几类非线性发展方程的定解问题
非线性发展方程的精确解
其 中 ａ（ ＝１ … ， ，ｎ ｉ ， ）６ ≠０是待 定 常数 。 由（） （） ｌ 一
（） ５
，
㈦ ＝ ＝（） 一 罟 （）（（） ）２ ）２罟， 一 一 （ 。 ） ＝ ＝ 罟 ＋（ （） （ ３／ ）＝６ ）８ ）２， 罟 ２ ）２罟） 一（ ４ （ ＝ （ ＋ （ 罟 — 罟 一ｚ ￣
Ｋ Ｋ方 程 Ｂ
／ ＋“ ｚ ＋ 心 ＋ 黝 ＝０ ｄ ， “ ＋ａ 盯 ￡ （） １
其 中参 数 ａ 』， 都 为常数 。Ｋ Ｋ 方程 包含 了许 多著 名 的方 程 ， ， ９ Ｂ
（） Ｔ ｉ当 ＝０时 ， 可得到 Ｋｄ －ｕｇｒ方 程 Ｖ Ｂ ｒｅｓ
“ ｆ ＋ Ｚ Ｕ ＋ 口“ Ｃ
２ ［）开求 Ｋ 方 ． 法解Ｂ 程 用 展 Ｋ
对 方程 （ ） 行波 变换 １作
毒＝ ＋ ｃ 、 ｔ
令 （ ， ） ｔ ＝Ｕ（ ， ）则方 程 （ ） １ 可化作
ｃ Ｕ ＋ ＋ ａＵ ＋ Ｌ ＋ ７Ｕ （）＝０
（） ２
两 边 积分 可得
ｃ ，＋ 己 ｕ ＋ 口己 ＋ ， ＋ ｒＵ＂一 Ｂ ＝ ０，
Ｕ２ ＿ ２
，
－
印一 寸 ， ，
，
Ｇ
一
／ａ ｎ － ／
（）＋， 罟 ． ． ・ （） ． 罟 ＋． ． ， （ ＋・ ） ． ． ，
乜
㈦
Ｌ ＝ ７７ １（ ２ａ （ ） ＋ 一ｚｚ ） （ ＋ ＋ ） 专 …， 『 ＿
平 衡方 程 （） ３ 中 和 Ｕ 可确定 ＝３ ， 。所 以可 以设 Ｋ Ｋ方 程 的解 为 Ｂ
频散 的 系统 ， 即便 有 较大 的 Ｒ ｙ ｏｄ 数 ， 不一 定 足 以产 生不 规则 的湍 流运 动 ， 须考 虑 流动 的不 稳 定 性［ 因 ｅ ｎ ｌｓ 也 必 ，
(2+1)维非线性发展方程的对称约化及精确解
（ ２ ＋ １ ）维 非线性发展方程 的对称约化及精确解
李 宁，刘 希 强， 张颖 元
（ 聊城 大学数 学科 学 学 院， 山东 ，聊 城 ２ ５ ２ ０ ５ ９ ）
摘
要 ：利用相容性方法 ，得 ￣ Ｊ Ｉ Ｔ（ ２ ＋ Ｉ ） 维 ｍＫｄ Ｖ － Ｋ Ｐ的非经典对称及相似约化，并进 一步得 到了该方程 的一些新
的精确解 ，包括双 曲函数解 ，三角 函数解，有理函数解，椭圆函数解 等。 关键词 ：相容性方法 ；（ ２ ＋ １ ） 维 ｍＫ ｄ Ｖ － ＫＰ方程 ；精确解 ；对称 ；相似约化
中图分类号 ：Ｏ１ ７ ５ ． ２ 文献标识码：Ａ １ ３ ０１ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ ４ － ８ ０ ８ ５ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ３ ． ０ ０ ２
’
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｂａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｍｐ ａ ｔ ｉ ｂ ｉ ｌ ｉ ｙ ｔ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ，ｗｅ ｆ ｅｄ ｒ ｔ ｈ ｅ ｎ ｏ ｎ － ｃ ｌ ａ ｓ ｓ ｉ ｃ ａ ｌ ｓ ｙ ｍｍｅ ｔ ｒ ｙ ， ｒ ｅ ｄ ｕ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ａ ｎ ｄ ｎ ｅ ｗ ｅ ｘ ａ ｃ ｔ
ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓａ ｎ ｄｔ ｅ ｈ ｅ ｌ ｌ ｉ ｐ ｔ ｉ ｃｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ａ ｎ ｄ Ｓ Ｏ ｏ ｎ ．
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ： ｈｅ ｔ ｃ ｏ ｐａ ｍ ｔ ｉ ｂ ｉ ｌ ｉ ｙ ｔ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ； （ ２ ＋ １ ） － ｉｍｅ ｄ ｍｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｍＫ ｄ Ｖ － Ｋ Ｐ ｅ ｑ ａｔ ｕ ｉ ｏ ｎ ； ｅ ｘ ａ ｃ ｔ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ； ｓ ｙ ｍｍｅ ｔ ｒ ｙ ； ｓ ｉ ｍｉ ｌ ａ ｒ
半线性发展方程的cauchy问题及自相似解
半线性发展方程的cauchy问题及自相似解以《半线性发展方程的Cauchy问题及自相似解》为标题，本文旨在探讨半线性发展方程及其Cauchy问题及自相似解，以期为相关领域的研究提供理论支持。
