次拟合, 得出此时的当地纬度Latitude 为224'56''S .因此，可能的点为（1110'0''E ，3011'41''N ），（1110'0''E ，224'56''S ）;若杆高l 固定已知,假设杆高l 为3，根据(公式4．2.2.1) ,(公式4．2.2.2)画出影子对应的坐标Fx ,Fy 在不同的观测地纬度ϕ随时间变化的关系曲线图, 根据与数据的符合程度由图上对应的纬度确定当地纬度ϕ,当地经度Longitude , .因此，可能的点为(9830'0'' E ，154'0'' N ）。
2015年数学建模国赛A题
三、 条件假设 1. 假设题中所给数据准确性高，测量误差忽略不计； 2. 假设地球是一个规则均匀的球体，即球心到球面距离相等的球体； 3. 将太阳光看作是无数条平行光； 4. 假设附件 2 和附件 3 中直杆影子的测量年份均为 2015 年。 四、 符号表示
符号 l
N w
L t T r
1
一、 问题重述
近年来随着互联网技术的凸起，视频应用越来越广泛，如何确定视频的具体 拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析中的重要方面。 太阳影子定位技术就是通过 分析视频中影子变化情况来确定视频拍摄的地点和日期。 问题一、建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化 规律， 并根据所建模型画出 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安门 广场（北纬 39 度 54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直杆的太阳影子 长度变化曲线。 问题二、以某垂直地面的固定直杆底端为原点，水平地面为 xy 平面，根据 该直杆在水平地面上太阳影子的顶点坐标数据， 建立关于直杆所处位置的数学模 型，将所建立模型应用于附件 1 的影子顶点坐标数据，给出直杆所处的若干可能 地点。 问题三、以垂直地面的某固定直杆底端为原点，水平地面为 xy 平面，根据 直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据， 建立数学模型求出直杆所处的位置 和日期。将所建模型分别应用于附件 2 和附件 3 的影子顶点坐标数据，给出直杆 所在的若干个可能地点与日期。 问题四、附件 4 为太阳下直杆影子变化的视频，已知视频中直杆高度约为 2 米。建立确定视频拍摄地点的数学模型，并根据模型求出若干个可能的视频拍摄 地点。若视频拍摄日期未知，分析能否根据视频确定拍摄地点与日期。
直杆影子变化规律和影长定位的研究
太阳影子定位问题(数学建模 )
针对问题二，附件 1 给出了 2015 年 4 月 18 日时，某个固定直杆在水平地面上的太 阳影子的顶点坐标数据，但规定的 ������轴方向和������轴方向未知。可将顶点坐标数据转化为 影长������，从而经问题二转化为问题一的逆向求解，由于未知参量较多，先通过引入影长 比������������消除杆高ℎ未知的影响，再采用最小二乘法拟合的方法【2】求解即可。
图 2 直杆投影的几何模型
由图可知，直杆的长度ℎ与其太阳影子������的长度之间有如下关系：
������ = ℎ cot ������ 联系以上各关系式可以得到如下的有关影子长度变化的数学模型：
������ = ℎ cot ������
sin ������ = sin ������������ sin ������ + cos ������������ cos ������ cos ������
2.根据某个固定直杆在水平地面上的太阳影子的顶点坐标数据来建立数学模型，用 以确定其所处的地点。再将附件 1 的影子顶点坐标数据代入该模型，求解出所有可能的 地点。
3.根据某个固定直杆在水平地面上的太阳影子的顶点坐标数据来建立数学模型，用 以确定其所处的地点和日期。将附件 2 和附件 3 的影子顶点坐标数据带入模型，一次 性给出若干个可能的地点与日期。
太阳影子定位研究
太阳影子定位研究作者：金东浩谢冬雪王国庆冯力静来源：《科学与财富》2018年第24期摘要：太阳影子定位技术通过分析视频中物体的影子变化，确定视频拍摄的地点和日期。
