任意三角函数计算公式是如何得来的

三角函数(Trigonometric function)。

尽管三角知识起源于远古，但是用线段的比来定义三角函数，是欧拉(1707-1783)在《无穷0小分析引论》一书中首次给出的。

在欧拉之前。

研究三角函数大都在一个确定半径的圆内进行的。

如古希腊的托勒密定半径为60；印度人阿耶波多(约476-550)定半径为3438；德国数学家里基奥蒙特纳斯(1436-1476)为了精密地计算三角函数值曾定半径600,000；后来为制订更精密的正弦表又定半径为107。

因此。

当时的三角函数实际上是定圆内的一些线段的长。

意大利数学家利提克斯(1514-1574)改变了前人的做法，即过去一般称AB为的正弦，把正弦
与圆牢牢地连结在一起。

而利提克斯却把它称为∠AOB的正弦。

从而使正弦值直接与角挂勾。

而使圆O成为从属地位了。

到欧拉(Euler)时，才令圆的半径为1，即置角于单位圆之中。

从而使三角函数定义为相应的线段与圆半径之比。

正弦、余弦
正弦定理是由伊朗著名的天文学家阿布尔.威发(940-998)首先发现与证明的。

中亚细亚人艾伯塔鲁尼﹝ 973-1048﹞(p15)给三角形的正弦定理作出了一个证明。

也有说正弦定理的证明是13世纪的那希尔丁在《论完全四边形》中第一次把三角学作为独立的学科进行论述，首次清楚地论证了正弦定理。

他还指出，由球面三角形的三个角。

可以求得它的三个边，或由三边去求三个角。

这是区别球面三角与平面三角的
重要标志。

至此三角学开始脱离天文学。

走上独立发展的道路。

托勒密(Claudius Ptolemy)的《天文学大成》第一卷除了一些初级的天文学数据之外。

还包括了上面讲的弦表。

它给出一个圆从(1/2)°到180°每隔半度的所有圆心角所对的弦的长度。

圆的半径被分为
60等分，弦长以每一等分为单位。

以六十进制制表达。

这样。

以符号crda表示圆心角a所对的弦长。

例如crd 36°=37p4'55"。

意思是：36°圆心角的弦等于半径的(或37个小部分)。

加上一个小部分的，再加上一个小部分的。

从下图看出，弦表等价于正弦函数表公元6世纪初，印度数学家阿耶波多制作了一个第一象限内间隔3°45'的正弦表，依照巴比伦人和希腊人的习惯，将圆周分为360
度，每度为60分。

整个圆周为21600份，然后据2πr=216000。

得出r=3438﹝近似值﹞。

然后用勾股定理先算出30°、45°、90°的正弦之后。

再用半角公式算出较小角的正弦值。

从而获得每隔3°45'的正弦长表；其中用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念。

他在计算正弦值的时候，取圆心角所对弧的半弦长。

比起希腊人取全弦长更近于现代正弦概念。

印度人还用到正矢和余弦，并给出
一些三角函数的近似分数式。

2.正切、余切
著名的叙利亚天文学、数学家阿尔一巴坦尼﹝ 850-929﹞于920年左右。

制成了自0°到90°相隔1°的余切[cotangent]表。

公元727年。

僧一行受唐玄宗之命撰成《大行历》。

为了求得全国任何一地方一年中各节气
的日影长度。

一行编出了太阳天顶距和八尺之竿的日影长度对应表，而太阳天顶距和日影长度的关系即为正切﹝ tangent﹞函数。

而巴坦尼编制的是余切函数表。

而太阳高度﹝角﹞和太阳天顶距﹝角﹞互为余角。

这样两人的发现实际上是一回事，但巴坦尼比一行要晚近200年。

14世纪中叶。

中亚细亚的阿鲁伯﹝ 1393-1449﹞。

原是成吉思汗的后裔。

他组织了大规模的天文观测和数学用表的计算。

他的正弦表精确到小数9位。

他还制造了30°到45°之间相隔为1'。

45°到90°的相隔为5'的正切表。

在欧洲，英国数学家、坎特伯雷大主教布拉瓦丁﹝ 1290?-1349﹞首先把正切、余切引入他
的三角计算之中。

3.正割、余割
正割﹝ secant﹞及余割﹝ cosecant﹞这两个概念由阿布尔─威发首先引入。

sec这个略号是1626年荷兰数基拉德﹝ 1595-1630﹞在他的《三角学》中首先使用，后经欧拉采用才得以通行。

正割、余割函数的现代定义亦是由欧拉给出的。

欧洲的「文艺复兴时期」。

﹝ 14世纪-16世纪﹞伟大的天文学家哥白尼﹝ 1473-1543﹞提倡地动学说，他的学生利提克斯见到当时天文观测日益精密，认为推算更精确的三角函数值表刻不容缓。

