平面几何的立体几何类比

从三角形到三棱锥

性质1：在平面上到△ABC 三个顶点距离相等的点是三角形三边的垂直平分线的交点，这个点也称为三角形的外心（外接圆圆心）.

如果把“在平面上”几个字去掉，再来研究到三角形三个顶点距离相等的点会是一种什么情形呢？首先这样的点肯定存在（三角形外心就是一例），在平面ABC 外是否还有这样的点呢？我们先把研究的问题具体化.

ABC 所在平面外满足PA=PB=PC 的点P 是否存在？

先考虑到A 、B 距离相等的点.在平面中这样的点的轨迹为线段AB 的垂直平分线，不难证明在空间满足此条件的点的轨迹为线段AB 的垂直平分面（即过AB 中点且与AB 垂直的平面.记为α）.同理，到A 、C 两点距离相等的点的轨迹为线段AC 的垂直平分面（记为β）.显然这两个平面不平行，记交线为m,因为直线m 上的任意一点P 都满足PA=PB ，PA=PC ，所以有PB=PC ，可知点P 也应在线段BC 的垂直平分面上，即直线m 是AB 、AC 、BC 三条线段的垂直平分面的交线.由此可得：在空间到三角形三个顶点距离相等的点在其三边的垂直平分面的交线上，易证，这条直线垂直于三角形所在平面且通过三角形的外心，这条直线我们不妨称之为三角形的外心线.这个结论还可以如下的角度来表述：

如图1，如果平面ABC 外有一点P 且PA=PB=PC ，那么点P 在过△ABC 外心且与平面ABC 垂直的直线上.

也可以说，到△ABC 三个顶点距离相等的点在平面ABC 的射影是△ABC 的外心.

思考：三角形还有哪些类似的性质可以推广到空间去？ 不难想到三角形的心（三条角平分线的交点）、垂心（三条高线的交点）都可以在空间找到对应的图形.对这些性质我们不妨先大胆写出结论，再进行严格证明.在类比中，我们看到，平面中的点常对应空间

中的线，平面中的线则常对应空 图1

间中的面.

在平面几何中有这样一个性质：

如图2，△ABC 中，B ′和C ′分别在边AB 、AC 上，则有

.AC

AB C A B A S S ABC C B A ⋅'

⋅'=∆''∆ （用公式S △ABC =A bc sin 2

1

易证）

将这一性质类比到空间得到相应结论：

图2

性质2：如图3，已知四面体A —BCD 中，棱AB 、AC 、AD 上各有一点B ′、C ′、D ′，则有

.AD

AC AB D A C A B A S V BCD A D C B A ⋅⋅'

⋅'⋅'=-'''- 图3

证明：作DP⊥平面ABC于P，连结A、P并延长AP交BC于E.则平面APD⊥平面ABC.过D′作

Q

D'⊥AP于Q，则Q

D'⊥平面ABC，于是有

.

,

'

'

,

.

3

1

,

3

1

AD

AC

AB

D

A

C

A

B

A

V

V

AD

AD

DP

Q

D

AC

AB

C

A

B

A

S

S

DP

S

V

Q

D

S

V

BCD

A

D

C

B

A

ABC

C

B

A

ABC

BCD

A

C

B

A

D

C

B

A

⋅

⋅

'

⋅'

⋅'

=

=

⋅

'

⋅'

=

⋅

=

'

⋅

=

-

'

'

'

-

∆

'

'

∆

∆

-

'

'

∆

'

'

'

-

所以

又因为

练习：下面这些平面中的性质类比到空间应怎样叙述？它是正确的吗？

如果正确，你能证明它吗？

性质3：如图4，正△ABC，过其任一点P作三边垂线，垂足分别为D、

E、F，则PE+PF+PD为定值.

性质4：如图5，点O是△ABC任意一点，连结AO、BO、CO并延长交BC、

CA、AB于点D、E、F.则.1

=

+

+

CF

DF

BE

OE

AD

OD

图4 图5

性质3、4向空间类比所得命题都是正确的，它们分别可表述为

性质3′：如图6，过正四面体一点P向四个面作垂线，垂足分别为M

1

、

M

2

、M

3

、M

4

，则PM

1

+PM

2

+PM

3

+PM

4

为定值.

性质4′：如图7，P为四面体A—BCD任意一点，连结AP、BP、CP、DP

并延长分别交A、B、C、D所对的平面于A

1

、B

1

、C

1

、D

1

，则

图6 图7