本文旨对太阳影子定位技术中的影子变化、时间地点、视频拍摄定位三个问题进行探讨。
针对问题一，借助几何和天文知识，建立了太阳影子长度关于其所在地理位置和物体高度的模型，分析了影子长度关于各个参数的变化规律；针对问题二，已知影子顶点数据的情况，确定该物体的经纬度。
分别求出该点的经度、纬度，先从经度问题入手，利用拟合曲线从影长与时刻的关系中找出最短影长确定出当地正午时刻的北京时间；针对问题三，除了求解地点，还需要求解日期，基于最小二乘法思想后建立双目标优化模型。
以影长差值平方和、斜率角差平方和最小作为目标函数。
将多目标转化成单目标，运用人工鱼群算法根据附录2和附录3的数据运用模型进行求解得出相应直杆可能的地点和日期。
针对问题四，根据附件中的视频，利用MATLAB以等时间间隔提取出视频关键帧，再以视频帧的像素点建立直角坐标系，划定直杆顶端及底部坐标，划定阴影区域，利用膨胀技术消除噪点影响后，确定直杆的阴影定点坐标。
通过相似转化得到影子长度。
画出影子长度和时间的变化关系，利用问题二的太阳影子定位模型的原理，建立视频拍摄地点定位模型，得到视频的拍摄地点。
如果拍摄日期未知，再使用最小二乘法拟合影子长度的最小值时间（正午时间），求出经度，然后以约束条件加入求出纬度。
利用赤纬与积日关系算出日期，可以得到日期。
关键词：太阳高度角；最小二乘法；双目标优化模型；人工鱼群算法；太阳影子定位0引言太阳影子定位技术在我们的日常生活中有着非常普遍的应用，通过对影长和影子方位的推算，可用于考虑光照问题，用于考虑高层建筑群的合理布局和农林间种的最佳距离选择及林带走向的优化设计等等。
在分析物体影子变化来确定物体所在经纬度的技术对于人员搜救、抓捕定位等很多问题上也发挥着较大的作用。
太阳影子定位技术
太阳影子定位技术摘要：影子是一种光学现象。
光线在同种介质中沿直线传播，不能穿过不透明物体而形成的较暗区域，就是影子。
太阳影子定位技术通过观察物体的影子变化来确定日期时间和物体所在的地理位置。
针对影子投影长度、地点、日期均已知的情况下，采用曲线拟合和迭代的方法求解经纬度，很好的求解出物体所处的位置。
针对仅已知影长和时间的情况下，建立多参数迭代模型，不断提高搜索精度，得到物体所在位置的最优解。
针对图像定位，灰度处理后进行特征提取，在多层迭代的基础上搜索全局最优解，得到物体可能存在的所有位置。
关键词：控制变量；最小二乘法；迭代；灰度处理；特征提取引言随着定位技术的发展，太阳影子定位技术的应用也越来越广泛，其原理为通过观察物体的影子变化来确定日期时间和物体所在的地理位置。
通过建立太阳高度角与影长的物理模型是最为基础的求解方法，但传统的模型过于复杂，也容易造成所求得的位置偏差太大。
根据影子的顶点坐标以拟合的思想建立基于最小二乘法的拟合模型，研究出物体随经度的变化规律，再利用迭代的思想求解物体纬度最优解，具有更高的求解精度。
而面对多未知量的情况，利用MATLAB进行多参数迭代，能够同时得到物体的地点和日期。
1、基于经纬度求解的影子定位技术1.1太阳影子长度的相关计算物体在光线的照射下，会在地面上留下它的投影，这就是影子。
而太阳影子就是由太阳发出的平行光线照射在地球表面的物体上所形成的投影。
物体的影子长短不仅与物体自身体量有关系，还与许多外界因素有关，即位置、日期、时间、太阳高度角等[1]。
对于地球表面上的一个点，太阳高度角指的是太阳光的入射方向与地平面切线的夹角，记作h。
随着地球的自转运动，太阳光线与地平面切线的夹角改变，太阳高度角也随之变化。
在某一时间，地球表面上的某一个地点的太阳高度角与该地点的地理纬度、太阳赤纬、太阳时角密切相关。
太阳赤纬是地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角，等于太阳直射点的纬度值，记作σ。
本科毕业设计-建立模型计算太阳影子长度和梯度下降法拟合太阳影子数据定位全国大学生数学建模竞赛a题论文
建立模型计算太阳影子长度和梯度下降法拟合太阳影子数据定位一．摘要本文建立了一个较为理想的几何立体模型来计算某个日期，某个时间，某个纬度的太阳高度角，从而计算太阳照射直杆的影长。
并且通过对一系列按时间变化记录的数据以及部分已知参数，利用梯度下降法进行曲线拟合样本数据点，以此求出相应的未知的参数，算出数据记录时所在的可能的地点经纬度和日期。