于
是他定圆的半径为1015。

以制作每隔10"的正弦、正切及正割值表。

当时还没有对数，更没有计算器。

任务十分繁重。

利提克斯和他的助手们以坚毅不拔的意志。

勤奋工作达12年之久。

遗憾的是，他生前没能完成这项工作，直到1596年，才由他的学生鄂图
﹝ 1550-1605﹞完成并公布于世。

1613年海得堡的彼提克斯﹝ 1561-1613﹞又修订了利提克斯的三角函数表。

重新再版。

后来英国数学家纳皮尔发现了对数。

这就大大地简化了三角计算，为进一步造出更精确的三角函数表创造了条件。

4.三角函数符号
毛罗利科早于1558年已采用三角函数符号。

但当时并无
函数概念，于是只称作三角线(trigonometric lines)。

他以sinus 1m arcus表示正弦，以
sinus 2m arcus表示余弦。

而首个真正使用简化符号表示三角线的人是T.芬克。

他于1583年创立以"tangent"(正切)及"secant"(正割)表示相应之概念，其后他分别以符号"sin.","tan.","sec.","","",""表示正弦，正切，正割。

余弦，余切，余割。

首三个符号与现代之符号相同。

后来的符号多有变化，下列的表便显示了它们
之发展变化。

使用者年代正弦余弦正切余切正割余割备注
罗格蒙格斯 pl Sec pl
吉拉尔1626tan sec.
杰克
欧拉
谢格内
巴洛1814sin cosecⅠ
施泰纳1827tgⅡ
皮尔斯1861sin sec cosec
奥莱沃尔1881sin cos tan cot sec cscⅠ
申弗利斯1886tg ctgⅡ
万特沃斯1897s in cos tan cot sec cscⅠ
舍费尔斯1921sin cos tg ctg sec cscⅡ
注：Ⅰ-现代(欧洲)大陆派三角函数符Ⅱ-现代英美派三角函数符号
我国现正采用Ⅰ类三角函数符号。

丹尼尔.伯努利是先以符号表示反三角函数，如以AS表示反正弦。

1736年欧拉以At表示反正切，一年后又以Asin表示于单位圆上正弦值相等于的弧。

1772年。

C.申费尔以arc.tang.表示反正切；同年。

拉格朗日采以表示反正弦函数。

1776年，兰伯特则以arc.sin表示同样意思。

1794年，鲍利以Arc.sin表示反正弦函数。

其后这些记法逐渐得到普及。

去掉符号中之小点。

便成现今通用之符号。

如arc sin x。

arc cos x等。

于三角函数前加arc表示反三角函数，而有时则改以于三角函
数前加大写字母开头Arc。

以表示反三角函数之主值。

另一较常用之反三角函数符号如sin-1x。

tan-1x等，是赫谢尔于1813年开始采用的，把反三角函数符号与反函数符号
统一起来，至今亦有应用。

1.诱导公式
sin(-a)=-sin(a)
cos(-a)=cos(a)
sin(π2-a)=cos(a)
cos(π2-a)=sin(a)
sin(π2 a)=cos(a)
cos(π2 a)=-sin(a)
sin(π-a)=sin(a)
cos(π-a)=-cos(a)
sin(π a)=-sin(a)
cos(π a)=-cos(a)
2.两角和与差的三角函数
sin(a b)=sin(a)cos(b) cos(α)sin(b)
cos(a b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)
cos(a-b)=cos(a)cos(b) sin(a)sin(b)
tan(a b)=tan(a) tan(b)1-tan(a)tan(b)
tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1 tan(a)tan(b)
3.和差化积公式
sin(a) sin(b)=2sin(a b2)cos(a-b2)
sin(a)sin(b)=2cos(a b2)sin(a-b2)
cos(a) cos(b)=2cos(a b2)cos(a-b2)}
cos(a)-cos(b)=-2sin(a b2)sin(a-b/2
至于泰勒级数和傅立叶级数。

那不是三言两语就说得清楚的。

这要你学了高等数学中的级数后你就会明白的了。

•不管是查表的原始值得来还是计算器里面的程序设计，都是用一些理论公式得到的。

幂级数
c0 c1x c2x2 . cnxn .=∑cnxn(n=0.∞)
c0 c1(x-a) c2(x-a)2 . cn(x-a)n .=∑cn(x-a)n(n=0.∞)
它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,.cn.及a都是常数,这种级数称
为幂级数.
泰勒展开式(幂级数展开法)：
f(x)=f(a) f'(a)/1！*(x-a) f''(a)/2！*(x-a)2 .f(n)(a)/n！*(x-a)n .
实用幂级数：
ex=1 x x2/2！ x3/3！ . xn/n！ .
ln(1 x)=x-x2/3 x3/3-.(-1)k-1*xk/k .(|x|1)
sin x=x-x3/3！ x5/5！-.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)！ .(-∞x∞)
cos x=1-x2/2！ x4/4！-.(-1)k*x2k/(2k)！ .(-∞x∞)
arcsin x=x 1/2*x3/3 1*3/(2*4)*x5/5 .(|x|1)
arccos x=π-(x 1/2*x3/3 1*3/(2*4)*x5/5 .)(|x|1)
arctan x=x-x^3/3 x^5/5-.(x≤1)
sinh x=x x3/3！ x5/5！ .(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)！ .(-∞x∞)
cosh x=1 x2/2！ x4/4！ .(-1)k*x2k/(2k)！ .(-∞x∞)
arcsinh x=x-1/2*x3/3 1*3/(2*4)*x5/5-.(|x|1)
arctanh x=x x^3/3 x^5/5 .(|x|1)
傅立叶级数(三角级数)
f(x)=a0/2 ∑(n=0.∞)(ancosnx bnsinnx)
a0=1/π∫(π.-π)(f(x))dx an=1/π∫(π.-π)(f(x)coskx)dx
b0=1/π∫(π.-π)(f(x)sinkx)dx。