第六节：直角三角形的边角关系讲义

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直角三角形的边角关系讲义
第1节 从梯子的倾斜程度谈起
的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠
A 的正切，记作例1 如图，△ABC 是等腰直角三角形，求tanC.
例2 如图， 已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，AD=8，BD=4，求tanA 的值。

例3 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽BC 为6m ，坝高为3.2m ，为了提高水坝的拦水能力，需要将水坝加高2m ，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD •的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的i ＝1：2变成i ′＝1：2.5，（有关数据在图上已注明）．•求加高后的坝底HD 的长为多少？
C
B
A
3、正弦、余弦的定义
例4
在△ABC 中，∠C=90°，BC=1，AC=2，求sinA 、sinB 、cosA 、cosB 的值。

通过计算你有什么发现？请加以证明。

4、三角函数的定义（重点）
：解直角三角形，只有下面两种情况：
（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角 （两个已知元素中至少有一条边） 练习1、在Rt △ABC 中,∠C=90°,a,b,c 分别是∠A,∠B, ∠C 的对边。

解下列直角三角形
(1)已知a=3 b=3 (2)已知c=6 b=3 (3)已知c=6 ∠A=600
练习2 ．（1）在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，a=5。

解这个直角三角形 .
（2）已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=3, b= 。

解这个直角三角形
3
3
A
B
D
练习3、拓展提高
已知：如图（1）在△ABC 中, ∠B=450
，∠C=300
，AD ⊥BC,垂足为D, AB=32，求CD 长。

变式1：已知：如图（1）在△ABC 中, ∠B=450
，∠C=300
，
BC=3+3 , AD ⊥BC,垂足为D,求AD 长。

变式2：已知：如图（2）在△ABC 中,∠ABC=1350
，∠C=300
， BC=3 -3
变式3：已知：在△ABC 中, ∠C=300
， AB=32， AD ⊥BC,垂足为D,且AD=3，求BC 长。

反思练习：1.如图所示，△ABC 中，∠C =90°，AD 是△ABC 的角平分线，若AC CD=1．求线段AB 的长。

2．在Rt △ABC 中，CD 是斜边上的高，若AC=8,cosA=0.8，求△ABC 的面积。

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课后作业：
一、知识要点
1、如图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，其余5个元素之间有以下关系： （1）三边之间关系： （勾股定理）； （2）锐角之间的关系： ；
（3）边角之间的关系： ； ； .（以∠A 为例）
2、由直角三角形中的 ，求出 的过程，叫做解直角三角形. 二、基础演练
1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则下列结论成立的是（ ） A 、c=a·sinA B 、b=c·cosA C 、b=a·tanA D 、a=c·cosA
2、在Rt △ABC 中∠C=90°，c=8，∠B=30°，则∠A=______，a=______，b=______.
3、在Rt △ABC 中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：
（1）
b=c=4； （2）c=8，∠A=60°； （3）b=7，∠A=45°； （4）a=24，
b=
例5 方方和圆圆分别将两根木棒AB=10cm ，CD=6cm 斜立在墙上，其中BE=6cm ，DE=2cm ，你能判断谁的木棒更陡吗？说明理由。

本节作业：1、∠C=90°，点D 在BC 上，BD=6，AD=BC ，cos ∠ADC=
5
3
，求CD
的长。

2、P 是a 的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4），求sina 、tana 的值。

c
b
a
C B
A
5
3、在△ABC 中，D 是AB 的中点，DC ⊥AC ，且tan ∠BCD=
3
1
，求tanA 的值。

4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=
12
5
，周长为30，求△ABC 的面积。

5、（2008·浙江中考）在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB 的值是多少？
第2节 30°，45°，60°角的三角函数值
1、30°，45°，60°角的三角函数值（重点）
例1 求下列各式的值。

（1）︒
︒
-︒60tan 30sin 60sin ；
（2）︒-+︒-︒45sin 22460tan 460tan 2。

本节作业：
1、 求下列各式的值。

（1）︒+︒+︒45tan 30tan 330sin 2； （2）︒⋅︒+︒30cos 60tan 45cos 2。

7
(3) 6tan 2 30°－3sin 60°＋2tan45°
(4)0
22)30tan 45(sin )60cos (160sin 260sin 60
tan 245tan o o o o o o
o -+-++----
2、 已知a 为锐角，且tana=5，求
a
a a
a sin cos 2cos 3sin +-的值。

3、 △ABC 表示光华中学的一块三角形空地，为美化
校园环境，准备在空地内种植草皮，已知某种草皮每平方米售价为a 元，则购买这种草皮至少花费多少元？
4、（2008·成都中考）2︒45cos 的值等于________。

5、（2008·义乌中考）计算3845cos 260sin 3+︒-︒。

6、（2009深圳）（6
分）计算：202( 3.14)45π---︒
7、（2010深圳）( 13 )－2－2sin45º＋ (π －3.14)0＋ 1
2 8＋(－1)3．
第3节 三角函数的有关计算
眼睛看做点A 。