半线性发展方程是一类非线性发展方程，其数学模型由以下方程式组成：$$frac{partial u(x, t)}{partial t}+A(x, t)u(x, t)^alpha=f(x, t)$$其中，$u(x,t)$为时间$t$和空间$x$的组合，$A(x,t)$为一个复变函数，$α$为实常数，$f(x, t)$为源函数。
Cauchy问题是理论分析及模型求解的重要部分，其定义为：当$t=0$时，给定$u(x, 0)=g(x)$，求解半线性发展方程的解析解$u(x, t)$。
将原问题变换至相应参数空间，即引入$T=frac{t}{a(x)}$和$N=frac{u(x,t)}{g(x)}$，则半线性发展方程变换为：$$frac{partial N(x,T)}{partialT}+An(x,T)N(x,T)^alpha=f(x,T)$$若它满足：使得$N(x,0)=1$且$f(x,T)$无显式$x$依赖性，则称此新问题为Cauchy问题的自相似解。
自相似解的求解可以由变换参数量求解，可以转化为求解某半线性发展方程的解，从而得到自相似解。
从上可知，半线性发展方程的Cauchy问题及自相似解是理论分析与模型求解的重要结构性基础，其关系及机理至关重要。
为了更好地深入讨论半线性发展方程的Cauchy问题及自相似解，本文还将探讨以下主题：（1）Cauchy问题的求解过程，（2）参数转换的解析和数值方法，（3）利用自相似解进行参数空间的分析，（4）利用自相似解进行发展方程的模拟。
首先，考虑Cauchy问题求解过程，对应于半线性发展方程，Cauchy问题可以使用不同方法求解。
数值方法和解析方法是常用的求解方法，可以有效将原问题转换为可计算的问题。
一类非线性发展方程整体弱解的存在性
Ｙａ ｇＬｉ ｎ ，Ｘｉ ｎ ｑｎ ｅＹｏ ｇ ｉ
（ ｃｏ ｌ ｆ ｔｅ ｔ ｓ ｄＣ ｍｐ ｔ ｇＳｉｎｅ ｈ ｇｈ ｎｖｒｉ ｆ ｃ ｎ ｅ ｎ ｅｈ ｏｏｙ ｈ ｇｈ １０ ６ ｈｎ Ｓ ｈｏ ｈ ｍａｃ ｏ ｕ ｎ ｃ ｃ ，Ｃ ａ ｓａ ｉ ｅｓｙｏ ｉ ｃ ｄＴ ｃｎ ｌｇ ，Ｃ ａ ｓａ ０ ７ ，Ｃ ｉ ｏ Ｍａ ｉ ａ ｎ ｉ ｅ ｎ Ｕ ｔ Ｓｅ ａ ｎ ４ ａ）
第 ２卷 第 １ ４ 期
２ １年 １ ００ 月
湖 南
工
业
大
学
学
报
ＶＯ ．４ Ｎｏ １ １ ． ２ Ｊｎ ０ ０ ａ ．２ ｌ
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｎ ｎ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｆ ｃ ｎ ｌ ｇ ｏ ｒ ａ ｏ Ｈｕ ａ ｉ ｅ ｓｔ ｏ ｈ ｏ ｏ ｙ ｙ Ｔｅ
ｗｈｃ ｅｎ ｎｉ ｅ ｒｔｒ ａ ｓ ｅ ｒｔｃ ｏ ｄ ｔ ｎ ｆ ｘ ｏ ｅ ｔ ｌ ｒ ｗｔ ． ｎ ｋ ｅ ｇ ｒ ｖ ｍｅ ｔ ｎｔ ｅｆｎ ｉｇｓ ｆ ｉｈ ｔ ｏ ｌｎ ａ ｍ ｓ ｔ ｆ ｓｃ ｉ ａ ｃ ｎ ｉ ｏ ｓｏ ｅ ｐ ｎ ｎ ａ ｏ ｈ Ａ ｄ ｍａ ｓａｌ ｅｉ ｈ ｅ ｉｉ ｉ ｌ ｉ ｉ ｇ ｒ ａ ｍｐ ｏ ｅ ｎ ｄｎ ｏ ｈ ｉ ｏ
ｕ一 ｕ一 ｕ Ａ ． Ａ ＝ｆ．
收稿 日期 ：２０ —０ １ ０ ９ １— ２
巧 ，证 明方程 （ ）一（ 的整体弱解的存 在性 ，并得 １ ３） 到其解 是唯一 性 连续 的 ，且 依赖 于初始 值 。
ｕｘ０ ＝Ｕ（） ， ，） ｌ ） （，） ｏ ， （ ０ ＝Ｕ（ ， 甜
∈．。
（ ３）
其 中， ， ，１ 具有适当光滑边界ａ ． ３ －ｃＲ ２ 的有界
非线性发展方程解的有界性与渐近行为等问题
非线性发展方程解的有界性与渐近行为等问题非线性发展方程解的有界性与渐近行为等问题_______________________________非线性发展方程解的有界性与渐近行为等问题是当前数学中一个非常重要的研究方向。
从抽象的数学角度来看，非线性发展方程是一个复杂的问题，它通常具有非常复杂的行为，甚至有时会导致无界的情况出现。
在数学分析中，有界性和渐近行为是非线性发展方程解的一个重要特征。
在讨论非线性发展方程解的有界性和渐近行为之前，必须先了解其背景信息。
非线性发展方程是一类微分方程，它们描述了一个变量随时间变化的情况。
这些方程以其变量的函数作为结果，并对变量的函数进行不同的分析。
例如，在经济学中，非线性发展方程可以用来描述一个国家的经济增长情况。
在讨论有界性和渐近行为时，首先要明确的是，有界性是一个重要的数学特征，它指的是函数值是否存在上限或下限。
通常来说，如果一个函数值存在上限和下限，并且不会超出这些限制，则它是有界的。
而渐近行为则是指函数值在时间上是否存在某种趋势。
例如，如果一个函数值随时间不断增大或不断减小，则它具有渐近行为。
当然，函数值也可能在时间上呈正弦波动，或者不断地上升后再不断地下降，也可以被认为具有渐近行为。
对于非线性发展方程解的有界性和渐近行为的分析，理论上可以采用多种方法，包括几何分析、泛函分析、动力学分析以及数学定理证明等。
但是，在实际应用中，由于复杂性原因，很难完全证明一个非线性发展方程解的有界性和渐近行为。