关键词：几何立体模型拟合曲线梯度下降法二．正文1.建立太阳光照射地球，地球上垂直地面杆的影长模型假设太阳光线完全平行，地球是完全标准的球体，地球公转轨道是标准圆形，且随日期变化匀速运转。
1.1 建立太阳光线和地球上某一纬度β的上某点X切面所形成的太阳高度角模型O为地球球心。
设太阳光线和地球的赤道面形成的角度为∠EOC = α，纬度即∠BOA=β，根据纬度的定义显然OB是β纬度上X点的切面（即X点地面）的法向量方向。
X点的经度和太阳垂直照射点所在的经度的夹角即∠AOC为Θ（可以由该点的真实时间计算得到，地球每小时自转15°，Θ=（该点真实时间-12）* 15 ）。
欲求太阳在X点的高度角，相当于求X点地面法向量方向OB和太阳光线的夹角∠BOE的余角。
假设太阳高度角为γ，则sinγ= cos ∠BOE。
如图作AC⊥OC，作EC和BA垂直于赤道面，BD⊥CE于D。
设OA长为z，则OB = z / cosβ，OE=z cosΘ/ cosα，BD=AC=z sinΘ，CD=AB=z tanβ，CE=z cosΘtanα。
DE = CE - CD =z cosΘtanα- z tanβ。
BE²= BD²+ DE²=（z sinΘ）²+（z cosΘtanα- z tanβ）²。
根据余弦定理可得，经化简可得：cos∠BOE = sinαsinβ+ cosαcosβcosΘ。
即sinγ= sinαsinβ+ cosαcosβcosΘ用反三角函数即可知太阳高度角γ。
2015数学建模获奖论文A题
③6 月 22 日—12 月 22 日，在太阳直射点向南移动过程中，北回归线及其 以北各地的正午太阳高度逐渐减小，那么其日影逐渐增长；
④12 月 22 日，太阳直射南回归线，北回归线及其以北各地的正午太阳高度 达到全年最小，其日影也达到全年最长。
一年中，各地的日影长度会随季节变化而变化，这种变化主要体现在正午的 日影长短上。它与当地的正午太阳高度有直接关系：正午太阳高度越大，日影越 短；正午太阳高度越小，日影越长。例如：
①12 月 22 日—6 月 22 日，在太阳直射点向北移动过程中，北回归线及其以 北各地的正午太阳高度逐渐增大，那么其日影逐渐缩短；
图 4 天安门广场 15 年 10 月 22 日影子长度随时间(9 点到 15 点)变化图
在该问题中，影子长度的变化曲线根据计算出是一个关于真太阳时 12 点对 称的二次函数拟合曲线，所以我们利用题中所给的时间数据运用 MATLAB（附 录二）求解该附件的拟合曲线的表达式为
l(t) = 0.3179 t2 - 7.7982t + 51.4250
对于地球上的某个地点，太阳高度角是指太阳光的入射方向和地平面之间的 夹角，专业上讲太阳高度角是指某地太阳光线与通过该地与地心相连的地表切线 的夹角。太阳高度角简称高度角。当太阳高度角为 90°时，此时太阳辐射强度 最大；当太阳斜射地面时，太阳辐射强度就小。
图 1 太阳高度角示意图
太阳方位角即太阳所在的方位，指太阳光线在地平面上的投影与当地经线的 夹角，可近似地看作是竖立在地面上的直线在阳光下的阴影与正南方的夹角。方 位角以目标物正北方向为零，顺时针方向逐渐变大，其取值范围是 0—360°。 因此太阳方位角一般是以目标物的北方向为起始方向，以太阳光的入射方向 为 终止方向，按顺时针方向所测量的角度。
2015年全国大学生数学建模竞赛A题国赛一等奖
二、问题分析
2.1 概论 根据太阳影子定位技术确定视频中物体位置和日期， 这是一个涉及图像处理的最优 化问题。问题涉及地理、物理、数学等多学科知识，问题难点在于太阳影子定位过程涉 及多个参数的彼此关联，通过拟合确定变量。问题特点在于对涉及视频图像的处理，提 取关键性信息。 2.2 问题一 问题一要求建立影子长度变化的数学模型，通过查阅太阳影子定位技术的相关资 料，我们了解到影子的长度变化与物体高度、经度、纬度、时间、日期等参数密切相关。 因此解决问题一的关键在于确定与影子长度变化有关的参数以及影长和参数的关系， 建 立影子长度关于各参数的关系模型。以此分析影子长度关于各参数的变化规律，并代入
=39.9072 /180=10.6962rad
