一维随机变量函数的分布(PPT课件)

本例正是连续型随机变量函数分布密度的计算方法
定理1 设 X 服从正态分布N( , 2), 则随机变
量Y=aX+b 服从正态分布N( a+b, a2 2)
证 （以a >0为例证明）
1 2π
yb } FY ( y ) P{Y y} P{aX b y} P{ X a 2
pk X 0.1 -2 0.2 -1 0.2 0 0.1 1 0.1 2 0.3 3
X -1 -2X X2
-3 4 4
-2 2 1
-1 0 0
0 -2 1
1 -4 4
2 -6 9
此表反映了函数 X-1, -2X, X 2的概率取值规律.
概率统计（ZYH）
现在只要分别将X-1, -2X, X 2 的所有可能取
0
1 3
所以
1 Y sin X ~ 2 2 15
1 8 15
概率统计（ZYH）
例3 设 X 服从N(0, 1), 求Y=X 2的分布密度. 解 由Y X 2 0知， 当y 0时 fY ( y ) 0
当y 0时, FY ( y ) P{Y y} P{ y X
概率统计（ZYH）
例2 设随机变量X的分布律为
1 P{ X k } k , k 1, 2, 2

求随机变量函数 Y sin X 的分布律． 解
2 1 2 P{Y 1} P{ X 4k 1} 4 k 1 15 k 1 k 1 2 1 1 P{Y 0} P{ X 2k } 2 k 3 k 1 k 1 2 1 8 P{Y 1} P{ X 4k 3} 4 k 3 15 k 1 k 1 2
其中 P{ g( X ) y} P{ X y} f ( x )d x 0
概率统计（ZYH）
y
y
1 y dx 2 2
注意: 此例中随机变量Y 即非离散型, 也非连续型.
值按一定的顺序重新排列，并合并其取相同值时 的概率即可得到所求函数的分布律
3 X 1 ~ 0.1 6 2X ~ 0.3
2
2 1 0 1 2 0.2 0.2 0.1 0.1 0.3 4 2 0 2 4 0.1 0.1 0.2 0.2 0.1
1 4 9 0 X ~ 0 . 2 0 . 3 0 . 2 0 . 3 本例反映了离散型随机变量函数的分布律计算方法
答
若 X 是离散型随机变量 ,它 的 取 值 是 有
限个或可列无限多个 , 因 此Y 的 取 值 也 是 有 限 个 或可列无限多个 , 因 此Y 是 离 散 型 随 机 变 量 .
若 X 是连 续型随机 变量 , 那末Y 不一 定是连续 型随 机变量（见下 例）
概率统计（ZYH）
例 设 X 在 (0,2) 上服从均匀分布 , 又设连续函数
) 0.3174 2[1 (1)] 2 (1 0.8413
1 1.5 X 1.5 1 1.5 (2) P{ | X | 1 } P 2 2 2
(0.25) (1.25) (0.25) (1.25)
y}
①
1 2π

y
y
e
x2 2
dx
2 2π

y
0
e
x2 2
dx
所以 当y 0时, fY ( y ) FY ( y )
y0 0, y 即 fY ( y ) 1 2 e ,y0 2 πy
概率统计（ZYH）
y 1 e 2 2πy
②
y =0时可任 意规定其值
0.5987 0.8944 0.2957
概率统计（ZYH）
按照上述求随机变量函数分布密度的方法, 可证明 定理3 设X是以 f (x)为分布密度的连续型随机 变量, 其所有可能取值构成区间I, 函数 y＝g(x) 在区 间I上严格单调可微, g(I)为相应的值域, 则Y＝g(X )
也是一个连续型随机变量且分布密度为
节目录
第四章 随机变量的函数
4.1 一维随机变量函数的分布
4.2 二维随机变量函数的分布
概率统计（ZYH）
在实际问题中, 我们常对某些随机变量的函数
更感兴趣. 例如,我们能测量圆轴截面的直径d，而
关心的却是截面面积 A. 这里,随机变量A是随机变
量d的函数.
这一章我们将讨论如何由一维
（或多维）随机变量的分布去求它的 函数的分布.

yb a
e

( x ) 2 2
பைடு நூலகம்
dx
[ y ( a b )]2 2 ( a ) 2
所以 fY ( y ) FY ( y )
1 e 2π a
定理1 的推论
亦即Y=aX+b 服从正态分布N( a+b, a2 2)
定理2 X ~ N ( , )
2
Y
X
机变量X的分布去求它的函数Y＝g(X )的分布．
概率统计（ZYH）
例1 设随机变量X的分布律为
1 2 3 2 1 0 X ~ 0 . 1 0 . 2 0 . 2 0 . 1 0 . 1 0 . 3
求随机变量函数 X-1, -2X, X 2的分布律． 解 由X的分布律可列出下表

~ N (0, 1)
概率统计（ZYH）
（即2.3节的例5） 例4 设 X 服从N(1.5, 4), 计算 (1) P{ | X 1.5 | 2 } (2) P{ | X | 1 } X 1.5 解 利用定理2, 知 ~ N (0, 1) , 故有 2 X－1.5 (1) P { | X－1.5 | 2 } P 1 2
d 1 1 g ( y ) , y g( I ) f [ g ( y )] fY ( y ) dy 0, 其他
其中x g 1 ( y)是 y g( x)的反函数 .
概率统计（ZYH）
思考题
设 g( x ) 是 连 续 函 数 ,若 X 是离散型随机变量 , 则Y g( X ) 也 是 离 散 型 随 机 变 量 吗 ?若 X 是连续 型的又怎样 ?
x, 0 x 1 y g( x ) 1, 1 x 2
求 Y g( X ) 的分布函数 FY ( y) .
解 由于 Y 的取值为[0,1], 所以 , y0 0 FY ( y ) P{Y y } P{ g( X ) y} y , 0 y 1 2 , y1 1
概率统计（ZYH）
4.1 一维随机变量函数的分布
一般地，若X是分布已知的随机变量 , g(x)为
一元连续函数 , 那么由 Y ＝ g(X) 定义的 Y 也是一个 随机变量．按定义，Y＝g(X )的分布函数应为
FY ( y) P{Y y} P{ g( X ) y}
下面我们就依据此式 , 讨论如何由已知的随