因此，在处理实际问题时，通常会采用一些数值方法来对有界性和渐近行为进行近似的分析。
此外，对于复杂的非线性发展方程解，我们也可以使用人工神经网络（ANNs）或其他相关工具来对其有界性和渐近行为进行数值估计。
ANNs是一类由大量神经元构成的人工神经网络，它们可以对各种复杂问题进行估计、分析和预测。
ANNs对于分析复杂的非线性发展方程解的有界性和渐近行为尤其有用。
总之，非线性发展方程解的有界性和渐近行为是一个重要的数学问题。
几何非线性力学中的定解问题研究
几何非线性力学中的定解问题研究几何非线性力学是以物体的形状和变形为主要研究对象，涉及到多个学科的交叉，如数学、力学、材料科学等。
其中，定解问题是研究重要的方向之一。
本文旨在简要介绍几何非线性力学中的定解问题研究。
一、定解问题概述定解问题是研究微分方程的重要领域，从物理学的角度来讲，定解问题是描述力学系统的运动规律，因此在几何非线性力学中，定解问题也是研究物体受力时的变形与运动规律的重要工具。
在几何非线性力学中，一般研究以下两类定解问题：1.初值问题初值问题是指在某一时刻，物体的形状与位置已知，要求预测在后续时间内的形状和位置的变化情况。
这类问题通常用泰勒级数来进行近似求解，但是要求计算过程中不受舍入误差的影响，也需要对误差进行估计和控制。
2.边值问题边值问题是指在一个密闭区域内，物体受到一定约束力的情况下，求解物体的形状与运动规律。
这类问题通常需要建立较为复杂的数学模型，涉及到微分方程、变分原理等多种数学工具。
二、定解问题的数学模型与求解方法几何非线性力学中的定解问题，有时需要建立复杂的非线性微分方程，因此需要借助于数值计算方法来进行求解。
目前常用的数值计算方法有以下几类：1.差分法差分法是一种离散化求解微分方程的方法，将空间和时间分为若干个网格，根据物体的受力情况，利用有限差分法来逼近微分方程的解。
这种方法简单易行，在一些简单的模型中表现良好。
2.有限元法有限元法是一种将物体分割成有限个单元，建立每个单元的形状函数和位移函数，从而建立起整个物体的数学模型。
这种方法具有一定的通用性，在处理非线性问题时有很好的效果。
3.辛普森法辛普森法是一种以积分为基础的数值计算方法，通过对微分方程的积分逼近来求解方程的解。
辛普森法具有高精度和高效率的特点，但在处理非线性问题时，需要对误差进行较为精细的控制。
三、应用与展望几何非线性力学中的定解问题广泛应用于材料科学、工程力学、地质力学等各个领域，在地震预测、纳米器件设计等领域具有重要的应用价值。
一类非线性发展方程的显式精确解
步骤 ３ 把式 （ ） ５ 代入方程 （ ） ４ 并考虑一数 的项 ，并 令 Ｇ（ ‘ ）的各 次 系数 为零 ， 到关 于 口（ 得 ｉ＝０ １ ，，
２ … ，）Ａ ｃ ， ／ ， ， 的非线性代数方程组。 ７ ，
线性发展方程新 的显式精确解 ， 中包括一般 形式的行波解、 其 扭状正则孤 立波解和奇异孤立波
解。
关键 词 ： １Ｇ 一 开法 ； （／ ）展 齐次平衡 原 则 ； 波解 ； 立波 解 行 孤
中图分类 号 ： １ ５ ２ ０ ７ ． 文献标 识码 ： Ａ
孤立 波作 为非 线 性科 学 中的一 类 重 要 的物 理 现象 ， 长期 以来 成 为众 多 学 者研 究 的热 点 问题 ， 而
文章编号
１０ ５ ６ （０ ０ ０ ０ １ ０ ０ ０－ ２９ ２ １ ）６— ０ ４— ４
一
类非 线性 发展 方程 的显 式精 确解
陈 自高 ， 张愿章
（ 华北水利水 电学院 数学与信息科学学院 ， 河南 郑州 ４ ０ １ ） ５０ １
摘
要： 应用 （／ － 开法 ， １Ｇ） 展 并借助 于计算机 系统 Ｍａ ｅ ａｅ 齐次平 衡 原则 ， 得 了一 类 非 ｔ ｍ ｔａ和 ｈ ｉ 获
步骤 ４ 解 上 述 代 数 方 程组 ， 所 得 结 果 以 及 式 将 （） ６ 的通解
１ （／ １ Ｇ）一 开 法 展
假 设给定 一个 （ １＋１ 维非 线性偏 微分方 程 ） Ｆ（ ， ， ， ， ）＝０ ， “，缸 … （） ２ 式中， Ｆ是关 于 ＝ （ ￡ ， ）和它 的各 阶导 数 的多
寻找非线性发展方程 的各种精巧求解方法则更成 为非线性发展方程领域的研究热点之一 。近年来 ， 多 种获取非 线性 数 学 物理 方 程精 确 解 的方 法 陆 续 被 提出 ， 齐 次 平 衡 法 … ， 曲正 切 函数 法 ［ ， 如 双 ２ 试 ］ 探 函数法 Ｊｓ ｅｃｓ ｅ ，ｉ 。ｏｉ 法 ， ｃｂ 椭 圆函数展 开 ｎ ｎ ］Ｊ ｏ ｉ ａ 法 鲥， ， Ｆ展开法 － 等。最近 ， Ｗａｇｍ等创立 ’９ 由 ｎ［ 了 （ ／ ） 展开法 ， Ｇ 一 并成 功应用于求解非线性 发 展方 程 ｌ 孤 立 波 解 。受 益 于 Ｗａｇ等 创 立 的 的 ｎ
用MATLAB模拟几类非线性偏微分方程组的定性性质
ｕ （ ｕ ， 一 ＋ １ ， ｐ ） ＝０ ， Ｖ （ 一 ＋Ｕ ） ＝０ ， （ ＋ １ ， ｆ ） ＝１ ， （ ＋ １ ， ｆ ） ＝０ ， ｕ （ ｘ ， ０ ） ＝Ｕ ０ （ ） ， ｖ （ ｘ ， ０ ） ＝ （ ｘ ） ，
