中南大学概率论补考试卷

中南大学考试试卷

2009——2010学年第二学期 （20010. 2） 时间：100分钟 概率论B(补考) 课程 32学时 2 学分 考试形式：闭卷

专业年级：2008级(第3学期) 总分：100分

一、填空题（本题15分，每题3分）

1、设B A ,为随机事件，已知3.0)(,7.0)(==AB P A P ，则=⋃)(B P ________。

2、加工一个产品要经过三道工序，第一、二、三道工序不出废品的概率分别为0.9、0.95、

0.8，若假定各工序是否出废品为独立的，则经过三道工序而不出废品的概率为________。 3、设随机变量X 的分布函数为a x x a x F ,(arctan 1

)(∞<<-∞+

=π

为常数）则

=<<-

}33

3

{X P ________。 4、设随机变量Y X ,的相关系数为ρ，且4)(,1)(,4)(=-==Y X D Y D X D ，则ρ= 。

5、设随机变量X 的数学期望5)(,.75)(==X D X E ，且05.0}|75{|≤≥-k X P ，则

≥k 。

二、选择题（本题15分，每题3分）

1、已知6.0)(,4.0)(,5.0)(=+==B A P B P A P ，则)|(B A P = ( ) 。

（A ）0.2； （B ）0.45；

（C ）0.6； （D ）0.75。

2、设A 、B 互为对立事件，且0)(,0)(>>B P A P ，则下列各式中错误的是（

）。

（A ）0)|(=A B P ； （B ）0)|(=B A P ； （C ）0)(=AB P ； （D ）1)(=B A P 。 3、离散型随机变量X 的分布列为4,3,2,1,}{===k ak k X P ．则a =（

）。

（A ）0.01； （B ）0.15；

（C ）0.2；

（D ）0.25。

4、已知=≥=-<<--}1{4.0}13{),,1(~2X P X P N X ，则σ（ ）。

（A ）0.8；

（B ）0.9；

（C ）0.1；

（D ）0.2。

5、已知=≥=

≥=≥=≥≥}0),{max(,7

4

}0{}0{7

3

}0,0{Y X P Y P X P Y X P 则，（ ）

。 （A ）76 ； （B ）75 ； （C ）74 ； （D ）7

3。

三、（本题12分）编码器将字符串BA AB BB AA ,,,以频率2∶2∶1∶1发出，传输过程中字符A 被误为B 的概率为0.05，B 被误为A 的概率为0.01,设传输各字母的工作相互独立。（1）求接收到正确的字符串的概率；（2）若收到字符串AB ，求发出的也是AB 的概率。

四、（本题12分）设随机变量X 的分布密度为)(1)(2

+∞<<-∞+=x x A

x f ，求（1）常

数A ；（2）X 的分布函数；（3）}11{<≤-X P 。

五、（本题15分）设随机变量),(Y X 在区域},10|),{(2x y x y x D ≤≤≤=上服从均匀分布。

试求：（1）),(Y X 的联合概率密度；（2）Y X 与是否相互独立？为什么？（3）}2

1

,21{<<

Y X P 。

六、（本题12分）设二维随机变量X 与Y 相互独立，其概率密度函数分别为

⎩⎨

⎧≤≤=其它,

01

0,1)(x x f X

⎩⎨⎧≤>=-0

,00

,)(y y e y f y Y

试求：（1）)2(Y X E +；（2）Y X Z +=2的概率密度函数。

七、（本题12分）某餐馆每天接待400位顾客，设每位顾客的消费额]100,20[~U X （单位：元），餐馆的日营业额为Y ，假设每位顾客的消费是相互独立的，试求： （1）该餐馆的日平均营业额)(Y E ；

（2）日营业额在日平均营业额上下不超过760元的概率（Φ(1.645)=0.95）。

八、（本题7分）设X 是非负的连续随机变量，证明：对0>x ，有x

X E x X P )

(1)(-≥<。

中南大学考试试卷答案

概率论B(补考)2009——2010学年第一学期(2010. 2) 32学时

一、填空题（15分，每小题3分）

1、0.6；

2、0.684；

3、0.5；

4、0.25；

5、10。 二、选择题（15分，每小题3分）

1、D ；

2、A ；

3、A ；

4、C ；

5、B 。 三、（本题12分）

解：设C 为“接收到正确的字符串”，1D 为“收到字符串AB ”, 2D 为“发出字符串AB ”。

(1)95.099.06

1

99.095.061)99.0(62)95.0(62)(22⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯=

C P =0.941； （2）根据贝叶斯公式知 ：)

()()()(121212D P D D P D P D D P ⋅=891.0176.099

.095.061

=⨯⨯=。

四、（12分）解：(1) 由性质

1)(=⎰

+∞

∞

-dx x f

即：

1a r c t a n 12

==⋅=+∞

+∞-∞

+∞-⎰πA x A dx x A ，∴ A =π

1； (2) 由(1)知f (x )=2111x +π, ∴ F (x )=⎰⎰∞-∞-+⋅=x x dx x

dx x f 2111)(π 21arctan 1arctan 1ππππ⋅+==∞-x x x x arctan 121π

+= ； (3) P (–1≤X <1)=F (1)–F (–1)=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+-⎪⎭⎫

⎝

⎛⨯+41214121ππππ 2

1414141214121=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫

⎝⎛+=。 五、（15分）解：（1）区域0≤x ≤1，y 2≤x 的面积3/42

1

==⎰

x d x A

依题意有：⎩⎨

⎧≤≤≤=⎪⎩

⎪⎨⎧≤≤≤=其它其它,0,10,4/3,0,10,1),(2

2x

y x x y x A y x f ;

(2)∵⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=

==

⎰⎰

-∞

+∞

-其它,

010,2

343

),()(x x y d y d y x f x f x x X