湖南大学工程数学试卷及答案

四．( 16 分) 分别给出用雅可比迭代法和高斯—赛德尔迭代法解线性方程组
10 0 x1 b1 10 x b 2 2 0 5 x3 b3
时，对任意初始向量都收敛的充要条件. 五．(16 分) 用插值法求一个二次多项式 P2 ( x), 使得曲线 y P2 ( x) 在 x 0 处与曲线 y cos x 相切，在 x 处与 y cos x 相交，并证明 2 3 max | P2 ( x) cos x | . 324 0 x
1 1 4 1 e 2 5
1 3 1 4
解得
(8 分)
60e 168 4.903090 ,
七. 解. 计算结果见下表
80e 220 2.537454 .
1 dx x
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工程数学试题参考答案 一． (1) 7; (2)
1 , 0 ; 5
(3)
3;
(4)
(1) x 0 x 1
n
xn ;
(5) 0.9 1.4 x ; 二． 解. (1) 因为
(6) x
1
2 3 , A1 . 3 4
f ( x ) C[1, 2] , f (1) 2 0 , f (2) 14 0 , f ( x ) 3 x 6 x 0 ( x [1, 2]) ) , 所以 由零
2Fra Baidu bibliotek
点定理和单调性知原方程在 (1 , 2 ) 内存在唯一实根 x * .
(2) 牛顿迭代格式为
xi yi yi
1
10 1
0 14
2 16 －1
构造 Hermite (埃尔米特)插值多项式 H ( x ). 六．(10 分) 求常数 , 使积分
e
1 0
x
x x 2 dx 取最小值。
2
七．(16 分) 用龙贝格方法求积分
I

3 1
的近似值，要求误差不超过 10 3 .
x
f ( x)
0.625 0.9361556
0.750 0.9088516
0.875 0.8771925
1 0.8414709
1
请分别用 n 8 的复化梯形公式和 n 4 的复化辛浦生公式计算积分 f ( x)dx 的
0
近似值.（取 7 位浮点数）
工程数学试题(A 卷)参考答案 一． (1) (5) 3; (2) 6 , 5 ; (3) 9, 0 ; (4)
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四．(10 分) 给定线性方程组
2 1 1 x1 1 1 1 1 x 1 , 2 1 1 2 1 x3
写出求解该方程组的雅可比迭代格式，并分析雅可比迭代法的收敛性。 五．(13 分) 试根据数表
3 1.195824
(11 分)
4 1.195823
x4 x3 10 5 , x * x4 1.195823 .
三．解.
1 2 3 20 2 4 1 1 1 2 8 1 1 2 2 4 1 9 1 2 3 2 4 0 3 0 4 1 5 2 5 2 2 4 9 7 (4 分) 0 4 2 49 0 3 2 1 5 2 35 8 9 49 2 175 8
范围是
1 2 , 则谱条件数 Cond 2 ( A) A 2 1
.
2
A 1
2
.
4. 设 x0 , x1 ,
, x n 为 n 1 个互异的插值节点，li ( x )
j i
(x x j ) ( xi x j )
(i 0,1,
, n) 为拉
格朗日插值基函数，则
9 8 20 1 5 2 5 2
(2 分)
9 49 (5 分) 2 7 2
2 4 0 4 0 0
(7 分)
等价的上三角形方程组为
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2 x1 4 x2 x3 9 , 5 49 , 回代得 x3 5 , x2 3 , x1 1 . (10 分) 4 x2 x3 2 2 35 175 x . 3 8 8
2
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六．(12 分) 求 f ( x) xe x 在 [0, 1] 上的一次最佳平方逼近多项式。
七．(12 分) 已知函数表
x
f ( x)
0 1
0.125 0.9973978
0.250 0.9896158
0.375 0.9767267
0.500 0.9588510
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考试科目： 工程数学 考试形式：闭卷(可用计算器) 专业年级：2011 级专业型硕士研究生 考试时间： 120 分钟
………………………………………………………………………………………………………………………
注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。
其特征方程 | E BJ | 五．列表计算差商
xi
－1 －1 0 2 2
f ( xi )
10 10 14 16 16
一阶差商
二阶差商
三阶差商
四阶差商
1 4 1 －1 3 －1 －1

