基本不等式技巧

基本不等式习专题之基本不等式做题技巧

【基本知识】

1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22

2

≥+ (2)若R b a ∈,，则2

2

2b a ab +≤（当且仅当b

a =时取“=”）

2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2

(2)若*

,R b a ∈，

则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）

(3)若*

,R b a ∈，则2

2⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） (4)，、、)(3

33

333

3

3

+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；

)(333

3

+

∈⎪⎭

⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,

“=”号成立.

4.若R b a ∈,，则2

)2(2

22b a b a +≤

+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，

可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3) 熟悉一个重要的不等式链：b

a 112

+2a b

+≤≤≤

2

2

2b a +。

【技巧讲解】

技巧一：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于

构造条件。通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造）

1：已知5

4x <

，求函数14245

y x x =-+-的最大值。 2. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

3：设2

3

0<

4、求函数2

1

(1)2(1)

y x x x =+

>-的最小值。 5 已知0,0x y >>，且满足3212x y +=，求lg lg x y +的最大值. 6已知x ，y 为正实数，且x 2

＋y 2

2

＝1，求x 1＋y 2

的最大值.

7 若,,0a b c >且()423a a b c bc +++=-,求2a b c ++的最小值 .

技巧一答案：

1解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --g 不是常数，所以对42

x -要进行拆、凑项，

5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当1

5454x x

-=

-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

2解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。

当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。

评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。

3、解：∵230<-x ∴2922322)23(22)23(42

=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭

⎫

⎝⎛∈=

23,043x 时等号成立。 4解析：

21(1)2(1)y x x x =+

>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2

111

1(1)222(1)x x x x --=+++>-

1≥312≥+5

2=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是5

2

。

评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。

5、分析 lg lg lg()x y xy +=, xy 是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式x y +是否

定值， 而已知是3x 与2y 的和为定值12，故应先配系数，即将xy 变形为326x y

⋅，再用均

值不等式.

220,0

32lg lg lg()lg

6

132112lg lg 6262lg 6x y x y x y xy x y >>⋅+==⎡⎤⎡⎤+⎛⎫⎛⎫≤=⎢⎥⎢⎥

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=解： 当且仅当32x y =，即2,3x y ==时，等号成立. 所以lg lg x y +的最大值是lg 6. 6分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤

a 2＋

b 2

2

。

同时还应化简1＋y 2

中y 2

前面的系数为 12

， x 1＋y 2

＝x

2·1＋y

2

2

＝ 2

x ·

12 ＋y 2

2

下面将x ，

12 ＋y

2

2

分别看成两个因式： x ·

12 ＋y

2

2

≤x 2

＋(

12 ＋y 22 )22 ＝x 2

＋y 2

2 ＋12 2 ＝34

即x 1＋y 2

＝ 2 ·x

12 ＋y 2

2 ≤

3

4

2 7分析 初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用a b +≥+b 来解决.换个思路，可考虑将2a b c ++重新组合，变成()()a b a

c +++，而()()a b a c ++等于定值

4-，于是就可以利用均值不等式了.