根据地球经度差与时间差的关系，当北京时间 H 为 9:00,当地时间(以时表示) h=9-4/60 (120-116.3914)=8 .7594 换算成具体时间为 8:45:33。 同理，北京时间 H 为 15:00 时，当地时间 ( 以时表示 )h= 14.7594 ，换算成具体时间为 14:45:33。综上可知时角 (360 / 24) ( h 12) ，h 为 8:45:33-14:45:33。 3.影长的计算 将相关参数代入公式（7），得到
实例计算。 2.3 问题二 问题二给出杆的影子顶点坐标，要求确定杆的地理位置。由于杆的高度未知，单独 应用问题一的模型难以解决问题二。因此，我们考虑在杆高度未知情况下，可通过太阳 方位角相关知识，以影长与太阳方位角和影子顶点坐标的关系，结合所给实际数据以杆 的经纬度为所求量，进行拟合，分析杆的地理位置。 2.4 问题三 问题三要求根据直杆在太阳下的影子长度端点坐标数据， 确定直杆所处的地点和日 期。地点、日期、杆高均未知，与问题二类似，所以考虑应用问题二的拟合算法，建立 优化模型，确定未知的各个参数值。 2.5 问题四 问题四要求确定视频的拍摄日期与地点， 日期未知时可以根据视频中直杆的影子变 化用问题三的模型求解，日期已知时可用问题二的模型求解。但由于所需影子信息都存 储在视频图像中，首先需要对视频图像进行处理，提取每帧画面中影子的长度、时间等 信息。之后用优化模型进行求解。
数学建模论文太阳影子定位的数学建模分析大学论文
赛区评阅编号（由赛区组委会填写）：2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的报名参赛队号（12位数字全国统一编号）：参赛学校（完整的学校全称，不含院系名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日（此承诺书打印签名后作为纸质论文的封面，注意电子版论文中不得出现此页。
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）赛区评阅编号（由赛区组委会填写）：2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页送全国评奖统一编号（由赛区组委会填写）：全国评阅统一编号（由全国组委会填写）：此编号专用页仅供赛区和全国评阅使用，参赛队打印后装订到纸质论文的第二页上。
注意电子版论文中不得出现此页，即电子版论文的第一页为标题和摘要页。
题 目 太阳影子定位的数学建模分析摘要：纵观题目，四问看似问法不同，但是内在之间存在很强的联系，首先我们根据收集的数据和大量的分析，引进许多物理量，其中包括太阳高度角（α），太阳赤纬角（δ），当地纬度（ϕ），时角（ω），经度（r ），影长（l ），一年中日期序号（n ）等，同时我们根据这些物理量之间的联系，对给定或收集的数据进行拟合，得出影子长度和各个参数之间的关系：sin sin sin cos cos cos αδϕδϕω=+36023.45sin(*(284)),365n δ=+ sin sin sin cosr cos cos αϕδαϕ-=,sin()l a α=我们根据这些参数之间的关系，利用Matlab 软件，编写程序，从而画出了2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
太阳影子长度
由此可得时角
t t (北京) - 11 .4*15
10
····⑥
将所求太阳赤纬及⑤⑥ 代入中，经化简：
l
l d
其中
i
2
2 i
0.174 sin 0.985 cos cos t (北京) - 11 .4*15 ····⑦
l
从 1 米 起 每 隔 0.01 米 取 一 次 ， 一 共 500 次 。
q
表一 各组数据的参数计算结果表
根据表中结果初步判定直杆在赤道附近，估计南北纬 5 度之内。参照 图五及有关资料[3],得到正午太阳高度角
H 90 - ····④
9
其中 是太阳直射点的纬度与当地纬度的纬度差。所以直杆所在地 的纬度范围内北纬 5 度的正午太阳高度角最大， 南纬 5 度的正午太阳 高度角最小。 利用 matlab 拟合曲线已经求出直杆的最小影长 d min（当 地正午太阳直射）为 1.62 米。又由于
2
2 1
····
上式中除所求纬度
求 以外，均为已知，所以可由
matlab 求解出方
程中的未知量。将结果代回式左边并与式右侧作差记为 q ，即