（ ３ ． ５ ）
∈ ［ － １ ， １ 】 ，
第 ２ ２ 卷
第 ７期
牡丹江大学学报
Ｍ ｕ ｄ ａ ｎ ｊ ｉ ａ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｔ Ｓ ｉ ｔ ｙ
Ｖｏ１ ． ２２ Ｎｏ ．７
２ ０ １ ３ 年 ７月
文章编号：１ ０ ０ ８ ． ８ ７ １ ７（ ２ ０ ｌ ３ ）０ ７ ． ０ １ ３ ｌ 一 ０ ５
收稿 日期：２ ０ １ ３ ． ０ ３ — ２ ３ 基金项 目：大学生实践创新计划项 目 （ 编号：２ ０ １ ２ Ｊ Ｓ Ｓ Ｐ Ｉ Ｔ Ｐ １ ４ ９ ３ ） 作者简介：陈玉娟 （ １ ９ ６ ９ ～） ，女 ，教授 ，博士，研究方 向：偏微分方程。
０ ， ｖ ０ ，
Ｕｔ一
Ｐｑ＝ｍｒ ／ ，且 充 分 大（ 或 者 区域 的直 径充分 小） ， 那 么 当初值 适 当 小时 ，（ ２ ． ４ ） 存 在解 在有 限时刻熄
灭 。据作 者所 知 ，这似乎 是第 一个研 究 具有源 项 的快扩 散方 程组 解 的熄灭 的工作 。
４ 周期生态系统 的 Ｍ Ａ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ 模拟
Ｊ ｕ１ ． ２０ ｌ ３
用 ＭＡ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ模拟几 类非线性 偏微分 方程组 的定性性质
陆 晨 陈 玉娟
（ 南通大学理学院 ， 江苏 南通 ２ ２ ６ ０ ０ ７ ）
摘
要 ：非线性偏微 分方程组广泛应 用于物理 、化 学、生 态学 、经济学等领域 ，对它的研 究有重要
几类非线性发展方程的高精度有限差分方法
几类非线性进步方程的高精度有限差分方法专业品质权威编制人：______________审核人：______________审批人：______________编制单位：____________编制时间：____________序言下载提示：该文档是本团队精心编制而成，期望大家下载或复制使用后，能够解决实际问题。
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一类非线性发展方程组的解的定性性质
描述在表面突加的拉伸死载荷作用下 ， 不可压缩 的广义 Ｖ ｌｎｓ ａ ｄｌ ａ ｉ —Ｌｎ ｅ 材料 组成 的超弹性球 体 内部 空 ａ
穴的生成和运动 。 分别从方程 的平衡解 的静态 分岔 、 解的存在 条件 以及解 的动力学 性质 ３个 方面讨 论 了各个参数对微分方程的解 的定性 性质 的影 响。证 明 了空穴生 成后 随时 间的运 动是非 线性 的周期 振 动， 并给 出了数值模拟 。 关键词 ： 非线性 发展方程 ； 静态分岔 ； 临界载荷 ； 非线性周期振动
。 ［
】 ０ ４ ；（ ）
（） ５
载荷作用下的拟静态空穴分岔 问题。文献 ［ ］ ３ 提
出 了一 类广 义 Ｖ ｌｎｓ ａｄｌ 弹性 材 料 ， 应 ａ ｉ—Ｌｎ ｅ 超 ａ 其
变能 函数 的形式 为 Ｗ＝ ｇ｛ Ａ （ｎ １ ）＋Ａ （ｎ ２ ）＋ ２ ［ １ １Ａ —１ ２ １Ａ —１ Ａ （ｎ —１ ］＋Ｏ Ａ （ｎ １ ） ＋ １Ａ ３ ３ ） ｄ １ １Ａ —１ ］ ［ 卢［ １Ａ Ａ （ｎ 一１ ］ ） ｝， （） ８ 式 中 ，ｄ ＞ｏ是 无 量 纲 的材 料摄 动参 数 ， Ｏ， ￣ ｌ ｆ 表示 材
维普资讯
第 １ ０卷
第 １期
连 ｌ 族 学 ｉ 学 ｖ ｒｉ Ｊ ｕ 大ｌｏ ａｉｎ Ｎａｉｎ ｌ ｉｓＵｎ报 ｔ ｏ ｒ ａ ｆＤ 民 ｔ ａ院ｅ ｉｅ ｓ ｙ ｎ ａ ｏ ｔ
Ｖ１１．ｏ１ ｏ ０Ｎ． ．
Ｊｎ ２ ｏ ａ ．０ ８
２０ ０ ８年 １月
此外 ， 利用 和 之 间 的关 系 以及 记 号 式 （５ ， １ ）
《几类非线性发展型偏微分方程的混合有限元方法研究》范文
《几类非线性发展型偏微分方程的混合有限元方法研究》篇一一、引言非线性偏微分方程在众多科学领域中具有广泛的应用，如物理学、生物学、金融学等。
针对这类方程的求解方法一直是数学领域的研究热点。
本文旨在探讨几类非线性发展型偏微分方程的混合有限元方法，以提高其求解效率和精度。
二、混合有限元方法概述混合有限元方法是一种用于求解偏微分方程的数值技术。
该方法通过将求解域划分为有限个元素，并在每个元素上构造近似函数，从而得到原偏微分方程的近似解。
混合有限元方法具有较高的灵活性和适应性，可应用于各种类型的偏微分方程。
三、几类非线性发展型偏微分方程本文将重点研究以下几类非线性发展型偏微分方程：1. 非线性扩散方程：描述物质在扩散过程中的非线性行为。
2. 非线性波动方程：描述物体在振动过程中的非线性特性。
3. 非线性对流扩散方程：描述流体在流动和扩散过程中的非线性效应。
4. 其他具有代表性的非线性发展型偏微分方程。
四、混合有限元方法的应用针对上述几类非线性发展型偏微分方程，本文采用混合有限元方法进行求解。
具体步骤如下：1. 划分求解域：将求解域划分为适当的有限个元素，以便在每个元素上构造近似函数。