4 3 4 9
0
(10 分)
4 4 H ( x ) 10 ( x 1) 3( x 1) 2 x ( x 1) 2 ( x 1) 2 x ( x 2). (13 分) 3 9
四. 解. 雅可比迭代格式为
( k 1) 1 (k ) (k ) 1 x2 x3 x1 2 ( k 1) (k ) (k ) x2 1 x1 x3 1 ( k 1) (k ) x3 1 x1( k ) x2 2
雅可比迭代矩阵
四． (12 分) 给定方程 e x 2 x .
(3) 证明该方程在区间 (0, 1) 内存在唯一实根 x* ; (4) 写出牛顿迭代法求 x* 的迭代格式； (5) 若取初值 x0 1, 牛顿迭代法是否收敛？若收敛，指出收敛阶数。
1 2 3 x1 3 三．( 12 分) 用三角分解法解线性方程组 3 5 2 x2 4 . 2 1 1 x3 3
(1) 证明该方程在区间 (1, 2) 内存在唯一实根 x* ; (2) 用牛顿迭代法求出 x* 的近似值，取初值 x0 1.5, 要求 xk 1 xk 10 5 . 三．( 10 分) 用高斯列主元素消去法解线性方程组
1 2 3 x1 20 1 1 2 x 8 . 2 2 4 1 x 9 3
l (0) x
i 0 i
n
n 1 i

.
5. 已知实验数据
xi yi
则拟合这组数据的直线为 y 6. 要使求积公式
0 1
1 2 .
2 4
3 5
1 f ( x)dx f (0) A1 f ( x1) 具有 2 次代数精度，则 4 x1 ， A1

1
0
二． ( 11 分) 给定方程 f ( x) x 3 3x 2 6 0.
一． 填空题（每小题 5 分，共 30 分）
1. 用
355 作为圆周率 3.14159265 的近似值时，有 位有效数字。 113 2. ( x) x ( x 2 5), 要使迭代法 xk 1 ( xk ) 局部收敛到 x* 5 , 则 的取值
3. 若 A
1 3 x ; 2 2
1 , 3 . 12 二． 解. (1) 因为 f ( x) e x x 2 在 (0, 1) 上连续，并且 f (0) 1 0 , f (1) e 1 0, f ( x) e x 1 0 x [0, 1],
0 , 0 0 x 2 dx
1
0 , 1 0 x3dx
1 , 5
1
1
1 , 4
0 , f 0 xe xdx 1,
(5 分)
1
1 , 1 0 x 4 dx
正规方程组为
1 , f 0 x 2e xdx e 2 .
(4 分)
x k 1
3 2 3 2 xk 3xk 6 2xk 3xk 6 xk , k 0, 1, 2, . (7 分) 2 2 3xk 6x k 3xk 6xk
取初值 x 0 1.5 , 计算结果如下：
k xk
0 1.5
1 1.238095
2 1.196815
(3 分)
0 BJ 1 1 2
1 2 0 1 2
1 2 1 , 0 1 2
(5 分)
1 0 , BJ 的特征值 2 1 1 1 0, 2,3 . (8 分) 因为谱半径 BJ 1, 所以雅可比迭代法收敛。(10 分) 2 2
因为 T3 (0) T2 (0) 0.6287 10 3 10 3 , 所以 I 1.0986306 . (16 分)
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考试科目： 工程数学(A 卷) 考试形式：闭卷(可用计算器) 专业年级：2014 级专业型硕士研究生 考试时间： 120 分钟
(10 分)
k
0 1 2 3
T0 (k )
1.3333333 1.1666667 1.1166667 1.1032107
T1 (k 1)
T2 (k 2)
T3 (k 3)
1.1111112 1.1000000 1.0987254 1.0992593 1.0986404 1.0986306 (14 分)
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六．解. 取 0 ( x) x , 1 ( x) x , f ( x) e x ; 定义内积
2
f , g 0
则
1
1
f ( x ) g ( x )dx , f ( x ), g ( x ) C [0, 1], 1 , 3
3. 设 f ( x) 3 x 2 1 ，则差商 f [1, 2] ， f [0,1, 2,3] . 4. 拟合三点 A(0, 1), B(1, 3), C (2, 2) 的直线是 y . h h 5. 参数 时，求积公式 f ( x)dx [ f (0) f (h)] h 2 [ f (0) f (h)] 的代数精 0 2 度达到最高，此时代数精度为 .
………………………………………………………………………………………………………………………
注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。
三． 填空题（每小题 4 分，共 20 分）
1. 设 f ( x) x , 则导数值 f (2) 0.353101 有 位有效数字。 1 1 0 2. 若 x , A ，条件数 Cond ( A) , 则 || Ax || 1 1 2 3 .