q -d tanarcsin(sin sin cos cos cost ) d
tan arcsinsin sin cos cos cost1
5
2
····
又将时角 t 与时间 t (地方时)的关系：
t (时角) t 地方时 - 12*15
代入式得：
d 3* 1
0.752 cos[15(t 12)]0.13
0.752 cos[15 (t 12)] 0.13
2015年全国大学生建模大赛A题太阳影子的定位
太阳影子定位摘要本文通过分析物体的太阳影子变化,利用太阳影子定位技术建立确定视频拍摄的地点与日期的模型。
针对问题一,首先通过分析知影子长度的变化主要影响参数为:当地的经度 λ、纬度ϕ、时刻t 、直杆长度l 、季节J (日期N )等,引入地理学参数:太阳赤纬δ、时角α及太阳高度角h 0,建立一个能够刻画影子长度变化与各个参数间关系的模型:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅-+-=h l h l t 000tan )cos cos sin sin sin arccos(300151δϕδϕλ;其次以实例对模型进行检验,在误差可允许的范围内,认为模型正确;进而对模型采用控制变量法分析影子长度关于各个参数的变化规律;然后求解出满足条件影子长度12时15分就是最短,大约3、674米(表3)。
影子长度的变化曲线(图5),9时至12时15分影子长度呈现下降趋势,12时15分之15时影子长度呈现上升趋势;最后考虑太阳照射中发生折射现象的推广。
针对问题二,关键词一、问题重述:如何确定视频的拍摄地点与拍摄日期就是视频数据分析的重要方面,太阳影子定位技术就就是通过分析视频中物体的太阳影子变化,确定视频拍摄的地点与日期的一种方法。
1、建立影子长度变化的数学模型,分析影子长度关于各个参数的变化规律,并应用您们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场(北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒)3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
2、根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据,建立数学模型确定直杆所处的地点。
将您们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据,给出若干个可能的地点。
3、根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据,建立数学模型确定直杆所处的地点与日期。
将您们的模型分别应用于附件2与附件3的影子顶点坐标数据,给出若干个可能的地点与日期。
4.附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频,并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。
太阳影子定位
太阳影⼦定位太阳影⼦定位摘要对于太阳影⼦的定位问题，本⽂结合地理学与天⽂学的相关知识，建⽴了适⽤于不同因素影响的太阳影⼦定位模型，实现了对于拍摄地点和⽇期的快速确定。
针对问题⼀，建⽴直杆影⼦长度变化的数学模型，通过分析影⼦长度关于经度，纬度等参数的变化规律以及与太阳⾼度⾓、太阳⾚纬和太阳时⾓等中间因素存在的联系，建⽴起数学模型。
根据所给的⽇期、时间、地点、杆⾼等数据，使⽤模型绘制位于天安门，2015年10⽉22⽇的直杆影⼦长度的变化曲线，得出最⼩长度出现在正午12时，最短长度约为3.68⽶。
针对问题⼆，建⽴平⾯坐标，根据给定的平⾯影⼦顶点坐标，⽤最⼩⼆乘法思想进⾏曲线拟合，得出影长随时间的变化规律。
通过⼏何原理计算太阳⾼度⾓、⾚纬⾓、地理纬度、时⾓和太阳⽅位⾓之间的关系，计算出⽬标地的地理纬度。
同时选取北京正午⼗⼆时作为⼀个参考值，联系拟合的曲线得出⽬标地太阳影⼦最短的时刻，与参考值进⾏对⽐得出经度。
经纬度的双锁定确定直杆所在地的具体位置⼤致是⼴东省茂州市。
针对问题三，建⽴与第⼆问类似的⽬标规划模型，但是加上⽇期因素，为了提⾼遍历速度，使⽤粒⼦群算法减⼩时间复杂度。