现测得BC=1.41米，视线AC 恰与水平线平行,视线AB 与AC 的夹角为25°,视线AE 与AC 的夹角为20°，求AC 与AE 的长（精确到0.1米）。

典型例题：
例3某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图。

BC//AD ，斜坡AB 长22m ，坡角∠BAD=68°，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡。

（1） 求改造前坡顶与地面的距离BE 的长；（精确到0.1m ）
为确保安全，学校计划改造时，保持坡脚A 不动，坡顶B 沿BC 前进到F 点处，问BF 至少是多少？（精确到0.1m ）（,4751.268tan ,3746.068cos ,9272.068sin ≈︒≈︒≈︒,7660.050sin ≈︒,6428.050cos ≈︒1918.150tan ≈︒）
9
例4如图，矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意图，请你参考图中数据，计算车位所占街道的宽度EF 。

（参考数据：,84.040tan ,77.0cos ,64.040sin ≈︒≈︒≈︒结果精确到0.1m ）
例5要求︒45tan 的值，可构造如图所示直角三角形,作Rt △ABC,使∠C=90°,两直角边AC=BC=a ，则∠ABC=45°,所以145tan ===
︒a
a
BC AC 。

你能否在此基础上，求出'︒3022tan 的值？
例6（2009·娄底中考）在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图所示的办公楼迎街的墙面上垂直挂了一长为30米的宣传条幅AE ，张明同学站在离办公楼的地面C 处测得条幅顶端A 的仰角为50°，测得条幅底端E 的仰角为30°。

问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量？（精确到整数米）
例7某轮船自西向东航行，在A 处测得某岛C 在其北偏东60°方向上，前进8千米到达B ，测得该岛在轮船的北偏东30°方向上，问轮船继续前进多少千米与小岛的距离最近？
第4节 船有触礁的危险吗
1、方向角的定义
例1 某次台风袭击了我国南部海域。

如图，台风来临前，我们海上搜救中心A 接到一越南籍渔船遇险的报警，于是指令位于A 的正南方向180海里的救援队B 立即前往施救。

已知渔船所处位置C 在A 的南偏东34°方向，在B 的南偏东63°方向，此时离台风来到C 处还有12小时，如果救援船每小时行驶20海里，试问能否在台风来到之前赶到C 处对其施救？（参考数据：3
234tan ,5334sin ,263tan ,10963sin ≈︒≈︒≈︒≈
︒）
2、解直角三角形（重点）
例2某公园“六一”亲新增设一台滑梯，如图。

滑梯高度AC=2m，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC=4m。

（1）求滑梯AB的长；（结果精确到0.1m）
（2）若规定滑梯的倾斜角（∠ABC）不超过45°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求？
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3、解直角三角形的实际应用（难点）
例3 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数千米范围内形成旋风暴，有极强的破坏力。

根据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米的B处有一台风中心，其中心的最大风力为12级，每远离台风中心20千米，台风就会弱一级。

台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市风力达到或超过4级，则称为受台风影响。

（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由。

（2）若会受到台风影响，那么台风影响该市的持续时间有多长？
典型例题：
例1在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠ABC=45°，求BC的长。

例2如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼。

甲船以每小时152
千米的速度沿北偏西60°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进。

甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现鱼具丢在了乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇。

（1）甲船从C处追赶乙船用了多长时间？
（2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？
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例3某年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，一条船在松花江某段自西向东沿直线航行，在A 处测得航标C 在北偏东60°防西哪个上。

前进100m 到达B 处，又测得航标C 在北偏东45°方向上（如图），在以航标C 为圆心，120m 为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？（73.13≈）
第5节 测量物体的高度
例1 升国旗时，沈杰同学站在离旗杆底部24m 处行注目礼，当国旗升到旗杆顶部时，测得该同学视线的仰角为30°，
若双眼离地面1.5m，则旗杆有多高？（结果精确到0.1m）
150米，求山高例2：如图，从山顶A处看到地面C点的俯角为60°，看到地面D点的俯角为45°，测得CD=3
AB。

（精确到0.1米，3≈1.732）
典型例题：
例1如图，两建筑物的水平距离为36m，从A点测得D点的俯角α为36°，测得C点的俯角β为45°，求这两座建筑物的高度。

（sin36°≈0.588,cos36°≈0.412,tan36°≈0.723,结果保留2位小数）
活动课上，老师要求测量河对岸一点B到公路的距离，请你设计一个测
量方案。

例3如图,某一时刻太阳光从教室窗户射入室内，与地面的夹角∠BPC的度数为30°，窗户的一部分在教室地面所形成的影长PE为3.5m，窗户的高度AF为2.5m，求窗外遮阳篷外端一点D到窗户上缘的距离AD。