2. 构造近似函数：在每个元素上，根据混合有限元方法的原理，构造近似函数。
3. 建立离散化方程：将原偏微分方程离散化为代数方程组，以便求解。
4. 求解代数方程组：利用适当的数值方法，如高斯消元法、迭代法等，求解离散化后的代数方程组。
5. 验证解的准确性和效率：将求解结果与实际值进行比较，验证解的准确性和效率。
五、实验结果与分析通过大量实验，本文验证了混合有限元方法在求解几类非线性发展型偏微分方程中的有效性和优越性。
实验结果表明，混合有限元方法具有较高的求解精度和效率，可广泛应用于各类非线性发展型偏微分方程的求解。
此外，本文还对不同类型非线性发展型偏微分方程的求解过程进行了详细分析，为后续研究提供了有益的参考。
六、结论本文研究了几类非线性发展型偏微分方程的混合有限元方法。
(3+1)维非线性发展方程的显式解
(3+1)维非线性发展方程的显式解于兴江【摘要】本文利用推广的(W/G)展开法,研究(3+1)维非线性发展方程,并得到了很多该方程新的显式解,包括单循环孤立子解、三角周期解、有理函数解等.【期刊名称】《聊城大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(026)003【总页数】4页(P13-16)【关键词】(3+1)维非线性发展方程;广义(W/G)展开法;齐次平衡法;显式解【作者】于兴江【作者单位】聊城大学数学科学学院,山东聊城252059【正文语种】中文【中图分类】O175.20 引言非线性发展方程的求解问题一直是国内外专家研究的热点之一.为了得到非线性发展方程的精确解，许多有效的方法已经被提出，例如，经典和非经典李群方法，扩展的Ricatti方法，指数函数展开方法，广义tanh函数法，广义的代数方法等［1－7］.王明亮［8］提出（G′／G）展开法可应用于许多非线性方程，在此方法的基础上，李文安［9］提出了（W／G）展开法，可以认为是（G′／G））展开法的推广.本文的目的是利用（W／G）展开法来求（3＋1）维非线性发展方程的显式解.1 （W／G）展开法概述考虑如下偏微分方程u（x，t）是未知函数，F是关于u及其偏导数的已知多项式.（W／G）展开法的步骤包括第1步，作行波变换.令u（x，t）＝u（ξ），ξ＝kx＋lt，则（1）就变为一个关于u＝u（ξ）的常微分方程，第2步，假设（2）有下述形式的解关于（W／G）的项共有m＋1项.这里的（W／G）满足以下方程即其中a，b，c为任意的常数.情况1.1 （G′／G）展开法.当W＝G′，a＝－μ，b＝－λ，c＝－1时，u（ξ）可以表示为其中G满足情况1.2 tanh展开法.当W＝tanhξ，G＝1，a＝1，b＝0，c＝－1时，u（ξ）变为情况1.3 （G′／G2）展开法.当时，u（ξ）变为此时G满足情况1.4 （G′）展开法.当W＝GG′时，u（ξ）变为其中G满足其中αm，αm－1，…α0和m都是待定常数.平衡（2）式中最高阶导数项与最高阶非线性项的次数确定m的值.第3步，确定超定代数方程组.把（3）式和（4）式带入到（2）中，令（W／G）各项的系数为零，得到关于αm，αm－1，…，0的代数方程组P＝0.第4步，确定显式解.解代数方程组P＝0，利用（4）的解得到（2）的行波解，继而得到（1）的显式解.2 （3＋1）维非线性发展方程的显式解考虑以下（3＋1）维非线性发展方程其中h＝h（x，y，z，t）.文献［10］中作者利用广田双线性方法得到N－型孤立子解和朗斯基行列式解.文献［11］中作者得到了格拉姆行列式解.以下利用第一部分中比较新颖的（G′／G2）展开法和（G′）展开法考虑方程（13）.在（13）式中令＝u，则方程（13）化为作行波变换u（x，y，z，t）＝u（ξ），其中ξ＝x＋ky＋mz＋lt，带入（14）式得到常微分方程平衡（15）式中u（5）和u′u‴得到m＝1.由（3）式，假设方程（14）有以下形式的解情况2.1 当时，（16）式化为将（17）式带入（15）式，并利用（10）式，令（G′／G2）的同次幂系数为零，得到一个代数方程组：解上述代数方程组可得以下两组结果第一组第二组其中k，l，m，a，k为非零常数.这里只列出第一组结果对应的解.情况2.1.1 当ac＞0时，此时方程（14）有三角周期解情况2.1.2 当ac＜0时，此时方程（14）有孤立子解情况2.1.3 当a＝0，c≠0时，此时方程（14）有有理函数解以上解中，C1，C2是任意常数.由变换＝u，可以得到原方程（13）的解，此处省略.情况2.2 当W＝GG′时，（16）式化为类似情况2.1，将（22）式带入（15）式，并利用（12）式，令G′的同次幂系数为零，得到代数方程组：解上述代数方程组可得结果其中k，l，m，a，b，c，k为非零常数.情况2.2.1 当Δ＝4ac－b2＜0时，此时方程（14）有单循环孤立子解情况2.2.2 当Δ＝4ac－b2＝0时，此时方程（14）有有理函数解情况2.2.3 当Δ＝4ac－b2＞0时，此时方程（14）有三角周期解由变换＝u，可以得到原方程（13）的解，此处省略.注1 本文中得到的解均已经MAPLE数学软件检验.