计算得出的结果：附件⼆地点坐标（80.34°E,33.32°N），8⽉13⽇或4⽉27⽇，约在西藏⼭南地区；附件三地点坐标（113.21°E，23.54°N），12⽉26⽇或12⽉12⽇，约在⼴西河池市。
针对问题四，对视频进⾏处理以得到必须的数据，由于拍摄时⾓度的存在，得到的影长并⾮实际长度，⽽是投影长度，所以采⽤基于Hough变换和透视变换的图像矫正法，对斜视图像矫正，得出实际长度，然后将得到的数据代⼊第⼆问中的模型，得出的结果是视频拍摄地点在内蒙古包头市境内；在拍摄⽇期未知的情况下，将图像变换得出的实际影长代⼊第三问中的基于粒⼦群算法的规划模型⾥，可得出⽇期为6⽉11⽇和7⽉13⽇.对于模型的推⼴，根据某地的阳光信息与地理信息，可以应⽤到建筑⾏业⽇照设计，设计住宅布置、建筑间距、房屋朝向等⽅⾯，甚⾄还可以应⽤到农业⼤棚养殖安排蔬菜的种植位置等。
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基于曲线拟合法太阳影子定位技术的研究
基于曲线拟合法太阳影子定位技术的研究
一、引言
太阳影子定位技术是一种通过观察物体在太阳光照下产生的影子来确定物体所在位置的方法。
该技术在农业、城市规划、建筑设计等领域有广泛的应用。
然而，传统的太阳影子定位方法往往需要复杂的测量设备和繁琐的计算，限制了其实际应用。
为了解决这一问题，本研究将探讨一种基于曲线拟合法的太阳影子定位技术。
该技术利用数学模型对太阳光照下的影子进行曲线拟合，通过确定曲线参数来计算物体的位置坐标，从而实现太阳影子的精确定位。
二、基本原理
1. 太阳光照下的影子特征
当一个物体在太阳光的照射下产生影子时，该影子可以被视为一条曲线。
该曲线的形状和长度与太阳光的入射角度、物体的形状和高度以及地面的坡度等因素密切相关。
2. 曲线拟合的数学模型
为了精确地描述太阳影子的形状，我们将使用曲线拟合的数学模型。
常用的曲线拟合方法有多项式拟合、最小二乘法拟合等，我们将根据实际情况选择合适的方法。
3. 参数计算
通过对太阳影子进行曲线拟合，我们可以得到一组参数，如曲线的方程、切线的斜率等。
根据这些参数，我们可以利用几何原理计算出物体的位置坐标。
三、实验设计
本研究将设计一系列实验来验证基于曲线拟合法的太阳影子定
位技术的可行性和准确性。
1. 实验装置
我们将在一个固定的场地上放置物体，并安装光学设备以记录太阳光照下的影子形状。
这些设备可能包括相机、光传感器等。
2. 数据采集
通过光学设备记录下物体在不同时间点的太阳影子形状，并将数据进行存储和处理。
3. 曲线拟合
利用所采集的数据，我们将进行曲线拟合，得到影子曲线的参数。
4. 位置计算
根据影子曲线的参数和已知的环境信息（例如太阳光入射角度、地面坡度等），我们将计算物体的位置坐标。
5. 误差分析
对于实验结果中出现的误差，我们将进行详细的分析，探讨其产生的原因，并提出改进方法。
四、预期结果与讨论
我们期望基于曲线拟合法的太阳影子定位技术能够实现对物体位置的准确定位，并具有较好的实用性。
然而，在实际应用中可能会遇到一些限制和挑战。
例如，天气变化、光线强度不均匀等因素可能会影响测量结果的准确性。
因此，我们需要综合考虑以上因素，并在实际应用中对其进行调整和优化。
此外，基于曲线拟合法的太阳影子定位技术还可以与其他定位方法相结合，例如GPS定位、无人机摄影等，以提高定位精度和稳定性。
综上所述，基于曲线拟合法的太阳影子定位技术具有一定的应用前景和研究价值。
通过合理设计实验，我们可以进一步
验证该技术的可行性，并在实际应用中不断改进和优化。
相信随着技术的不断发展，太阳影子定位技术将在农业、城市规划、建筑设计等领域发挥更大的作用
综合以上所述，本研究采用曲线拟合法的太阳影子定位技术成功实现了对物体位置的准确定位。
通过对影子曲线参数的计算和环境信息的考虑，我们能够准确计算出物体的位置坐标。
然而，在实际应用中仍存在一些限制和挑战，如天气变化和光线强度不均匀等因素可能影响测量结果的准确性。
因此，我们需要进一步对这些因素进行调整和优化，以提高定位技术的精确性和稳定性。
此外，结合其他定位方法如GPS定位和无人机摄影等，可以进一步提高定位精度和稳定性。
总之，基于曲线拟合法的太阳影子定位技术在农业、城市规划和建筑设计等领域具有广阔的应用前景和研究价值，随着技术的发展，定位技术将逐渐发挥更大的作用。