学而思九年级数学教材

第一讲一次函数和反比例函数 知识点、重点、难点

函数y =kx 七你=0）称为一次函数，其函数图像是一条直线。若 b = 0时，则称函数y 二也为正比例函

数，故正比例函数是一次函数的特殊情况。 当

k 0

时，函数

y

=kx

，

b

是单调递增函数，即函数值 y

随x 增大（减小）而增大（减小）；当 k ：：：0，

y =kx b

是递减函数，即函数值 y

随x 增大（减小）而减小（增大）。

k y （k=0） 函数 x 称为反比例函数，其函数图像是双曲线。

当k 0且x 0时，函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大）；当 k 0且x ：：：0，函数值y 随x 增大

k

y ——

（减小）而减小（增大），也就是说：当

k 0

时，反比例函数

x 分别在第一或第三象限内是单调递

k y =—

减函数；当k ::0

时，函数

x 分别在第二或第四象限内是单调递增函数。

y =k|X b|（k^^ 0）,y =k 2x b 2（k 2 - 0）.

若 当匕二

k

2时，

3 =b

2时，两面直线平行。

当« =k 2时，3 =b 2时，两面直线重合。 当« ^k 2时，两直线相交。 当««二-1时，两直线互相垂直。

求一次函数、反比例函数解析式，关键是要待定解析式中的未知数的系数；其次，在解题过程中要重 视数形相结合。 例题精讲

例1：在直角坐标平面上有点A （-1

，-2）、B （4, 2）、C （1，c ），求c 为何值时AC BC 取最小值。

解显然，当点

C

在线段

AB

内时，

AC - BC 最短。

设直线AB 方程为

= kx b

，代入A —2

）、

B （4, 2）

代入

C （1

，

c ）

，

2k -1 k -10 y x -

k 2 k 2的图像对一切有意义的

-k b = -2

得4k • b = 2,解得

所以线段AB 为

—§（—1 岂4）,

5 5

例2 :求证：一次函数

k

恒过一定点，并求这个定点。

由一次函数得

（k 2）y =（2k T）x-（k TO）,整理得（2x-

y-1）k-x-2y Fn。因为等式对一切有意

义的k

成立，所以得

12 x 二

5

2x-y-1=0 19

y 二

x 2y -10=0,解得5

,z12 19 ]

点丁丐.

12 19

y =

5 , 5时，一次函数解析式变为恒等式，所以函数图像过定

_n2工0，并且mf(x —1) + nf (1 —x) = cx,求f (x)。

x，得

mf(X - " • nf (x)二c(1 - x).①用x 1代换原方程中的x，得

例3 :已知m、n、c为常数，

解用1 _x

代换原方程中的

mf (x) nf (-x) = c(x 1). ②

2 2

m f (x) —n f(x) = mcx + ncx + mc —nc.因为m2— n2式0 , 所以-n ①得

c m n x m -n f(x)=-

2 2 m

—n

c c f (x) = -------- x +-------- ，所以m - n m n

1 [

f (x)二mx (1 - x)二m

例4:如图，设m

-丄x丄

m m

因为当m 一1时,

f(x) 所以

在

0,"上的最小值

1

m 0, f (x)

m 为递增函数,

1

.1 m.

m

1

f(0) = (m—1).

m

f(1) = m(0 ：： m ：：1).

g(m)=丄1 +oc]

因此m

在

1

上为递减函数;

故g (m)

的最大值为g

(1)".

g(m)

g(m) _ m在0,1上为递增函数,

例5:画函数X2-4

的图

像。

解x

=0，x=0，x2-4=0 一切实

数。

x-2, xv_2;

2—x, -2cx<0;

y 二

2 x, 0沁：：2

一x-2, x 2

X = -2,将整个数轴分为四段讨论(见图)并定义域为x= 一2的例6 :一次函数

y =k^ _k(k 1)图像交x轴于A点，将此直线沿直线y =x翻折交y轴于B点，这两条

直线相交于P点，且四边形OAP B的面积为3, 求k 的值。

解设点P坐标为3),又二OAP与OBP

是翻折而成，所以

S

「

O

AP面积是四边形

3

OAPB的一半

等于2。设y = 0代入y =収- k,得x

1 1 3

S OAP OA PC 1 t ,

宀2 2 2

",

k

在y

二kx -k上，代入得

3 = 3k- k,

t二

3

,即点

(诃由

P（

3

, 3）.因

点P

一、填空题

1•设y =(k 2)x

是反比例函数，则

象限时；当x 0

时，

y

随x增大而

亠|x，

；其图像经过第

2•两个一次函数

y =3x 12, 7 3•等腰三角形一个底角的度数记作值范围是

y

轴所围成的三角形面积是

2

的图像与

y

，顶角的度数记作x，将

y

表示成x的函数是，其中

x的取

-a -1

2 的图像与直线

5•已知四条直线"论一3

、八一

1

、八

3

y

4.如果函数

y =3x~2平行，则a =

x =1所围成的车边形的面积是12,则m二

6•—次函数yb

的图像经过点

p(1

,

2)

且与x轴交于点A，与

y

轴交于点B。若线段

OB

的长

为2AO仝

5

7•已知一次函数

8•如果把函数y

O

y =kx b

中，若x的值每增加4,

y

的值也相应增加8,则

k

二

=2x

的

图像向下平移两个单位，再向左平移一个单位，那么得到的是

4n2

y =(3n -1)(2n 1)x 3,则n 的值为

的图

像。

9•已知一次函数

10若直线y

=(m T)x •

m

- 5不经过第二象限，则m的取值范围是

二、解答题

11•求证：不论k

为何值，一次函数(

2k T)x-(k ■ 3)y-(k-11)=0的图像恒过一定点。

12•某商人将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可以销售100件，现在他想采用提高售出价的办法来增加利润•已知这种商品每提高价1元(每件)，日销售量就要减少10件，那么他要使每天获