（结果精确到
0.1m）
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测试题
一、选择题
1．等腰三角形的底角为30°，底边长为 ）
A ．4
B ．
C ．2
D ．
2．如图1，在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，AC =4，则BD 长为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．8
(1) (2) (3)
3．在△ABC 中，∠C ＝90°，下列式子一定能成立的是（ ） A ．sin a c B = B ．cos a b B = C ．tan c a B = D ．tan a b A =
4．△ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且有2
|tan 3|2sin 0B A -+
-=（，则△ABC 是（ ） A ．直角（不等腰）三角形
B ．等腰直角三角形
C ．等腰（不等边）三角形
D ．等边三角形
5．已知tan 1α=，那么2sin cos 2sin cos αα
αα-+的值等于（ ）
A ．
13
B ．12
C ．1
D ．16
6．如图2，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC 上的一点B ，取∠ABD =145°，
BD =500米，∠D =55°，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ） A ．500sin55°米 B ．500cos55°米 C ．500tan55°米 D ．500tan35°米
7．如图3，在矩形ABCD 中，D E ⊥AC ，垂足为E ，设∠ADE =α，且cos α=3
5
，AB =4， 则AD 的长为（ ） A ．3
B ．
163
C ．
203
D ．
165
8．如图4，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ）
A ．1
B
C ．
2
D
17
(4) (5) (6)
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．在△ABC中，∠C=90
°，sin A=，则cos B的值为．
10
=．
11．如图5，∠DBC=30°，AB=DB，利用此图求tan75°=．
12．如图6，P是∠α的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则cosα=．
13．若某人沿坡度i=3∶4的斜坡前进10m，则他比原来的位置升高了m．
14．如图7，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
(7) (8) (9)
15．如图8所示，是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h=6.5米，自动扶梯的倾角为30°，若自动扶梯运行速度为v=0.5米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为_____秒．
16．如图9，一人乘雪撬沿坡比1
滑下的距离s（米）与时间t（秒）间的关系为2
102
s t t
=+．若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为．
17、如图，已知Rt△ABC中，AC=3，BC= 4，过直角顶点C作CA1⊥A B，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2，…，这样一直做下去，得到了一组线段
CA1，A1C1，
12
C A，…，则CA1= ，=
5
5
5
4
C
A
A
C
三、解答题（本大题共52分）
18. (1)
︒
︒
︒
sin60
cos60
tan45－
·tan 30°；(2)(
2
3
tan30°)2007·(22sin45°)2006
19．（本题10分）如图,为住宅区内的两幢楼，它们的高AB=CD=30m，两楼间的距离AC=24m，现需了解甲楼对乙楼采光的影响情况．当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高？（精确到0.1m
≈1.41
，≈1.73）
20．（本题12分）为了测量一棵大树的高度AB，在离树25米的C处，用高1.4米的测角仪CD测得树的顶端B的仰角 ＝21°，求树AB的高．(用21°角的三角函数值表示即可)
21.如图，在观测点E测得小山上铁塔顶A的仰角为60°，铁塔底部B的仰角为45°。

已知塔高AB＝20m，观察点E到地面的距离EF＝35cm，求小山BD的高.
22．如图，PQ表示南充至绵阳的一段高速公路的修筑设计路线图．在点P测得点Q在它的南偏东30°的方向，测得另一点A在它的南偏东60°的方向，取PQ上另一点B，在点B测得点A在它的南偏东75°的方向．以点A为圆心，500m为半径的圆形区域为某居民区，已知PB=400m，通过计算回答：如果不改变修筑方向，高速公路是否会穿过居民区？
19
23．随着科技的发展，机器人的发现早已不是童话，机器人是否可以让我们随心所欲呢？在坐标平面上，根据指令［s ，α］（s ≥０，0°＜α＜180°），机器人能完成下列动作：先原地顺时针旋转角度α，再朝其面对的方向沿直线行走距离s ．
（1）填空：如图，若机器人在直角坐标系的原点，且面对y 轴的正方向，现要使其移动到点A （2，2），则给机器人发出的指令应是 ．
（2）机器人在完成上述指令后，发现在点P （6，0）处有一小球正向坐标原点作匀速直线运动，已知小球滚动的速度与机器人行走的速度相同，若忽略机器人原地旋转所需的时间，请你给机器人发一个指令，使它能尽快截住小球，并求出截住小球时的位置．（角度精确到度，参考数据sin49°≈0.75，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
24、(2009中山)如图所示，A 、B 两城市相距100km. 现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB ），经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上. 已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内. 请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区. 为什么？（732.13≈，
414.12≈）
25．（2009黄石）如图9，山顶建有一座铁塔，塔高CD=30m ，某人在点A 处测得塔底C 的仰角为20°，塔顶D 的仰角为23°，求此人距CD 的水平距离AB 。

（sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364，Sin23°≈0.391，cos23°≈0.921，tan23°≈0.424）
30° A B
F
E P
45°。