注2 本文中方程（10）和方程（12）的解均来自文献［9］.3 结论本文利用（W／G）展开法得到了（3＋1）维非线性发展方程一些新的显式解，包括单循环孤立子解、三角周期解、有理函数解等.这些解对于解释复杂动力学现象有着非常重要的作用.（W／G）展开法对于求解其它的非线性发展方程也是非常有效的.参考文献【相关文献】［1］Mostafa F E，Ahmad T A.Nonclassical symmetries for nonlinear partial differential equations via compatibility［J］.Commun Theor Phys，2011，56（4）：611－616. ［2］陈美，刘希强.Konopelchenko－Dubrovsky方程组的对称，精确解和守恒律［J］.纯粹数学与应用数学，2011，27（1）：533－539.［3］谷超豪，胡和生，周子翔.孤立子理论中的达布变换及其几何应用［M］.上海：上海科技出版社，2005.［4］He J H，Abdou.New periodic solutions for nonlinear evolution equations using Exp －function method［J］.Chaos Soliton，Fract，2007：34，1 421－1 429.［5］于金倩，刘希强，王婷婷.（2＋1）维Boiti－Leon－Pempinelli方程的精确解和守恒律［J］.Appl Math Comput，2010，216（8）：2 293－2 300.［6］张颖元，刘希强，王岗伟.Bogoyavlenskii－Kadontsev－Petviashili方程的新的显式解［J］.昆明学院学报，2012，34（3）：55－59.［7］Lu D C，Hong B J.New exact solutions for the（2＋1）－dimensional Generalized Broer－Kaup system ［J］.Appl Math Comput，2008，199：572－580.［8］Wang M L，Li X Z.The（G′／G）－expansion method and traveling wave solution Of nonlinear evolution equation in the mathematical physics［J］.Phy Lett A，2008，372：417－423.［9］Li W A，Chen H，ZhangG G C.The（W／G）－expansion method and its application to Vakhnenko equation［J］.Chin Phys，2009，18：400－404.［10］Geng X G，Ma Y L.N－soliton solution and its Wronskian form of a（3＋ 1）－dimensional nonlinear evolution.equation［J］.Phy Lett A，2007，369：285－289. ［11］Wu J P，Geng X G.Grammian determinant solution and pfa·anization for a（3＋1）－dimensional soliton equation［J］.Commun Theor Phys，2009，52：791－794.。
一类非线性发展方程
一类非线性发展方程
一类非线性发展方程是指可以用来描述非线性发展的方程，它有
很多种，例如动力学方程、偏微分方程、变分不等式等。
动力学方程描述了一个物体在某个特定时刻内容变化的方式，它
一般可以写成形如$\dot{x}=f(x,t)$的非线性积分形式，其中x表示
物体的性质，t表示时间，而f(x,t)表示由所有力和位置形成的非线
性函数，其描述了物体运动的偏微分方程形式。
偏微分方程是用于描述一个物体某个特定时刻处的状态，它一般
可以写成$\frac{\partial u}{\partial x}=f(x,t)$的形式，其中u
表示物体的状态，t表示时间，而f(x,t)表示物理系统形成的非线性
函数。
变分不等式也是一种常见的非线性发展方程，它一般可以写成
$\int f(x,t)dx \geq 0$的形式，其中x表示系统中物体的性质，t表
示时间，而f(x,t)表示非线性函数，用于描述物体的发展趋势。
此外，非线性扩散方程也是非线性发展方程的一种，它一般可以
写成$\frac{\partial u}{\partial t}=\nabla \cdot (Du+G)$的形式，其中u表示物体的性质，t表示时间，而D和G分别表示物体扩散和发
生变化的速度。
总之，上述几组非线性发展方程可以用来描述不同类型的非线性
发展，它们的完善和修正能够提供更准确描述物体发展情况的方程，
从而使我们能够更好地理解物体的发展动态并提出更有效的解决方案。
带非抛物项的非线性发展方程的解的适定性
带非抛物项的非线性发展方程的解的适定性非抛物项的非线性发展方程是一类常见的非线性偏微分方程，如Korteweg-de Vries方程、Burgers方程等。
这些方程往往涉及到物理实际问题的建模，具有广泛的应用背景。
在研究非抛物项的非线性发展方程的解的适定性时，我们关注以下几个方面：初值问题的适定性、全局解的存在性和稳定性，以及光滑解的存在性。
首先，我们考虑初值问题的适定性。
对于一个给定的非抛物项的非线性发展方程，我们通常需要考虑其在$t=0$时刻的初值问题。
初值问题的适定性指的是，在给定的初始条件下，方程是否存在唯一的局部解，以及该解在几何上和物理上的特性。
初值问题的适定性可以通过使用合适的函数空间和适当的数学工具来分析。
例如，使用Sobolev空间和能量估计来探讨局部解的存在性和唯一性。
对于一些特殊类型的非线性发展方程，可以使用双曲型方程的理论来证明初值问题的适定性。
其次，我们关注全局解的存在性和稳定性。
全局解是指考虑非抛物项的非线性发展方程在定义域上的解的存在性。
换句话说，我们要证明该方程的解在整个时间范围内是存在的。
全局解的存在性通常要求方程具有良好的非线性性质，例如能量守恒、保持非负性或者一些限制条件。
稳定性是指方程的解对初值和参数的微小扰动是稳定的，即微小扰动不会引起解的显著变化。
全局解和稳定性的研究对于理解方程的动力学行为和长时间演化的特性至关重要。
最后，我们考虑光滑解的存在性。
光滑解是指方程的解在定义域上具有足够的光滑性。
对于非抛物项的非线性发展方程，通常出现的是弱解或者分布解。
弱解通常只具有有限的光滑性，不满足传统的光滑解的定义。
而分布解则可以通过广义函数的理论进行定义，其光滑性更强。
对于光滑解的存在性的研究需要运用一些数学工具，如微分方程的理论、变分方法和极值原理等。
总结起来，非抛物项的非线性发展方程的解的适定性研究涉及到初值问题的适定性、全局解的存在性和稳定性、以及光滑解的存在性等方面。
机械工程中两类非线性方程组的完全解
机械工程中两类非线性方程组的完全解
李团结;贾建援;胡雪梅
【期刊名称】《西安电子科技大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2005(032)001
【摘要】研究了机械工程中常见两类非线性方程组全部解的获取问题.对于非线性多项式方程组,给出了应用同伦法无需选取初值求其全部复数解或实数解的数值算法.对于三角函数超越方程组,基于牛顿迭代法提出了一个数值方法,无需选取初值就可求出三角函数超越方程组在指定搜索区间的全部实数解.最后给出了数值实例证明了这些方法的正确性.
【总页数】5页(P71-74,102)
【作者】李团结;贾建援;胡雪梅
【作者单位】西安电子科技大学,机电工程学院,陕西,西安,710071;西安电子科技大学,机电工程学院,陕西,西安,710071;西安电子科技大学,机电工程学院,陕西,西安,710071
【正文语种】中文
【中图分类】TH112;O175
【相关文献】
1.罚函数法在求解航空发动机非线性方程组中的应用 [J], 施洋;杨锟;屠秋野;蔡元虎
2.关于非线性抛物型方程组的两类边值问题(英文) [J], 许克明;杨广武
3.非线性抛物型方程组的两类边值问题 [J], 许克明;王善维
4.两类非线性发展方程组解的爆破和熄灭 [J], 王凡彬
5.两类非线性双曲型方程组有限元方法的误差估计 [J], 刘小华;陈瑜;南充
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几类非线性发展方程的孤立波与畸形波的研究.doc
几类非线性发展方程的孤立波与畸形波的研究在客观世界中,事物的发展往往会受到多个因素的影响,而不是由单一元素所形成的线性关系来决定。
在这些无序的、不规则的、处于非平衡态的系统中,多个变量之间共同作用,导致了这些非线性现象的产生。
从数学角度来看,这些非线性现象可以用非线性发展方程来描述。
借助非线性发展方程的数学研究方法,可以更加清晰地展现这些非线性模型的物理演化过程,有助于人们理解很多自然现象的发展规律和本质特征。
本文主要应用Hirota方法和Darboux变换方法,对非线性光纤光学、生物学、海洋动力学领域中的几个非线性发展方程进行了解析研究,讨论了这些方程的孤子解、畸形波解以及呼吸子解,继而分析了孤子、畸形波以及呼吸子的传播以及相互作用性质。
本文的主要内容安排如下:第二章研究光纤通信领域中的常系数二耦合三阶色散非线性薛定谔方程,即耦合Hirota方程。
耦合Hirota方程描述了超短脉冲在双折射或者双模光纤中传播的波动力学性质,且常用在描述海洋动力学中的模型。
我们分别考虑混合机制和散焦-散焦机制两种情况下的耦合Hirota方程。
利用Darboux变换,推导耦合Hirota方程两种不同的一阶局域波解和两种不同的二阶局域波解,考察移动呼吸子、Akhmediev呼吸子、Kuznetsov-Ma孤子、时间-空间周期呼吸子、多峰孤子和反暗孤子。
研究方程中的呼吸子-孤子转换现象、呼吸子与暗孤子之间的弹性相互作用,以及反暗孤子与暗孤子之间的非弹性相互作用。
第三章研究光纤通信领域中的常系数三耦合三阶色散非线性薛定谔方程,即三耦合Hirota方程。
三耦合Hirota方程不仅用于描述长途通信模型和超快信号路由系统中的光脉冲传播,而且可以描述在高阶连续极限下的α螺旋蛋白质的近邻之间的相互作用。
利用Darboux-dressing变换,得到了方程的畸形波解,考察三耦合Hirota 方程的四花瓣型畸形波,以及复合畸形波分裂为几个单独畸形波的现象,并给出这种现象的发生条件。
非线性科学介绍
【内容提要】非线性科学就是研究非线性现象共性的一门新兴的交叉学科。
其主要研究内容包括混沌、分形与孤立子。
本文主要介绍了非线性科学的起源、主要内容、主要研究方法及其工程应用,并对其未来发展进行了一些思考。
【关键词】非线性科学/研究方法/工程应用非线性科学就是研究非线性现象共性的一门新兴的交叉学科,产生于20世纪六七十年代。
其标志就是:1963年美国气象学家洛伦兹发表的《确定论的非周期流》论文,揭示确定性非线性方程存在混沌(Chaos);1965年数学家查布斯基与克鲁斯卡尔通过计算机实验发现孤立子(Soliton);1975年美籍数学家芒德勃罗发表《分形:形态、机遇与维数》一书,创立了分形(Fractal)理论。
混沌、孤立子、分形代表了非线性现象的三大普适类,构成非线性科学的三大理论。
[1]非线性科学的发展标志着人类对自然的认识由线性现象发展到非线性现象。
非线性科学中的混沌理论被认为就是20世纪继相对论、量子力学之后的又一次革命;分形几何就是继微积分以来的又一次革命;孤立子理论则预示着物理学与数学的统一。
一、线性科学与非线性科学所谓线性,就是指量与量之间的关系用直角坐标系形象地表示出来时就是一条直线。
在数学上,主要通过对算子的描述来讨论系统的线性与否。
如果算子Y满足:其中,α为常数,u、v为任意函数,则称算子为线性算子,否则称为非线性算子。
[2]线性系统中部分之与等于整体,描述线性系统的方程遵从叠加原理,即方程的不同解加起来仍然就是方程的解。
线性理论就是研究线性系统的理论,主要包括:牛顿经典力学、爱因斯坦的相对论与量子力学理论等,它有成熟的数学工具,如线性方程、曲线,以及微积分等数学方法。
[3]虽然非线性问题自古以来就有,但人们开始只能解决线性问题,随着科学技术的发展,在解决非线性问题方面才逐步取得进展。
当代所有的科学前沿问题几乎都就是非线性问题。
从物理现象来瞧,线性现象就是在空间与时间上光滑与规则的运动,非线性现象则就是从规则运动向不规则运动的过渡与突变。
发展型方程
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几类非线性发展方程的定解问题
非线性发展方程是一个庞大的研究领域，它涉及到数学、物理学、化学等多个学科，在科学研究领域有着广泛的应用。
这类方程通常具有复杂的形式，它们的特点是变量（例如温度、能量、势函数等）都是运动变化的，从而使得求解的复杂程度上升。
本文将从数学的角度，以及四类非线性发展方程：椭圆型方程、超越型方程、抛物型方程、解析平面方程的定解进行深入的阐述。
首先，椭圆型方程通常可以定义为：$$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$$，其中A、B、C、D、E、F都是实数，其中A和C不能同时为0。
它可以被用来描述椭圆、圆和双曲线，椭圆型方程可以得到两个简单的定解。
1、解析解：在这种情况下，方程有两个变量可以求解，一般阐述为：解一般形式为$x=f(t),y=g(t)$，其中
$t$是参数。
2、特殊解：如果两个变量满足某个条件，比如$x=y$或$Bx+Ey+F=0$，那么这类方程得到特殊解，一般可以简化为一个一元方程来求解。
其次，超越型方程是一类常用的非线性方程，它通常由一元方程转化为多元方程。
它一般可以表示为：$$x+yf(x,y)=g(x,y)$$，其特点是后一变量与前一变量存在着某种关系，超越型方程可以得到两个简单的定解，如变量变换法（将超越型方程变换为椭圆型方程来求解）和特征函数法（将超越型方程转换为积分方程来求解）
继续，抛物型方程通常可以定义为：$$y=ax^2+bx+c$$，其中a、b、c是实数，抛物型方程表示的是若干变量与他们的平方或者立方次方存在一定关系的函数。
抛物型方程的定解可以使用特征函数法或变量变换法，特征函数方法通过讲抛物型方程转换成积分方程来求解，而变量变换法则将抛物型方程转换成椭圆型方程来求解。
最后，解析平面方程通常可以定义为：$$3x^3-7xy^2-17x+11y=0$$，其中x和
y是变量。
解析平面方程也是一类非线性发展方程，它是由一个三次多项式表达式构成的，它的特点是变量和它们的次方有一定的关系，解析平面方程的定解可以是通过变量变换法将平面方程转换为椭圆型方程来求解，也可以通过特征函数法将其转换为积分方程来求解。
总而言之，上述四类非线性发展方程的定解可以通过变量变换法和特征函数法两类方法来求解，且定解的求解过程各异，但本质上均是基于数学上恒定结构的拟
合求解过程。
因此，四类非线性发展方程的定解问题一直是科学研究领域的研究热点。